必修二立体几何单元测试题(详细答案)

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人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(包含答案解析)

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1.已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β,下面四个结论:①若m 、n 互为异面直线,//m α,//n α,//m β,βn//,则//αβ;②若m n ⊥,m α⊥,βn//,则αβ⊥;③若n α⊥,//m α,则n m ⊥;④若αβ⊥,m α⊥,//n m ,则βn//.其中正确的是( )A .①②B .②③C .③④D .①③ 2.古代数学名著《数学九章》中有云:“有木长三丈,围之八尺,葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”意思为:圆木长3丈,圆周为8尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1丈即10尺)( ) A .30尺 B .32尺 C .34尺 D .36尺 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,13,2,4AA AB AD ===,点M 是棱AD 的中点,点N 在棱1AA 上,且满足12AN NA =,P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点(含边界),若1//C P 平面CMN ,则线段1C P 长度的取值范围是( )A .[3,17]B .[2,3]C .[6,22]D .[17,5] 4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的侧面积(单位:2cm )是( )A .10B .105+C .1625+D .135+5.设l 是直线,α,β是两个不同的平面,则正确的结论是( )A .若l ∥α,l ∥β,则α∥βB .若l ∥α,l ⊥β,则α⊥βC .若α⊥β,l ⊥α,则l ⊥βD .若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β6.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为AB 的中点, 则点C 到平面1A DM的距离为( )A .6aB .6aC .2aD .12a 7.如图所示,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1DD 的中点,F 是侧面11CDD C 上的动点,且1//B F 面1A BE ,则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A .aB .2aC 2aD .22a 8.3P -ABC 的顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,PA =2,∠ABC =120°,则球O 的体积的最小值为( )A .73 B 287 C 1919 D .193π 9.已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2,且球O 为三棱锥A BCD -的外接球,点M 是线段BD 上靠近D 的四等分点,过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为Ω,则Ω的取值范围为( )A .π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A .若m n ⊥,//n α,则m α⊥ B .若//m β,βα⊥,则m α⊥ C .若m β⊥,n β⊥,n α⊥,则m α⊥ D .若m n ⊥,n β⊥,βα⊥,则m α⊥ 11.在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ,1DP DC ==.有下列结论:①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等;②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭; ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的体积为23π;④若AB BC =,E 是线段PC 上一动点,则DE BE +的最小值为622+. 其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .412.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为底面ABCD 的中心,点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥,则11D C P △面积的最大值为( )A 25B .455C 5D .2513.设α、β为两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂,则下列命题中真命题是( )A .若l β⊥,则αβ⊥B .若l m ⊥,则αβ⊥C .若αβ⊥,则l m ⊥D .若//αβ,则//l m 14.αβ、是两个不同的平面,mn 、是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m n ⊥;②αβ⊥;③n β⊥;④.m α⊥以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,其中正确命题的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个 二、解答题15.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中(底面是正方形的直四棱柱),底面正方形ABCD 的边长为1,侧棱1AA 的长为2,E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点.AD平面EMN;(1)求证:1//AD与BE所成角的余弦值.(2)求异面直线116.如图所示的四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,AE=EB=BC=2,AD⊥平面ABE,且CE上的点F满足BF⊥平面ACE.(1)求证:AE∥平面BFD;(2)求三棱锥C-AEB的体积.17.如图甲,平面四边形ABCD中,已知45∠=,90︒A︒∠=∠=,ADC︒C,105 ==,现将四边形ABCD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BDC (如图乙),设2AB BD点E,F分别是棱AC,AD的中点.(1)求证:DC⊥平面ABC;(2)求三棱锥A BEF -的体积.18.在四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,BC CD ⊥,120ABC ∠=︒,4=AD ,3BC =,=2AB ,3=CD CE ,⊥AP ED .(1)求证:DE ⊥面PEA ;(2)已知点F 为AB 中点,点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ,直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3,当三棱锥-P QDE 的体积最大时,求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值.19.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,点P 为棱1DD 的中点.(1)证明:1//BD 平面PAC ;(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.20.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABC ,//,90AD BC ABC ︒∠=,2AD =,23AB =6BC =.(1)求证:平面PBD ⊥平面PAC ;(2)PA 长为何值时,直线PC 与平面PBD 所成角最大?并求此时该角的正弦值. 21.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1,CC 1=BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=60°,AB ⊥侧面BB 1C 1C(1)求证:C 1B ⊥平面ABC ;(2)求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积,(3)试在棱CC 1(不包含端点C ,C 1)上确定一点E ,使得EA ⊥EB 1;22.如图,在平行四边形ABCD 中,4AB =,60DAB ∠=︒.点G ,H 分别在边CD ,CB 上,点G 与点C ,D 不重合,GH AC ⊥,GH 与AC 相交于点O ,沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置,使二面角E GH B --为90°,F 是AE 的中点.(1)请在下面两个条件:①AB AD =,②AB BD ⊥中选择一个填在横线处,使命题P :若________,则BD ⊥平面EOA 成立,并证明.(2)在(1)的前提下,当EB 取最小值时,求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值. 23.如图,已知PA ⊥平面ABCD ,ABCD 为矩形,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,,2,2PA AD AB AD ===.(1)求证:平面MPC ⊥平面PCD ;(2)求三棱锥B MNC -的高.24.如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点O 是BD 中点.(1)求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ;(2)求二面角1C BD C --的正切值.25.如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,AB AC =,D 为BC 上一点,1A B 平面1AC D .(1)求证:D 为BC 的中点;(2)若平面ABC ⊥平面11BCC B ,求证:1AC D ∆为直角三角形.26.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,2CD AB =,CD ⊥AD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,,E F 分别是CD 和PC 的中点.求证:(1)BF //平面PAD(2)平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解.【详解】解:对于①,由面面平行的判定定理可得,若m 、n 互为异面直线,//m α,//n β,则//αβ或相交,又因为//m β,//n α,则//αβ,故①正确;对于②,若m n ⊥,m α⊥,//n β,则//αβ或α,β相交,故②错误, 对于③,若n α⊥,//m α,则n m ⊥;故③正确,对于④,若αβ⊥,m α⊥,//n m ,则//n β或n β⊂,故④错误,综上可得:正确的是①③,故选:D .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.2.C解析:C【分析】由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长,画出图形,即可求出葛藤长.【详解】由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示矩形ABCD 中,30AD =尺,2816AB =⨯=尺, 所以葛藤长2222301634AC AD AB =+=+=尺.故选:C .【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图,考查学生的空间想象能力,属于基础题. 3.C解析:C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面,然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段,进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围.【详解】如图所示:,取11A D 的中点G ,取MD 的中点E ,1A G 的中点F ,1D D 的三等分点H 靠近D ,并连接起来.由题意可知1//C G CM ,//GH MN ,所以平面1//C GH 平面CMN .即当点P 在线段GH 上时,1//C P 平面CMN . 在1H C G 中,2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =,所以1H C G 为等边三角形,取GH 的中点O ,122sin606C O ==,故线段1C P 长度的取值范围是[6,22].故选:C .【点睛】 本题主要考查线面平行,面面平行的判定定理和性质定理的应用,以及解三角形,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于中档题.4.B解析:B【分析】由三视图可知,该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -,由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知,该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -,如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯=+故选:B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积,属于中档题.5.B解析:B【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断.【详解】若l ∥α,l ∥β,则α∥β或,αβ相交,A 错;若l ∥α,由线面平行的性质得,知α内存在直线b 使得//l b (过l 作平面与α相交,交线即是平行线),又l ⊥β,∴b β⊥,∴α⊥β,B 正确;若α⊥β,l ⊥α,则不可能有l ⊥β,否则由l ⊥α,l ⊥β,得//αβ,矛盾,C 错; 若α⊥β,l ∥α,则l 与β可能平行,可能在平面内,可能相交也可能垂直,D 错. 故选:B .【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断,掌握直线、平面间位置关系是解题关键.6.A解析:A 【分析】根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解. 【详解】画出图形如下图所示,设C 到平面1A DM 的距离为h , 在△1A DM 中115,2,2A M DM a A D a === 1A ∴到DM 的距离为3a则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=,即11113232322a a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅,解得6h a =, 故选:A.【点睛】本题考查利用等体积法求距离,属于基础题.7.D解析:D 【分析】解:设G ,H ,I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点,证明平面1//A BGE 平面1B HI ,得到1//B F 面1A BE ,则F 落在线段HI 上,求出11222HI CD a == 【详解】解:设G ,H ,I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点,1//A B EG ,则1A BEG 四点共面,11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ,又1//B F 面1A BE ,F ∴落在线段HI 上, 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a , 1122HI CD a ∴==,即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a . 故选:D .【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度,找到动点的运动轨迹是解题的关键,属于基础题.8.B解析:B 【分析】根据三棱锥的体积求出S △ABC 33,在三角形ABC 中,根据余弦定理和正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r 的最小值,从而可求出外接球半径的最小值和外接球体积的最小值. 【详解】设AB =c ,BC =a ,AC =b 313×S △ABC ×2,解得S △ABC 33. 因为∠ABC =120°,S △ABC 3312ac sin 120°,所以ac =6, 由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos 120°=a 2+c 2+ac ≥2ac +ac =3ac =18,当且仅当a =c 时取等号,此时b min =2.设△ABC 外接圆的半径为r ,则sin120b=2r (b 最小,则外接圆半径最小),故3232=2r min ,所以r min =6.如图,设O 1为△ABC 外接圆的圆心,D 为PA 的中点,R 为球的半径,连接O 1A ,O 1O ,OA ,OD ,PO ,易得OO 1=1,R 2=r 2+OO =r 2+1,当r min =6时,2min R =6+1=7,R min =7,故球O 体积的最小值为43π3min R =437)3287. 故选:B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,考查了球的体积公式,考查了正弦定理,考查了余弦定理,属于中档题.9.B解析:B 【分析】求出三棱锥A BCD -的外接球半径R ,可知截面面积的最大值为2πR ,当球心O 到截面的距离最大时,截面面积最小,此时球心O 到截面的距离为OM ,截面圆的半径的最小值22R OM -,进而可求出截面面积的最小值. 【详解】三棱锥A BCD -是正四面体,棱长为2,将三棱锥A BCD -放置于正方体中, 可得正方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球. 因为三棱锥A BCD -的棱长为22, 可得外接球直径22226R =++=6R =, 故截面面积的最大值为2263πππ2R ==⎝⎭. 因为M 是BD 上的点,当球心O 到截面的距离最大时,截面面积最小, 此时球心O 到截面的距离为OM ,△OBD 为等腰三角形, 过点O 作BD 的垂线,垂足为H ,222662,122OD OH OD HD ⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 得222113244OM OH HM =+=+=, 则所得截面半径的最小值为22633444R OM -=-=, 所以截面面积的最小值为233ππ()44=. 故Ω的取值范围为3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选:B. 【点睛】外接球问题与截面问题是近年来的热点问题,平常学习中要多积累,本题考查学生的空间想象能力、推理能力及计算求解能力,属于中档题.10.C解析:C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ,当m 为α内与n 垂直的直线时,不满足m α⊥,A 错误; 对于B ,设l αβ=,则当m 为α内与l 平行的直线时,//m β,但m α⊂,B 错误; 对于C ,由m β⊥,n β⊥知://m n ,又n α⊥,m α∴⊥,C 正确;对于D ,设l αβ=,则当m 为β内与l 平行的直线时,//m α,D 错误.故选:C . 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.11.C解析:C 【分析】作出三棱锥P ABC -的图象,逐一判断各命题,即可求解. 【详解】作出三棱锥P ABC -的图象,如图所示:.对于①,根据题意可知,PD ⊥平面ABC ,且1DP DC ==,所以2PA PB PC ===①正确;对于②,在PAB △中,2PA PB ==02AB <<,所以2cos 222AB PAB PA ⎛∠== ⎝⎭, 即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭,②正确; 对于③,因为DP DA DB DC ===, 所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D , 半径为1,其体积为43π,③不正确; 对于④,当AB BC =时,BD AC ⊥,所以2BC =将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上, 则DE BE +的最小值为线段BD 的长,在展开后的DCB 中,6045105DCB ∠=+=, 根据余弦定理可得6221221cos1052BD =+-⨯⨯⨯=, ④正确. 故选:C . 【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征,三棱锥外接球的体积求法,以及通过展开图求线段和的最小值,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于中档题.12.C解析:C 【分析】取1BB 的中点F ,由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥,1OD OF ⊥,由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥,进而可得点P 的轨迹为线段CF ,找到1C P 的最大值即可得解.取1BB 的中点F ,连接OF 、1D F 、CF 、1C F ,连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ,如图:因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ,1BB ⊥平面1111D C B A ,11C D ⊥平面11BB C C ,所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=,所以22211OD OF D F +=,22211OD OC D C +=,所以1OD OC ⊥,1OD OF ⊥, 由OCOF O =可得1OD ⊥平面OCF ,所以1OD CF ⊥,所以点P 的轨迹为线段CF , 又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选:C. 【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用,考查了线面垂直的判定与性质,关键是找到点P 的轨迹,属于中档题.13.A解析:A 【分析】利用平面与平面垂直的判定定理,平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可.由α,β为两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂,知: 在A 中,l β⊥,则αβ⊥,满足平面与平面垂直的判定定理,所以A 正确; 在B 中,若l m ⊥,不能得到l β⊥,也不能得到m α⊥,所以得不到αβ⊥,故B 错误;在C 中,若αβ⊥,则l 与m 可能相交、平行或异面,故C 不正确;在D 中,若//αβ,则由面面平行的性质定理得l β//,不一定有//l m ,也可能异面,故D 错误.故选:A . 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.14.B解析:B 【分析】分别以①②③④作为结论,另外三个作条件,根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假. 【详解】若m n ⊥,αβ⊥,n β⊥,则m 与α可能平行可能相交,即①②③不能推出④; 同理①②④不能推出③;若m n ⊥,n β⊥,m α⊥,两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直,则αβ⊥,即①③④能够推出②;若αβ⊥,n β⊥,m α⊥,两个平面互相垂直,则这两个平面的垂线互相垂直,即m n ⊥,所以②③④能够推出①. 所以一共两个命题正确. 故选:B 【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析,根据选择的条件推出结论,关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.二、解答题15.(1)证明见解析(2)85【分析】(1)通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ;(2)由(1)知11//AD BC ,所以1EBC ∠(或其补角)为异面直线1AD 与BE 所成的角,根据余弦定理计算可得结果. 【详解】(1)连1BC ,1EC ,如图:因为//AB CD ,AB CD =,且11//CD C D ,11CD C D =, 所以11//AB C D ,11AB C D =,所以四边形11ABC D 为平行四边形,所以11//AD BC ,因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点,所以1//MN BC ,所以1//AD MN , 因为1AD ⊄平面EMN ,MN ⊄平面EMN , 所以1//AD 平面EMN .(2)由(1)知11//AD BC ,所以1EBC ∠(或其补角)为异面直线1AD 与BE 所成的角,依题意知12BB =,112EB =,111B C =, 所以22211117444BE BB EB =+=+=,2221111415BC BB B C =+=+=,222111115144EC EB B C =+=+=, 所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅17554417252+-⨯⨯88585=. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.16.(1)证明见解析;(2)43. 【分析】(1)由ABCD 为矩形,易得G 是AC 的中点,又BF ⊥平面ACE ,BC =BE ,则F 是EC 的中点,从而FG ∥AE ,再利用线面平行的判定定理证明.(2)根据AD ⊥平面ABE ,易得AE ⊥BC ,再由BF ⊥平面ACE ,得到AE ⊥BF ,进而得到AE ⊥平面BCE ,然后由C AEB A BCE V V --=求解. 【详解】 (1)如图所示:因为底面ABCD 为矩形,所以AC ,BD 的交点G 是AC 的中点,连接FG , ∵BF ⊥平面ACE ,则CE ⊥BF ,而BC =BE , ∴F 是EC 的中点, ∴FG ∥AE .又AE ⊄平面BFD ,FG ⊂平面BFD , ∴AE ∥平面BFD .(2)∵AD ⊥平面ABE ,AD ∥BC , ∴BC ⊥平面ABE ,则AE ⊥BC . 又BF ⊥平面ACE ,则AE ⊥BF , ∴AE ⊥平面BCE .∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△.【点睛】方法点睛:1、判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义,一般用反证法;(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α,b ⊂α,a ∥b ⇒a ∥α),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言的叙述;(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a ⊂α⇒a ∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a ⊄β,a ∥α⇒a ∥β). 17.(1)证明见解析;(2)312. 【分析】(1)在图甲中先证AB BD ⊥,在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥,由条件可得DC BC ⊥,进而可判定DC ⊥平面AB C ; (2)利用等体积法进行转化计算即可. 【详解】(1)图甲中,∵AB BD =且45A ︒∠=,45ADB ︒∴∠=,()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=,即AB BD ⊥,图乙中,∵平面ABD ⊥平面BDC ,且平面ABD 平面BDC BD =, ∴AB ⊥平面BDC ,又CD ⊂平面BDC ,∴AB CD ⊥, 又90DCB ︒∠=,∴DC BC ⊥,且AB BC B ⋂=, 又AB ,BC ⊂平面AB C ,∴DC ⊥平面AB C ; (2)因为点E ,F 分别是棱AC ,AD 的中点, 所以//EF DC ,且12EF DC =,所以EF ⊥平面ABC , 由(1)知,AB ⊥平面BDC ,又BC ⊂平面BDC ,所以AB BC ⊥,105ADC ︒∠=,45ADB ︒∠=,1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=,90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=,cos3022BC BD ︒∴=⋅=⨯=1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=,所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==,所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 【点睛】方法点睛:计算三棱锥体积时,常用等体积法进行转化,具体的方法为:①换顶点,换底面;②换顶点,不换底面;③不换顶点,换底面.18.(1)证明见解析;(2. 【分析】(1)在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ,然后可求得,DE AE ,从而可证明DE AE ⊥,由线面垂直判定定理证明线面垂直;(2)由(1)得面面垂直,知Q 在AE 上,PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角,cos 3AQ PAQ AP ∠==,设AQ x =(0x <≤-P QDE 的体积,由二次函数知识求得最大值,及此时x 的值,得Q 为AE 中点,从而有//FQ BE ,PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角(或补角),由余弦定理可得.【详解】(1)证明://AD BC ,BC CD ⊥,120ABC ∠=︒,4=AD ,3BC =,=2AB ,∴CD ===CD ,∴1CE =,CD =2BE =,由余弦定理得222cos120AE BE AB BE B =+-⋅︒22122222232⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭, 又2222(3)12DE CD CE =+=+=,∴222DE AE AD ,∴AD DE ⊥,∵AP DE ⊥,又AP AE A =,AP AE ⊂、平面APE ,∴DE ⊥平面APE .(2)由(1)DE ⊥平面APE .DE ⊂平面ABCD ,∴平面ABCD ⊥平面PAE ,∴Q 点在AE 上,PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角, 3cos AQ PAQ AP ∠==, 设AQ x =(023x <≤),则2PQ x =,23QE x =-, 12(23)232QDE S x x =⨯⨯-=-△, 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223x =--+≤,当且仅当3x =时等号成立,则当P QDE V -最大时,3AQ =,∴Q 为AE 中点,∵F 为AB 中点,∴//FQ BC ,∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角(或补角),1,3QB QE ==,则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==,又2BE =,则2227cos 214PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅, ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理,考查直线与平面所成的角,异面直线所成的角,三棱锥的体积等,旨在考查学生的空间想象能力,运算求解能力,逻辑推理能力.属于中档题.19.(1)证明见解析;(2)30.【分析】(1)AC 和BD 交于点O ,则O 为BD 的中点.推导出1//PO BD .由此能证明直线1//BD 平面PAC ;(2)由1//PO BD ,得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【详解】(1)证明:设AC 和BD 交于点O ,则O 为BD 的中点.连结PO ,又因为P 是1DD 的中点,所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ,1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.(2)解:由(1)知,1//PO BD ,所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥, 所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦,所以30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.【点睛】方法点睛:异面直线所成的角的求法方法一:(几何法)找→作(平移法、补形法)→证(定义)→指→求(解三角形) 方法二:(向量法)cos m nm n α=,其中α是异面直线,m n 所成的角,,m n 分别是直线,m n 的方向向量.20.(1)证明见解析;(2)PA =PC 与平面PBD 所成角最大,此时该角的正弦值为35. 【分析】 (1)根据已知条件,得到BD PA ⊥,再利用正切函数的性质,求得0030,BAC 60ABD ∠=∠=,得到BD AC ⊥,进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ;(2)建立空间坐标系,得到()BD =-,()0,2,DP t =-,()2PC t =-,进而得到平面PBD的一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭,进而可利用向量的公式求解 【详解】(1)∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ,∴BD PA ⊥,又tan tan AD BC ABD BAC AB AB∠==∠== ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=,∴090AEB ∠=,即BD AC ⊥(E 为AC 与BD 交点).又PA AC ,∴BD ⊥平面PAC ,又因为BD ⊂平面PBD ,所以,平面PAC ⊥平面PBD(2)如图,以AB 为x 轴,以AD 为y轴,以AP 为z 轴,建立空间坐标系,如图, 设AP t =,则()()()(),,0,2,0,0,0,B C D P t ,则()BD =-,()0,2,t DP =-,()23,6,PC t =-,设平面PBD 法向量为(),,n x y z =, 则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2020y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,取1x =,得平面PBD 的一个法向量为1,3,n t ⎛= ⎪ ⎪⎝⎭,所以cos ,48PC n PC n PC n⋅==因为22144515175t t +++=≥,当且仅当t = 所以5c 3353os ,PC n ≤=,记直线PC 与平面PBD 所成角为θ,则sin cos ,PC n θ=,故3sin 5θ≤,即23t =时,直线PC 与平面PBD 所成角最大,此时该角的正弦值为35. 【点睛】关键点睛:解题关键在于利用定义和正切函数的性质,得到BD ⊥平面PAC ,进而证明平面PAC ⊥平面PBD ;以及建立空间直角坐标系,求出法向量,进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值,难度属于中档题21.(1)证明见解析;(2)62;(3)E 为CC 1的中点时,EA ⊥EB 1. 【分析】(1)证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ;(2)求出ABC S ,求出13C B =,然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积;(3)在棱CC 1(不包含端点C ,C 1)上取一点E ,连接BE ,证明1EB ⊥平面ABE ,得到EA ⊥EB 1.【详解】(1)∵BC =1,CC 1=BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=60°,AB ⊥侧面BB 1C 1C∴AB ⊥BC 1在△BCC 1中,由余弦定理得BC =3,则BC 2+BC 2=CC 2,∴BC ⊥BC 1又∵BC ∩AB =B ,且AB ,BC ⊂平面ABC, ∴C 1B ⊥平面ABC .(2)由已知可得S △ABC =12AB ·BC =12×2×1=22由(1)知C 1B ⊥平面ABC ,C 1B =3,所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =2×3=62. (3)在棱CC 1(不包含端点C ,C 1)上取一点E ,连接BE .∵EA ⊥1EB ,AB ⊥1EB ,AB ∩AE=A ,AB ,AE ⊂平面ABE ,∴1EB ⊥平面ABE .又∵BE ⊂平面ABE ,∴BE ⊥1EB .不妨设CE =x (0<x <2),则C 1E =2x -,在△BCE 中,由余弦定理得BE =221x x +-在△B 1C 1E 中,∠B 1C 1E =120°,由余弦定理得B 1E 2=257x x -+在Rt △BEB 1中,由B 1E 2+BE 2=B 1B 2,得()()222225714x x x x -+++-=, 解得x =1或x =2(舍去).故E 为CC 1的中点时,EA ⊥EB 1.【点睛】关键点点睛:在确定动点位置时,设CE =x (0<x <2),则C 1E =2x -,根据条件,建立关于x 的方程,求解确定动点位置,属于常用方法.22.(1)答案见解析;(2)11. 【分析】(1)选择①,结合直二面角的定义,证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ;(2)设AC 与BD 交于点M ,4AB =,60DAB ∠=︒,则AC =CO x =,可得EB 关于x 的函数,求出EB 取得最小值时x 的值,连结EM ,作QF EM ⊥于F ,连结BF ,求出sin QBF ∠的值,即可得答案;【详解】解:(1)命题P :若AB AD =,则BD ⊥平面EOA .∵AC GH ⊥,∴AO GH ⊥,EO GH ⊥,又二面角E GH B --的大小为90°,∴90AOE ∠=︒,即EO AO ⊥,∴EO ⊥平面ABCD ,∴EO BD ⊥,又AB BC =,∴AO BD ⊥, AO EO O =,∴BD ⊥平面EOA .(2)设AC 与BD 交于点M ,4AB =,60DAB ∠=︒,则AC =设CO x =,OM x =,222216OB OM MB x =+=-+,2222216EB EO OB x =+=-+,当x =min EB =连结EM ,作QF EM ⊥于F ,连结BF ,由(1)知BD ⊥平面EOA ,∴BD QF ⊥,∴QF ⊥平面EBD ,∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角,在Rt EMB 中,10EB =,2BM =,6EM =,30AE =, 由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=, 62QF =, ∴33sin 11QF QBF QB ∠==,即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角,然后利用三角函数的知识,求出角的三角函数值即可.23.(1)证明见解析;(2)2. 【详解】(1)取PD 的中点G ,连接NG ,AG ,如图所示:因为G ,N 分别为PD ,PC 的中点,所以//GN CD ,1=2GN CD . 又因为M 为AB 的中点,所以//AM CD ,1=2AM CD . 所以//AM GN ,=AM GN ,四边形AMNG 为平行四边形,所以//AG MN .又因为22213PM PA AM =+=+=22123MC MB BC =+=+= 所以PM MC =,则MN PC ⊥.又因为AD PA =,G 为PD 中点,所以AG PD ⊥.又因为//AG MN ,所以MN PD ⊥.所以MN PD MN PCMN PC PD P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面PCD . 又MN ⊂平面MPC ,所以平面MPC ⊥平面PCD .(2)设点B 到平面MNC 的距离为h ,因为B MNC N MBC V V --=,所以111332MNC MBC S h S PA ⋅=⋅△△.因为12MBC S BC MB =⋅⋅=△,112MN AG PD ====,NC ===所以122MNC S MN NC =⋅⋅=△所以1132322h ⨯⨯=⨯2h =. 【点睛】 关键点点睛:本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高,属于中档题,其中等体积转化B MNC N MBC V V --=为解决本题的关键.24.(1)证明见解析;(2.【分析】(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,易证1,C O BD CO BD ⊥⊥,由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ,然后再利用面面垂直的判定定理证明.(2)由(1)知BD ⊥平面1C OC ,且平面1C BD ⋂平面CBD BD =,得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ,然后在1Rt C OC ∆中求解.【详解】(1)∵在正方体1111ABCD A B C D -中, 点O 是BD 中点 ,又11BC DC = , BC DC = ,∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC ,BD ∴⊥平面1C OC ,又∵BD ⊂平面11BDD B ,∴平面11BDD B ⊥平面1C OC .…(2)由(1)知:平面1C BD ⋂平面CBD BD =,11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角则在正方体1111ABCD A B C D -中121,2C C OC ==∴在1Rt C OC ∆中,11tan 2C C C OC OC∠== 故二面角1C BD C --的正切值为2 .【点睛】本题主要考查线面垂直,面面垂直的判定定理以及二面角的求法,还考查了逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题. 25.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)连接A 1C 交AC 1于O ,连接OD ,利用线面平行的性质定理和中位线的定义,即可证明D 为BC 的中点;(2)由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理,证明AD ⊥C 1D 即可.【详解】证明:(1) 联结1A C 交1AC 于O ,联结OD .∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面, ∴四边形11ACC A 是平行四边形.∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点, ∴O 为1A C 的中点.∵1A B 平面1AC D ,平面1A BC ⋂平面1AC D OD =,1A B ⊂平面1A BC ,∴1A B OD∴OD 为1A BC ∆的中位线, ∴D 为BC 的中点.(2)∵AB AC =,D 为BC 的中点,∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面11BCC B ,AD ⊂平面ABC ,平面ABC平面11BCC B BC =,∴AD ⊥平面11BCC B .∵1C D ⊂平面11BCC B ,∴AD ⊥ 1C D ,∴1AC D ∆为直角三角形.【点睛】本题考查线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理的应用.26.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)若要证BF //平面PAD ,只要BF 所在面和平面PAD 平行即可;(2)若要证平面BEF ⊥平面PCD ,只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】(1)∵AB CD ∥,2CD AB =,E 是CD 的中点, ∴AB DE ,即ABED 是平行四边形.∴BE AD .∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD , ∴BE 平面PAD ,又EF PD ,EF ⊄平面PAD ,PD ⊂平面PAD , ∴EF 平面PAD ,EF ,BE ⊂平面BEF ,且EFBE E =,∴平面BEF 平面PAD . ∵BF ⊂平面BEF ,∴BF ∥平面PAD .(2)由题意,平面PAD ⊥平面ABCD ,且两平面交线为AD ,CD ⊂平面ABCD ,CD AD ⊥,∴CD ⊥平面PAD .∴CD PD ⊥.∴CD EF ⊥.又CD BE ⊥,BE ,EF ⊂平面BEF ,且EE EF E ⋂=,∴CD ⊥平面BEF .∵CD ⊂平面PCD ,∴平面BEF ⊥平面PCD .【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明,解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理,往往使用逆推法进行证明,需要较强的空间感和空间预判,属于较难题.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(含答案解析)

