高三数学立体几何专题复习课程
高三数学立体几何专
题
专题三 立体几何专题
【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,着重考查空
间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解,考查画图、识图、用图的能力;解答题一般以简单几何体为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题,综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的同时,关注对平行、垂直关系的探究,关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究.
【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三
视图、直观图,表面积体积的计算,空间点、直线、平面的位置关系判断与证明,(理科)空间向量在平行、垂直关系证明中的应用,空间向量在计算空间角中的应用等.
【例题解析】
题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算
例1(2008高考海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为 A . 22
B . 32
C . 4
D . 52
分析:想像投影方式,将问题归结到一个具体的空间几何体中解决. 解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算,如图设长方体的
高宽高分别为,,m n k =
=1n ?=,
a =
b =,所以22(1)(1)6a b -+-=
228a b ?+=,22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4
a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号.
点评:本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个,我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影,使问题获得了圆满的解决.
例2 (2008高考山东卷、2009年福建省理科数学高考样卷第3题)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A .9π
B .10π
C .11π
D .12π
分析:想像、还原这个空间几何体的构成,利用有关的计算公式解答. 解析:这个空间几何体是由球和圆柱组成的,圆柱的底面半径是1,母线长是3,球的半径是1,故其表面积是22213214112ππππ??+??+?=,答案D .
点评:由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则.
例3(江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题)已知一个正三棱锥
P ABC -的主视图如图所示,若32
AC BC ==
, 6PC ,则此正三棱锥的全面积为_________.
分析:正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥,根据这个主试图知道,主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱,并且和底面三角形的一条边垂直,这样就知道了这个三棱锥的各个棱长.
解析:这个正三棱锥的底面边长是36,故底面正三角形的中心到
一个顶点的距离是23
333=22
363+=,由此知道这个正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形,
故其全面积是2
34393=93 点评:由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题,对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向,这是三视图问题的核心. 题型2 空间点、线、面位置关系的判断
例4(江苏苏州市2009届高三教学调研测试7)已知n m ,是两条不同的直线,βα,为两个不同的平面,有下列四个命题:
①若βα⊥⊥n m ,,m n ⊥,则βα⊥; ②若n m n m ⊥,//,//βα,则βα//; ③若n m n m ⊥⊥,//,βα,则βα//; ④若βαβα//,//,n m ⊥,则n m ⊥.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)_______________. 分析:根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断. 解析:我们借助于长方体模型解决.①中过直线,m n 作平面γ,可以得到平面,αβ所成的二面角为直二面角,如图(1),故βα⊥①正确;②的反例如图(2);③的反例如图(3);④中由,m ααβ⊥P 可得m β⊥,过n 作平面γ可得n 与交线g 平行,由于m g ⊥,故m n ⊥.答案①④.
点评:新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型,本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的,在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的. 例5(浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是
A .若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ
B .若//,//,//,m n αβαβ则//m n
C .若,//,//m n αβαβ⊥,则m n ⊥
D .若//,//,//,m n m n αβ则//αβ 分析:借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断. 解析:对于//αβ,结合,//,m n αβ⊥则可推得m n ⊥.答案C .
点评:从上面几个例子可以看出,这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异,但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的,主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度.
题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算(文科解答题的主要题型)
例6.(2009江苏泰州期末16)如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为1DD 、DB 的 中点.
(1)求证:EF //平面11ABC D ; (2)求证:1EF B C ⊥; (3)求三棱锥EFC B V -1的体积.
分析:第一问就是找平行线,最明显的就是1EF BD P ;第二问转化为线面垂直进行证明;第三问采用三棱锥的等积变换解决. 解析:(1)连结1BD ,如图,在B DD 1?中, E 、F 分别为1D D ,DB 的中点,则
111111////EF D B
D B ABC D EF EF ABC D ??
??????
平面平面平面11ABC D .
(2)
11111111111111111,//B C AB
B C BC B C BD B C ABC D EF B C
AB B C ABC D EF BD BD ABC D AB BC B ⊥?
?⊥⊥⊥??????⊥??????
???=?
I 平面平面平面
(3)CF ⊥Q 平面11BDD B ,1CF EFB ∴⊥平面且2CF BF ==
11
32EF BD ==Q ,222211(2)26B F BF BB =+=+=
222211111(22)3
B E B D D E =+=+=
∴2
2
2
11EF B F B E += 即190EFB ∠=o
,
11113B EFC C B EF B EF V V S CF --?∴==??=111
32
EF B F CF ????=
11
362132
????= . 点评:这个题目也属于文科解答题的传统题型.空间线面位置关系证明的基本思想是转化,根据线面平行、垂直关系的判定和性质,进行相互之间的转化,如本题第二问是证明线线垂直,但问题不能只局限在线上,要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上,通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的,但证明线面垂直又得借助于线线垂直,在不断的相互转化中达到最终目的.立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形,可以通过“换顶点”实行等体积变换,这也是求点面距离的基本方法之一.
