23.1图形的旋转__习题精选
23.1 图形的旋转(9大题型)
23.1 图形的旋转旋转的概念将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.注意：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小.题型1：旋转中的概念及对应元素1.下列运动中，属于旋转运动的是（ ）A．小明向北走了4 米B．一物体从高空坠下C．电梯从1 楼到12 楼D．小明在荡秋千【答案】D【解析】【解答】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，A不合题意；B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，B不合题意；C. 电梯从1 楼到12 楼，是平移，不属于旋转运动，C不合题意；D. 小明在荡秋千，是旋转运动，D符合题意．故答案为：D．【分析】根据图形旋转的定义求解即可。
【变式1-1】如图，线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，下列结论错误的是（ ）A．AB＝A'B'B．∠AOA'＝∠BOB'C．OB＝OB'D．∠AOB'＝100°【答案】D【解析】【解答】∵线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，∴AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，故A，B，C选项正确，∵∠AOB和∠BOB′的度数不确定，∴∠AOB′≠100°，故D选项错误.故答案为：D.【分析】由旋转的性质可得AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，据此判断.【变式1-2】如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ）A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°【答案】A【解析】根据图1可知，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；如右图，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠CAB=45°，∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．故选A．旋转的性质一个图形和它经过旋转所得到的图形中：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 注意：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.题型2：旋转的性质及旋转中心的确定2.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是( )A．(1，1)B．(0，1)C．(-1，1)D．(2，0)【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0，1).故答案为：B.【分析】连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，根据旋转的性质即可求解。
《23.1图形的旋转》习题2
23.1 图形的旋转一、选择题:1.在下列现象中,不属于旋转现象的是( )A.方向盘的转动B.水龙头开关的转动C.电梯的上下移动D.钟摆的运动2.如图,将正方形图案绕点O旋转180后,得到的图案是( )A B C D3.钟表分针从2点15分到2点20分,旋转的度数为( )A.20B.26C.30D.364.如图,在Rt ABC∆中,90ACB∠=,40A∠=,以直角顶点C为旋转中心,将ABC∆逆时针旋转到A B C∆''的位置,其中,A B''分别是,A B的对应点,且点B在斜边A B''上,直角边CA'交AB于D,则旋转角等于( )A.70B.80C.60D.50二、填空题:5.把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做,点O叫做,转动的角叫做.6.如图,OAB∆绕点O按顺时针方向旋转得到OEF∆,在这个旋转过程中:(1)旋转中心是点；旋转角是；(2)经过旋转,点A、B分别移动到点的位置；(3)对应线段:线段OF与线段,线段OE与线段,线段EF与线段；(4)对应角:∠EOF与,∠E与,∠F与.7.如图,ABC∆与ADE∆都是等腰直角三角形,C∠和AED∠都是直角,点E在AB上,如果ABC∆经逆时针旋转后能与ADE∆重合,那么旋转中心是点；旋转的度数是.8.如图,ABC∆为等边三角形,D为ABC∆内一点,ABD∆经过旋转后到达ACP∆的位置,则(1)旋转中心是点；(2)旋转角度是；(3)ADP∆是三角形.第4题9.对应点到旋转中心的距离；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；旋转前、后的图形.三、解答题10.时钟的时针在不停地旋转,从上午6时到上午9时,时针旋转的旋转角是多少度?从上午9时到上午10时呢?11.如图,杠杆绕支点转动撬起重物,杠杆的旋转中心在哪里?旋转角是哪个角?12.如图,说出压水机压水时的旋转中心和旋转角.13.如图,吃米的小鸡是站立的小鸡经过旋转得到的,旋转中心是O.从图上量一量旋转角是多少度.14.如图,OAB∆,在这个旋转过程中,找出图中相等的∆绕O点按顺时针方向旋转得到OEF角和相等的线段.15.如图,E是正方形ABCD中,CD边上任意一点,以点B为中心,把EBC逆时针旋转90,画出旋转后的图形.参考答案1.C2.D3.C4.B5. 旋转，旋转中心，旋转角6.(1) O ； ∠AOE 、∠BOF ；(2) E 、F ；(3) OB , OA , AB ；(4) ∠AOB , ∠A ,∠B .7. A ； 45°.8. (1) A ；(2) 60° ；(3)等边.9.相等 ； 旋转角 ；全等 .10.解:时针1小时转30,从上午6时到9时,时针要旋转30390⨯=；从9时到10时,时针要旋转30.11.解:杠杆的旋转中心在点O ,旋转角是∠AOA '.12.解:压水机的旋转中心为把手柄与机体的连接点,旋转角为把手柄旋转的角度.13. 解:经测量旋转角∠'AOA 约等于85.14.答:相等的角是:A E ∠=∠,B F ∠=∠,AOB EOF ∠=∠,AOE BOF ∠=∠.相等的线段是:AB EF =,OA OE =,OB OF =.15.答:E BA ∆'是由∆EBC 逆时针旋转90后得到的.。
23.1 旋转 填空题大全(含解析)
11．2旋转 填空题1． 在旋转过程中，位置保持不变的点叫作__________．2．图形的旋转是由________和____________决定的，在旋转过程中，________保持不变．3．如图，ABC ∆绕C 点旋转后得到CDE ∆，则_________,____,____,==∠=∠∠=∠AC AB B A ．4．如图，︒=∠︒=∠=∠403,4821，扇形AOB 旋转__________角度后能与扇形DOC 重合，则︒=∠=________,B AB ．5．如图，四边形OABC 绕点O 旋转得到四边形ODEF ，如果︒=∠︒=∠50,40COD AOC ．那么，（1）这个图形的旋转中心是点________；（2）旋转的角是_______；（3）点A 的对应点是________，线段OC 的对应线是_________．6．如图，CDE ∆可以看作是CAB ∆绕某一点旋转后的图形，CD 与AB 相交于点F ，CFB ∆是等边三角形，那么（1）旋转中心是点________；（2）点A 、B 、C 的对应点分别依次是________；（3）ACB B A ∠∠∠、、的对应角分别依次是________；（4）线段AB BC AC 、、的对应线段分别依次是_________；（5）旋转的角度是________．7．如图，ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形，点C 在线段BE 上，连BD ，如果BCD ∆绕点C 顺时针旋转60°．（1）画出BCD ∆旋转后的三角形．（2）旋转的角度是________度．8．如图，（1）它可以看作是由一个菱形绕某一点旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而得的①请你在图中用字母O 标注出这点；②每次旋转了_______度；③一共旋转了_______次．（2）这个图也可看作是一个等边三角形绕点________旋转，每旋转了________度，共旋转_______次而得；也可看作是一个等边三角形绕点_________旋转，每旋转了________度，共旋转________次而得；也可看作是一个三叶电风扇绕点_______旋转，每次旋转____度，共旋转____次而得．9．如图，AOB ∠是直角，它绕角的顶点O 旋转30°后到B O A ''∠的位置．那么 .____ ,____,____ ,____︒='∠︒='∠︒='∠︒='∠B AO B BO OB A A AO10．如图，AOB ∠是直角，它绕角的顶点O 旋转到B O A ''∠的位置，那么.____ ,____,____ ,____︒='∠︒='∠︒='∠︒='∠B AO A BO B BO A AO参考答案：1． 旋转中心2．旋转中心 旋转角度的大小 旋转中心3．D E DE CD4． 88° CD 665．（1）O （2）90°（AOD ∠的度数） （3）D OF6．（1）C （2）C C E B D A ---,, （3）DCEE D ∠∠∠、、 （5）ACD ∠的度数 7．（1）连结ACE AE ∆,即为BCD ∆绕点C 旋转而得 （2）608．（1）①略 ②60 ③5 （2）O 180 1；O 60 59．30、60、30、120；10．129°、120°、30°、150°．。
九年级数学上册23.1图形的旋转综合题
九年级数学上册23.1图形的旋转综合题1、下列图形中，是中心对称的图形是( 答案B 解析2、方程的解是，则a的值是答案C 解析3、某工厂欲用2%的稀硫酸测定本厂排放的废水中氢氧化钾的含量（废水中的其他物质不与稀硫酸反应）。
试计算：（1）用40 答案解析4、如图，∠2+∠3=180°，∠4=80°，则∠1=（;）A．70°B．110°C．100°D．答案C解析5、不等式3x-6＜3+x的正整数解有（）个A．1B．2C．3D．4 答案D 解析6、下图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是答案D 解析7、如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）答案C 解析8、计算：【小题1】（-3）0-+|1-|; 答案【小题1】（-3）0-+|1-|??????????? =1-3+-1???????? =-3+【小题2】(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b)(2a－b) =b2-2ab+4a2-b2………………………1分 = -2ab+4a2……………………………1分当a＝2，b＝1时原式= -2×2×1+4×22………………1分 =12 解析9、若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（答案B 解析10、下列方程中是一元一次方程的是（）A．B．C．D．答案B 解析试题考查知识点：一元一次方程思路分析：一元一次方程的含义是：只有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程具体解答过程：A．含有2个未知数，不是一元一次方程；B．是一元一次方程；C．不是整式方程，是分式方程；D．未知数的次数是2 ，是一元二次方程综上所述，只有B是一元一次方程。
故选B试题点评：11、-3的倒数为（）A．B．C．D．答案D 解析12、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ;m 答案B 解析13、如图，数轴上的点P表示的数可能是答案B 解析14、．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是;答案C 解析15、如图，已知直线AB∥CD，CE交AB于点F，∠DCF=110°，且AE=AF，则∠A等于A．;答案B 解析16、下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是答案C 解析17、已知，化简二次根式的正确结果是答案A 解析18、已知A—G为中学化学中常见物质，它们之间有如图所示的转化关系（部分生成物已略去），其中A、E、F为单质，A、E为答案（1）化合（或氧化反应）；（2）Fe3O4，FeCl2；（3）CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2↑。
九年级数学上册《图形的旋转》同步练习_人教新课标版
FB'C'23.1.1图形的旋转1、下列说法正确的是（ ）A 、平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B 、平移和旋转的共同点是改变图形的位置C 、图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D 、在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行2、将一图形绕着点O 顺时针方向旋转700后，再绕着点O 逆时针方向旋转1200，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O 什么方向旋转多少度？（ ）A 、顺时针方向，500B 、逆时针方向，500C 、顺时针方向，1900D 、逆时针方向，19003、如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是A 、300B 、600C 、900D 、1204、如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EFD 的度数为（ ）A 、100B 、150C 、200D 、2505、等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。
6、如图，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转600，得△AB＇C ＇则△ABB＇是__________三角形。
7、如图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠A=150，∠C=100，E ，B ，C 在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是__________。
【拓展探究】8、四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图所示，如果AF=4，AB=7， 求：（1）指出旋转中心和旋转角度（2）求DE 的长度（3）BE 与DF 的位置关系如何？【答案】1、 B ；2、 A ；3、C；4、B；5、120；6、等边；7、155°，25°；8、（1）旋转中心：点A，旋转角度：90°；（2）DE=3；（3）垂直关系.23.2.2中心对称图形基础训练1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A ．角 B ．等边三角形 C ．线段 D ．平行四边形2. 下列说法：（1）中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别，又有联系；（2）中心对称图形是指两个图形之间的一种对称关系；（3）中心对称和中心对称图形有一个共同的特点是它们都有且只有一个对称中心；（4）任何一条经过对称中心的直线都将一个中心对称图形分成两个全等的图形，其中说法正确的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（3）（4） 3．国旗上的每个五角星（ ）A ．是中心对称图形而不是轴对称图形B ．是轴对称图形而不是中心对称图形C ．既是中心对称图形又是轴对称图形D ．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形4. 下列图形是中心对称图形的是（ ）5 ） 初中数学资源网能力提升1.如图所示，△ABC 中，点O 是AC 的中点，画出△ABC 关于点O 中心对称的图形△CAD ，其中点B 与点D 是对称点，观察四边形ABCD 的形状，你能说出它的名称吗？2.如图是正六边形ABCDEF ，请找出它的对称中心.3.分别画出下列图形关于点O 对称的图形. （1） （2）4.如下的两个图形是关于某点中心对称的图形吗？如果不是，请说明理由；如果是，找出它们的对称中心，并指出点A 和点B 的对称点.发展创新 1.如图（a ），A B C D的面积被过其对称中心的直线l 直线，使其将图（b ）、（c ）分成面积相等的两部分.23.2中心对称 23.2.1中心对称 23.2.2中心对称图形 基础训练 1.C 2.D 3.B 4.C 5.B能力提升 1.图略，四边形ABCD 是平行四边形. 2.画两条对角线的交点. 3.图略.4.是关于某点D C FAODCBA(c)(b)(a)O CB ABA中心对称的图形.图略.发展创新23.2.3关于原点对称的点的坐标知识网络：在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（,x y）关于原点的对称点为P′（,x y--）.基础训练1．点A（2，-3）关于原点对称的点的坐标是.点B（-5，0）关于原点对称的点的坐标是.2．如图，⊿DEF是由⊿ABC经过某种变换后得到的图形，观察各顶点的坐标，可知点A和点D 的坐标分别是；点B和点E的坐标分别是；点C和点F的坐标分别是，如果⊿ABC边上任意一点M的坐标为（,x y），则它对应于⊿DEF上点的坐标是.能力提升1.如图，四边形ABCD各顶点坐标分别为A（-5，0），B（-5，2），C（-3，3），D（-1，1），作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形。