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(含答案解析)

一、选择题1.设m ,n 是两条异面直线,下列命题中正确的是( )A .过m 且与n 平行的平面有且只有一个B .过m 且与n 垂直的平面有且只有一个C .m 与n 所成的角的范围是()0,πD .过空间一点P 与m 、n 均平行的平面有且只有一个2.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面ABC ,9021ABC SA AC AB ︒∠====,,,则该四面体的外接球的表面积为( )A .23πB .43πC .4πD .5π3.球面上有,,,A B C D 四个点,若,,AB AC AD 两两垂直,且4AB AC AD ===,则该球的表面积为( )A .803πB .32πC .42πD .48π 4.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD ∆沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A ',并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题: ①A D BC '⊥;②三棱锥A BCD '-的体积为22; ③CD ⊥平面A BD ';④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是( )A .①②B .③④C .①③D .②④ 5.如图所示,AB 是⊙O 的直径,VA 垂直于⊙O 所在的平面,点C 是圆周上不同于A ,B 的任意一点,M ,N 分别为VA ,VC 的中点,则下列结论正确的是( )A .MN //AB B .MN 与BC 所成的角为45°C .OC ⊥平面VACD .平面VAC ⊥平面VBC 6.已知m ,n 是不重合的直线,α,β是不重合的平面,则下列说法中正确的是( ) A .若m ⊂α,n ⊂α,则//m nB .若//m α,//m β,则//αβC .若n αβ=,//m n ,则//m α且//m βD .若m α⊥,m β⊥,则//αβ7.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,13,2,4AA AB AD ===,点M 是棱AD 的中点,点N 在棱1AA 上,且满足12AN NA =,P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点(含边界),若1//C P 平面CMN ,则线段1C P 长度的取值范围是( )A .[3,17]B .[2,3]C .[6,22]D .[17,5] 8.已知平面α与平面β相交,直线m ⊥α,则( )A .β内必存在直线与m 平行,且存在直线与m 垂直B .β内不一定存在直线与m 平行,不一定存在直线与m 垂直C .β内必存在直线与m 平行,不一定存在直线与m 垂直D .β内不一定存在直线与m 平行,但必存在直线与m 垂直9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的侧面积(单位:2cm )是( )A .10B .105+C .1625+D .135+10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,若,,,EFGH 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点,则必有( )A .1//BD GHB .//BD EFC .平面//EFGH 平面ABCDD .平面//EFGH 平面11A BCD11.已知三棱锥A BCD -中,侧面ABC ⊥底面BCD ,ABC 是边长为3的正三角形,BCD 是直角三角形,且90BCD ∠=︒,2CD =,则此三棱锥外接球的体积等于( )A .43πB .323πC .12πD .643π 12.在长方体1111ABCD A B C D -中,P 为BD 上任意一点,则一定有( ) A .1PC 与1AA 异面B .1PC 与1A C 垂直 C .1PC 与平面11ABD 相交 D .1PC 与平面11AB D 平行13.如图是正方体的展开图,则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线; ②BM 与AN 平行; ③AF 与BM 成60角; ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中,正确命题的序号是( )A .①②③B .②④C .③④D .②③④ 14.已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行截面间的距离是( )A .1B .2C .1或7D .2或6二、解答题15.如图,圆柱的轴截面ABCD 是正方形,点E 是底面圆周上异于,A B 的一点,AF DE ⊥,F 是垂足.(1)证明:AF DB ⊥;(2)若2AB =,当三棱锥D ABE -体积最大时,求点C 到平面BDE 的距离. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形, PA ⊥底面ABCD ,2AB AP ==,E 为棱PD 的中点.(Ⅰ)求证CD AE ⊥;(Ⅱ)求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值;(Ⅲ)求点A 到平面PBD 的距离.17.如图,已知多面体111ABCA B C ,1A A ,1B B ,1C C 均垂直于平面ABC ,120ABC ∠=︒,14A A =,11C C =,12AB BC B B ===.(1)证明:1AB ⊥平面111A B C ;(2)求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值.18.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,点P 为棱1DD 的中点.(1)证明:1//BD 平面PAC ;(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.19.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PCD 为等边三角形,平面PAC ⊥平面PCD ,,3,5PA CD CD AD ⊥==.(1)设G ,H 分别为PB ,AC 的中点,求证://GH 平面PAD ;(2)求证:PA ⊥平面PCD ;(3)求三棱锥-D PAC 的体积.20.如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点,1A C 与1AC 交于点F ,AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒,12AA AC BC ===.(1)求证://EF 平面11BB C C ;(2)求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.21.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 是CC 1上的中点,且BC =1,BB 1=2.(1)证明:B 1E ⊥平面ABE ;(2)若三棱锥A -BEA 1的体积是33,求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 22.如图,在四棱锥P ABCD -中,ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,连接AC ,BD 交于点O ,6AC =,8BD =,E 是棱PC 上的动点,连接DE .(1)求证:平面BDE ⊥平面PAC ;(2)当BED 面积的最小值是6时,求此时点E 到底面ABCD 的距离.23.如图,在三棱锥D -ABC 中,已知△BCD 是正三角形,AB ⊥平面BCD ,AB =BC =a ,E 为BC 中点,F 在棱AC 上,且AF =3FC .(1)求三棱锥D -ABC 的体积;(2)求证:AC ⊥平面DEF ;(3)若M 为DB 中点,N 在棱AC 上,且3,8CN CA =求证:MN //平面DEF . 24.如图,在平行四边形ABCD 中,4AB =,60DAB ∠=︒.点G ,H 分别在边CD ,CB 上,点G 与点C ,D 不重合,GH AC ⊥,GH 与AC 相交于点O ,沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置,使二面角E GH B --为90°,F 是AE 的中点.(1)请在下面两个条件:①AB AD =,②AB BD ⊥中选择一个填在横线处,使命题P :若________,则BD ⊥平面EOA 成立,并证明.(2)在(1)的前提下,当EB 取最小值时,求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值. 25.如图,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//MA PB ,且2PB AB ==.(1)求证://DM 平面PBC ;(2)求点C 到平面 APD 的距离. 26.如图所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点,过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证:(1)//PA 平面EDB ;(2)PB ⊥平面EFD .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】在A 中,过m 上一点作n 的平行线,只能作一条l ,l 与m 是相交关系,故确定一平面与n 平行;在B 中,只有当m 与n 垂直时才能;在C 中,两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭; 在D 中,当点P 与m ,n 中一条确定的平面与另一条直线平行时,满足条件的平面就不存在.【详解】在A 中,过m 上一点P 作n 的平行直线l ,m l P ⋂=,由公理三的推论可得m 与l 确定唯一的平面α,l ⊂α,n ⊄α,故//n α.故A 正确.在B 中,设过m 的平面为β,若n ⊥β,则n ⊥m ,故若m 与n 不垂直,则不存在过m 的平面β与n 垂直,故B 不正确. 在C 中,根据异面直线所成角的定义可知,两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,故C 不正确.在D 中,当点P 与m ,n 中一条确定的平面与另一条直线平行时,满足条件的平面就不存在,故D 不正确.故选:A .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,属于中档题.2.C解析:C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心,得出外接球半径,然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以SA ⊥BC ,又90ABC ∠=,SA AB A ⋂=,且AB平面SAB ,SA ⊂平面SAB , 所以BC ⊥平面ABC ,所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,,所以2SC =,3SB =,1BC =,根据该几何体的特点可知,该四面体的外接球球心位于SC 的中点,则外接球半径112R SC ==, 故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选:C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题,难度一般,根据几何条件确定出球心是关键.3.D解析:D【分析】分析:首先求得外接球半径,然后求解其表面积即可.详解:由题意可知,该球是一个棱长为4的正方体的外接球,设球的半径为R ,由题意可得:()22222444R =++,据此可得:212R =,外接球的表面积为:2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.4.B解析:B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系,可证出BD DC ⊥,然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ,可得CD ⊥平面A BD ',从而可判断①③;三棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=,可判断②;因为CD ⊥平面A BD ',从而证明CD A B '⊥,再证明'A B ⊥平面A DC ',然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==,45ADB ABD ︒∴∠=∠=,//,45AD BC BCD ︒∠=,BD DC ∴⊥,平面A BD ' ⊥平面BCD ,且平面A BD '平面BCD BD =, CD 平面A BD ',A D '⊂平面A BD ',CD A D '∴⊥,若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ,则A D '⊥BD ,显然不成立, 故A D BC '⊥不成立,故①错误;②棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=,故②错误; ③由①知CD ⊥平面A BD ',故③正确;④由①知CD ⊥平面A BD ',又A B '⊂平面A BD ',CD A B '∴⊥, 又A B A D ''⊥,且'A D 、CD ⊂平面A DC ',A D CD D '=,A B '∴⊥平面A DC ',又A B '⊂平面'A BC ,∴平面'A BC ⊥平面A DC ',故④正确.故选:B .【点睛】本题通过折叠性问题,考查了面面垂直的性质,面面垂直的判定,考查了体积的计算,关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化,也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.5.D解析:D【分析】由中位线性质,平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行,根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°,应用反证知OC 不与平面VAC 垂直,由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ,即可知正确选项.【详解】M ,N 分别为VA ,VC 的中点,在△VAC 中有//MN AC ,在面ABC 中AB AC A =,MN 不与AB 平行;AC BC C =,知:MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒;因为OC ⋂面VAC C =,OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直,OC 不与平面VAC 垂直; 由VA ⊥面ABC ,BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥,而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥,AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ,又BC ⊂面VBC ,所以面VAC ⊥面VBC ;故选:D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角,以及线面垂直的性质,面面垂直判定的应用,属于基础题.6.D解析:D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.【详解】对于A ,若m ⊂α,n ⊂α,则//m n 或m 与n 相交,故A 错误;对于B ,若//m α,//m β,则//αβ或α与β相交,故B 错误;对于C ,若n αβ=,//m n ,则//m α且//m β错误,m 有可能在α或β内; 对于D ,若m α⊥,m β⊥,则//αβ,故D 正确,故选:D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用,考查空间想象能力与思维能力,属于中档题.7.C解析:C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面,然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段,进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围.【详解】如图所示:,取11A D 的中点G ,取MD 的中点E ,1A G 的中点F ,1D D 的三等分点H 靠近D ,并连接起来.由题意可知1//C G CM ,//GH MN ,所以平面1//C GH 平面CMN .即当点P 在线段GH 上时,1//C P 平面CMN .在1H C G 中,2212222C G =+=,2212222C H =+=,22GH =, 所以1H C G 为等边三角形,取GH 的中点O ,122sin606C O ==,故线段1C P 长度的取值范围是[6,22].故选:C .【点睛】本题主要考查线面平行,面面平行的判定定理和性质定理的应用,以及解三角形,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于中档题.8.D解析:D【分析】可在正方体中选择两个相交平面,再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线,通过变化直线的位置可得正确的选项.【详解】如图,平面ABCD 平面11D C BA AB =,1BB ⊥平面ABCD ,但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行,故A 错.又设平面α平面l β=,则l α⊂,因m α⊥,故m l ⊥,故B 、C 错,综上,选D .【点睛】本题考察线、面的位置关系,此种类型问题是易错题,可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例.9.B解析:B【分析】由三视图可知,该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -,由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知,该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -,如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯=+故选:B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积,属于中档题.10.D解析:D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性,根据平行直线的性质判断C 选项的正确性,根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知:1//GH D C ,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以1,BD GH 不可能互相平行,故A 选项是错误的;选项B: 由中位线定理可知:1//EF A B ,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以,BD EF 不可能互相平行,故B 选项是错误的;选项C: 由中位线定理可知:1//EF A B ,而直线1A B 与平面ABCD 相交,故直线EF 与平面ABCD 也相交,故平面EFGH 与平面ABCD 相交,故C 选项是错误的;选项D:由三角形中位线定理可知:111//,//EF A B EH A D ,EF ⊄平面11A BCD ,1A B ⊂平面11A BCD ,EH ⊄平面11A BCD ,11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ,//EH 平面11A BCD ,而EF EH E =,因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选:D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理,考查线线平行的性质,属于中档题.11.B解析:B【分析】把三棱锥放入长方体中,根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径,再计算三棱锥外接球的体积.【详解】三棱锥A BCD -中,侧面ABC ⊥底面BCD ,把该三棱锥放入长方体中,如图所示;且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ,则2233333AG AM ===112OG CD ==, 所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=, 所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===.故选:B .【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题,也考查了数形结合与转化思想,是中档题. 12.D解析:D【分析】取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误;证明平面1//BC D 平面11AB D ,可判断D 选项的正误.【详解】如下图所示:对于A 选项,当点P 为BD 的中点时,1PC ⊂平面11AAC C ,则直线1PC 与1AA 相交,A 选项错误;对于B 选项,当点P 为BD 的中点时,1AC P ∠为锐角,1PC 与1A C 不垂直,B 选项错误;对于C 选项,当点P 为BD 的中点时,连接11A C 、11B D 交于点O ,则O 为11A C 的中点, 在长方体1111ABCD A B C D -中,11//AA CC 且11AA CC =,则四边形11AAC C 为平行四边形,11//AC AC ∴且11AC A C =, O 、P 分别为11A C 、AC 的中点,则1//AP OC 且1AP OC =,∴四边形1OAPC 为平行四边形,1//PC AO ∴,AO ⊂平面11AB D ,1PC ⊄平面11AB D ,1//PC ∴平面11AB D ,C 选项错误;对于D 选项,在长方体1111ABCD A B C D -中,11//BB DD 且11BB DD =,则四边形11BB D D 为平行四边形,11//BD B D ∴,BD ∴⊄平面11AB D ,11B D ⊂平面11AB D ,//BD ∴平面11AB D ,同理可证1//BC 平面11AB D ,1BD BC B ⋂=,∴平面1//BC D 平面11AB D ,1PC ⊂平面1BC D ,1//PC ∴平面11AB D .D 选项正确.故选:D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断,考查推理能力,属于中等题. 13.A解析:A【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ,对选项逐一判断,即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ,如图所示可得:AF 与CN 是异面直线,故①正确;连接AN ,则BM 与AN 平行,故②正确;//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角,NAF 为等边三角形,60NAF ∴∠=,故③正确; BN 与DE 是异面直线,故④错误.故选:A .【点睛】本题考查空间两直线的位置关系,属于基础题.14.C解析:C【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论,即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r ,则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==.∴球心到两个截面的距离分别为222212534,543d d =-==-=.当两个平行截面在球心的同侧时,两平行截面间的距离为12431d d -=-=;当两个平行截面在球心的两侧时,两平行截面间的距离为12437d d +=+=.故选:C .【点睛】本题考查球的截面间的距离,属于基础题.二、解答题15.(1)详见解析;(2【分析】(1)要证明线线垂直,需证明线面垂直,根据题中所给的垂直关系,证明AF ⊥平面DEB ;(2)首先确定点E 的位置,再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】(1)由圆柱性质可知,DA ⊥平面ABE ,EB ⊂平面AEB ,DA EB ∴⊥, AB 是圆柱底面的直径,点E 在圆周上,AE EB ∴⊥,又AE DA A ⋂=,BE ∴⊥平面DAE ,AF ⊂平面DAE ,EB AF ∴⊥,又AF DE ⊥,且EB DE E =,AF ∴⊥平面DEB ,DB ⊂平面DEB ,AF DB ∴⊥;(2)13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯,3DA =, 当D AEB V -最大时,即AEB S 最大,即AEB △是等腰直角三角形时,2DA AB ==∵,BE ∴=DE ==,并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ,则11112213232C DBE E CBD V V h --==⨯=⨯⨯⨯⨯,解得:h =【点睛】方法点睛:本题重点考查垂直关系,不管证明面面垂直还是证明线面垂直,关键都需转化为证明线线垂直,一般证明线线垂直的方法包含1.矩形,直角三角形等,2.等腰三角形,底边中线,高重合,3.菱形对角线互相垂直,4.线面垂直,线线垂直.16.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ;(Ⅲ【分析】(Ⅰ)根据PA ⊥底面ABCD ,PA ⊥CD ,再由底面ABCD 为正方形,利用线面垂直的判定定理证得CD PAD ⊥面即可.(Ⅱ)以点A 为原点建立空间直角坐标系,不妨设2AB AP ==,求得向量AE 的坐标,和平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =, 由cos ,AEn AE n AE n ⋅=⋅求解.(Ⅲ)利用空间向量法,由AE n d n ⋅=求解.【详解】 (Ⅰ)证明:因为PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD ,因为AD CD ⊥,PA AD A ⋂=所以CD PAD ⊥面.因为AE PAD ⊂面,所以CD AE ⊥.(Ⅱ)依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),不妨设2AB AP ==,可得()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P ,由E 为棱PD 的中点,得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =,向量(2,2,0)BD =-,(2,0,2)PB =-.设平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =,则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩, 令y=1,可得n =(1,1,1),所以 6cos ,3AE nAE n AE n ⋅==⋅. 所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. (Ⅲ)由(Ⅱ)知:(0,1,1)AE =,平面PBD 的一个法向量n =(1,1,1), 所以点A 到平面PBD 的距离 33AE n d n ⋅===. 【点睛】方法点睛:利用向量求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.17.(1)证明见解析;(2. 【分析】(1)由已知条件可得2221111A B AB AA +=,2221111AB B C AC +=,则111AB A B ⊥,111AB B C ⊥,再利用线面垂直的判定定理可证得结论;(2)如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连接AD ,可证得1C D ⊥平面1ABB ,从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角,然后在1Rt C AD 求解即可【详解】(1)证明: 由2AB =,14AA =,12BB =,1AA AB ⊥,1BB AB ⊥得111AB A B ==,所以2221111A B AB AA +=,由111AB A B ⊥.由2BC =,12BB =,11CC =,1BB BC ⊥,1CC BC ⊥得11B C =, 由2AB BC ==,120ABC ∠=︒得AC =由1CC AC ⊥,得1AC =,所以2221111AB B C AC +=,故111AB B C ⊥,又11111A B B C B =,因此1AB ⊥平面111A B C .(2)解 如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连接AD .由1AB ⊥平面111A B C ,1AB ⊂平面1ABB ,得平面111A B C ⊥平面1ABB ,由111C D A B ⊥,得1C D ⊥平面1ABB ,所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角. 由115B C =,1122AB =,1121AC =得1116cos 7C A B ∠=,111sin 7C A B ∠=, 所以13CD =,故11139sin C D C AC AD ∠==. 因此,直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3913.【点睛】关键点点睛:此题考查线面垂直的判定和线面角的求法,解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连接AD ,然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角,从而在三角形中求解即可,考查推理能力和计算能力,属于中档题 18.(1)证明见解析;(2)30.【分析】(1)AC 和BD 交于点O ,则O 为BD 的中点.推导出1//PO BD .由此能证明直线1//BD 平面PAC ;(2)由1//PO BD ,得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【详解】(1)证明:设AC 和BD 交于点O ,则O 为BD 的中点.连结PO ,又因为P 是1DD 的中点,所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ,1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.(2)解:由(1)知,1//PO BD ,所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥, 所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦,所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30. 【点睛】方法点睛:异面直线所成的角的求法方法一:(几何法)找→作(平移法、补形法)→证(定义)→指→求(解三角形) 方法二:(向量法)cos m n m nα=,其中α是异面直线,m n 所成的角,,m n 分别是直线,m n 的方向向量.19.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)33【分析】(1)通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .(2)取PC 的中点M ,连接DM ,根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ,由此证得DM PA ⊥,结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD . (3)利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积. 【详解】(1)连BD ,则H 为BD 中点,因为G 为BP 中点,故GH //PD , 由于GH ⊂/平面PAD ,PD ⊂平面PAD ,所以GH //平面PAD .(2)取PC 中点M ,连DM ,则DM PC ⊥,因为PCD ⊥平面PAD ,则DM ⊥平面PAC ,所以DM PA ⊥, 又PA CD ⊥,DMCD D =,所以PA ⊥平面PCD .(3)因为PA ⊥平面PCD ,所以PA PD ⊥,所以224PA AD PD =-=,21343333D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.【点睛】要证明线面平行,则先证线线平行.要证明线面垂直,可通过面面、线线垂直相互转化来证明.20.(1)证明见解析;(2)217. 【分析】(1)由题意可得11//OE B C ,1//OF C C ,利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ,由面面平行的性质定理即可证明.(2)利用等体法111112A A B C C AA B V V --=,求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =,由11sin dA C θ=即可求解. 【详解】证明:(1)∵O ,E 分别是11A C 、11A B 的中点,1A C 与1AC 交于点F , ∴11//OE B C ,1//OF C C ,1111B C C C C ⋂=,//OE ∴平面11B C C ,//OF ∴平面11B C C ,又OE OF O ⋂=,∴平面//OEF 平面11BB C C ,∵EF ⊂平面OEF ,∴//EF 平面11BB C C . (2)解:设点1C 到平面11AA B 的距离为d , ∵111112A A B C C AA B V V --=, ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯,22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=,∵11AA B 中,11122A B AB ==,12AA =,∴117AA B S =∴1112237323d ⨯⨯⨯=, 解得217d =, 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ,∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为:1121sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛:证明线面平行的常用方法: (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理. (3)利用面面平行的性质. 21.(1)证明见解析;(2)30. 【分析】(1)由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥,由勾股定理可得1BE B E ⊥,即可证明;(2)由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角,由等体积法可求得AB 长度,即可求出角的大小. 【详解】 (1)AB ⊥侧面BB 1C 1C ,1B E ⊂侧面BB 1C 1C ,1AB B E ∴⊥,BC =1,BB 1=2,E 是CC 1上的中点,1BE B E ∴=22211BE B E BB +=,1BE B E ∴⊥,AB BE B ⋂=,∴B 1E ⊥平面ABE ;(2)11//A B AB ,111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角,且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离,由(1)B 1E ⊥平面ABE ,故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离, 由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ,则111111332A BEA A ABE ABE V V S B E AB --==⋅=⨯⨯=,解得AB =则11A B AB == 在111Rt A B C △中,1111111tan 3B C C A B A B ∠===,11130A C B ∴∠=, 即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角. 22.(1)证明见解析;(2)4. 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ,再由面面垂直的判定定理可得证.(2)由(1)知BD ⊥平面PAC ,根据三角形的面积公式求得()min 32OE =,作//EH PA 交AC 于H ,可得EH ⊥平面ABCD ,从而求得点E 到底面ABCD 的距离.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC BD ⊥.PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴PA BD ⊥.又PA AC A =,∴BD ⊥平面PAC ,又BD ⊂平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面PAC .(2)解:如图(1),连接OE ,由(1)知BD ⊥平面PAC ,OE ⊂平面PAC .BD OE ∴⊥.∵8BD =,由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△,得()min 32OE =,∵当OE PC ⊥时,OE 取到最小值32,此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. 作//EH PA 交AC 于H ,∵PA ⊥平面ABCD ,∴EH ⊥平面ABCD , 如图(2),由33OE CE EH OC ⋅==,得点E 到底面ABCD 的距离33.【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理,以及求点到面的距离,关键在于逐一满足判定定理所需的条件,在求点到面的距离时,可以采用几何法,由题目的条件直接过已知点作出面的垂线,运用求解三角形的知识,求点到面的距离,属于中档题. 23.(133a ;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【分析】(1)根据三棱锥的体积公式计算;(2)证明AC 与EF 和DF 垂直,然后可得线面垂直;(3)连接CM 交DE 于点H ,证明//MN FH 即可得线面平行. 【详解】(1)由题意234BCD S a =△,231133·33D ABC A DBC DBCV V SAB a --===⨯=; (2)由AB ⊥平面BCD ,得,AB BC AB BD ⊥⊥,AB BC a ==,则2AC AD a ==,如图,在ADC 中,取CD 中点G ,连接AG ,则AG DC ⊥,∵3AF FC =,∴24CF a=,又12CG a =, ∴CF CDCG CA =,C ∠公用,∴CDF ∽CAG ,∴90CFD CGA ∠=∠=︒,即AC DF ⊥,取AC 中点K ,连接BK ,则BK AC ⊥, 又由3AF FC =得12CF CK =,而12CE CB =,∴//EF BK ,∴EF AC ⊥,EF DF F =,∴AC ⊥平面DEF ;(3)连接CM 交DE 于点H ,∵,M E 分别是,BD BC 中点,∴H 是DBC △的重心,23CH CM =, 又38CN AC =,14CF AC =,∴23CF CN =,即CF CH CN CM =, ∴//HF MN ,HF ⊂平面DEF ,MN ⊄平面DEF ,∴//MN 平面DEF .【点睛】关键点点睛:本题考查求棱锥的体积,考查证明线在垂直与线面平行,掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键.证明时定理的条件缺一不可,一般都需一一证明列举出来,才能得出相应的结论. 24.(1)答案见解析;(2)3311. 【分析】(1)选择①,结合直二面角的定义,证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ; (2)设AC 与BD 交于点M ,4AB =,60DAB ∠=︒,则43AC =CO x =,可得EB 关于x 的函数,求出EB 取得最小值时x 的值,连结EM ,作QF EM ⊥于F ,连结BF ,求出sin QBF ∠的值,即可得答案; 【详解】解:(1)命题P :若AB AD =,则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥,∴AO GH ⊥,EO GH ⊥, 又二面角E GH B --的大小为90°, ∴90AOE ∠=︒,即EO AO ⊥, ∴EO ⊥平面ABCD , ∴EO BD ⊥,又AB BC =,∴AO BD ⊥,AO EO O =,∴BD ⊥平面EOA .(2)设AC 与BD 交于点M ,4AB =,60DAB ∠=︒,则43AC =, 设CO x =,23OM x =-,22224316OB OM MB x x =+=-+,222224316EB EO OB x x =+=-+,当3x =,min 10EB =,连结EM ,作QF EM ⊥于F ,连结BF , 由(1)知BD ⊥平面EOA , ∴BD QF ⊥,∴QF ⊥平面EBD , ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角, 在Rt EMB 中,10EB =,2BM =,6EM =,30AE =,由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=, 6QF =, ∴33sin 11QF QBF QB ∠==,即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角,然后利用三角函数的知识,求出角的三角函数值即可.25.(1)证明见解析;(22. 【分析】(Ⅰ)利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ,再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ;(2)先证明AD ⊥平面ABPM ,设点C 到平面APD 的距离为d ,利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△,通过计算即可得d .【详解】(Ⅰ)因为四边形ABCD 是正方形,所以//BC AD , 又BC ⊂平面PBC ,AD ⊄平面PBC ,//AD 平面PBC , 因为//MA PB ,同理可证//MA 平面PBC ,,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ,所以平面//AMD 平面PBC ,又因为DM ⊂平面AMD ,所以//DM 平面PBC ; (2)因为AM ⊥平面ABCD ,∴AM ⊥AD ,PB ⊥平面ABCD ,又∵AD ⊥AB ,AM AB A =,∴AD ⊥平面ABPM , ∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=; ∴d =即点C 到平面APD 【点睛】方法点睛:证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 26.(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)连结AC 、BD ,交于点O ,连结OE ,通过//OE PA 即可证明;(2)通过PD BC ⊥, CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ,即得DE BC ⊥,进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥,结合EF PB ⊥即证.【详解】证明:(1)连结AC 、BD ,交于点O ,连结OE ,底面ABCD 是正方形,∴O 是AC 中点, 点E 是PC 的中点,//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB , PA ⊄平面EDB ,∴//PA 平面EDB . (2)PD DC =,点E 是PC 的中点,DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD , ∴PD BC ⊥, CD BC ⊥,且 PD DC D ⋂=, ∴BC ⊥平面PDC ,∴DE BC ⊥, 又PC BC C ⋂=,∴DE ⊥平面PBC , ∴DE PB ⊥,EF PB ⊥,EF DE E ⋂=, PB ∴⊥平面EFD . 【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明,属于基础题.。