例7.(江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题)在四棱锥
P ABCD -中,90ABC ACD ∠=∠=o ,60BAC CAD ∠=∠=o ,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点,22PA AB ==. (1)求四棱锥P ABCD -的体积V ;
(2)若F 为PC 的中点,求证PC ⊥平面AEF ; (3)求证CE ∥平面PAB .
分析:第一问只要求出底面积和高即可;第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明;第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的
判定定理解决,也可以通过证明面面平行解决,即通过证明直线CE 所在的一个平面和平面PAB 的平行解决.
解析:(1)在ABC ?Rt 中,1,60AB BAC =∠=o ,∴3BC 2AC =. 在ACD Rt Δ中,2,60AC ACD =∠=o ,∴3,4CD AD ==. ∴1
12
2
ABCD S AB BC AC CD =?+?115
1322332
2
2
=???= 则155
323323
V == (2)∵PA CA =,F 为PC 的中点,∴AF PC ⊥.
∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA CD ⊥,∵AC CD ⊥,PA AC A =I ,∴CD ⊥平面PAC ,∴CD PC ⊥.
∵E 为PD 中点,F 为PC 中点,∴EF ∥CD ,则EF CD ⊥,∵AF EF F =I ,∴PC ⊥平面AEF . (3)证法一:
取AD 中点M ,连,EM CM .则EM ∥PA ,∵EM ?平面PAB ,PA ?平面PAB ,
∴EM ∥平面PAB .
在ACD ?Rt 中,60CAD ∠=o ,2AC AM ==,∴60ACM ∠=o .而
60BAC ∠=o ,∴MC ∥AB .
∵MC ?平面PAB ,AB ?平面PAB , ∴MC ∥平面PAB .
∵EM MC M =I ,∴平面EMC ∥平面PAB .
∵EC ?平面EMC ,∴EC ∥平面PAB . 证法二:延长,DC AB ,设它们交于点N , 连PN .∵60NAC DAC ∠=∠=o ,AC CD ⊥, ∴C 为ND 的中点. ∵E 为PD 中点,∴EC ∥PN . ∵EC ?平面PAB , PN ?平面PAB , ∴EC ∥平面PAB .
点评:新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有 了诸多的变化.一个方面增加了空间几何体的三视图、 表面积和体积计算,拓展了命题空间;另一方面删除了 三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念
与性质、球的性质与球面距离,删除了空间向量,这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁,由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明(主要是平行与垂直).
题型4 空间向量在立体几何中的应用(理科立体几何解答题的主要题型) 例8.(2009年福建省理科数学高考样卷第18题)如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为11A D 和1CC 的中点. (1)求证:EF ∥平面1ACD ;
(2)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值;
(3)在棱1BB 上是否存在一点P ,使得二面角P AC P --的大小为30o ?若存在,求出BP 的长;若不存在,请说明理由.
【解析】解法一:如图分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,
由已知得()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()12,2,2B 、
()10,0,2D ()1,0,2E 、、()0,2,1F . (1)取1AD 中点G ,则()1,0,1G ,
()1,2,1CG =-u u u r ,又()1,2,1EF =--u u u r
,
由EF CG =-u u u r u u u r ,
∴EF u u u r 与CG u u u
r 共线.从而EF ∥CG ,
∵CG ?平面1ACD , EF ?平面1ACD ,∴EF ∥平面1ACD .
(2)∵()0,2,0AB =u u u r
,
6
cos ,||||26EF AB EF AB EF AB ?===
?u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为
3
6
.
(3)假设满足条件的点P 存在,可设点()2,2,P t (02t <≤),平面ACP
的一个法向量为(),,n x y z =r
,
则0,
0.
n AC n AP ??=???=??r u u u r
r u u u r
∵()0,2,AP t =u u u r ()2,2,0AC =-u u u r ,∴220,20,x y y tz -+=??+=? 取2(1,1,)n t
=-r .