人教版九年级数学上册 第23章 练习题(含答案)
人教版九年级数学上册23.1图形的旋转一．选择题（共6小题）1．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD2．香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72°B．60°C．36°D．18°3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10°B．30°C．40°D．70°4．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（）A．点A B．点B C．点O D．无法确定5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60B．90C．120D．150二．填空题（共6小题）7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得△ADE，若∠BAC＝20°，则∠BAE的度数是．8．如图，△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠AED的度数为°．9．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转度，会和原图案重合．10．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是度．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝．12．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是．三．解答题（共3小题）13．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，若将△P AC绕点A 逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD【解答】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，∴旋转角为∠BAD或∠CAE，故选：A．2．香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72°B．60°C．36°D．18°【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°，故选：A．3．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10°B．30°C．40°D．70°【解答】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝70°，∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴旋转角为∠AOC＝70°，故选：D．4．如图，△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是（）A．点A B．点B C．点O D．无法确定【解答】解：由题意得△OAB绕某点旋转到△OCD的位置，则旋转中心是点O．故选：C．5．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：如图，∵点A（﹣2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，∴A′的坐标是（2，﹣3），即点A′在第四象限，故选：D．6．如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度．A．60B．90C．120D．150【解答】解：根据图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案．故选：C．二．填空题（共6小题）7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得△ADE，若∠BAC＝20°，则∠BAE的度数是30°．【解答】解：由题意可得，∠CAE＝50°，∵∠BAC＝20°，∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．8．如图，△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，则∠AED的度数为30°．【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝30°，故答案为：30°．9．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转60度，会和原图案重合．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．故答案为：60．10．时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是120度．【解答】解：∵时针从上午的6时到10时共旋转了4个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角＝30°×4＝120°．故答案为：120．11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝2．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，∴AC′＝AC＝1，∴BC′＝AB﹣AC′＝3﹣1＝2．故答案为2．12．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是α+β＝180°．【解答】解：∵使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，∴∠BOC＝∠AOD，∵∠BOC+∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠AOC＝90°，∵α+β＝∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD＝180°，∴α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°．三．解答题（共3小题）13．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？【解答】解：（1）旋转中心为点A；（2）∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，∴∠BAC＝180°﹣21°﹣26°＝133°，∴旋转的度数为133°；（3）由旋转性质知：AE＝AC，AD＝AB，∴AE＝AB﹣CD＝2．14．如图，P是等边三角形ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，若将△P AC绕点A 逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．【解答】解：（1）∵△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P AP′＝60°，P′A＝P A＝6，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝P A＝6；（2）∵△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴P′B＝PC＝10，∵△APP′是等边三角形，∴∠APP′＝60°，∵PB2+PP′2＝82+62＝100，P′B2＝102＝100，∴PB2+PP′2＝P′B2，∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．【解答】证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．人教版九年级数学上册23.2.1中心对称一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组3．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC＝4，则E′D′＝（）A．2B．3C．4D．1.54．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．点C B．点D C．线段BC的中点D．线段FC的中点5．已知下列命题，其中正确的个数是（）（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等形；（3）两个全等的图形一定关于中心对称．A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO＝BO B．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点D D．点D在BO的延长线上二．填空题（共6小题）7．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过，并且被平分．8．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为．9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是．10．如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，则△ABC与△A′B′C′关于点中心对称；若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为．11．与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是．12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是．三．解答题（共3小题）13．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．14．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．15．如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称．求证：四边形ACA'C'是菱形．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′【解答】解：观察图形可知，A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；B、BO＝B′O，故本选项正确；C、AB∥A′B′，故本选项正确；D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．故选：D．2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称．故选：C．3．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC＝4，则E′D′＝（）A．2B．3C．4D．1.5【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴B′C′＝BC＝4，∵E′D′是△A′B′C′的中位线，∴E′D′＝B′C′＝×4＝2．故选：A．4．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．点C B．点DC．线段BC的中点D．线段FC的中点【解答】解：∵此图形是中心对称图形，∴对称中心是线段FC的中点．故选：D．5．已知下列命题，其中正确的个数是（）（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等形；（3）两个全等的图形一定关于中心对称．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：关于中心对称的两个图形一定全等，两个全等的图形不一定关于中心对称．故只有（2）说法正确，故选：B．6．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO＝BOB．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点DD．点D在BO的延长线上【解答】解：A、AO＝OE，错误；B、BO＝DO，错误；C、点A关于点O的对称点是点E，错误；D、点D在BO的延长线上，正确；故选：D．二．填空题（共6小题）7．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【解答】解：根据中心对称的性质，得对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．8．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为4．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，根据中心对称的性质得到BB′＝2AB＝4．故答案为：4．9．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，则线段AB与DE的大小关系是AB＝DE．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AB＝DE故答案为：AB＝DE．10．如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，则△ABC与△A′B′C′关于点A中心对称；若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为．【解答】解：∵如图，△ABC绕点A旋转180°，得到△A′B′C′，A为旋转中心，∴△ABC与△A′B′C′关于点A中心对称；∵在直角△ABC中，∠B＝30°，BC＝1，∴AB＝＝＝∴BB′＝2AB＝．故答案是：A；．11．与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269．【解答】答：5269．12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是（﹣x，﹣y）．【解答】解：由图可知两三角形关于点O成中心对称，关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数，故点N的坐标是（﹣x，﹣y）．三．解答题（共3小题）13．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．【解答】解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．14．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8；（3）∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜8，∴1＜AD＜4．15．如图，矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称．求证：四边形ACA'C'是菱形．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点D成中心对称，∴∠ADC＝90°，CD＝CD′，DA＝DA′，∴四边形ACA'C'是平行四边形，AA′⊥CC′，∴四边形ACA'C'是菱形．