高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案

高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案

高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图所示,己知正方形O A B C ''''的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中,P ,Q ,R 分别是AB ,AD ,11B C 的中点,那么正方体中过P ,Q ,R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2,其正视图如图所示,圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ,B ,D ,F ,C 在正视图中分别对应点A ,B ,E ,F ,C ,且3AE EF =,2BF BC =,异面直线AB ,CD 所成角的正弦值为45,则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中,1124AB A B ==,四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别是11A D ,11B C 的中点,则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。

高中数学必修2立体几何模块测试卷(含参考答案)

高中数学必修2立体几何模块测试卷(含参考答案)

高中数学立体几何测试题(理科)一、选择题:1.下列说法不正确的是A 圆柱的侧面展开图是一个矩形B 圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D 圆台平行于底面的截面是圆面2、下面表述正确的是A、空间任意三点确定一个平面B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面C、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D、不共线的四点确定一个平面3、“a、b是异面直线”是指①a∩b=∅,且a和b不平行;②a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=∅;③a⊂平面α,b⊂平面β,且a∩b=∅;④a⊂平面α,b ⊄平面α;⑤不存在平面α,使得a⊂平面α,且b⊂平面α都成立。

上述说法正确的是A ①④⑤B ①③④C ②④D ①⑤4、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是A、垂直B、平行C、相交不垂直D、不确定5、下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行,那么它和经过另一条直线的任何平面平行;②一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行;③若直线与平面不平行,则直线与平面内任一直线都不平行;④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。

A 、0B 、1C 、2D 、36、一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A 、异面B 、相交C 、平行D 、不确定 7、直线a 与b 垂直,b 又垂直于平面α,则a 与α的位置关系是A 、a α⊥B 、//a αC 、a α⊆D 、a α⊆或//a α 8、如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定 9.已知二面角α-AB -β为︒30,P 是平面α内的一点,P 到β的距离为1.则P 在β内的射影到AB 的距离为( ). A .23B .3C .43 D .2110、若,m n 表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭;②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭;③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭;④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 二、填空题:11、三条两两相交的直线可确定12.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2。

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题1.正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心的棱锥)的三视图如图所示,俯视图是正三角形,O 是其中心,则正视图(等腰三角形)的腰长等于( )A 5B .2C 3D 22.已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和BD 所成的角的大小是( ) A .30B .45C .60D .903.设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题是真命题的是( )A .若1//l α,2//l α,则12l l //B .若1l α⊥,2l α⊥,则12l l ⊥C .若12//l l ,1l α⊂,2l β⊂,3l αβ⋂=,则13//l lD .若αβ⊥,1l αγ=,2l βγ⋂=,则12l l //4.已知正三棱柱111ABC A B C -,底面正三角形ABC 的边长为2,侧棱1AA 长为2,则点1B 到平面1A BC 的距离为( ) A .2217B .22121C .77D .7215.如图,在正四棱锥P ABCD -中,设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β,二面角P CD B --的大小为γ,则( )A .,αβγβ>>B .,αβγβ><C .,αβγβ<>D .,αβγβ<<6.在我国古代,将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在“鳖臑”ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,BD CD ⊥且AB BD CD ==,若该四面体的体积为43,则该四面体外接球的表面积为( )A .8πB .12πC .14πD .16π7.如图,圆锥的母线长为4,点M 为母线AB 的中点,从点M 处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到B 点,这条绳子的长度最短值为25,则此圆锥的表面积为( )A .4πB .5πC .6πD .8π8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A .24B .30C .47D .679.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图),其中四边形ABCD 为矩形,//EF AB ,若3AB EF =,ADE 和BCF △都是正三角形,且2AD EF =,则异面直线AE 与CF 所成角的大小为( )A .6π B .4π C .3π D .2π 10.某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为( )A .16B .13C .23D .211.某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为( )A .43 B .83C .3D .412.αβ是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定平面α与β平行的是( )A .m 、n 是α内的两条直线,且//m β,βn//B .α、β都垂直于平面γC .α内不共线三点到β的距离相D .m 、n 是两条异面直线,m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α二、填空题13.在正三棱锥O ABC -中,已知45AOB ∠=︒,记α为二面角--A OB C 的大小,cos =m n αm ,n 为整数,则以||n ,||m ,||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________.14.如图在菱形ABCD 中,2AB =,60A ∠=,E 为AB 中点,将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90,则空间A '、C 两点的距离为________;15.在三棱锥P ABC -中,P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心,点M 为棱PA 的中点,记二面角P BC M --的平面角为α,则tan α的最大值为___________.16.如图,已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形,//AB CD ,1AD DC BC ===,2AB SA ==,且SA ⊥平面ABCD ,则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17.在三棱锥D ABC -中,AD ⊥平面ABC ,3AC =,17BC =1cos 3BAC ∠=,若三棱锥D ABC -27,则此三棱锥的外接球的表面积为______18.已知ABC 是等腰直角三角形,斜边2AB =,P 是平面ABC 外的一点,且满足PA PB PC ==,120APB ∠=︒,则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________.19.已知点O 为圆锥PO 底面的圆心,圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ,圆锥PO 的外接球的表面积为______.20.在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,且ABCD 为矩形,π2DPA ∠=,23AD =2AB =,PA PD =,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.三、解答题21.如图,四棱锥P ABCD -的底面为正方形,PA ⊥底面ABCD ,E ,F ,H 分别为AB ,PC ,BC 的中点.(1)求证:DE ⊥平面PAH ;(2)若2PA AD ==,求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值. 22.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,O 是底面ABCD 的中心.(1)求证:1B O//平面11DA C ; (2)求点O 到平面11DA C 的距离.23.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,点M 是棱PD 的中点.(1)求证://PB 平面ACM ; (2)求三棱锥P ACM -的体积.24.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为正方形,平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形,,2PA PB AB ⊥=.(1)求证:平面PBC ⊥平面PAC ;(2)设E 为CD 的中点,求点E 到平面PBC 的距离.25.如图,四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,平面AEB ⊥平面ABCD ,4EBA π∠=,2EB =,F 为CE 上的点,BF CE ⊥.(1)求证:BF ⊥平面ACE ; (2)求点D 到平面ACE 的距离.26.我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息,如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是3160dm 3.(Ⅰ)求正方体石块的棱长;(Ⅱ)若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳,求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,设底面边长为2x ,表示出2522x AO OE -===,1333xOE CE ==,即可求出x ,进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,则底面中心O 在CE 上,连接AO ,可得AO ⊥平面ABC ,由三视图可知5AB AC AD ===,45AEC ∠=, 设底面边长为2x ,则DE x =,则25AE x =-,则在等腰直角三角形AOE 中,2522x AO OE -===, O 是底面中心,则133xOE CE ==, 则2532x x-=,解得3x =, 则1AO =,底面边长为23, 则正视图(等腰三角形)的腰长为()22312+=.故选:B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量,解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2.C【分析】作出图形,连接1AD 、11B D 、1AB ,推导出1//EF AB ,11//BD B D ,可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠,分析11AB D 的形状,即可得出结果. 【详解】如下图所示,连接1AD 、11B D 、1AB ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则11112AD AB B D ===, 所以,11AB D 为等边三角形,则1160AB D ∠=,因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点,所以,1//EF AB ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB DD 且11BB DD =, 所以,四边形11BB D D 为平行四边形,则11//BD B D , 所以,异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选:C. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.3.C解析:C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系,可判断AD 选项的正误;利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误;利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项,若1//l α,2//l α,则1l 与2l 平行、相交或异面,A 选项错误; 对于B 选项,若1l α⊥,2l α⊥,由线面垂直的性质定理可得12//l l ,B 选项错误; 对于C 选项,12//l l ,1l α⊂,2l β⊂,α、β不重合,则1l β⊄,1//l β∴,1l α⊂,3l αβ⋂=,13//l l ∴,C 选项正确;对于D 选项,若αβ⊥,1l αγ=,2l βγ⋂=,则1l 与2l 相交或平行,D 选项错误.故选:C. 【点睛】方法点睛:对于空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.4.A解析:A 【分析】根据题意,将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离,然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -,底面正三角形ABC 的边长为2,侧棱1AA 长为2,所以可得11==A B AC 1A BC 为等腰三角形,所以1A BC ,由对称性可知,111--=B A BC A A BC V V ,所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离,所以11A A BC A ABC V V --=,又因为1122=⨯=A BC S △122ABCS =⨯=111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△,即7h == 故选:A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算,一是可以考虑通过空间向量的方法,写出点的坐标,计算平面的法向量,然后代入数量积的夹角公式计算即可,二是可以通过等体积法,通过换底换高代入利用体积相等计算.5.A解析:A【分析】连接AC 、BD 交于O ,连PO ,取CD 的中点E ,连,OE PE ,根据正棱锥的性质可知,PCE α∠=,PCO β∠=,PEO γ∠=,再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ,连PO ,取CD 的中点E ,连,OE PE ,如图:因为//AB CD ,所以PBA α∠=,又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥,所以PCE α∠=,由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面ABCD ,所以PCO β∠=,易得OE CD ⊥,PE CD ⊥,所以PEO γ∠=, 因为sin PE PC α=,sin PO PCβ=,且PE PO >,所以sin sin αβ>,又,αβ都是锐角,所以αβ>,因为sin PO PE γ=,sin PO PCβ=,且PC PE >,所以sin sin γβ>,因为,βγ都是锐角,所以γβ>. 故选:A【点睛】关键点点睛:根据正棱锥的性质,利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键,属于中档题.6.B解析:B【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体,所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为AB ⊥平面BCD ,BD CD ⊥且AB BD CD ==, 43A BCD V -=, 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===, 所以该几何体可以扩充为正方体方体,所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ,则23R =所以外接球的表面积为2412S R ππ==故选:B【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径,求半径的方法有:(1)公式法;(2) 多面体几何性质法;(3)补形法;(4)寻求轴截面圆半径法;(5)确定球心位置法.7.B解析:B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形,且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ,由母线长4l ,可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==, 将圆锥侧面展开成一个扇形,从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ,最短距离为BM ; 如图,在ABM 中,25,2,4MB AM AB ===,所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=, 故22rππα==,解得1r =,所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选:B【点睛】关键点点睛:首先圆锥的侧面展开图为扇形,其圆心角为2r lπα=,其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ,绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长,解三角即可求解底面圆半径r ,利用圆锥表面积公式求解.8.D解析:D【分析】先找到几何体的原图,再求出几何体的高,再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -, 由题得22437AD =-=,所以几何体的高为7.所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选:D【点睛】方法点睛:通过三视图找几何体原图常用的方法有:(1)直接法;(2)拼凑法;(3)模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9.D解析:D【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ,连接CG ,则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角,然后在CFG △中求解.【详解】如下图所示,在平面ABFE 中,过点F 作//FG AE 交AB 于点G ,连接CG , 则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角,设1EF =,则3AB =,2BC CF AE ===,因为//EF AB ,//FG AE ,所以,四边形AEFG 为平行四边形,所以,2FG AE ==,1AG =,2BG =,由于2ABC π∠=,由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以,222CG CF FG =+,则2CFG π∠=.故选:D.【点睛】 思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.10.C解析:C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体,得到相应的三棱锥,之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示:该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形,且底边和底边上的高线都是2;且侧棱AD⊥底面BCD,1AD=,所以112 =221=323V⨯⨯⨯⨯,故选:C.【点睛】方法点睛:该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题,解题方法如下:(1)应注意把握三个视图的尺寸关系:主视图与俯视图长应对正(简称长对正),主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐),左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等),若不按顺序放置和不全时,则应注意三个视图名称;(2)根据三视图还原几何体;(3)利用椎体体积公式求解即可.11.A解析:A【分析】首先由三视图还原几何体,然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知,在棱长为2的正方体中,其对应的几何体为棱锥P ABC-,该棱锥的体积:11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】 方法点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 12.D解析:D【分析】取a αβ⋂=,且//m a ,//n a ,利用线面平行的判定定理可判断A 选项;根据αγ⊥,βγ⊥判断平面α与β的位置关系,可判断B 选项;设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内,记平面ABC 为平面α,判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等,可判断C 选项;过直线n 作平面γ,使得a αγ⋂=,利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项,若a αβ⋂=,且//m a ,//n a ,m β⊄,n β⊄,则//m β,βn//,但α与β相交;对于B 选项,若αγ⊥,βγ⊥,则α与β平行或相交;对于C 选项,设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内,记平面ABC 为平面α,如下图所示:D 、E 分别为AB 、AC 的中点,则//DE BC ,DE β⊂,BC β⊄,//BC β∴,所以,点B 、C 到平面β的距离相等,由于D 为AB 的中点,则点A 、B 到平面β的距离相等,所以,点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等,但平面α与平面β相交;对于D 选项,如下图所示:由于//n α,过直线n 作平面γ,使得a αγ⋂=,则//a n ,//n a ,a β⊄,n β⊂,//a β∴,//m β,m a A =,m α⊂,a α⊂,//αβ∴.故选:D.【点睛】方法点睛:证明或判断两个平面平行的方法有:①用定义,此类题目常用反证法来完成证明;②用判定定理或推论(即“线线平行”⇒“面面平行”),通过线面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明;④借助“传递性”来完成.二、填空题13.【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析:6【分析】过A 作AH OB ⊥,垂足为H ,连接CH ,则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角,即∠=AHC α,在AHC 中,利用余弦定理结合m ,n 为整数,求出m ,n 的值,进而可得外接球直径.【详解】如图,过A 作AH OB ⊥,垂足为H ,连接CH ,则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角,即∠=AHC α.不妨设2OC a =,因为45AOB ∠=︒,所以===CH a AH OH , 所以21)=HB a ,所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC .在AHC 中,222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ,n 为整数,所以1m =-,2n =,则||1m =,||2n =,||1m n +=. 设以||m ,||n ,||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ,则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6.6【点睛】关键点点睛:本题考查二面角的应用,考查几何体的外接球,考查解三角形,解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角,在AHC 中,利用余弦定理结合已知条件求出m ,n 的值,考查学生空间想象能力,考查计算能力,属于中档题.14.【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为:【点睛】对于翻折问题解题时要认 解析:22【分析】由二面角A ED C '--的大小为90,可得平面A ED '⊥平面EDCB ,得到A E '⊥平面EDCB ,由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、,2AB AD ==,60A ∠=,所以ABD △、CBD 是等边三角形, 所以2AD BD CD ===,因为E 为AB 中点,1AE A E '==,所以DE AB ⊥,DE A E ⊥',3DE =, 30EDB ∠=,所以90EDC ∠=,即DE CD ⊥,所以222347EC ED CD =+=+=,因为平面A ED '⊥平面EDCB ,DE A E ⊥',平面A ED '平面EDCB DE =, 所以A E '⊥平面EDCB ,EC ⊂平面EDCB ,所以A E EC '⊥, 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为:22.【点睛】对于翻折问题,解题时要认真分析图形,确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了,哪些量没有变,根据线线、线面、面面关系正确作出判断,考查了学生的空间想象力.. 15.【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到;过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角;为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析:34【分析】取BC 中点为E ,过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ,根据题中条件,得到AN NO OE ==,2PO MN =;过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ,连接MH ,PG ,由二面角的定义,结合线面垂直的判定定理及性质,得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角;PGO ∠为二面角A BC P --的平面角,得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠,()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠,令tan 0x MHN =∠>,进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ,过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN , 则O 为ABC 的重心,MN ⊥平面ABC ;PO ⊥平面ABC ; 由于点M 为棱PA 的中点,所以有AN NO OE ==,2PO MN =; 过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ,连接MH ,PG , 因为BC ⊂平面ABC ,所以MN BC ⊥,同理PO BC ⊥; 又MN NH N ⋂=,MN ⊂平面MNH ,NH ⊂平面MNH , 所以BC ⊥平面MNH ;因为MH ⊂平面MNH ,所以BC MH ⊥, 所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角;同理BC PG ⊥,所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角, 所以tan PO PGO OG ∠=,tan MN MHN HN∠=, 因为NO OE =,//OG NH ,所以12OG NH =; 因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠, 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠, 令tan 0x MHN =∠>,则2333tan 1444x x x x α=≤=+, 当且仅当214x =,即12x =时,等号成立. 故答案为:34. 【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于确定二面角MBC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系,由题中条件得出二面角A BC P --是二面角M BC A --的4倍,进而可求得结果.16.【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以 解析:823π【分析】取AB 中点1O ,连接11,O C O D ,根据平行四边形性质,可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心,取SB 中点O ,连接1,,,OA OC OD OO ,则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心,在Rt SAB 中,求得r=OA ,即可求得体积. 【详解】取AB 中点1O ,连接11,O C O D ,则1//CD O A , 所以四边形1ADCO 为平行四边形, 所以1=1CO ,同理1=1O D ,所以1111=O A O B O C O D ==,即1O 为等腰梯形ABCD 的外心, 取SB 中点O ,连接1,,,OA OC OD OO ,则1//OO SA ,因为SA ⊥平面ABCD ,所以1OO ⊥平面ABCD ,又2AB SA ==, 所以=OA OB OC OD ==,又SA AB ⊥,所以OA OS =,即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心, 在Rt SAB 中,2AB SA ==, 所以122OA SB == 所以34822)33V ππ=⨯=, 故答案为:823π. 【点睛】解决外接球的问题时,难点在于找到球心,可求得两个相交平面的外接圆圆心,自圆心做面的垂线,垂线交点即为球心,考查空间想象,数学运算的能力,属中档题.17.【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析:20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ,ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ,过O 作的平行线OE 交AD 于 E ,连接OA ,OD ,如图所示,在ABC 中,运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径,运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ,ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ,连接1AO ,过O 作平行线OE 交AD 于E ,连接OA ,OD ,如图所示,则OA OD R ==,1O A r =,OE AD ⊥,所以E 为AD 的中点.在ABC中,由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中,由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠,可得2117963AB AB =+-⋅⋅,得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△,所以4AD =.连接1OO ,又1//OO AD ,所以四边形1EAO O 为平行四边形,1128EA OO AD ===,所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积224π4π20πS R ===.故答案为:20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球,及球的表面积计算公式,解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径,属于中档题.18.【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为:【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想 解析:163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心,即AB 中点1O ,设球半径为R ,则()22211R CO R PO =+-,解得答案.【详解】PA PB PC ==,故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心,即AB 中点1O ,故球心O 在直线1PO 上,1112CO AB ==,1133PO ==, 设球半径为R ,则()22211R CO R PO =+-,解得23R =21643S R ππ==. 故答案为:163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故 解析:163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面,即过球心的截面且球心在PO 上,由等边三角形性质有Rt AO O '△,即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ,进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O ',连接AO ',设外接球的半径为R ,依题意可得1AO =,3PO =,在Rt AO O '△中,有222O A AO O O ''=+,即)22213R R =+,解得3R =, 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=.故答案为:163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积,由截面是等边三角形,结合等边三角形的性质求球半径,进而求外接球面积,属于基础题.20.【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解:取矩形的对角线的交点 解析:323π【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径,再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径,又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心,由题意可得外接球的半径,进而求出外接球的体积. 【详解】解:取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ,连接OE ,OP ,OE , 则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心,而2DPA π∠=,23AD =,2AB =,PA PD =,则//OE AB ,112OE AB ==, 132PE AD ==, 所以E 为PAD △的外接圆的圆心,因为平面PAD ⊥平面ABCD , 所以O 为外接球的球心,OP 为外接球的半径,在POE △中,222222(3)14R OP PE OE ==+=+=,所以2R =, 所以外接球的体积343233V R ππ==, 故答案为:323π.【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式,属于中档题.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)105. 【分析】(1)由PA ⊥底面ABCD ,得PA DE ⊥,由Rt ABH Rt DAE ≌△△,得DE AH ⊥,可得答案.(2)由可知DE ⊥平面PAH ,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角,在Rt PDG △中,由sin DPG ∠可得答案. 【详解】(1)因为PA ⊥底面ABCD ,DE ⊂底面ABCD ,所以PA DE ⊥,因为E ,H 分别为正方形ABCD 的边AB ,BC 的中点,,,AB DA BH AE HBAEAD ,所以Rt ABH Rt DAE ≌△△,所以BAH ADE ∠=∠,由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=,所以DE AH ⊥, 因为PA ⊂平面PAH ,AH ⊂平面PAH ,PA AH A ⋂=,所以DE ⊥平面PAH .(2)由(1)可知DE ⊥平面PAH ,设AH DE G ⋂=,如图,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角, 因为2PA AD ==,所以22PD =,5DE =, 在Rt DAE 中,由于AG DE ⊥,所以2AD DG DE =⋅, 所以45DG =⋅,所以5DG =, 所以在Rt PDG △中,105sin 522DG DPG PD ∠===,即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为105.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法,对于线面角的求法的步骤,作:作(或找)出斜线在平面上的射影,证:证明某平面角就是斜线与平面所成的角;算:通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 22.(1)证明见解析;(2)23. 【分析】(1)连接11B D ,设11111B D AC O ⋂=,连接1DO ,证明11B O DO 是平行四边形,再利用线面平行的判定定理即可证明.(2)由题意可得平面11DA C ⊥平面11B D DB ,过点O 作1OH DO ⊥于H ,在矩形11B D DB 中,连接1OO ,可得1O OD OHD ∽△△,由三角形相似,对应边成比例即可求解. 【详解】(1)证明:连接11B D ,设11111B D AC O ⋂=,连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =, 11B O DO ∴是平行四边形.11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ,1B O ⊂/平面11DA C ,1//B O ∴平面11DA C .(2)1111A C B D ⊥,111AC BB ⊥,且1111BB B D B ⋂=,11A C ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ,且交线为1DO .在平面11B D DB 内,过点O 作1OH DO ⊥于H ,则OH ⊥平面11DA C , 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中,连接1OO ,1O OD OHD ∽△△,则11O D ODO O OH=, 22236OH ⨯∴==即点O 到平面11DA C 的距离为233. 【点睛】关键点点睛:本题考查了线面平行的判定定理,点到面的距离,解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ,得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离,考查了计算能力.23.(1)证明见解析;(2)23. 【分析】(1)连接BD 交AC 于点O ,由中位线定理得//OM PB ,从而得证线面平行; (2)由M 是PD 中点,得12M ACD P ACD V V --=,求出三棱锥P ACD -的体积后可得. 【详解】(1)如图,连接BD 交AC 于点O ,连接OM ,则O 是BD 中点,又M 是PD 中点, ∴//OM PB ,又PB ⊄平面ACM ,OM ⊂平面ACM , 所以//PB 平面ACM ; (2)由已知12222ACDS=⨯⨯=,11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△,又M 是PD 中点,所以1223M ACD P ACD V V --==, 所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=.【点睛】思路点睛:本题考查证明线面平行,求三棱锥的体积.求三棱锥的体积除掌握体积公式外,还需要注意割补法,不易求体积的三棱锥(或一个不规则的几何体)的体积可通过几个规则的几何体(柱、锥、台等)的体积加减求得.三棱锥的体积还可通过转化顶点,转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积,从而得出结论. 24.(1)证明见解析;(2)22. 【分析】(1)利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ,得到PA BC ⊥,再由PA PB ⊥,结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ,又PA ⊂面PAC ,然后证得平面PBC ⊥平面PAC ;(2)先计算三棱锥P BCE -的体积,然后再计算PBC 的面积,利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解:(1)证明:∵面PAB ⊥面ABCD ,且平面PAB ⋂平面ABCD AB =,BC AB ⊥,BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB , 又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=,所以PA ⊥面PBC ,又PA ⊂面PAC ∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中,PA PB =,取AB 的中点O ,连PO ,则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD由1133BCEEPBC P BCE PBC BCE PBCSPOV V S h S PO h S--=⇒=⇒=,由已知可求得1PO =,1BCES=,2PBCS=,所以22h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为22.【点睛】(1)证明面面垂直的核心为证明线面垂直,要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可;(2)点到面的距离求解一般采用等体积法求解,也可采用空间向量法求解. 25.(1)证明见解析;(223【分析】(1)先由面面垂直的性质,得到CB ⊥平面ABE ,推出CB AE ⊥,根据题中条件,得到AE BE ⊥,利用线面垂直的判定定理,得到AE ⊥平面BCE ;得出AE BF ⊥,再次利用线面垂直的判定定理,即可证明结论成立;。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(包含答案解析)

