(完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α

b β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

aβ

bβ

a∩b =pβ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a ∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=a a∥b

β∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

P

a

L

2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭

l β

B

α

、二面角的记法：二面角α2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1217．(本题15分)如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ；

（2）平面PAC ⊥平面BDE ．

16．(本题10分)

如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、

11C A 的中点.

（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面. 18．（本题12分）

已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；

（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．

N

M B

D C

A

16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ABC ，1CC BC =，

M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.

（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.

解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，

侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，

∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵?1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，

∴1//AA NF ,12

1AA NF =

，又∵1//AA BM ,121

AA BM =，∴

BM NF //,BM NF =，………6分

故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分

而BF ?面1ABC ，MN ?平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分

18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο

60=∠A 、边长为a 的菱形，又

ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．

（1）证明：DN//平面PMB ；

（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．

解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为

M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以

QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．

PMB DN PMB DN PMB MQ MQ

DN 平面平面平面////???

?

????. …………………4分

（2）

MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥??

??

?⊥平面平面

又因为底面ABCD 是ο60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又

所以PAD MB 平面⊥.

.PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥??

??

?⊥………………8分

（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.

过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以PMB DH 平面⊥．

故DH 是点D 到平面PMB 的距离.

.

55

252a a a

a

DH =?=

17．(本题15分)证明（1）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，

∴OE∥AP， ………………4分 又∵OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，

∴PA∥平面BDE ． ………………7分 （2）∵PO ⊥底面ABCD ，

∴PO ⊥BD ， ………………10分 又∵AC ⊥BD ，且AC I PO=O

∴BD ⊥平面PAC ，而BD ?平面BDE ， ………………13分 ∴平面PAC ⊥平面BDE ． ………………15分

（１）当点为对角线的中点时，点的坐标是．

因为点在线段上，设．

．

当时，的最小值为，即点在棱的中点时，有最小值．（２）因为在对角线上运动．是定点，所以当

时，最短．因为当点为棱的中点时，，是等腰三角形，所以，当点是的中点时，取得最小值．

（３）当点在对角线上运动，点在棱上运动

时，的最小值仍然是．

证明：如下图，设，由正方体的对称性，显然有．

设在平面上的射影是．在中，，所以，即有．

所以，点的坐标是．

由已知，可设，则

．

当时，取得最小值，最小值是．