人教版九年级数学上册23.2.2中心对称图形一．选择题（共6小题）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列所述图形中，仅是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．菱形4．下列图形中（不考虑颜色），不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（）A．（1，1）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）二．填空题（共6小题）7．在平面内将一个图形绕某一定点旋转度，图形的这种变化叫做中心对称．8．下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有个．9．下列图形中，其中是中心对称图形有个．①圆；②平行四边形；③长方形；④等腰三角形．10．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝cm．11．图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是．12．如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在处（填写区域对应的序号）．三．解答题（共3小题）13．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．14．下列这些是电子屏上显示的数字．（1）仔细观察后回答下列问题：①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是；④能成中心对称的两个数字是；⑤能成轴对称的两个数字是．（2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是．15．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？解：图形A的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形B的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形C的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形D的最小旋转角是度，它中心对称图形．图形E的最小旋转角是度，它中心对称图形．参考答案一．选择题（共6小题）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．3．下列所述图形中，仅是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．菱形【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；C、矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；D、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确．故选：B．4．下列图形中（不考虑颜色），不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．5．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：C．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（）A．（1，1）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）【解答】解：对称中心的坐标是（1，﹣1），故选：C．二．填空题（共6小题）7．在平面内将一个图形绕某一定点旋转180度，图形的这种变化叫做中心对称．【解答】解：在平面内将一个图形绕某一定点旋转180度，图形的这种变化叫做中心对称．故答案为180．8．下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有1个．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第二个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故答案为：1．9．下列图形中，其中是中心对称图形有3个．①圆；②平行四边形；③长方形；④等腰三角形．【解答】解：①圆；②平行四边形；③长方形是中心对称图形，共3个，故答案为：3．10．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝8cm．【解答】解：∵△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，AO＝4cm，∴OA1＝OA＝4cm，∴AA1＝OA+OA1＝8cm，故答案为：8．11．图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是方块5．【解答】解：方块5旋转180°后得到图乙，故答案为：方块5．12．如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在②处（填写区域对应的序号）．【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，故答案为：②．三．解答题（共3小题）13．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．【解答】解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．如图所示：14．下列这些是电子屏上显示的数字．（1）仔细观察后回答下列问题：①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是2和5；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是3；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是1，8，0；④能成中心对称的两个数字是6和9；⑤能成轴对称的两个数字是2和5．（2）小丽站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是21：01．【解答】解：（1）①是中心对称图形而不是轴对称图形的数字是2和5；②是轴对称图形，而不是中心对称图形的数字是3；③既是轴对称又是中心对称图形的数字是1，8，0；④能成中心对称的两个数字是6和9；⑤能成轴对称的两个数字是2和5．故答案为：2和5；3；1，8，0；6和9；2和5．（2）从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟上显示的读数如图所示，那么这时的实际时间是21：01，故答案为：21：01．15．（1）指出下列旋转对称图形的最小旋转角，并在图中标明它的旋转中心O．（2）在上述几个图形中有没有中心对称图形？具体指明是哪几个？解：图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．【解答】解：（1）如图所示，（2）图形A的最小旋转角是60度，它是中心对称图形．图形B的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形C的最小旋转角是72度，它不是中心对称图形．图形D的最小旋转角是120度，它不是中心对称图形．图形E的最小旋转角是90度，它是中心对称图形．故答案为：60，是；72，不是；72，不是；120，不是；90，是．人教版九年级数学上册23.2.3关于原点对称的点的坐标一．选择题（共6小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）2．点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是（）A．5B．﹣5C．D．﹣3．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（）A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8 4．点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝﹣2C．m＝﹣3，n＝2D．m＝﹣3，n＝﹣2 5．已知A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，再作点A1关于原点的对称点A2，则A2坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（9，8）D．（﹣9，﹣8）6．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．8．若点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则n的值为．9．如果点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），则x+y＝．10．在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是；关于y轴的对称点是；关于原点的对称点是．11．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是．12．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第象限．三．解答题（共3小题）13．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D 关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．14．如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．15．如图，左右两幅图案关于y轴对称，右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3），（4，3），嘴角左右端点的坐标分别是（2，1），（4，1）．（1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标；（2）从对称的角度来考虑，说一说你是怎样得到的；（3）直接写出右图案中的嘴角左右端点关于原点的对称点的坐标．参考答案一．选择题（共6小题）1．点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）【解答】解：点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）．故选：C．2．点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是（）A．5B．﹣5C．D．﹣【解答】解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点P'的横坐标是：﹣5．故选：B．3．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则（）A．x＝﹣1，y＝2B．x＝﹣1，y＝8C．x＝﹣1，y＝﹣2D．x＝1，y＝8【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，故选：A．4．点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝﹣2C．m＝﹣3，n＝2D．m＝﹣3，n＝﹣2【解答】解：∵点P（m，2）关于原点O的对称点为P'（﹣3，n），∴m、n的值为：m＝3，n＝﹣2，故选：B．5．已知A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，再作点A1关于原点的对称点A2，则A2坐标为（）A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（9，8）D．（﹣9，﹣8）【解答】解：∵A点坐标为（﹣4，5），将点A向右平移5个单位，再向下平移8个单位，得到点A1，∴点A1的坐标为：（1，﹣3），∵点A1关于原点的对称点A2，∴A2坐标为（﹣1，3）．故选：A．6．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（a+1，a﹣2）关于原点的对称的点在第二象限，∴点P在第四象限，∴a+1＞0，a﹣2＜0，解得：﹣1＜a＜2，∴a的取值范围表示正确的是C．故选：C．二．填空题（共6小题）7．点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．8．若点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则n的值为﹣5．【解答】解：由点A（3，5）与点B（﹣3，n）关于原点对称，可得n＝﹣5．故答案为：﹣5．9．如果点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），则x+y＝﹣5．【解答】解：∵点P（x，y）关于原点的对称点为（2，3），∴x＝﹣2，y＝﹣3；∴x+y＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案是：﹣5．10．在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（2，﹣3）；关于y轴的对称点是（﹣2，3）；关于原点的对称点是（﹣2，﹣3）．【解答】解：在平面直角坐标中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（2，﹣3）；关于y 轴的对称点是（﹣2，3）；关于原点的对称点是（﹣2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）；（﹣2，3）；（﹣2，﹣3）．11．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是a＜2．【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，，解得：a＜2．∴故答案为：a＜2．12．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第二象限．【解答】解：点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点为（﹣m2﹣1，3），∵﹣m2﹣1＜0，∴（﹣m2﹣1，3）在第二象限．故答案为：二．三．解答题（共3小题）13．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D 关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，解得a＝1，b＝﹣1，∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，∴点D（﹣3，1）；（2）如图所示：四边形ADBC的面积为：．14．如图，已知M（3，4），点N是点M关于原点的对称点，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，求△MNP的面积．【解答】解：如图所示：∵点N是点M关于原点的对称点，M（3，4），∴N（﹣3，﹣4），∴过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P，∴△MNP的面积：6×8＝24．15．如图，左右两幅图案关于y轴对称，右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3），（4，3），嘴角左右端点的坐标分别是（2，1），（4，1）．（1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标；（2）从对称的角度来考虑，说一说你是怎样得到的；（3）直接写出右图案中的嘴角左右端点关于原点的对称点的坐标．【解答】解：（1）左图案中的左眼睛坐标为（﹣4，3），右眼睛坐标为（﹣2，3），嘴角的左端点坐标为（﹣4，1），右端点坐标为（﹣2，1）．（2）关于y轴对称的两个图形横坐标互为相反数，纵坐标不变；（3）（﹣2，﹣1），（﹣4，﹣1）．。
(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-23.1 图形的旋转-九年级数学人教版(上)(解析版)