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(包含答案解析)

一、选择题1.设m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是( ) A .//m α,//n β且//αβ,则//m nB .m α⊂,n α⊂,//m β,//n β,则//αβ C .m α⊥,n β⊂,m n ⊥,则αβ⊥D .m α⊥,n β⊥且αβ⊥,则m n ⊥2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的侧面积(单位:2cm )是( )A .10B .1025+C .1625+D .1325+ 3.如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,O 是11B D 的中点,直线1A C 交平面11AB D 于点M ,则下列结论正确的是( )A .,,A M O 三点共线B .1,,,A M O A 不共面C .,,,A M C O 不共面D .1,,,B B O M 共面4.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为正方形,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A .15B .25C .35D .455.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为23π的扇形,则该圆锥的轴截面的面积为( )A .183B .182C .123D .243 6.如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面111A B C ,底面三角形111A B C 是正三角形,E 是BC 中点,则下列叙述正确的是( )A .1CC 与1B E 是异面直线B .AC ⊥平面11ABB A C .AE ,11B C 为异面直线,且11AE B C ⊥D .11//A C 平面1AB E7.如图,在底面边长为4,侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中,E 为侧棱PD 的中点,则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是( )A .3417B .23417C .51717D .317178.如图为水平放置的ΔOAB 的直观图,则原三角形的面积为( )A .3B .32C .6D .129.在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ,1DP DC ==.有下列结论:①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等;②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭; ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的体积为23π; ④若AB BC =,E 是线段PC 上一动点,则DE BE +的最小值为62+. 其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .410.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为底面ABCD 的中心,点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥,则11D C P △面积的最大值为( )A 25B 45C 5D .2511.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ,底面周长为10cm ,在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm 的点A 处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( )A .13cmB .61cmC 61cmD .234cm12.αβ、是两个不同的平面,mn 、是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m n ⊥;②αβ⊥;③n β⊥;④.m α⊥以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,其中正确命题的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个13.在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为1CC ,1DD 的中点,则异面直线AF ,DE 所成角的余弦值为( )A .14B .154C .65D .1514.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若m α⊥,n β⊥,m n ⊥,则a β⊥;②若//m α,//n β,m n ⊥,则//a β;③若m α⊥,//n β,m n ⊥,则//αβ;④若m α⊥,//n β,//αβ,则m n ⊥.其中所有正确的命题是( )A .①④B .②④C .①D .④二、解答题15.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中(底面是正方形的直四棱柱),底面正方形ABCD 的边长为1,侧棱1AA 的长为2,E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点.AD平面EMN;(1)求证:1//AD与BE所成角的余弦值.(2)求异面直线1⊥,D是棱AB的中点,且16.如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC BC==.AC BC VC(1)证明:平面VAB⊥平面VCD;(2)若22AC=,且棱AB上有一点E,使得线VD与平面VCE所成角的正弦值为15,试确定点E的位置,并求三棱锥C-VDE的体积.15-中,底面ABCD是边长为2的正方形,17.在四棱锥P ABCD∠==∠=,E为PD的中点.ADP PD AD PDC90,,60(1)证明:CE⊥平面PAD.-外接球的体积.(2)求三棱锥E ABC18.如图甲,平面四边形ABCD中,已知45∠=,90︒A︒∠=,ADC︒∠=C,1052AB BD ==,现将四边形ABCD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E ,F 分别是棱AC ,AD 的中点.(1)求证:DC ⊥平面ABC ;(2)求三棱锥A BEF -的体积.19.在四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,BC CD ⊥,120ABC ∠=︒,4=AD ,3BC =,=2AB ,3=CD CE ,⊥AP ED .(1)求证:DE ⊥面PEA ;(2)已知点F 为AB 中点,点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ,直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3,当三棱锥-P QDE 的体积最大时,求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值.20.如图,已知AF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 为矩形,四边形ABCD 为直角梯形,90DAB ∠=︒,//AB CD ,2AD AF CD ===,4AB =.(1)求证:AC ⊥平面BCE ;(2)求三棱锥E BCF -的体积.21.如图,在长方形ABCD 中,4AB =,2AD =,点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE 折起,使平面ADE ⊥平面ABCE ,连结DB 、DC 、EB(1)求证:AD ⊥平面BDE ;(2)求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值.22.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 是CC 1上的中点,且BC =1,BB 1=2.(1)证明:B 1E ⊥平面ABE ;(2)若三棱锥A -BEA 1的体积是33,求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 23.如图,棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,E 、F 分别为棱B 1C 1、BB 1中点,G 在A 1D 上且DG =3GA 1,过E 、F 、G 三点的平面α截正方体.(1)作出截面图形并求出截面图形面积(保留作图痕迹);(2)求A 1C 1与平面α所成角的正弦值. (注意:本题用向量法求解不得分)24.如图,在五面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD ,AD //BC //FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF =AB =BC =FE =12AD .(I )证明:平面AMD ⊥平面CDE ;(II )求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.25.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PD ⊥平面ABCD ,2AD PD ==,60DAB ∠=,F ,G 分别为PD ,BC 中点,AC BD O =.(Ⅰ)求证:FG ∥平面PAB ;(Ⅱ)求三棱锥A PFB -的体积;26.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点.(1)求证:平面EFG ⊥平面PDC ;(2)求证:平面//EFG 平面PM A .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】对于A ,若m ∥α,n ∥β且α∥β,说明m 、n 是分别在平行平面内的直线,它们的位置关 系应该是平行或异面或相交,故A 不正确;对于B ,若“m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β”,则“α∥β”也可能α∩β=l ,所以B 不成立. 对于C ,根据面面垂直的性质,可知m ⊥α,n ⊂β,m ⊥n ,∴n ∥α,∴α∥β也可能α∩β=l ,也可能α⊥β,故C 不正确;对于D ,由m ⊥α,n ⊥β且α⊥β,则m 与n 一定不平行,否则有α∥β,与已知α⊥β矛盾,通过平移使得m 与n 相交,且设m 与n 确定的平面为γ,则γ与α和β的交线所成的角即 为α与β所成的角,因为α⊥β,所以m 与n 所成的角为90°,故命题D 正确. 故答案为D【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直,面面垂直的性质和判断的应用,考查逻辑推理能力和空间想象能力.2.B解析:B【分析】由三视图可知,该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -,由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知,该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -,如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯+⨯=+故选:B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积,属于中档题.3.A解析:A【分析】连接11,A C AC ,利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ,则11//A C AC ,11,,,A C C A ∴四点共面,1A C ∴⊂平面11ACC A ,1M AC ∈,M ∴∈平面11ACC A ,M ∈平面11AB D ,∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,,,A M O ∴三点共线,故A 正确;,,A M O 三点共线,且直线与直线外一点可确定一个平面,1,,,A M O A ∴四点共面,,,,A M C O 四点共面,故B ,C 错误;1BB 平面11AB D ,OM ⊂平面11AB D ,1B ∈平面11AB D 且1B OM ,1BB ∴和OM 是异面直线,1,,,B B O M ∴四点不共面,故D 错误.故选:A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题,此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内,根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.4.D解析:D【分析】本题先通过平移确定异面直线1A B 与1AD 所成角11A BC ∠,再在11A BC 中通过余弦定理求该角的余弦值即可.【详解】解:连接11A C 、1BC (如图),设12=2AA AB k =(0k >),则11=5A BC B k=,112AC k=, 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,∵11//BC AD ,∴ 异面直线1A B 与1AD 所成角可以表示为11A BC ∠,在11A BC 中,222222*********cos 25255A B BC AC A BC A B BC k k+-∠===⋅⋅⨯⨯, 故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成的角,余弦定理,是中档题.5.B解析:B【分析】如图所示,设此圆锥的底面半径为r ,高为h ,母线长为l .可得πr 2+πrl =36π,2πr =l •23π,联立解得:r ,l ,h 22l r =-即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h =rh . 【详解】如图所示,设此圆锥的底面半径为r ,高为h ,母线长为l .则πr 2+πrl =36π,化为:r 2+rl =36,2πr =l •23π,可得l =3r . 解得:r =3,l =9,h 22l r =-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h =rh =2=2. 故选:B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 6.C解析:C【分析】根据异面直线定义可判断A ;由线面垂直的性质即可判断B ;由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ;根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项,1CC 与1B E 在同一个侧面中,故不是异面直线,所以A 错;对于B 项,由题意知,上底面是一个正三角形,故AC ⊥平面11ABB A 不可能,所以B 错;对于C 项,因为AE ,11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线,由底面111A B C 是正三角形,E 是BC 中点,根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥,结合棱柱性质可知11//B C BC ,则11AE B C ⊥,所以C 正确;对于D 项,因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交,且11A C 与交线有公共点,故11//A C 平面1AB E 不正确,所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题,在解题的过程中,需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握,注意理清其关系,属于中档题7.D解析:D【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角,在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ,再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图,取PA 的中点F ,AB 的中点G ,BC 的中点H ,连接FG ,FH ,GH ,EF ,则//EF CH ,EF CH =,从而四边形EFHC 是平行四边形,则//EC FH , 且EC FH =.因为F 是PA 的中点,G 是AB 的中点,所以FG 为ABP ∆的中位线,所以//FG PB ,则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =,1222HG AC ==. 在PCD ∆中,由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯, 则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=,即17CE =在GFH ∆中,由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317172317==⨯⨯. 故选:D【点睛】本题考查异面直线所成的角,余弦定理解三角形,属于中档题.8.C解析:C【分析】根据直观图的画法,可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,),还原三角形的图象,求得面积.【详解】根据直观图的画法,可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,),如图所示:故原三角形面积为:13462S =⨯⨯= 故选:C【点睛】 本题考查了还原直观图为直角坐标系的图像问题,考查了学生概念理解,直观想象,数学运算的能力,属于基础题.9.C解析:C【分析】作出三棱锥P ABC -的图象,逐一判断各命题,即可求解.【详解】作出三棱锥P ABC -的图象,如图所示:.对于①,根据题意可知,PD ⊥平面ABC ,且1DP DC ==,所以2PA PB PC ===①正确;对于②,在PAB △中,2PA PB ==02AB <<,所以2cos 222AB PAB PA ⎛∠== ⎝⎭, 即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭,②正确; 对于③,因为DP DA DB DC ===,所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ,半径为1,其体积为43π,③不正确; 对于④,当AB BC =时,BD AC ⊥,所以2BC =将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上,则DE BE +的最小值为线段BD 的长,在展开后的DCB 中,6045105DCB ∠=+=, 根据余弦定理可得6221221cos1052BD +=+-⨯⨯⨯=, ④正确.故选:C . 【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征,三棱锥外接球的体积求法,以及通过展开图求线段和的最小值,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于中档题. 10.C解析:C【分析】 取1BB 的中点F ,由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥,1OD OF ⊥,由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥,进而可得点P 的轨迹为线段CF ,找到1C P 的最大值即可得解.【详解】取1BB 的中点F ,连接OF 、1D F 、CF 、1C F ,连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ,如图:因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ,1BB ⊥平面1111D C B A ,11C D ⊥平面11BB C C ,所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=,所以22211OD OF D F +=,22211OD OC D C +=,所以1OD OC ⊥,1OD OF ⊥,由OC OF O =可得1OD ⊥平面OCF ,所以1OD CF ⊥,所以点P 的轨迹为线段CF , 又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用,考查了线面垂直的判定与性质,关键是找到点P 的轨迹,属于中档题.11.A解析:A【分析】如图所示:图像为圆柱的侧面展开图,A 关于EF 的对称点为'A ,则AE BE +的最小值为'A B ,计算得到答案.【详解】如图所示:图像为圆柱的侧面展开图,A 关于EF 的对称点为'A ,则AE BE +的最小值为'A B ,易知5BC =,'12A C =,故'13A B =.故选:A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 12.B解析:B【分析】分别以①②③④作为结论,另外三个作条件,根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.【详解】若m n ⊥,αβ⊥,n β⊥,则m 与α可能平行可能相交,即①②③不能推出④; 同理①②④不能推出③;若m n ⊥,n β⊥,m α⊥,两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直,则αβ⊥,即①③④能够推出②;若αβ⊥,n β⊥,m α⊥,两个平面互相垂直,则这两个平面的垂线互相垂直,即m n ⊥,所以②③④能够推出①.所以一共两个命题正确.故选:B【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析,根据选择的条件推出结论,关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.13.D解析:D【分析】连接BE ,BD ,因为//BE AF ,所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,取BD 的中点为G ,连接EG ,在等腰BED ∆中,求出cosEG BEG BE ∠==cos BED ∠,即可得出答案. 【详解】 连接BE ,BD ,因为//BE AF ,所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,则BE DE ==BD =,在等腰BED ∆中,取BD 的中点为G ,连接EG ,则EG ==cos EG BEG BE ∠== 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-, 即:31cos 2155BED ∠=⨯-=, 所以异面直线AF ,DE 所成角的余弦值为15. 故选:D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值,利用了正方体的性质和二倍角公式,还考查空间思维和计算能力.14.A解析:A【分析】①若m α⊥,m n ⊥,∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论.②根据面面平行的判定定理判断.③若m α⊥,m n ⊥,则n ⊂α或//n α,再由面面平行的判定定理判断.④若m α⊥,//αβ,由面面平行的性质定理可得m β⊥,再由//n β得到结论.【详解】①若m α⊥,m n ⊥,∴n ⊂α或//n α,又∵n β⊥,∴a β⊥,故正确. ②若//m α,//n β,由面面平行的判定定理可知,若m 与n 相交才平行,故不正确. ③若m α⊥,m n ⊥,则n ⊂α或//n α,又//n β,两平面不一定平行,故不正确. ④若m α⊥,//αβ,则m β⊥,又∵//n β,则m n ⊥.故正确.故选:A【点睛】本题主要考查线与线,线与面,面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理,综合性强,方法灵活,属中档题.二、解答题15.(1)证明见解析(2)8585【分析】(1)通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ;(2)由(1)知11//AD BC ,所以1EBC ∠(或其补角)为异面直线1AD 与BE 所成的角,根据余弦定理计算可得结果.【详解】(1)连1BC ,1EC ,如图:因为//AB CD ,AB CD =,且11//CD C D ,11CD C D =,所以11//AB C D ,11AB C D =,所以四边形11ABC D 为平行四边形,所以11//AD BC ,因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点,所以1//MN BC ,所以1//AD MN , 因为1AD ⊄平面EMN ,MN ⊄平面EMN ,所以1//AD 平面EMN .(2)由(1)知11//AD BC ,所以1EBC ∠(或其补角)为异面直线1AD 与BE 所成的角,依题意知12BB =,112EB =,111B C =, 所以22211117444BE BB EB =+=+=,2221111415BC BB B C =+=+=,222111115144EC EB B C =+=+=, 所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅175********+-⨯⨯88585=. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.16.(1)证明见解析;(2)点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点;223.