第二十三章旋转23.1图形的旋转一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面图形的旋转一般情况下会改变图形的A．位置B．大小C．形状D．性质【答案】A【解析】旋转和平移一样只改变图形的位置．故选A．2．如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是A．球B．圆柱C．半球D．圆锥【答案】A3．…依次观察这三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是【答案】D【解析】根据图形，有规律可循．从左到右图形顺时针方向旋转，可得到第四个图形是D．故选D．4．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是A．15°B．30°C．45°D．75°【答案】C【解析】如图：∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，∴∠AOD=∠AOB–∠BOD=60°–15°=45°，故选C．5．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是A．96 B．69 C．66 D．99【答案】B【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．故选B．6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．如图，将△AO B绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠BOC=__________度．【答案】60°【解析】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠AOB=45°+15°=60°.故答案为：60°.8．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得C′C ∥A B，则∠B′AB等于__________．【答案】50°9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC =2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=__________．【答案】31-【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，'''''' AB BBAC B C BC BC⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，可证得AD=12AB′=12AB．∵∠C =90°，AC =BC =2，∴A B =()()2222+=2，∴BD =22AB AD -=3，C ′D =12×2=1，∴BC ′=BD −C ′D =3−1. 故答案为：3−1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图，已知点A ，B 的坐标分别为（0，0）、（2，0），将△ABC 绕C 点按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C ．（1）画出△A 1B 1C ；（2）A 的对应点为A 1，写出点A 1的坐标； （3）求出B 旋转到B 1的路线长．【解析】（1）△A 1B 1C 如图所示．（2）A 1（0，6）．（3）点B 旋转到B1的路线长即为1B B 的长度． 由题知旋转角为90°，BC=10， ∴1B B =90π10180⨯=10π2．11．如图，等腰Rt △ABC 中，BA =BC ，∠ABC =90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ． （1）求∠DCE 的度数；（2）若AB =4，CD =3AD ，求DE 的长．（2）∵BA =BC ，∠ABC =90°， ∴AC 2242AB BC +=∵CD =3AD ，∴AD 2，DC 2．由旋转的性质可知：AD =EC 2．∴DE 2225CE DC +=12．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD –BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE–CD=AD–BE．（3）DE=BE–AD（或AD=BE–DE，BE=AD+DE等）．易证得△ACD≌△CBE，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD–CE=BE–AD．。
23.1 图形的旋转(重点练)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步(人教版)(解析版)
23.1图形的旋转（重点练)1．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE＝()A．1.5B．3C．4D．5【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质，得出△ABC△△EDC，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．【详解】由旋转可得，△ABC△△EDC，△DE=AB=1.5，故选A．【点评】本题主要考查了旋转的性质的运用，解题时注意：旋转前、后的图形全等．2．如图，将Rt∆ABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到∆A' B'C，连接AA'，若△1=20°，则△B的度数是( )A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】B【解析】【分析】根据图形旋转的性质得AC=A′C ，△ACA′=90°，△B=△A′B′C ，从而得△AA′C=45°，结合△1=20°，即可求解．【详解】△将Rt ∆ABC 绕直角项点C 顺时针旋转90°，得到∆A' B'C ，△AC=A′C ，△ACA′=90°，△B=△A′B′C ，△△AA′C=45°，△△1=20°，△△B′A′C=45°-20°=25°，△△A′B′C=90°-25°=65°，△△B=65°．故选B ．【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．3．如图,将置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A'OB'.已知△AOB=30°,△B=90°,AB=1,则B'点的坐标为 ( )A ．3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】利用含30度的直角三角形和勾股定理求出BC 和OC ，再用旋转的性质得出OC',B'C'，即可解决问题．【详解】解：在Rt△AOB 中，△AOB=30°，AB=1，△OA=2（30°角所对的直角边是斜边的一半）根据勾股定理得，过点B 作BC△OA 于C ，在Rt△BOC 中，BC=12=32， 过点B'作B'C'△OA'于C'，由旋转知，B'C'=BC=2，OC'=OC=32，，△B′32）． 故选A ． 【点评】此题主要考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解本题的关键是求出OC 和BC ．4．如图，OA△OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，△ECD=45°，将三角形CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则OC CD的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3【答案】B【解析】设,CD CM x CN CE ====则 7545MCE ECD ∠=︒∠=︒，60NOC ∴∠=︒ 2OC x ∴= 则 OC CD =2，故选B. 5．全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是合同三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A→B→C→A ，及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图2），两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°.下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．【详解】解：由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使C 组的两个三角形重合必须将其中的一个翻转180°；而其它组的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合．故选：C ．【点评】此题考查了平移、旋转、轴对称的图形变化，学生的阅读理解能力及空间想象能力，较灵活．认真读题，透彻理解题意是正确解决本题的关键．6．如图所示，在ABC △中，ACB 是钝角，让点C 在射线BD 上向右移动，则（ ）A ．ABC △将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B ．ABC △将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形C ．ABC △将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形D ．ABC △先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，角形然后再次变为钝角三角形【答案】D【解析】【分析】因为BC 边变大，△A 也随着变大，△C 在变小．所以此题的变化为：△ABC 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．【详解】解：根据△A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．故选：D．【点评】本题考查角的变化,解题时要注意三角形的变化：△B不变，△A变大，△C在变小．∆进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(),a b，则经过7．如图，在平面直角坐标系中，对ABC第2016变换后所得的A点坐标是__________．【答案】(),a b【解析】【分析】观察不难发现，4次变换为一个循环组依次循环，用2016除以4，根据正好整除可知点A与原来的位置重合，从而得解．【详解】由图可知，4次变换为一个循环组依次循环，△2016÷4=504，△第2016变换后为第504循环组的第四次变换，变换后点A与原来的点A重合，△原来点A坐标是（a，b），△经过第2016变换后所得的A点坐标是（a，b）．故答案为：（a ，b ）．【点评】本题考查了坐标与图形变化-对称，准确识图，观察出4次变换为一个循环组依次循环是解题的关键．8．如图，O 是正△ABC 内一点，OA ＝6，OB ＝8，OC ＝10，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论：△△BO 'A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；△点O 与O ′的距离为6；△△AOB ＝150°；△S △BOC ＝△S 四边形AOBO ′＝_____．（填序号）【答案】△△【解析】【分析】证明△BO ′A △△BOC 即可说明△BO 'A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，△正确；根据旋转的性质可知△BOO ′是等边三角形，则点O 与O '的距离为8，△错误；根据勾股定理的逆定理得到△AOO ′是直角三角形，求得Rt△AOO ′面积为12×6×8＝24，又等边△BOO ′面积为12AOBO '的面积为△错误；求得△AOB ＝△AOO ′+△BOO ′＝90°+60°＝150°，△正确；过B 作BE △AO 交AO 的延长线于E ，根据三角形的面积公式即可得到S △BOC ＝S 四边形AOBO ′﹣S △AOB ＝12＝△错误．【详解】在△BO ′A 和△BOC 中，BO BO BA OBA BA BC O ''⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BO′A△△BOC（SAS）．△O′A＝OC，△△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，△正确；如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，△点O与O'的距离为8，△错误；在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，△△AOO′是直角三角形，△AOO′＝90°．△Rt△AOO′面积为12×6×8＝24，又等边△BOO′面积为1 2△四边形AOBO'的面积为△错误；△AOB＝△AOO′+△BOO′＝90°+60°＝150°，△正确；过B作BE△AO交AO的延长线于E，△△AOB＝150°，△△BOE＝30°，△OB＝8，△BE＝4，△S △AOB ＝12×4×6＝12，△S △BOC ＝S 四边形AOBO ′﹣S △AOB ＝12＝△错误，故答案为：△△．【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解，使得问题迎刃而解．9．如图所示，已知直线AB 、CD 交于点O ，1x =，1y =-是方程43ax y +=-的解，也是方程12bx ay a -=+的解，且::AOC AOD b a ∠∠=，EO AB ⊥．（1）求EOC ∠的度数．（2）若射线OM 从OC 出发，绕点O 以1/s ︒的速度顺时针转动，射线ON 从OD 出发，绕点O 以2/s ︒的速度逆时针第一次转动到射线OE 停止，当ON 停止时，OM 也随之停止．在转动过程中，设运动时间为t ，当t 为何值时，OM ON ⊥？（3）在（2）的条件下，当ON 运动到EOC ∠内部时，下列结论：△2EOM BON ∠-∠不变；△2EOM BON ∠+∠不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明．【答案】（1）30°；（2）30或90；（3）△是正确的，证明详见解析．【解析】【分析】（1）把1x =，1y =-代入43ax y +=-和12bx ay a -=+得出关于a 、b 的方程组，得出a 与b 的值，再根据邻补角和垂直的定义即可求出EOC ∠的度数（2）设t 秒后OM ON ⊥，由题意290t t +=或180290t t -=-，解方程即可．（3）分别表示出30EOM t ∠=︒+︒，2120BON t ∠=︒-︒，从而得出结论【详解】（1）把1x =，1y =-代入43ax y +=-和12bx ay a -=+得4312a b a a-=-⎧⎨+=+⎩，解得：1a =，2b =． △:2:1AOC AOD ∠∠=．设2AOC α∠=，则AOD α∠=，△180AOC AOD ∠+∠=︒，△3180a =︒．△60α=︒△BOC AOD ∠=∠，△60BOC ∠=︒．△EO AB ⊥，△90EOB ∠=︒．△–906030EOC EOB BOC ∠=∠∠=︒-︒=︒．（2）设t 秒后OM ON ⊥，△如图所示，△OM ON ⊥，△90MON ∠=︒△180COM MON DON ∠+∠+∠=︒，△90COM DON ∠+∠=︒△COM t ∠=︒△2DON t ∠=︒，△290t t +=．△30t =．△如图所示，△OM ON ⊥，△90MON ∠=︒．△2DON r ∠=︒，180CON DON ∠+∠=︒，△1802CON t ∠=︒-︒．△–CON COM MON ∠=∠∠．△90CON t ∠=︒-︒．△180290t t -=-．△90t =．综上所述，，的值为30s ，90s 时，OM ON ⊥．（3）△是正确的，如图所示，设运动时间为ts ，△30EOM t ∠=︒+︒，2120BON t ∠=︒-︒．△2602EOM t ∠=︒+︒△26022120180EOM BON t t ∠-∠=︒+︒-︒+︒=︒．△2EOM BON ∠-∠是定值．【点评】本题考查了角平分线的性质、旋转性质及角的计算、一元一次方程的应用，解题的关键是关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分，属于中考常考题型．10．将等腰直角三角形ABC （AB ＝AC ，△BAC ＝90°）和等腰直角三角形DEF （DE ＝DF ，△EDF ＝90°）按图1摆放，点D 在BC 边的中点上，点A 在DE 上．（1）填空：AB 与EF 的位置关系是 ；（2）△DEF 绕点D 按顺时针方向转动至图2所示位置时，DF ，DE 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，求证：△BPD+△DQC＝180°；（3）如图2，在△DEF绕点D按顺时针方向转动过程中，始终点P不到达A点，△ABC的面积记为S1，四边形APDQ的面积记为S2，那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）见解析；（3）存在，S1＝2S2，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的判定方法即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到△B＝△C＝45°，再根据三角形的内角和即可得到结论；（3）连接AD，根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可得BD＝CD＝AD，△B＝△CAD，△BDP＝△ADQ，进而可根据ASA证明△BDP△△ADQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）△AB＝AC，△BAC＝90°，△△ABD＝△C=45°，△DE＝DF，△EDF＝90°，△△F＝△E＝45°，△△F＝△ ABD，△AB△EF；故答案为：平行；（2）△AB＝AC，△BAC＝90°，△△B＝△C＝45°，△△EDF＝90°，△△BDP+△CDQ＝90°，△△BPD+△DQC＝360°﹣△B﹣△C﹣△BDP﹣△CDQ＝180°；（3）S1与S2之间存在不变的数量关系：S1＝2S2.理由：连接AD，如图，△AB＝AC，AD△BC，△BD＝CD＝AD＝12BC，△B＝△C＝△CAD＝45°，△△BDP+△ADP＝△ADP+△ADQ＝90°，△△BDP＝△ADQ，△△BDP△△ADQ（ASA），△S△ABD＝S△BPD+S△APD＝S△ADQ+S△APD＝S2，又△S△ADB＝12S1，△S1＝2S2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键.。
专题23.1图形的旋转-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)[含答案]
专题23.1图形的旋转【十大题型】【人教版】【题型1判断生活中的旋转现象】【题型2由旋转的性质判断结论正误】【题型3由旋转的性质进行求解】【题型4由旋转的性质证明线段相等或角相等】【题型5画旋转图形】【题型6旋转对称图形】【题型7旋转求坐标】【题型8旋转中的规律性问题】【题型9由旋转的性质求最值】【题型10 图形的动态旋转】知识点1：旋转在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素．【题型1判断生活中的旋转现象】【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）2．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．其中能得到图（2）的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）3．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（）可以使得接收光能最多．A．46°B．44°C．36°D．54°【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）4．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定知识点2：旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置．【题型2 由旋转的性质判断结论正误】【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）5．如图所示，O 是锐角三角形ABC 内一点，120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=o ，P 是ABC V 内不同于O 的另一点，A BO ¢¢△、A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60o ，则下列结论：①O BO ¢V 为等边三角形；②+=¢¢+¢A O O O AO BO ；③+=¢¢+¢A P P P PA PB ；④++³++PA PB PC AO BO CO ．其中正确的有（提示：有一个角是60o 的等腰三角形是等边三角形）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）6．如图，Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，M 为直线BC 上的一个动点，将线段AM 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AN ，连接CN ，则当CN 取得最小值时，下列结论正确的是（ ）A ．直线CN AB ^B ．直线CN 平分ABC ．直线CN 与直线BC 重合D ．直线CN 与直线AC 重合【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）7．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝EC ；④∠A ＝∠EBC ；其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）8．如图所示，在等边ABC V 中，点D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕着点B 逆时针旋转60°，得到BAE V ，连接ED ，则下列结论中：①AE BC ∥；②60DEB Ð=°；③ADE BDC Ð=Ð；④AED ABD Ð=Ð，其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型3 由旋转的性质进行求解】【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）9．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，若90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，则线段BC ¢的长度为（ ）A ．4B ．C ．6D ．【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）10．将直角边长为6cm 的等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到AB C ¢¢△，则图中阴影部分的面积是 2cm ．【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）11．如图，菱形纸片ABCD 的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到A B C D ¢¢¢¢的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )A ．8B ．)41C ．)81D ．)41【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）12．如图，等腰直角ABC V 中，AC BC =，将线段CA 绕点C 逆时针旋转a °（090a <<）得到线段CA ¢，作点A 关于线段CA ¢所在直线的对称点E ，连接AE 和BE ，分别交线段CA ¢所在直线于点M 和点F ，若1CF =，3FM =，则BF 的长为 ．【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）13．【猜测探究】在ABC V 中，ACB a Ð=．点D 是直线AB 上的一个动点，线段CD 绕点C 逆时针旋转α，得到线段CE ，连接DE ，BE ．（1）如图1，当CA CB =，点D 在AB 边上运动时，线段BD ，AB 和BE 之间的数量关系是______；（2）如图2，当CA CB =，点D 运动到AB 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，将ABC V 绕点C 逆时针旋转60°得到DEC V ，DE 交AB 于点F ，连接CF ．若4CF =，1BF =，3DF =，求线段DE 的长．【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）14．在等边三角形ABC 的内部有一点D ，连接BD ，CD ，以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，连接AD ¢，DD ¢．以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，连接AD ¢¢，DD ¢¢．(1)判断D BA ¢Ð和DBC Ð的大小关系，并说明理由；(2)求证：D A DC ¢=；(3)求证：四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）15．如图，在四边形ABCD 中，AC BD ，是对角线，ABC V 是等边三角形，将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE DE ，．(1)求证：BCD ACE Ð=Ð；(2)若30610ADC AD BD Ð=°==，，，求DE 的长．【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）16．在ABC V 中，CA CB =，ACB a Ð=，D 为ABC V 内一点，将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，点A D ，的对应点分别为点B E ，．(1)如图1，若A D E ，，三点在同一直线上，则CDE Ð=_________（用含a 的代数式表示）；(2)如图2，若A D E ，，三点在同一直线上，90a =°，过点C 作CF AE ^于点F ，探究线段CF AE BE ，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，连接AE ，若60a =°，CA =2CD =，将DCE △绕点C 旋转一周，当60AEC Ð=°时，BE =____________．知识点2：旋转作图旋转有两条重要性质：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键．步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点．【题型5 画旋转图形】【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出将ABC V 向下平移5个单位长度后的111A B C △；(2)画出ABC V 关于点B 成中心对称的22A BC V ；(3)画出ABC V 绕点B 逆时针旋转90o 的33A BC △；(4)在直线l 上找一点P ，使ABP V 的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）18．如图，在平面直角坐标系中xOy ，已知ABC V 三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()1,1B -，()2,2C -．(1)画出ABC V 绕原点O 顺时针旋转90°得到的111A B C △；(2)在y 轴上取点P ，使ABP V 的面积是ABC V 面积的32倍，求点P 的坐标．【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）19．如图，在边长为1的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，将ABC V 绕点O 逆时针旋转一定角度后，点C 落在格点C ¢处．(1)旋转角为______ °；(2)在图中画出旋转后的A B C ¢¢¢V ，其中A ¢、B ¢分别是A 、B 的对应点；(3)点O 到直线BB ¢的距离是______ ．【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点3,4,()(0,1)A B ---．(1)平移线段AB 得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标为(3,2)--，点B 的对应点为点D ，在网格中请画出线段CD ，并直接写出点D 的坐标为_______；(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段CD 绕点D 按逆时针旋转90°后的线段DE ，点C 的对应点为点E ，并直接写出点E 的坐标为_______；(3)在（2）的条件下，线段AB 与线段DE 存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．【题型6 旋转对称图形】【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）21．在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）22．如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）23．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度()0180a a °<°…后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度a 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O 旋转90°或180°后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；A .矩形；B .正五边形；C .菱形；D .正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有 个；【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）24．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型7 旋转求坐标】【例7】（2024·天津东丽·二模）25．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，那么点1B 的坐标是（ ）A ．()1,1B ．C ．(D ．【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）26．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A B ¢¢，那么()1,4A -的对应点A ¢的坐标是 ．【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）27．如图，正比例函数的图象经过(),2A m -，()2,B n 两点，其中m ，n 为整数，且0,0m n <>.现将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则点C 的坐标为 ．【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）28．在平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），把△AOB 绕点O 旋转，使点A ，B 分别落在点A ′，B ′处，若A ′B ′∥x 轴，点B ′在第一象限，则点A 的对应点A ′的坐标为（ ）A ．（912,55-）B ．（129,55-）C ．（1612,55-）D ．（1216,55-）【题型8 旋转中的规律性问题】【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）29．如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形OABC 绕着原点O 顺时针旋转45°得到正方形111OA B C ，按照这样的方式，绕着原点O 连续旋转2024次，得到正方形202420242024OA B C 则点2024A 的坐标是（ ）A ．(0,1)B ．()0,1-C ．(1,0)D ．【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）30．将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）A ．6B ．5C ．3D ．