【分析】(1)易得CD AB ⊥,再根据VC ⊥底面ABC ,得到 VC AB ⊥,进而AB ⊥平面VCD ,再利用面面垂直的判定定理证明.(2)过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ,DF ⊥平面VCE ,则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角,在Rt VFD 中,由15sin DF DVF VD ∠==,求得DF ,然后在Rt DCE 中,求出1DE =,然后由三棱锥C-VDE 的体积为13CDE V S VC =⋅⋅求解. 【详解】(1)因为AC BC =,D 是AB 的中点,所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ,AB平面ABC , 所以VC AB ⊥,而VC CD C ⋂=,所以AB ⊥平面VCD .又AB 平面VAB ,所以平面VAB ⊥平面VCD .(2)过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ,则由题意知DF ⊥平面VCE .,连接VF ,于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.在Rt VFD 中,1515DF VD =. 又因为3VD =55DF =. 在Rt DCE 中,1DE =.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点,三棱锥C-VDE 的体积为1112221223323CDE S VC ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛:(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理(a ⊥β,a ⊂α⇒α⊥β).(2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.17.(1)证明见解析;(2)82π. 【分析】 (1)由已知条件知AD ⊥面DPC ,即有AD CE ⊥,由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥,结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD .(2)由勾股定理可证AEC 为直角三角形,且ABC 为等腰直角三角形,即可知AC 的中点O 为外接球的球心,进而得到半径求球的体积.【详解】 (1)由90ADP ∠=知:AD DP ⊥,底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥,又DP DC D =,∴AD ⊥面DPC ,而CE ⊂面DPC ,即AD CE ⊥,∵PD AD DC ==,60PDC ∠=,∴PDC △为等边三角形,E 为PD 的中点,故CE DP ⊥,∵DP AD D ⋂=,∴CE ⊥平面PAD .(2)由(1)知:ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ,有22AC =, 在AEC 中3,5CE AE ==,即222AC CE AE =+,故AE CE ⊥,∴由上知:ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形,由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知:OE OC OA OB ===,即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心, ∴外接球的半径为22AC =, 所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)33V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛:(1)由90°及正方形有线面垂直:AD ⊥面DPC ,再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ;(2)由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形,同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形,即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心,进而求体积.18.(1)证明见解析;(2. 【分析】 (1)在图甲中先证AB BD ⊥,在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥,由条件可得DC BC ⊥,进而可判定DC ⊥平面AB C ;(2)利用等体积法进行转化计算即可.【详解】(1)图甲中,∵AB BD =且45A ︒∠=,45ADB ︒∴∠=,()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=,即AB BD ⊥, 图乙中,∵平面ABD ⊥平面BDC ,且平面ABD 平面BDC BD =,∴AB ⊥平面BDC ,又CD ⊂平面BDC ,∴AB CD ⊥,又90DCB ︒∠=,∴DC BC ⊥,且AB BC B ⋂=,又AB ,BC ⊂平面AB C ,∴DC ⊥平面AB C ;(2)因为点E ,F 分别是棱AC ,AD 的中点,所以//EF DC ,且12EF DC =,所以EF ⊥平面ABC , 由(1)知,AB ⊥平面BDC ,又BC ⊂平面BDC ,所以AB BC ⊥,105ADC ︒∠=,45ADB ︒∠=,1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=, 90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=,cos3022BC BD ︒∴=⋅=⨯=1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=,所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==,所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 【点睛】方法点睛:计算三棱锥体积时,常用等体积法进行转化,具体的方法为:①换顶点,换底面;②换顶点,不换底面;③不换顶点,换底面.19.(1)证明见解析;(2)14. 【分析】(1)在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ,然后可求得,DE AE ,从而可证明DE AE ⊥,由线面垂直判定定理证明线面垂直;(2)由(1)得面面垂直,知Q 在AE 上,PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角,cos 3AQ PAQ AP ∠==,设AQ x =(0x <≤-P QDE 的体积,由二次函数知识求得最大值,及此时x 的值,得Q 为AE 中点,从而有//FQ BE ,PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角(或补角),由余弦定理可得.【详解】(1)证明://AD BC ,BC CD ⊥,120ABC ∠=︒,4=AD ,3BC =,=2AB ,∴CD ===CD ,∴1CE =,CD =2BE =, 由余弦定理得AE ===又2DE ===,∴222DE AE AD ,∴AD DE ⊥,∵AP DE ⊥,又AP AE A =,AP AE ⊂、平面APE ,∴DE ⊥平面APE .(2)由(1)DE ⊥平面APE .DE ⊂平面ABCD ,∴平面ABCD ⊥平面PAE ,∴Q 点在AE 上,PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角,cos 3AQ PAQ AP ∠==,设AQ x =(0x <≤PQ =,QE x =, 12)2QDE S x x =⨯⨯=△,21)33P QDE QDE V PQ S x -=⋅=--△2(3x =--+≤x =则当P QDE V -最大时,AQ =∴Q 为AE 中点,∵F 为AB 中点,∴//FQ BC ,∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角(或补角),1,QB QE ==PQ ⊥平面ABCD 得3,PE PB ==2BE =,则222cos 2PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅,∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为14.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理,考查直线与平面所成的角,异面直线所成的角,三棱锥的体积等,旨在考查学生的空间想象能力,运算求解能力,逻辑推理能力.属于中档题. 20.(1)证明见解析;(2)83. 【分析】(1)先证明AC ⊥BE ,再取AB 的中点M ,连接CM ,经计算,利用勾股定理逆定理得到AC ⊥BC ,然后利用线面垂直的判定定理证得结论;(2)利用线面垂直的判定定理证得CM ⊥平面BEF ,即为所求三棱锥的高,进而计算得到其体积.【详解】解:(1)证明:∵四边形ABEF 为矩形∴//AF BE∵AF ⊥平面ABCD ∴BE ⊥平面ABCD∵AC ⊂平面ABCD ∴AC BE ⊥.如图,取AB 的中点M ,连接CM ,∴122AM AB DC === ∵//AM DC ,90MAD ∠=︒,2AM DC AD ===∴四边形ADCM 是正方形.∴90ADC ∠=︒∴222448C AD DC =+=+=,222448BC CM BM =+=+= ∵4AB =∴222AC BC AB +=∴ABC 是直角三角形∴AC BC ⊥. ∵BCBE B =,BC 、BE ⊂平面BCE∴AC ⊥平面BCE(2)由(1)知:CM AB ⊥∵AF ⊥平面ABCD ,CM ⊂平面ABCD ∴AF CM ⊥∵AF AB A ⋂=,AF 、AB 平面ABEF∴CM ⊥平面ABEF ,∴CM ⊥平面BEF即:CM 是三棱锥C BEF -的高 ∴11182243323E BCF C BEF BEF V V CM S --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查线面垂直的证明,棱锥的体积的计算,属基础题.在利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时一定要将条件表述全面,“两个垂直,一个相交”不可缺少.21.(1)证明见解析;(2)1111. 【分析】(1)计算出AE BE =得证AE BE ⊥,从而由面面垂直性质定理得线面垂直中,又得线线垂直AD BE ⊥,再由已知线线垂直AD AE ⊥可证得结论线面垂直;(2)取AE 的中点O ,连结DO , 可证DO ⊥平面ABCE ,过E 作直线//EF DO ,以EA 、EB 、EF 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,用空间向量法求二面角的余弦.【详解】 (1)证明:∵2AD DE ==,90ADE ∠=︒ ∴22AE BE ==,4AB =,∴222AE BE AB +=,∴AE BE ⊥ 又平面ADE ⊥平面ABCE ,平面ADE 平面ABCE AE =, ∴BE ⊥平面ADE ,又AD ⊂平面ADE ,所以AD BE ⊥, 又AD DE ⊥,DE BE E ⋂=,所以AD ⊥平面BDE.(2)取AE 的中点O ,连结DO ,∵DA DE =,∴DO AE ⊥,又平面ADE ⊥平面ABCE ,∴DO ⊥平面ABCE ,过E 作直线//EF DO ,以EA 、EB 、EF 分别为为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系:则(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),(2,0,2)E A B D ,(2,2,0)C -平面ADE 的法向量1//n EB ,∴1(0,1,0)n =又(2,2,0)CB =,(2,22,2)DB =-,设平面BDC 的法向量为()2,,n x y z =,2200n CB n DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩,0220x +=∴-+=⎪⎩,即020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩ ∴平面BDC 的法向量2(1,1,3)n =--121212cos ,1111n n n n n n ⋅∴===⋅⨯ ∴平面ADE 与平面BDC 【点睛】方法点睛:本题考查证明线面垂直,考查求二面角.证明线面垂直的方法是:根据线面垂直的判定定理先证线线垂直,当然证明线线垂直又根据面面垂直的性质定理得线面垂直,从而得线线垂直.三个垂直相互转化可证结论; 求二面角(空间角)常用方法是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角,用计算代替证明.22.(1)证明见解析;(2)30.【分析】(1)由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥,由勾股定理可得1BE B E ⊥,即可证明; (2)由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角,由等体积法可求得AB 长度,即可求出角的大小.【详解】(1)AB ⊥侧面BB 1C 1C ,1B E ⊂侧面BB 1C 1C ,1AB B E ∴⊥,BC =1,BB 1=2,E 是CC 1上的中点,1BE B E ∴=22211BE B E BB +=,1BE B E ∴⊥,AB BE B ⋂=, ∴B 1E ⊥平面ABE ; (2)11//A B AB ,111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角,且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离,由(1)B 1E ⊥平面ABE ,故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离,由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ,则1111113323A BEA A ABE ABE V V SB EAB --==⋅=⨯⨯=,解得AB = 则11A B AB == 在111Rt A B C △中,1111111tan 3B C C A B A B ∠===,11130A C B ∴∠=,即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30.【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.23.(1)截面见解析,面积为22;(2)12. 【分析】(1)先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系,再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置,从而截面的形状可确定以及截面面积可求;(2)记11ME AC H =,通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角,从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.【详解】(1)如图截面为矩形EFNM :因为//EF 平面11ADD A ,且平面EFNM平面11ADD A MN =,所以//EF MN , 又因为111111////,==22EF BC AD EF BC AD ,且3DG GA =,所以可知111//,2MN AD MN AD =, 所以//,MN EF MN EF =,所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点, 所以四边形EFNM 为矩形,且112,2EF ME =+==,所以截面EFNM 的面积为2;(2)记11ME AC H =,连接GH ,如图所示:因为//NF AB ,AB ⊥平面11AA D D ,所以NF ⊥平面11AA D D ,又1AG ⊂平面11AA D D ,所以1NF A G ⊥, 由(1)知1//MN AD 且11A D AD ⊥,所以1MN A D ⊥,所以1MN AG ⊥,且MN NF N =,1A G ⊥平面EFNM ,所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠, 因为111222442AG A D ===,111122A H AC ==1111sin 2A G A HG A H ∠==, 所以11A C 与平面α所成角的正弦值为12. 【点睛】方法点睛:求解线面角的正弦值的两种方法:(1)几何法:通过线面垂直的证明,找到线面角,通过长度的比值即可计算线面角的正弦值;(2)向量法:求解出直线的方向向量和平面的法向量,根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.24.(I)证明见解析;(II)33 . 【分析】(I )取AD 的中点P ,连结EP PC ,,MP ,利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直,从而可证明EC 与,MP MD 垂直,然后可得线面垂直,面面垂直;(II )取Q CD 为的中点,连结,PQ EQ ,可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角,在Rt EPQ △中求得其余弦值.【详解】(Ⅰ)证明:取AD 的中点P ,连结EP PC ,.则EFAP =,∵//FE AP =,∴四边形FAPE 是平行四边形,∴//FA EP =,同理,//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ,∴EP ⊥平面ABCD ,而PC AD ,都在平面ABCD 内,∴.EP PC EP AD ⊥⊥,由AB AD ⊥,可得PC AD ⊥,设FA a =,则2.EP PC PD a CD DE EC a ======,所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点,∴DM CE ⊥.连结MP ,则.MP CE ⊥PM ∩MD =M ,而PM ,MD 在平面AMD 内 ,∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ,所以平面AMD ⊥CDE .(Ⅱ)解:取Q CD 为的中点,连结,PQ EQ ,∵CE DE =,∴.EQ CD ⊥∵PC PD =,∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得, 6222EP PQ EQ a PQ a ==⊥,,. 于是在Rt EPQ △中,3cos PQ EQP EQ ∠==. ∴二面角A CD E --的余弦值为33. 【点睛】 方法点睛:本题考查证明面面垂直,考查求二面角.求二面角的几何方法:一作二证三计算,一作:作出二面角的平面角;二证:证明所作的角是二面角的平面角;三计算:在三角形中求出这个角(这个角的余弦值).25.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ3 【分析】(Ⅰ)通过证明平面//OFG 平面PAB ,进一步得出结论;(Ⅱ)利用等体积法即1124A PFB A PDB P ABCD V V V ---==,进一步求出答案. 【详解】(Ⅰ)如图,连接OF ,OG ∵O 是BD 中点,F 是PD 中点,∴//OF PB ,而OF ⊂/平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,∴//OF 平面PAB ,又∵O 是AC 中点,G 是BC 中点,∴//OG AB ,而OG ⊂/平面PAB ,AB平面PAB ,∴//OG 平面PAB ,又OG OF O =∴平面//OFG 平面PAB ,即//FG 平面PAB . (Ⅱ)∵PD ⊥底面ABCD ,∴PD AO ⊥,又四边形ABCD 为菱形,∴BD AO ⊥,又ADDB D =,∴AO ⊥平面PDB ,而F 为PD 的中点, ∴1111322sin 60224433A PFB A PDB P ABCD V V V ︒---===⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查立体几何的知识点,属于中档题. 立体几何常用的三种解题方法为: (1)分割法;(2)补形法;(3)等体积法.26.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)先证明BC ⊥平面PDC ,再利用线线平行证明GF ⊥平面PDC ,即证面面垂直; (2)先利用中位线证明//EG PM ,////GF BC AD ,再由此证明面面平行即可.【详解】(1)证明:由已知MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ,∴PD BC ⊥.∵四边形ABCD 为正方形,∴BC DC ⊥, 又PD DC D ⋂=,∴BC ⊥平面PDC ,在PBC 中,∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点,∴//GF BC ,∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ,∴平面EFG ⊥平面PDC .(2)∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,∴//EG PM ,//GF BC ,又∵四边形ABCD 是正方形,∴//BC AD ,∴//GF AD ,∵EG 、GF 在平面PM A 外,PM 、AD 在平面PM A 内, ∴//EG 平面PM A ,//GF 平面PM A ,又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交,∴平面//EFG 平面PM A .【点睛】本题考查了线线、线面、面面之间平行与垂直关系的转化,属于中档题.。

高一数学(必修二)立体几何练习题(含答案)

高一数学(必修二)立体几何练习题(含答案)

一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1、下列命题为真命题的是( )A. 平行于同一平面的两条直线平行;B.与某一平面成等角的两条直线平行;C. 垂直于同一平面的两条直线平行;D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是:( )A. 如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β;B. 如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β;C. 如果平面α不垂直平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β;D. 如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是( ) A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中,二面角D ’-AB-D 的大小是( )A. 300B.450C. 600D. 900 5.在空间中,下列命题正确的是A.若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面B.若直线m 与平面α内的一条直线平行,则α//mC.若平面βα⊥,且l =βα ,则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD.若直线a 与直线b 平行,且直线a l ⊥,则b l ⊥6.设平面α∥平面β,A ,C ∈α,B ,D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α,β之间,AS =8,BS =6,CS =12,则SD =( )A .3B .9C .18D .10 7.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )A .9πB .10πC .11πD .12πA B DA ’B ’D ’ C C ’ABD CE F8. 正方体的内切球和外接球的半径之比为( )A. 3:1B. 3:2C. 3:3D. 2:39.已知△ABC 是边长为a 2的正三角形,那么它的斜二侧所画直观图A B C 的面积为( )A.32a 2 B.34a 2 C.64a 2 D.6a 210.若正方体的棱长为2,则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.26B.23C.33D.2311. 在空间四边形ABCD 中,AD=BC=2,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,EF=2,求AD 与BC 所成角的大小.( )A. 30B. 45C.60οD. 90 12.如图,在多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2,则该多面体的体积为( ) A92B 5C 6D 152二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)13. Rt ABC ∆中,3,4,5AB BC AC ===,将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为.14.一个圆台的母线长为5 cm ,两底面面积分别为4πcm 2 和25π cm 2.则圆台的体积 ________. 15. 三棱锥S-ABC 中SA平面ABC ,AB 丄BC,SA= 2,AB =B C=1,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积等于______.16.如图,在直角梯形ABCD 中,,,BC DC AE DC ⊥⊥M 、N 分别是AD 、BE 的中点,将三角形ADE 沿AE 折起。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(答案解析)