1【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）31．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x 轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为()5,5A ，在一段时间内，叶片每秒绕原点O 顺时针转动90°，则第2024秒时，点A 的对应点2024A 的坐标为（ ）A ．()5,5B ．()5,5-C ．()5,5--D ．()5,5-【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）32．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，顶点C ，D 在第一象限，已知1OA OB ==，BC =将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C 的坐标是（ ）A ．()3,2B ．(−2,3)C ．()3,2--D ．(−3,2)【题型9 由旋转的性质求最值】【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）33．如图，正方形ABCD 的边长为4，30BCM Ð=°，点E 是直线CM 上一个动点，连接BE ，线段BE 绕点B 顺时针旋转45°得到BF ，则线段DF 长度的最小值等于（ ）A ．4-B ．2-C ．D ．【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）34．如图，线段4AC =，点B 为平面上一动点，且90ABC Ð=°，将线段AB 的中点M 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AN ，连接CN ，则线段CN 的最大值为 ．【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）35．如图，直角ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，4BC =，点E 是边AC 上一点，将BE 绕点B 顺时针旋转60°到点F ，则CF 长的最小值是 ．【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）36．已知在矩形ABCD 中，9AD =，12AB =，O 为矩形的中心，在等腰Rt V AEF 中，90EAF Ð=°，AE AF 6==．则EF 边上的高为 ；将AEF △绕点A 按顺时针方向旋转一周，连接CE ，取CE 中点M ，连接FM ，则FM 的最大值为 ．【题型10 图形的动态旋转】【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）37．将一个三角板如图所示摆放，直线MN 与直线GH 相交于点P ，45MPH Ð=°，现将三角板ABC 绕点A 以每秒3°的速度顺时针旋转，设时间为t 秒，且0150t ££，当t = 时，MN 与三角板的直角边平行．【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）38．新定义：已知射线OP 、OQ 为AOB Ð内部的两条射线，如果12POQ AOB Ð=Ð，那么把POQ Ð叫作AOB Ð的幸运角．已知40AOB Ð=°，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒5°的速度顺时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC 旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时，t = 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）39．如图，点 D 是等边ABC V 边BC 上一点，且 20BAD Ð=°．将ABD △绕点A 顺时针旋转α（0a ¹）得到AB D ¢¢V ，其中点B ，D 的对应点分别为B D ¢¢，．当直线B D ¢¢经过ABC V 的顶点时，CDD ¢Ð的度数为 ．【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）40．如图，在平行四边形ABCD 中，5cm,2cm,120AB BC BCD ==Ð=°，点P 从A 点出发，沿射线AB 以1cm /s 的速度运动，连接CP ，将CP 绕点C 逆时针旋转60°，得到CQ ，连接BQ ．当t = 时，BPQ V 是直角三角形．1．C【分析】根据旋转的定义进行判断即可．【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：②传送带的移动，是平移，故不符合要求；③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；④风车的转动，是旋转，故符合要求；⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．B【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．【详解】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意；图（1）先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意；图（1）绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2），故④符合题意；图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．3．B【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．【详解】解：由题意可得：若要太阳光板于太阳光垂直，则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，故选：B．【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．4．B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮B 以顺时针方向旋转，齿轮C 以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E 以逆时针方向旋转，故选B ．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．5．A【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．由于A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，得到BO BO ¢=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，则BOO ¢V 和BPP ¢V 都是等边三角形，得到60BOO BO O ¢¢Ð=Ð=°，OO OB ¢=，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，再进行判断即可．【详解】解：连PP ¢，如图，Q A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，BO BO ¢\=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，BOO ¢\V 和BPP ¢V 都是等边三角形，所以①正确；,OO OB O B BP BP PP ¢¢¢¢\====，A O O O AO BO ¢¢¢\+=+，所以②正确；+=¢¢+¢A P P P PA PB ，所以③正确；60BOO BO O ¢¢\Ð=Ð=°，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，180A O O O OC ¢¢¢\Ð=Ð=°，\A ¢，O ¢，O ，C 在一条直线上，又CP PP P A CA CO OO O A ¢¢¢¢¢¢¢++>=++Q ，\++>++PA PB PC AO BO CO ，所以④错误．故选：A6．B【分析】延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，先求出60BAC Ð=°，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，则BAM EAN Ð=Ð，证明()SAS BAM EAN △≌△，得到30AEN ABM ==°∠∠，则点N 在直线EN 运动，故当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，证明ACF △是等边三角形，得到AF AC =，则2AB AF =，即直线CN 平分AB ．【详解】解：如图所示，延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，∵Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，∴18060BAC ACB ABC =°--=°∠∠∠，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，∴BAC MAN Ð=Ð，∴BAM EAN Ð=Ð，∴()SAS BAM EAN △≌△，∴30AEN ABM ==°∠∠，∴点N 在直线EN 运动，∵垂线段最短，∴当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN ^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，∴903060ACF HCE ==°-°=°∠∠，∴ACF △是等边三角形，∴AF AC =，∵2AB AC =，∴2AB AF =，∴此时直线CN 平分AB ，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N 的运动轨迹是解题的关键．7．C【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．【详解】解：∵旋转，∴AC DC =，但是旋转角不一定是60°，∴ACD V 不一定是等边三角形，∴AC AD =不一定成立，即①不一定正确；∵旋转，∴BC EC =，故③正确；∵旋转，∴ACD BCE Ð=Ð，∵等腰三角形ACD 和等腰三角形BCE 的顶角相等，∴它们的底角也相等，即A EBC Ð=Ð，故④正确；∵90A ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴90EBC ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴AB EB ^不一定成立，即②不一定正确．故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．8．C【分析】由题意可得∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°，BD ＝BE ，∠DBE ＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠AEB ＝∠BDC∵将△BCD 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°，∠EAB ＝∠ACB ＝60°∴∠EAB ＝∠ABC ＝60°，△BED 是等边三角形∵△BED 是等边三角形∴∠DEB ＝60°故①②正确∵∠AEB ＝∠BDC ，∠AEB ＝∠AED ＋∠BED ，∠BDC ＝∠BAC ＋∠ABD∴∠AED ＝∠ABD故④正确∵∠BDC ＞60°，∠ADE ＜60°∴∠BDC≠∠ADE故③错误．故答案选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED 是等边三角形是本题的关键．9．D【分析】过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示，由旋转性质得到BC BC ¢=，从而得到BCC ¢V 是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定BE 是线段CC ¢的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到()AAS CC D BEC ¢V V ≌，进而由全等性质得到2CE C D ¢==，在Rt CC D ¢△中，由勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示：Q 将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，BC BC ¢\=，由等腰三角形三线合一性质可得BE 是线段CC ¢的垂直平分线，则190,2BC E C E CE CC ¢¢¢Ð=°==，在正方形ABCD 中，BC CD =，90BCD BCE DCE Ð=°=Ð+Ð，CD BC ¢\=，Q 90CC D ¢Ð=°，90CDC DCE ¢\Ð+Ð=°，BCE CDC ¢\Ð=Ð，在CC D ¢△和BEC V 中，90BCE CDC BEC CC D BC CD ¢¢Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î()AAS CC D BEC \¢V V ≌，\2CE C D ¢==，则24CC CE ¢==，在Rt CC D ¢△中，90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，4CC ¢=，则由勾股定理可得CD ==，BC CD ¢\==，故选：D ．【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．10．【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转角15CAC ¢Ð=°，等腰直角ABC V 的一锐角45CAB Ð=°，可求C AD ¢Ð，旋转前后对应边相等，对应角相等，6AC AC cm ==¢，90C C ¢Ð=Ð=°，根据勾股定理求得C D ¢，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转性质得15CAC ¢Ð=°，而45CAB Ð=°，∴30C AD CAB CAC ¢¢Ð=Ð-Ð=°，又∵690AC AC cm C C ¢¢==Ð=Ð=°，，∴2AD C D ¢=，由勾股定理得，222AD C D AC ¢¢-=，即22246C D C D ¢¢-=，∴C D ¢=，∴阴影部分的面积2162=´´=．故答案为：11．C【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．【详解】解：2,60,AD A B DAB ==Ð=¢¢°Q 30,DAO B A O \Ð=Ð=¢°¢1,OD OB AO A O ==¢\=¢=1,AB AO B O ¢¢\=-=30,60DAC A B C Ð=°Ð¢=¢°Q 30,DAC AFB \¢Ð=Ð=°,AB B F FD A D \==¢=¢¢1,B F FD \=-¢根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，\旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是1)．故选：C ．12．【分析】过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，根据题意得到,AF EF AC CE ==，易证CAF CEF Ð=Ð，由等腰三角形的性质推出CBE CEB Ð=Ð，推出CAF CBE Ð=Ð，证明()AAS AFC BHC V V ≌，得到,CF CH AF BH ==，进而证明CHF V 是等腰直角三角形，即可证明AMF V 是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出FH AF ====BF 的长．【详解】解：如图，过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，Q 点E 与点A 关于线段CA ¢所在直线对称，\,AF EF AC CE ==，,CAE CEA FAE FEA \Ð=ÐÐ=Ð，\CAF CEF Ð=Ð，,BC AC AC CE ==Q ，CE BC \=，\CBE CEB Ð=Ð，\CAF CBE Ð=Ð，90ACF ACH BCH ACH Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，ACF BCH \Ð=Ð，\()AAS AFC BHC V V ≌，\,CF CH AF BH ==，\CHF V 是等腰直角三角形，45CFH CHF \Ð=Ð=°，180135BHC AFC CHF \Ð=Ð=°-Ð=°，45AFM \Ð=°\AMF V 是等腰直角三角形，MF AM\=Q 1CF =，3FM =，\FH AF ======\BF BH FH AF FH =+=+=故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．13．（1）AB BE DB =+，（2）不成立，见解析；（3）8【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可得证；（2）由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可证明；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由旋转的性质得CB CE =，B E Ð=Ð，证得()CFB CPE SAS V V ≌，可得CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，从而可证FCP V 是等边三角形，可得CF FP =，即可求解．【详解】解：（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，∵=ACD DCB a Ð+Ð，=DCB BCE a Ð+Ð，∴ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AB AD DB =+，∴AB BE DB =+，故答案为：AB BE DB =+；（2）不成立，理由如下：由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，∴ACB BCD BCD DCE Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AD AB BD =+，∴=BE AB DB +；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由题意得，CB CE =，CBF CEP Ð=Ð，∴()CFB CPE SAS V V ≌，∴CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，由题意得，60BCE Ð=°，∴60FCP FCB BCP PCE BCP BCE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴FCP V 是等边三角形，∴CF FP =，∴3418DE DF FP PE DF CF FB =++=++=++=，即线段DE 的长为8．14．(1)D BA DBC ¢Ð=Ð，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得60DBD ¢Ð=°，BD BD ¢=，则可判断BDD ¢△为等边三角形，再利用ABC V 为等边三角形得到60ABC Ð=°，则可得到D BA DBC ¢Ð=Ð；（2）通过证明ABD CBD ¢≌V V 得到D A DC ¢=；（3）根据旋转的性质得60DCD ¢¢Ð=°，DC D C ¢¢=，则可判断DCD ¢¢△为等边三角形，于是得到DD DC ¢¢=，再与（2）的证明方法一样证明ACD BCD ¢¢≌V V 得到AD BD ¢¢=，于是AD DD ¢¢¢=，加上D A DC DD ¢¢¢==，从而可判断四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【详解】（1）解：D BA DBC ¢Ð=Ð，理由如下：Q 以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，60DBD ¢\Ð=°，BD BD ¢=，BDD ¢\△为等边三角形，BD DD ¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC =，60DBD ABD D BA ¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ABC ABD DBC Ð=Ð+Ð=°，D BA DBC ¢\Ð=Ð；（2）证明：在ABD ¢△和CBD △中，BA BC D BA DBC BD BD =ìïÐ=¢¢=Ðíïî，()SAS ABD CBD ¢\≌V V ，D A DC ¢\=；（3）证明：Q 以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，60DCD ¢¢\Ð=°，DC D C ¢¢=，DCD ¢¢\△为等边三角形，DD DC ¢¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ACB Ð=°∴，CA CB =，60DCD ACD D CA ¢¢¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ACB ACD DCB Ð=Ð+Ð=°，D CA DCB ¢¢\Ð=Ð，在ACD ¢¢△和BCD △中，CA CB D CA DCB D C DC =ìïÐ=Ðíï=¢¢¢î¢，()SAS ACD BCD ¢¢\≌V V ，AD BD ¢¢\=，由（1）可知：BD DD ¢=AD DD ¢¢¢\=，由（2）可知：D A DC ¢=，又DD DC ¢¢=Q ，D A DD ¢¢¢\=，\四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．(1)见解析(2)8【分析】（1）根据旋转的性质得到60DCE CE CD Ð=°=，，利用等边三角形的性质得到60ACB AC BC Ð=°=，．则ACB DCE Ð=Ð，即可得到结论；（2）证明()SAS ACE BCD ≌△△．则AE BD =．证明CDE V 是等边三角形．进一步得到90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V 中，由勾股定理即可得到DE 的长．【详解】（1）证明：由旋转的性质，知60DCE CE CD Ð=°=，．∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB AC BC Ð=°=，．∴ACB DCE Ð=Ð．∴ACB ACD DCE ACD Ð+Ð=Ð+Ð，即BCD ACE Ð=Ð．（2）解：在ACE △和BCD △中，AC BC ACE BCD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，，，∴()SAS ACE BCD ≌△△．∴10AE BD ==．∵60DCE CD CE Ð=°=，，∴CDE V 是等边三角形．∴60CDE Ð=°．∵30ADC Ð=°，∴90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V中，8DE ==【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．16．(1)1802a°-(2)2AE BE CF =+，理由见解析(3)2【分析】（1）根据旋转的性质及三角形的内角和定理即可解答；（2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可解答；（3）根据旋转的性质及等边三角形的性质得到1DH EH ==，再利用勾股定理及全等三角形的性质即可解答．【详解】（1）解：如图1中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，DCE a Ð=，∴CD CE =，∴1802CDE a °-Ð=．故答案为：1802a °-．（2）解：2AE BE CF =+．理由如下：如图2中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角90°得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，∴AD BE =，CD CE =，90DCE Ð=°，∴CDE V 是等腰直角三角形，∵CF DE ^，∴2DF EF CF ==，∵AE AD DF EF =++，∴2AE BE CF =+．（3）解：如图3中，过点C 作CH DE ^于点H ．∵60a =°，∴ACB △，DCE △都是等边三角形，∴60CED Ð=°，∵60AEC Ð=°，∴60AEC CED Ð=Ð=°，∴A ，D ，E 共线，∵CH DE ^，2CD =，CD DE CE ==，∴1DH EH ==，∴CH ===∵CA =∴3AH ===，∴312AD AH DH =-=-=，∵ACD BCE △△≌，∴2BE AD ==．故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．17．(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)图见解析【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．（1）根据平移的方向和距离，即可得到ABC V 向下平移5个单位后的图形111A B C △；（2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像；（3）分别找出A C 、对应点，连接即可；（4）找出A 关于直线l 的对称点，连接A B ¢，交直线l 于点P ，此时PA PA ¢=，则PA PB A B ¢+=，使ABP V 的周长最小．【详解】（1）解：111A B C V 即为所求（2）解：222A B C V 即为所求。
人教版2021年九年级上册：23.1.1 图形的旋转及性质 同步练习(含答案)
人教版2021年九年级上册：23.1图形的旋转同步练习第1课时图形的旋转及性质一、选择题1.下列运动形式属于旋转的是()A.放飞的风筝B.飞奔的高铁动车C.时钟上分针的运动D.鱼在水中游动2.如图,把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,则旋转角是()A.∠AOCB.∠AODC.∠AOBD.∠BOC第2题图第3题图第4题图3.如图,在4×4的正方形网格中,△PMN绕某点旋转一定的角度,得到△P1M1N1,其旋转中心是()A.点AB.点BC.点CD.点D4.如图所示的每个小三角形是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以点A 为中心()A.顺时针旋转60°所得到的B.逆时针旋转60°所得到的C.顺时针旋转120°所得到的D.逆时针旋转120°所得到的5.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,点A在边B'C上.若∠B＝30°,则∠A'的大小是( )A.30°B.60°C.90°D.120°第5题图第6题图第7题图6.如图,一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C,当点B,C,A'在一条直线上时,三角板ABC的旋转角度为()A.150°B.120°C.60°D.30°7.如图,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,使得点B的对应点D恰好落在BC 边上.若AB＝1,∠B＝60°,则CD的长为()A.0.5B.1.5C.√2D.18.如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数()A.20°B.25°C.30°D.35°9.如图,在矩形ABCD中,AD＝4,DC＝3,将△ADC绕点A逆时针旋转一定角度得到△AEF(点A,B,E 在同一条直线上),连接CF,则CF的长为()A.5B.3√2C.4√2D.5√2第8题图第9题图第10题图10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,线段BC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段BD,过点A作AE⊥射线CD于点E,则∠CAE的度数是()A.90°－αB.αC.90°－α2D.α211.(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是()A．AC＝DE B．BC＝EFC．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF12.(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是()A．50° B．70° C．110° D．120°13.(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为()A．18° B．20° C．24° D．28°14.(2020·海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是()A．1 cm B．2 cmC. 3 cm D．2 3 cm二、填空题15.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB边上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是;旋转角度是;点B的对应点是;点D的对应点是;线段CB的对应线段是;∠B的对应角是.16.如图,F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B顺时针旋转60°得△CBG,连接FG,则△BFG的形状是.17.如图,两个完全相同的正五边形ABCDE,AFGHM的边DE,MH在同一条直线上,且有一个公共顶点A.若正五边形ABCDE绕点A旋转x度恰好与正五边形AFGHM的一条边重合,则x的最小值为.18.如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,E是正方形内的一个动点,OE＝2,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF,连接OF,则线段OF的最小值为.三、解答题19.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.(1)求∠AGC的度数;(2)求证:四边形ABFE是菱形.20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别在AB,AC上,EC＝BC,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF.(1)补全图形;(2)若EF∥CD,求证:∠BDC＝90°.21.如图,E是正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转一定的角度得到EF,点C在EF上,连接AF交边CD于点G.(1)若AB＝4,BF＝8,求CE的长;(2)求证:AE＝BE＋DG.22.(中考·宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数；(3)求证：DE2＝BD2＋AD2.23.(2019·荆州)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________(用含α的式子表示)；(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．24.【探索新知】如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”)(2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ=.(用含α的代数式表示出所有可能的结果)【深入研究】如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,旋转的时间为t秒.(3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”?(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ 是∠MPN的“巧分线”时t的值.参考答案一、选择题1.下列运动形式属于旋转的是(C)A.放飞的风筝B.飞奔的高铁动车C.时钟上分针的运动D.鱼在水中游动2.如图,把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,则旋转角是(A)A.∠AOCB.∠AODC.∠AOBD.∠BOC第2题图第3题图第4题图3.如图,在4×4的正方形网格中,△PMN绕某点旋转一定的角度,得到△P1M1N1,其旋转中心是(B)A.点AB.点BC.点CD.点D4.