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(答案解析)

一、选择题1.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面ABC ,9021ABC SA AC AB ︒∠====,,,则该四面体的外接球的表面积为( )A .23πB .43πC .4πD .5π2.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1AA AB AC ==,AB AC ⊥,则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是( ).A .π6B .π4C .π3D .π23.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD ∆沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A ',并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题: ①A D BC '⊥;②三棱锥A BCD '-的体积为22; ③CD ⊥平面A BD ';④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是( )A .①②B .③④C .①③D .②④ 4.已知m ,n 是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列条件能使n α⊥成立的是( ) A .αβ⊥,m β⊂ B .//αβ,n β⊥ C .αβ⊥,//n β D .//m α,n m ⊥ 5.在正四面体ABCD 中,异面直线AB 与CD 所成的角为α,直线AB 与平面BCD 所成的角为β,二面角C AB D --的平面角为γ,则α,β,γ的大小关系为( ) A .βαγ<< B .αβγ<< C .γβα<< D .βγα<< 6.如图所示,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1DD 的中点,F 是侧面11CDD C 上的动点,且1//B F 面1A BE ,则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A .aB .2aC .2aD .22a 7.已知平面α,β,γ和直线l ,下列命题中错误的是( )A .若αβ⊥,//βγ,则αγ⊥B .若αβ⊥,则存在l α⊂,使得//l βC .若a γ⊥,βγ⊥,l αβ=,则l γ⊥D .若αβ⊥,//l α,则l β⊥8.下列说法正确的是( )A .直线l 平行于平面α内的无数条直线,则l ∥αB .若直线a 在平面α外,则a ∥αC .若直线a b φ⋂=,直线b α⊂,则a ∥αD .若直线a ∥b ,b α⊂,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线9.鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构,相传由春秋时代各国工匠鲁班所作,是由六根内部有槽的长方形木条,按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起,形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样,千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片,下图2是其中的一个构件的三视图(图中单位:mm ),则此构件的表面积为( )A .27600mmB .28400mmC .29200mmD .210000mm 10.已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2,且球O 为三棱锥A BCD -的外接球,点M 是线段BD 上靠近D 的四等分点,过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为Ω,则Ω的取值范围为( )A .π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =AB =1,AD ⊥AB ,∠BCD =45°,将△ABD 沿对角线BD 折起,设折起后点A 的位置为A ′,使二面角A ′—BD —C 为直二面角,给出下面四个命题:①A ′D ⊥BC ;②三棱锥A ′—BCD 的体积为2;③CD ⊥平面A ′BD ;④平面A ′BC ⊥平面A ′D C .其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .412.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,4AC BC ==,AC BC ⊥,15CC =,D 、E 分别是AB 、11B C 的中点,则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为( )A .33B .13C .5829D .38729 13.设α、β为两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂,则下列命题中真命题是( )A .若l β⊥,则αβ⊥B .若l m ⊥,则αβ⊥C .若αβ⊥,则l m ⊥D .若//αβ,则//l m14.长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E 为AB 的中点,3CE =,53cos 9ACE ∠=,且四边形11ABB A 为正方形,则球O 的直径为( ) A .4 B 51C .451D .4或5 二、解答题15.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=,E 为PD 的中点.(1)证明:CE ⊥平面PAD .(2)求三棱锥E ABC -外接球的体积.16.如图,已知多面体111ABCA B C ,1A A ,1B B ,1C C 均垂直于平面ABC ,120ABC ∠=︒,14A A =,11C C =,12AB BC B B ===.(1)证明:1AB ⊥平面111A B C ;(2)求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值.17.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,点P 为棱1DD 的中点.(1)证明:1//BD 平面PAC ;(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.18.如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点,1A C 与1AC 交于点F ,AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒,12AA AC BC ===.(1)求证://EF 平面11BB C C ;(2)求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.19.如图,棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,E 、F 分别为棱B 1C 1、BB 1中点,G 在A 1D 上且DG =3GA 1,过E 、F 、G 三点的平面α截正方体.(1)作出截面图形并求出截面图形面积(保留作图痕迹);(2)求A 1C 1与平面α所成角的正弦值. (注意:本题用向量法求解不得分)20.如图所示,正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直,90//22ADE AF DE DE DA AF ∠====,,.(1)求证:AC ⊥平面BDE ;(2)求证://AC 平面BEF ;(3)若AC 与BD 相交于点O ,求四面体BOEF 的体积.21.如图1,矩形ABCD ,1,2,AB BC ==点E 为AD 的中点,将ABE △沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE (如图2),点M 在线段PD 上,//PB 平面CEM .(1)求证:2MP DM =;(2)求二面角B PE C --的大小;(3)若在棱,PB PE 分别取中点,F G ,试判断点M 与平面CFG 的关系,并说明理由. 22.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点.(1)求证:平面EFG ⊥平面PDC ;(2)求证:平面//EFG 平面PM A .23.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,2AB =,1AD =,60DAB ∠=︒,PD BD =,且PD ⊥平面ABCD .(1)证明:平面PBC ⊥平面PBD ;(2)若Q 为PC 的中点,求三棱锥D PBQ -的体积.24.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 上的动点.(1)确定E 的位置,使//PB 平面AEC ;(2)设1==PA AB ,3PC =,根据(1)的结论,求点E 到平面PAC 的距离. 25.如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点O 是BD 中点.(1)求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ;(2)求二面角1C BD C --的正切值.26.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,2CD AB =,CD ⊥AD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,,E F 分别是CD 和PC 的中点.求证:(1)BF //平面PAD(2)平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心,得出外接球半径,然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以SA ⊥BC ,又90ABC ∠=,SA AB A ⋂=,且AB平面SAB ,SA ⊂平面SAB , 所以BC ⊥平面ABC ,所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,,所以2SC =,3SB =1BC =,根据该几何体的特点可知,该四面体的外接球球心位于SC 的中点, 则外接球半径112R SC ==, 故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选:C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题,难度一般,根据几何条件确定出球心是关键.2.D解析:D【分析】连结1A B ,可证1A B ⊥平面11A BC ,从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角,故可得正确的选项.【详解】连结1A B ,1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形,AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中,1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形,可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥,平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ,可得11AB BC ⊥,即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π故选:D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线,然后构造三角形,求得直线夹角.本题通过补全图形,判定线面的垂直关系,得证线线垂直关系,求得异面直线夹角为2π. 3.B解析:B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系,可证出BD DC ⊥,然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ,可得CD ⊥平面A BD ',从而可判断①③;三棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=,可判断②;因为CD ⊥平面A BD ',从而证明CD A B '⊥,再证明'A B ⊥平面A DC ',然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==,45ADB ABD ︒∴∠=∠=,//,45AD BC BCD ︒∠=,BD DC ∴⊥,平面A BD ' ⊥平面BCD ,且平面A BD '平面BCD BD =, CD 平面A BD ',A D '⊂平面A BD ',CD A D '∴⊥,若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ,则A D '⊥BD ,显然不成立, 故A D BC '⊥不成立,故①错误;②棱锥'A BCD -的体积为113226⋅=,故②错误; ③由①知CD ⊥平面A BD ',故③正确;④由①知CD ⊥平面A BD ',又A B '⊂平面A BD ',CD A B '∴⊥, 又A B A D ''⊥,且'A D 、CD ⊂平面A DC ',A D CD D '=,A B '∴⊥平面A DC ',又A B '⊂平面'A BC ,∴平面'A BC ⊥平面A DC ',故④正确.故选:B .【点睛】本题通过折叠性问题,考查了面面垂直的性质,面面垂直的判定,考查了体积的计算,关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化,也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.4.B解析:B【分析】n α⊥必有n 平行α的垂线,或者n 垂直α的平行平面,依次判定选项即可.【详解】解:αβ⊥,m β⊂,不能说明n 与α的关系,A 错误;//αβ,n β⊥能够推出n α⊥,正确;αβ⊥,//n β可以得到n 与平面α平行、相交,所以不正确.//m α,n m ⊥则n 与平面α可能平行,所以不正确.故选:B .【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力,是基础题.5.D解析:D【分析】在正四面体ABCD 中易证AB CD ⊥,即90α=,然后作出直线AB 与平面BCD 所成的角,二面角C AB D --的平面角,在将之放到三角形中求解比较其大小.【详解】在正四面体ABCD 中,设棱长为2,设O 为底面三角形BCD 是中心,则AO ⊥平面BCD .取CD 边的中点E ,连结,AE BE , 如图.则易证,AE CD BE CD ⊥⊥,又AEBE E =. 所以CD ⊥平面ABE ,又AB ⊆平面ABE ,所以AB CD ⊥. 所以异面直线AB 与CD 所成的角为90α=.又AO ⊥平面BCD .所以直线AB 与平面BCD 所成的角为β=ABO ∠在ABO 中,233BO BE ==,2AB =所以cos 3BO ABO AB ∠==. 取边AB 的中点F ,连结,CF FD ,则有,CF AB FD AB ⊥⊥,所以二面角C AB D --的平面角为CFD γ=∠,在CFD △中,2CF FD CD === 由余弦定理有:2221cos 23CF FD CD CFD CF FD +-∠==⨯⨯,即1=90cos cos =3αβγ=>,, 所以βγα<<,故选:D.【点睛】本题考查异面直线成角,线面角,二面角的求法,关键是在立体图中作出相应的角,也可以用向量法,属于中档题. 6.D解析:D【分析】解:设G ,H ,I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点,证明平面1//A BGE 平面1B HI ,得到1//B F 面1A BE ,则F 落在线段HI 上,求出112HI CD == 【详解】解:设G ,H ,I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点, 1//A B EG ,则1A BEG 四点共面,11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ,又1//B F 面1A BE ,F ∴落在线段HI 上,正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ,112HI CD ∴==,即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a . 故选:D .【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度,找到动点的运动轨迹是解题的关键,属于基础题. 7.D解析:D【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确;根据线面平行的判定定理可知B 正确; 根据面面垂直的性质定理可知C 正确;根据线面垂直的判定定理可知D 错误.【详解】对于A ,因为αβ⊥,所以存在直线a ⊂α,使a ⊥β,又β∥γ,所以a ⊥γ,有α⊥γ,正确;对于B ,α⊥β,设α∩β=m ,则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ,满足l ∥m , 根据线面平行的判定定理可知,l ∥β,正确;对于C ,过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ,根据面面垂直的性质定理可知,m 既在平面α又在平面β内,所以直线l 与直线m 重合,即有l ⊥γ,正确;对于D ,若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β不一定成立,D 错误.故选:D .【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断,考查学生的逻辑推理能力,属于中档题. 8.D解析:D【分析】根据直线与平面平行的判定及相关性质,一一验证各选项即可得出答案.【详解】解:A 项,若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则l 可能平行于平面α,也可能位于平面α内,故A 项错误;B 项,直线a 在平面α外,则直线a 与平面α可能平行,也可能相交,故B 错误;C 项,直线,a b b φα⋂=⊂,所以a 可能与平面α相交或与平面α平行,故C 项错误;D 项,直线a ∥b ,b α⊂,当a ∥α时,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行;当a α⊂时,除了直线a 本身,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行,因此直线a 平行于平面α内的无数条直线,故D 项正确.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定及相关性质,属于基础题型.9.B解析:B【分析】由三视图可知,该构件是长为100,宽为20,高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20,高为10的小长方体的一个几何体,进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知,该构件是长为100,宽为20,高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20,高为10的小长方体的一个几何体,如下图所示,其表面积为:()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法,考查三视图,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.10.B解析:B【分析】求出三棱锥A BCD -的外接球半径R ,可知截面面积的最大值为2πR ,当球心O 到截面的距离最大时,截面面积最小,此时球心O 到截面的距离为OM ,截面圆的半径的最小值22R OM -,进而可求出截面面积的最小值.【详解】三棱锥A BCD -是正四面体,棱长为2,将三棱锥A BCD -放置于正方体中, 可得正方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球.因为三棱锥A BCD -的棱长为22, 可得外接球直径22226R =++=62R =,故截面面积的最大值为2263πππ2R ⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭. 因为M 是BD 上的点,当球心O 到截面的距离最大时,截面面积最小,此时球心O 到截面的距离为OM ,△OBD 为等腰三角形,过点O 作BD 的垂线,垂足为H , 222662,1222OD OH OD HD ⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 得222113244OM OH HM =+=+=, 则所得截面半径的最小值为22633444R OM -=-=, 所以截面面积的最小值为233ππ()44=. 故Ω的取值范围为3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选:B.【点睛】外接球问题与截面问题是近年来的热点问题,平常学习中要多积累,本题考查学生的空间想象能力、推理能力及计算求解能力,属于中档题.11.C解析:C【分析】根据//AD BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ︒∠=, 易得 CD BD ⊥,再根据,平面A BD '⊥平面BCD ,得CD ⊥平面A BD ',可判断③的正误;由二面角A BD C '--为直二面角,可得A H '⊥平面BCD ,则可求出A BDC V '-,进而可判断②的正误;根据CD ⊥平面A BD ',有CD A B '⊥,,A B A D ''⊥ 得A B '⊥平面CDA ',④利用面面垂直的判定定理判断④的正误;根据CD ⊥平面A BD ',有CD A D '⊥,若A D BC '⊥,则可证A D '⊥平面BCD ,则得到A D BD '⊥,与已知矛盾,进而可判断①的正误.【详解】由题意,取BD 中点H ,连接A H ',则折叠后的图形如图所示:由二面角A BD C '--为直二面角,可得A H '⊥平面BCD ,则A H CD '⊥,∴A BDC V '-=1221326⨯⨯=,②正确, ∵CD BD ⊥,A H CD '⊥,且A H BD H '=,∴CD ⊥平面A BD ',故③正确,∵1A B '=,由几何关系可得3A C '=,2BC =,∴2222132A B A C BC ''+=+==,∴A B A C ''⊥,由CD ⊥平面A BD ',得CD A B '⊥,又A CCD C '=∴A B '⊥平面A DC ',∵A B '⊂平面A BC ',∴ 平面A BC '⊥平面A DC ',④正确, CD ⊥平面A BD ',CD A D '∴⊥,若A D BC '⊥,则可证A D '⊥平面BCD ,则得到A D BD '⊥,与已知矛盾,所以①错误.故选C .【点睛】本题通过折叠性问题,考查了面面垂直的性质,面面垂直的判定,考查了体积的计算,解题关键是利用好直线与平面,平面与平面垂直关系的转化关系,属于中档题.12.C解析:C【分析】取11A C 的中点F ,连接DF 、EF 、CF ,推导出四边形BDFE 为平行四边形,可得出//BE DF ,可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠,通过解CDF ,利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值.【详解】取11A C 的中点F ,连接DF 、EF 、CF .易知EF 是111A B C △的中位线,所以11//EF A B 且1112EF A B =. 又11//AB A B 且11AB A B =,D 为AB 的中点,所以11//BD A B 且1112BD A B =,所以//EF BD 且EF BD =.所以四边形BDFE 是平行四边形,所以//DF BE ,所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.因为4AC BC ==,AC BC ⊥,15CC =,D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点, 所以111122C F AC ==,111122B E BC ==且CD AB ⊥. 