如图所示的每个小三角形是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以点A 为中心(D)A.顺时针旋转60°所得到的B.逆时针旋转60°所得到的C.顺时针旋转120°所得到的D.逆时针旋转120°所得到的5.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,点A在边B'C上.若∠B＝30°,则∠A'的大小是(C)A.30°B.60°C.90°D.120°第5题图第6题图第7题图6.如图,一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C,当点B,C,A'在一条直线上时,三角板ABC的旋转角度为(A)A.150°B.120°C.60°D.30°7.如图,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,使得点B的对应点D恰好落在BC 边上.若AB＝1,∠B＝60°,则CD的长为(D)A.0.5B.1.5C.√2D.18.如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数(B)A.20°B.25°C.30°D.35°9.如图,在矩形ABCD中,AD＝4,DC＝3,将△ADC绕点A逆时针旋转一定角度得到△AEF(点A,B,E 在同一条直线上),连接CF,则CF的长为(D)A.5B.3√2C.4√2D.5√2第8题图第9题图第10题图10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,线段BC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段BD,过点A作AE⊥射线CD于点E,则∠CAE的度数是(C)A.90°－αB.αC.90°－α2D.α211.(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是(D)A．AC＝DE B．BC＝EFC．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF12.(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是(D)A．50° B．70° C．110° D．120°13.(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为(C)A．18° B．20° C．24° D．28°14.(2020·海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A 逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是(B)A．1 cm B．2 cmC. 3 cm D．2 3 cm二、填空题15.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB边上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是点C;旋转角度是90°;点B的对应点是A;点D的对应点是E;线段CB的对应线段是CA;∠B的对应角是∠CAE.16.如图,F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B顺时针旋转60°得△CBG,连接FG,则△BFG的形状是等边三角形.17.如图,两个完全相同的正五边形ABCDE,AFGHM的边DE,MH在同一条直线上,且有一个公共顶点A.若正五边形ABCDE绕点A旋转x度恰好与正五边形AFGHM的一条边重合,则x的最小值为36.18.如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,E是正方形内的一个动点,OE＝2,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF,连接OF,则线段OF的最小值为5√102－2.提示:如图,连接CO,将线段CO绕点C逆时针旋转90°得到CM,连接FM,OM,∴∠ECF＝∠OCM ＝90°,∴∠ECO＝∠FCM.∵CE＝CF,CO＝CM,∴△ECO≌△FCM(SAS),∴FM＝OE＝2.∵正方形ABCD中,AB＝5,O是AB边的中点,∴OB＝2.5,∴OC＝√52＋(52)2＝5√52,∴OM＝√2OC＝5√10 2.∵OF＋MF≥OM,∴OF≥5√102－2,∴线段OF的最小值为5√102－2.三、解答题19.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.(1)求∠AGC的度数;(2)求证:四边形ABFE是菱形.解:(1)∵AB＝AC,∠BAC＝100°,∴∠B＝∠C＝40°.由旋转的性质可知∠BAD＝40°,∴∠AGC＝∠B＋∠BAD＝80°.(2)由旋转的性质可知∠D＝∠B＝∠BAD＝40°,∠DAE＝100°,∴AB∥DE.由(1)知∠AGC＝80°,∴∠DAE＋∠AGC＝180°,∴AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形.又∵AB＝AC＝AE,∴四边形ABFE是菱形.20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别在AB,AC上,EC＝BC,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF.(1)补全图形;(2)若EF∥CD,求证:∠BDC＝90°.解:(1)补全图形,如图所示.(2)由旋转的性质可知∠DCF ＝∠DCE ＋∠ECF ＝90°,CD ＝CF.∵∠ACB ＝∠DCE ＋∠BCD ＝90°,∴∠ECF ＝∠BCD.∵EF ∥CD ,∴∠EFC ＋∠DCF ＝180°,∴∠EFC ＝90°.在△BDC 和△EFC 中,{CD ＝CF,∠BCD ＝∠ECF,BC ＝EC,∴△BDC ≌△EFC (SAS),∴∠BDC ＝∠EFC ＝90°.21.如图,E 是正方形ABCD 的边BC 上一点,连接AE ,将线段AE 绕点E 顺时针旋转一定的角度得到EF ,点C 在EF 上,连接AF 交边CD 于点G.(1)若AB ＝4,BF ＝8,求CE 的长;(2)求证:AE ＝BE ＋DG.解:(1)∵四边形ABCD 为正方形,∴AB ＝BC ＝4,∠ABC ＝90°.∵BF ＝8,∴CF ＝BF －BC ＝4.由旋转的性质知,EF ＝AE ,∴BE ＝BF －EF ＝BF －AE ＝8－AE ,在Rt △ABE 中,AB 2＋BE 2＝AE 2,即42＋(8－AE )2＝AE 2,解得AE ＝5,∴CE ＝EF －CF ＝AE －CF ＝5－4＝1.(2)延长EB 到点H ,使得BH ＝DG ,易证△ADG ≌△ABH (AAS),∴∠BAH ＝∠DAG ,∴∠HAF ＝∠BAD ＝90°.∵AE ＝EF ,∴∠EAF ＝∠F.∵∠EAH ＋∠EAF ＝90°,∠F ＋∠H ＝90°,∴∠H ＝∠EAH ,∴EA ＝EH.∵EH ＝BE ＋BH ＝BE ＋DG ,∴AE ＝BE ＋BG.22.(中考·宁波)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE .(1)求证：△ACD ≌△BCE ；证明：由题意可知CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠DCE ＝∠ACB .∵∠ACD ＝∠ACB －∠DCB ，∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE .在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．(2)当AD ＝BF 时，求∠BEF 的度数；解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°.由(1)知△ACD ≌△BCE ，∴∠A ＝∠CBE ＝45°，AD ＝BE .∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF .∴∠BEF ＝180°－45°2＝67.5°. (3)求证：DE 2＝BD 2＋AD 2.证明：由(1)知△ACD ≌△BCE ，∴∠A ＝∠CBE ，AD ＝BE .∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠CBA ＝90°.∴∠CBE ＋∠CBA ＝90°.∴∠EBD ＝90°.∴DE 2＝BD 2＋BE 2.∴DE 2＝BD 2＋AD 2.23.(2019·荆州)如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心，点C ，D 分别在OE 和OF 上，现将△OEF 绕点O 逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF ，DE (如图②)．(1)在图②中，∠AOF ＝________(用含α的式子表示)；【思路点拨】如图②，利用旋转的性质得到∠DOF ＝∠COE ＝α，再根据正方形的性质得到∠AOD ＝90°，从而得到∠AOF ＝90°－α；(2)在图②中猜想AF 与DE 的数量关系，并证明你的结论．【思路点拨】如图②，利用正方形的性质得到∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD ，再利用△OEF 为等腰直角三角形得到OF ＝OE ，利用(1)的结论得到∠AOF ＝∠DOE ，则可证明△AOF ≌△DOE ，从而得到AF ＝DE .解：AF ＝DE .证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD .∵∠DOF ＝∠COE ＝α.∴∠AOF ＝∠DOE .∵△OEF 为等腰直角三角形，∴OF ＝OE .在△AOF 和△DOE 中，⎩⎨⎧AO ＝DO ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，∴△AOF ≌△DOE (SAS)．∴AF ＝DE .24.【探索新知】如图1,射线OC 在∠AOB 的内部,图中共有3个角:∠AOB ,∠AOC 和∠BOC ,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC 是∠AOB 的“巧分线”.(1)一个角的平分线 是 这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”)(2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ 是∠MPN 的“巧分线”,则∠MPQ= 12α或13α或23α .(用含α的代数式表示出所有可能的结果)【深入研究】如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ 与PN 成180°时停止旋转,旋转的时间为t 秒.(3)当t 为何值时,射线PM 是∠QPN 的“巧分线”?(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ 是∠MPN的“巧分线”时t的值.×60,解得t=9;解:(3)依题意有①10t=60+12②10t=2×60,解得t=12;③10t=60+2×60,解得t=18.故当t为9或12或18时,射线PM是∠QPN的“巧分线”.(4)当t为2.4或4或6时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.提示:依题意有①10t=1(5t+60),解得t=2.4;3②10t=1(5t+60),解得t=4;2③10t=2(5t+60),解得t=6.3。
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23.1图形的旋转习题精选附答案
一、选择题
1．下图可以看成正方形ABCD绕点O分别最小旋转（）前后的图形共同组成的。
A．30°，45°
B．60°，45°
C．45°，90°
D．22．5°，67．5°
2．如图所示的图案中，图（2），（3），（4）与图（1）的关系为（）
A．平移
B．轴对称
C．平移且转移
D．其他
3．下列各图不能由旋转作出的是（）
4．如图所示，其中能用旋转作出的共有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．观察如图所示的五个图案（不计颜色），其中可以看成由“基本图案”通过旋转形成的共有（）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题
1．下图可以看成由一个三角形旋转而成的，它一共旋转_________次，分别旋转________而形成的。
2．如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，使AB 落到AC 上，则P 落到点P '处。
如果AP=1，则PP '=___________．
3．如图所示，△ABC 和△DEF 是等边三角形，且边长相等．
（1）这个图案可以看成△ABC 绕它三边垂直平分线的交点O 旋转一个角度得到的，这个角度最小是_________。
（2）把点A ，F ，B ，D ，C ，E ，A 依次连接起来，能得到一个__________形
4．如图所示，已知P 是正方形ABCD 内一点，以B 为旋转中心，把△PBC 沿逆时针方向旋转90°得到△P BA '，连接PP '，则∠P PB '的度数是______。
三、解答题
1．如图所示，你能分析出图中的旋转现象吗？
2．如图所示，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C的对应点的位置，以及旋转后的△DEF。
3．在3点和4之间：
（1）何时时针与分针构成直角？
（2）何时时针与分针在一条直线上？
4．如图所示，AB是长4厘米的线段，且CD⊥AB于O．你能借助旋转求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。
5．在图（2），（3）中，画出由图（1）所示的图形绕点P逆时针方向旋转90°，180°后形成的图形。
答案： 一、 1．D 2．C 3．D 4．D 5．D 二、
1．7 45°，90°，135°，180°，225°，170°，315°
2．解析：由旋转知，90PAP BAC '∠=∠=︒，PA=P A '=1，∴
PP '=．
3．（1）60°（2）正六边
4．解析：由旋转性质得90P BP '∠=︒，P B PB '=，∴△P BP '为等腰三角形，∴
45P BP '∠=︒
答案：45°
三、1．解析：（1）整个图形可以看成图形的六分之一绕中心位置，按同一方向连续转60°，120°，180°，240°，300°前后的图形共同组成的； （2）可以看成图形的三分之一绕中心位置，按同一方向连续旋转120°，240°前后的图形共同组成的；
（3）可以看成图形的二分之一绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的； （4）可以看成矩形ABDE 绕中心位置分别旋转60°，120°前后的图形共同组成的。
提示：对于此类问题要注意分析的多项性。
2．作法一：（1）连接OA ，OD ，OB ，OC ；
（2）分别为OB ．OC 为一边作∠BOE ， ∠COF ，使∠BOE=∠COF=∠AOD ； （3）分别在射线OE ，OF 上截取OE=OB ，OF=OC ；
（4）连接EF，ED，FD．
△DEF就是△ABE绕O点旋转后的图形（如图所示）。
作法二：（1）连接OA，OD，OB，OC；
（2）在OB为一边作∠BOE，使∠DOE=∠AOD；
（3）在射线OE上截取OE=OB，连接DE；
（4）分别以点D，E为圆心，以AC，BC的长为半径画弧，交于F点，连接EF，DF．
△DEF就是△ABD绕O点旋转后的图形（如图所示）。
提示：作旋转后的图形时，应先确定出旋转角，然后选定特殊点，根据旋转的性质完成作图。
3．解析：（1）设3点x分，时针与分针成直角，即|3×30°-x×5．5°|=90°，|90-5．5x|=90，
∴90-5．5x=90或90-5．5x=-90，解得x=0或
8
32
11
x=
∴在3点整或3点
8
32
11分时，时针
与分针构成90°。
（2）设3点y时，时针与分针在同一直线上，两针在同一直线上包括两针重合和两针
反向，即|3×30°-y×5．5°|=0°，或|3×30°-y×5．5°|=180°，分别解得
4
16
11
y=
，或
1
49
11
y=
，
或
4
16
11
y=-
（舍去），∴在3点
4
16
11分时两针重合，在3点
1
49
11分时两针在同一直线
上且反向。
4．解析：把最里边小圆按顺序时针方向旋转90°，把最外边大圆按逆时针方向旋转90°，
而中间圆环保持不动，则阴影部分面积为
2
11
()4
424
AB
πππ
⨯=⨯=
（平方厘米）。
5．解析：绕点P逆时针方向旋转90°后的图形如图（1）所示；绕点P逆时针方向旋转180°后和图形如图（2）所示。