由勾股定理得22442AB =+=2242AC BC CD AB ⋅=== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=2222115229DF BE BB B E ==+=+=.在CDF 中,由余弦定理得((22229222958cos 2922922CDF +-∠==⨯⨯. 故选:C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算,一般利用平移直线法找出异面直线所成的角,考查计算能力,属于中等题. 13.A解析:A【分析】利用平面与平面垂直的判定定理,平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可.【详解】由α,β为两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂,知: 在A 中,l β⊥,则αβ⊥,满足平面与平面垂直的判定定理,所以A 正确; 在B 中,若l m ⊥,不能得到l β⊥,也不能得到m α⊥,所以得不到αβ⊥,故B 错误;在C 中,若αβ⊥,则l 与m 可能相交、平行或异面,故C 不正确;在D 中,若//αβ,则由面面平行的性质定理得l β//,不一定有//l m ,也可能异面,故D 错误.故选:A .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.14.C解析:C【分析】设2AB x =,则AE x =,29BC x =-,由余弦定理可得2225393923939x x x =++-⨯⨯+⨯,求出x ,即可求出球O 的直径. 【详解】 根据题意,长方体内接于球O 内,则球的直径为长方体的体对角线,如图作出长方体1111ABCD A B C D -:设2AB x =,则AE x =,29BC x =-,由余弦定理可得:2225393923939x x x =++-⨯+,∴1x =6, ∴2AB =,22BC =O 4484++=;或26AB =3BC =,球O 2424351++=故选:C .【点睛】本题考查球的直径的计算方法,考查余弦定理,考查计算能力和分析能力,属于常考题.二、解答题15.(1)证明见解析;(2)823π. 【分析】 (1)由已知条件知AD ⊥面DPC ,即有AD CE ⊥,由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥,结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD .(2)由勾股定理可证AEC 为直角三角形,且ABC 为等腰直角三角形,即可知AC 的中点O 为外接球的球心,进而得到半径求球的体积.【详解】 (1)由90ADP ∠=知:AD DP ⊥,底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥,又DP DC D =,∴AD ⊥面DPC ,而CE ⊂面DPC ,即AD CE ⊥,∵PD AD DC ==,60PDC ∠=,∴PDC △为等边三角形,E 为PD 的中点,故CE DP ⊥,∵DP AD D ⋂=,∴CE ⊥平面PAD .(2)由(1)知:ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ,有22AC =, 在AEC 中3,5CE AE ==,即222AC CE AE =+,故AE CE ⊥,∴由上知:ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形,由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知:OE OC OA OB ===,即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心, ∴外接球的半径为22AC =, 所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)3V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛:(1)由90°及正方形有线面垂直:AD ⊥面DPC ,再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ;(2)由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形,同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形,即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心,进而求体积. 16.(1)证明见解析;(2【分析】(1)由已知条件可得2221111A B AB AA +=,2221111AB B C AC +=,则111AB A B ⊥,111AB B C ⊥,再利用线面垂直的判定定理可证得结论;(2)如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连接AD ,可证得1C D ⊥平面1ABB ,从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角,然后在1Rt C AD 求解即可【详解】(1)证明: 由2AB =,14AA =,12BB =,1AA AB ⊥,1BB AB ⊥得111AB A B ==,所以2221111A B AB AA +=,由111AB A B ⊥.由2BC =,12BB =,11CC =,1BB BC ⊥,1CC BC ⊥得11B C =, 由2AB BC ==,120ABC ∠=︒得AC =由1CC AC ⊥,得1AC =,所以2221111AB B C AC +=,故111AB B C ⊥,又11111A B B C B =,因此1AB ⊥平面111A B C . (2)解 如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连接AD . 由1AB ⊥平面111A B C ,1AB ⊂平面1ABB ,得平面111A B C ⊥平面1ABB ,由111C D A B ⊥,得1C D ⊥平面1ABB , 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由11B C =11AB =,11AC =得111cos C A B ∠=,111sin C A B ∠=,所以1C D,故111sin 13C D C AC AD ∠==. 因此,直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.【点睛】关键点点睛:此题考查线面垂直的判定和线面角的求法,解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连接AD ,然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角,从而在三角形中求解即可,考查推理能力和计算能力,属于中档题 17.(1)证明见解析;(2)30.【分析】(1)AC 和BD 交于点O ,则O 为BD 的中点.推导出1//PO BD .由此能证明直线1//BD 平面PAC ;(2)由1//PO BD ,得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【详解】(1)证明:设AC 和BD 交于点O ,则O 为BD 的中点.连结PO ,又因为P 是1DD 的中点,所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ,1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.(2)解:由(1)知,1//PO BD ,所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥, 所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦,所以30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.【点睛】方法点睛:异面直线所成的角的求法方法一:(几何法)找→作(平移法、补形法)→证(定义)→指→求(解三角形) 方法二:(向量法)cos m nm n α=,其中α是异面直线,m n 所成的角,,m n 分别是直线,m n 的方向向量.18.(1)证明见解析;(221. 【分析】(1)由题意可得11//OE B C ,1//OF C C ,利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ,由面面平行的性质定理即可证明. (2)利用等体法111112A A B C C AA B V V --=,求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =,由11sin d A C θ=即可求解. 【详解】证明:(1)∵O ,E 分别是11A C 、11A B 的中点,1A C 与1AC 交于点F ,∴11//OE B C ,1//OF C C ,1111B C C C C ⋂=,//OE ∴平面11B C C ,//OF ∴平面11B C C ,又OE OF O ⋂=,∴平面//OEF 平面11BB C C ,∵EF ⊂平面OEF ,∴//EF 平面11BB C C .(2)解:设点1C 到平面11AA B 的距离为d ,∵111112A A B C C AA B V V --=, ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯,22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=,∵11AA B 中,11122A B AB ==,12AA =, ∴117AA B S = ∴1112237323d ⨯⨯⨯=, 解得217d =, 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ,∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为:1121sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛:证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理.(3)利用面面平行的性质.19.(1)截面见解析,面积为2;(2)12.【分析】(1)先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系,再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置,从而截面的形状可确定以及截面面积可求;(2)记11ME AC H =,通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角,从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.【详解】(1)如图截面为矩形EFNM :因为//EF 平面11ADD A ,且平面EFNM平面11ADD A MN =,所以//EF MN , 又因为111111////,==22EF BC AD EF BC AD ,且3DG GA =,所以可知111//,2MN AD MN AD =, 所以//,MN EF MN EF =,所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点, 所以四边形EFNM 为矩形,且112,2EF ME =+==,所以截面EFNM 的面积为22;(2)记11ME AC H =,连接GH ,如图所示:因为//NF AB ,AB ⊥平面11AA D D ,所以NF ⊥平面11AA D D ,又1AG ⊂平面11AA D D ,所以1NF A G ⊥, 由(1)知1//MN AD 且11A D AD ⊥,所以1MN A D ⊥,所以1MN AG ⊥,且MN NF N =,1A G ⊥平面EFNM ,所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠, 因为111222442AG A D ===,111122A H AC ==,所以1111sin 2A G A HG A H ∠==, 所以11A C 与平面α所成角的正弦值为12. 【点睛】方法点睛:求解线面角的正弦值的两种方法:(1)几何法:通过线面垂直的证明,找到线面角,通过长度的比值即可计算线面角的正弦值;(2)向量法:求解出直线的方向向量和平面的法向量,根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.20.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)23. 【分析】(1)证明DE AC ⊥,AC BD ⊥,AC ⊥平面BDE 即得证;(2)设AC BD O =,取BE 中点G ,连接FG ,OG ,证明//AO 平面BEF ,即证//AC 平面BEF ;(3)先求出四面体BDEF 的体积43V =,再根据12BOEF BDEF V V =求解. 【详解】(1)证明:平面ABCD ⊥平面ADEF ,90ADE ∠=︒, DE ∴⊥平面ABCD ,DE AC ∴⊥.ABCD 是正方形,AC BD ∴⊥,因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,AC ∴⊥平面BDE .(2)证明:设AC BD O =,取BE 中点G ,连接FG ,OG ,OG 为BDE 的中位线1//2OG DE ∴//AF DE ,2DE AF =,//AF OG ∴, ∴四边形AFGO 是平行四边形, //FG AO ∴.FG ⊂平面BEF ,AO ⊂/平面BEF ,//AO ∴平面BEF ,即//AC 平面BEF .3()平面ABCD ⊥平面ADEF ,AB AD ⊥,AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===,,,DEF ∴的面积为122DEF S ED AD =⨯⨯=, ∴四面体BDEF 的体积1433DEF V S AB =⋅⨯= 又因为O 是BD 中点,所以1223BOEF BDEF V V == 2.3BOEF V ∴= 【点睛】方法点睛:求几何体的体积的方法:方法一:对于规则的几何体一般用公式法.方法二:对于非规则的几何体一般用割补法.方法三:对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法. 21.(1)证明见解析;(2)90;(3)M ∈平面CFG ,理由见解析.【分析】(1)设BD EC O ⋂=,连接MO ,由线面平行的性质可得//PB MO ,可得MD OD MP OB =,由//ED BC 可得12OD ED OB BC ==,即可证明; (2)取BE 中点Q ,连接PQ ,通过面面垂直的性质可得PQ ⊥平面BCDE ,进而可得PQ EC ⊥,再由EC BE ⊥可得EC ⊥平面PBE ,即平面PBE ⊥平面PEC ,即得出结果;(3)延长ED 到N ,使ED DN =,连接,,CN PN GN ,证明//FG CN ,可得,,,F C N G 确定平面FCNG ,判断M 是PEN △的重心,可得M ∈平面CFG .【详解】(1)设BD EC O ⋂=,连接MO ,//PB 平面CEM ,PB ⊂平面PBD ,平面PBD 平面CEM MO =,//PB MO ∴,MD OD MP OB ∴=, //ED BC ,12OD ED OB BC ∴==, 12MD MP ∴=,即2MP DM =; (2)取BE 中点Q ,连接PQ ,PB PE =,PQ BE ∴⊥,又平面PBE ⊥平面BCDE ,PQ ∴⊥平面BCDE , EC ⊂平面BCDE ,PQ EC ∴⊥,2BE EC ==,2BC =,满足222BE EC BC +=,EC BE ∴⊥,PQ BE Q ⋂=,EC ∴⊥平面PBE ,EC ⊂平面PEC ,∴平面PBE ⊥平面PEC ,∴二面角B PE C --的大小为90;(3)延长ED 到N ,使ED DN =,连接,,CN PN GN ,,F G 分别是,PB PE 的中点,//FG BE ∴,2BC ED =,BC EN ∴=,//BC EN ,∴四边形BCNE 是平行四边形,//BE CN ∴,//FG CN ∴,则,,,F C N G 确定平面FCNG ,PEN 中,PD 是EN 边中线,且:2:1PM MD =,M ∴是PEN △的重心,又GN 为PE 边的中线,则M 在GN 上,∴M ∈平面CFG .【点睛】关键点睛:(1)本问考查线段比例关系的证明,解题的关键是由平行得出比例关系,利用等量替换求解;(2)本问考查二面角的求解,解题的关键是证明平面PBE ⊥平面PEC ,从而得出二面角为90;(3)本问考查平面的性质,解题的关键是作出恰当的辅助线,延长ED 到N ,使ED DN =,通过//FG CN 得出,,,F C N G 确定平面FCNG ,再通过M 是PEN △的重心得出M 在GN 上.22.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)先证明BC ⊥平面PDC ,再利用线线平行证明GF ⊥平面PDC ,即证面面垂直; (2)先利用中位线证明//EG PM ,////GF BC AD ,再由此证明面面平行即可.【详解】(1)证明:由已知MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ,∴PD BC ⊥.∵四边形ABCD 为正方形,∴BC DC ⊥, 又PD DC D ⋂=,∴BC ⊥平面PDC ,在PBC 中,∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点,∴//GF BC ,∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ,∴平面EFG ⊥平面PDC .(2)∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,∴//EG PM ,//GF BC ,又∵四边形ABCD 是正方形,∴//BC AD ,∴//GF AD ,∵EG 、GF 在平面PM A 外,PM 、AD 在平面PM A 内,∴//EG 平面PM A ,//GF 平面PM A ,又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交,∴平面//EFG 平面PM A .【点睛】本题考查了线线、线面、面面之间平行与垂直关系的转化,属于中档题.23.(1)证明见解析;(2)14 【分析】(1)由余弦定理可得23BD =,证得AD BD ⊥,则BC BD ⊥由PD ⊥底面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,证得PD BC ⊥,得证.(2)Q 为PC 的中点,利用等积法12D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----===,即可求出结果. 【详解】(1) 在ABD △中,由余弦定理得2222cos 3BD BA AD BA AD DAB =+-⋅∠=, ∵222AD BD AB +=,∴AD BD ⊥,∵//AD BC ,∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ,BC ⊂平面ABCD∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=,∴BC ⊥平面PBD .(2)因为Q 为PC 的中点,所以三棱锥D PBQ -的体积A PBQ V -,与三棱锥D QBC -的体积相等, 即1111313232412D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=⨯⨯⨯⨯⨯====. 所以三棱锥A PBQ -的体积14D PBQ V -=. 【点睛】 本题主要考查了线面垂直的证明,在含有长度时需要解三角形来证垂直,并且不要忘记线面垂直的性质运用,在求三棱锥的体积时注意等体积法的使用24.(1)E 为PD 的中点;(2)2. 【分析】(1)E 为PD 的中点,连接BD 交AC 于点O ,连接OE ,则//OE PB ,故而//PB 平面AEC ; (2)点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍,由1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==可得答案. 【详解】(1)E 为PD 的中点.证明:连接BD ,使AC 交BD 于点O ,取PD 的中点为E ,连接EO ,∵O ,E 分别为BD ,PD 的中点,∴//OE PB .又OE ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,∴//PB 平面AEC .(2)222AC PC PA =-=∴222AB BC AC +=,∴AB BC ⊥,即菱形ABCD 为正方形.又点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍, 设点E 到平面PAC 的距离为h , ∴1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==, 11111111132322h ⎛⎛⎫⨯⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎝⎭解得4h =. 【点睛】本题考查了线面平行的判定,等体积法求棱锥的高,属于基础题.25.(1)证明见解析;(2.【分析】(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,易证1,C O BD CO BD ⊥⊥,由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ,然后再利用面面垂直的判定定理证明. (2)由(1)知BD ⊥平面1C OC ,且平面1C BD ⋂平面CBD BD =,得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ,然后在1Rt C OC ∆中求解.【详解】(1)∵在正方体1111ABCD A B C D -中, 点O 是BD 中点 , 又11BC DC = , BC DC = ,∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥ 11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC , BD ∴⊥平面1C OC ,又∵BD ⊂平面11BDD B ,∴平面11BDD B ⊥平面1C OC .…(2)由(1)知:平面1C BD ⋂平面CBD BD =,11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD 所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角则在正方体1111ABCD A B C D -中11,2C C OC ==∴在1Rt C OC ∆中,11tan C C C OC OC∠==故二面角1C BD C -- .【点睛】本题主要考查线面垂直,面面垂直的判定定理以及二面角的求法,还考查了逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题.26.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)若要证BF //平面PAD ,只要BF 所在面和平面PAD 平行即可;(2)若要证平面BEF ⊥平面PCD ,只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】(1)∵AB CD ∥,2CD AB =,E 是CD 的中点, ∴AB DE ,即ABED 是平行四边形.∴BE AD .∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD , ∴BE 平面PAD ,又EF PD ,EF ⊄平面PAD ,PD ⊂平面PAD , ∴EF 平面PAD ,EF ,BE ⊂平面BEF ,且EFBE E =,∴平面BEF 平面PAD . ∵BF ⊂平面BEF ,∴BF ∥平面PAD .(2)由题意,平面PAD ⊥平面ABCD ,且两平面交线为AD ,CD ⊂平面ABCD ,CD AD ⊥,∴CD ⊥平面PAD .∴CD PD ⊥.∴CD EF ⊥.又CD BE ⊥,BE ,EF ⊂平面BEF ,且EE EF E ⋂=,∴CD ⊥平面BEF .∵CD ⊂平面PCD ,∴平面BEF ⊥平面PCD .【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明,解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理,往往使用逆推法进行证明,需要较强的空间感和空间预判,属于较难题.。

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立体几何单元测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面四个命题:①分别在两个平面内的两直线是异面直线;②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.其中正确的命题是()A.①②B.②④C.①③D.②③答案:B2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是() A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交解析:由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选B.答案:B3.一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是()A.1个B.3个C.1个或3个D.1个或3个或4个解析:当A、B、C共线且与l平行或相交时,确定一个平面;当A、B、C共线且与l 异面时,可确定3个平面;当A、B、C三点不共线时,可确定4个平面.答案:D4.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是()A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点答案:D5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,P A⊥面ABC,AB=AC,D是BC的中点,则图中直角三角形的个数是()A.5 B.8C.10 D.6解析:这些直角三角形是:△P AB,△P AD,△P AC,△BAC,△BAD,△CAD,△PBD,△PCD.共8个.答案:B6.下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外,它的三条边所在直线分别交α于P、Q、R,则P、Q、R三点共线.②若三条平行线a、b、c都与直线l相交,则这四条直线共面.③三条直线两两相交,则这三条直线共面.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:易知①与②正确,③不正确.答案:C7.若平面α⊥平面β,α∩β=l,且点P∈α,P∉l,则下列命题中的假命题是()A.过点P且垂直于α的直线平行于βB.过点P且垂直于l的直线在α内C.过点P且垂直于β的直线在α内D.过点P且垂直于l的平面垂直于β答案:B8.如右图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM()A.与AC、MN均垂直相交B.与AC垂直,与MN不垂直C.与MN垂直,与AC不垂直D.与AC、MN均不垂直解析:易证AC⊥面BB1D1D,OM⊂面BB1D1D,∴AC⊥OM.计算得OM2+MN2=ON2=5,∴OM⊥MN.答案:A9.(2010·江西高考)如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是()A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③解析:将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得平面与直线AB,B1C1都相交,故③错误,排除A,B,D.答案:C10.已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离相等,则正确的结论是() A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必不垂直于αC.平面ABC必与α相交D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析:排除A、B、C,故选D.答案:D11.(2009·广东高考)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③(1)BD 与CD 的关系为________.(2)∠BAC =________.解析:(1)AB =AC ,AD ⊥BC ,∴BD ⊥AD ,CD ⊥AD ,∴∠BDC 为二面角的平面角,∠BDC =90°,∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ,则斜边长为2a .∴BD =CD =22a . ∴折叠后BC =⎝⎛⎭⎫22a 2+⎝⎛⎭⎫22a 2=a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形.∴∠BAC =60°.答案:(1)BD ⊥CD (2)60°16.在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ,交CC ′于F ,则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形.④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________.(写出所有正确结论的编号)解析:如图所示:∵BE =FD ′,ED ′=BF ,∴四边形BFD ′E 为平行四边形.∴①正确.②不正确(∠BFD ′不可能为直角).③正确(其射影是正方形ABCD ).④正确.当E 、F 分别是AA ′、CC ′中点时正确.答案:①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如下图,已知ABCD 是矩形,E 是以CD 为直径的半圆周上一点,且面CDE ⊥面ABCD .求证:CE ⊥平面ADE .证明: ⎭⎪⎬⎪⎫面ABCD ⊥面CED ABCD 为矩形 ⎭⎪⎬⎪⎫⇒AD ⊥面CDE ⇒AD ⊥CE点E 在直径为CD 的半圆上⇒CE ⊥ED 又AD ∩ED =D⇒CE ⊥面ADE .18.(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知:如图,三棱锥S —ABC ,SC ∥截面EFGH ,AB ∥截面EFGH .求证:截面EFGH 是平行四边形.证明:∵SC ∥截面EFGH ,SC ⊄平面EFGH ,SC ⊂平面ASC ,且平面ASC ∩平面EFGH =GH , ∴SC ∥GH .同理可证SC ∥EF ,∴GH ∥EF .同理可证HE ∥GF .∴四边形EFGH 是平行四边形.19.(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =23a ,如图.(1)求证:MN∥面BB1C1C;(2)求MN的长.解:(1)证明:作NP⊥AB于P,连接MP.NP∥BC,∴APAB=ANAC=A1MA1B,∴MP∥AA1∥BB1,∴面MPN∥面BB1C1C.MN⊂面MPN,∴MN∥面BB1C1C.(2)NPBC=ANAC=23a2a=13,NP=13a,同理MP=23a.又MP∥BB1,∴MP⊥面ABCD,MP⊥PN.在Rt△MPN中MN=49a2+19a2=53a.20.(12分)(2009·浙江高考)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(1)证明:PQ∥平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.解:(1)证明:因为P,Q分别为AE,AB的中点,所以PQ∥EB.又DC∥EB,因此PQ∥DC,又PQ⊄平面ACD,从而PQ∥平面ACD.(2)如图,连接CQ,DP,因为Q为AB的中点,且AC=BC,所以CQ⊥AB. 因为DC⊥平面ABC,EB∥DC,所以EB⊥平面ABC,因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC,又PQ=12EB=DC,所以四边形CQPD为平行四边形,故DP∥CQ,因此DP⊥平面ABE,∠DAP为AD和平面ABE所成的角,在Rt△DP A中,AD=5,DP=1,sin∠DAP=5 5,因此AD和平面ABE所成角的正弦值为55.21.(12分)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD 的中点.求证:(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.证明:(1)在△ABD中,∵E、F分别是AB、BD的中点,∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD,EF⊄平面ACD,∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中,∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.在△BCD中,∵CD=CB,F为BD的中点,∴CF⊥BD.∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面EFC,又∵BD⊂平面BCD,∴平面EFC⊥平面BCD.22.(12分)(2010·安徽文)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B—DEF的体积.解:(1)证明:设AC与BD交于G,则G为AC中点,连接EG,GH,由于H为BC中点,故GH綊12AB.又∵EF綊12AB,∴EF綊GH,∴四边形EFHG为平行四边形,∴EG∥FH,而EG⊂平面EDB,FH⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.(2)证明:由于四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC,∵EF∥AB,∴EF⊥BC,而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.∵BF=FC,H为BC中点,∴FH⊥BC,∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,∵FH∥EG,∴AC⊥EG.∵AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB. (3)∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,∴BF是四面体B—DEF的高,∵BC=AB=2,∴BF=FC= 2.∴V B-DEF=13×12×1×2×2=13.。

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