易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,2)BB =u u u r
,
依题意知, 1,30BB n =o u u u r r
或150o ,
∴14||cos ,2BB N -=
=
u u u r u u r
,即22434
(2)4t t
=+
,解得3t =
∵
(0,2]3∈,∴在棱1BB 上存在一点P ,当BP
的长为3
P AC B --的大小为30o . 解法二:
(1)同解法一知()1,2,1EF =--u u u r ,()12,0,2AD =-u u u u r , ()2,2,0AC =-u u u r
,
∴112
EF AC AD =-u u u r u u u r u u u u r
,∴EF u u u r 、AC u u u r 、1AD u u u u r 共面.又∵EF ?平面1ACD ,
∴EF ∥平面1ACD . (2)、(3)同解法一.
解法三:易知平面1ACD 的一个法向量是()12,2,2DB =u u u u r
.又∵()1,2,1EF =--u u u r ,由10EF DB ?=u u u r u u u u r
·,
∴1EF DB ⊥u u u r u u u u r
,而EF ?平面1ACD ,∴EF ∥平面1ACD . (2)、(3)同解法一.
点评:本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识;考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力.利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种,一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线,二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论;三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.
例9(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第20题)已知几何体
-的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直A BCED
角三角形,正视图为直角梯形.
(1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
(2)求二面角A ED B
--的正弦值;
(3)求此几何体的体积V的大小.
【解析】(1)取EC 的中点是F ,连结BF ,则BF DE P ,∴FBA ∠或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角.在BAF ?中,42AB =25BF AF ==∴10cos ABF ∠=
. ∴异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为
10 (2)AC ⊥平面BCE ,过C 作CG DE ⊥交DE 于G ,连结AG . 可得DE ⊥平面ACG ,从而AG DE ⊥, ∴AGC ∠为二面角A ED B --的平面角. 在ACG ?Rt 中,90ACG ∠=o ,4AC =,
855CG =
,∴5
tan 2
AGC ∠=. ∴5
sin 3
AGC ∠=
. ∴二面角A ED B --5 (3)1
163BCED V S AC =??=,∴几何体的体积V 为16.
方法二:(坐标法)(1)以C 为原点,
以,,CA CB CE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则()4,0,0A ,(0,4,0)B ,(0,4,2)D ,()0,0,4E ,
(0,4,2),(4,4,0)DE AB =-=-u u u r u u u r
,
∴10
cos ,DE AB <>=u u u r u u u r
∴异面直线DE 与AB . (2)平面BDE 的一个法向量为(4,0,0)CA =u u u r
, 设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =r
, ,,n AD n DE ⊥⊥r u u u r r u u u r (4,4,2),(0,4,2)AD DE =-=-u u u r u u u r
∴0,0n AD n DE ==r u u u r r u u u r
g g
从而4420,420x y z y z -++=-+=,
令1y =,则(2,1,2)n =r , 2
cos ,3
CA n <>=u u u r r
∴二面角A ED B -- (3)1
163
BCED V S AC =??=,∴几何体的体积V 为16.
点评:本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法.空间向量对解决三类角(异面直线角、线面角、面面角)的计算有一定的优势.对理科考生来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外,不要忽视了传统的方法,有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量. 【专题训练与高考预测】
说明:文科以选择题、填空题和解答题前三题为主.理科以选择题、填空题和解答题后三题为主. 一、选择题
1.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的表面积为(不考虑接触点)
( )
A . 63π++
B . 1834π++
C . 1823π++
D . 32π+
2.某几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体的体积是 ( )
A .323+
B .233+
C .2233-
D . 3223-
3.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径
为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为
( ) A .π34
B .π38
C .π3
16
D .π3
32
4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45o ,腰和上底长均
为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 ( )
A .2
2
2
1+
B .2
21+
C .21+
D .22+
5. 一个盛满水的三棱锥容器S ABC -,不久发现三条侧棱上各有一个小洞
,,D E F ,且知:::2:1SD DA SE EB CF FS ===,若仍用这个容器盛水,则最多
可盛原来水的( )
A .
29
23
B .
27
19
C .
31
30
D .
27
23 6. 点P 在直径为2的球面上,过P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另
一条弦长的2倍,则这三条弦长之和为最大值是
( )
A .
5
B .
5
C .
5
D .
5
7.正方体''''ABCD A B C D -中,AB 的中点为M ,'DD 的中点为N ,异面直线
'B M 与CN 所成的角是
( )
A .30o
B .90o
C .45o
D .60o
8.已知异面直线a 和b 所成的角为50o ,P 为空间一定点,则过点P 且与,a b 所
成角都是30o 的直线有且仅有 ( )
A . 1条
B . 2条
C . 3条
D . 4条
9.如图所示,四边形ABCD 中,//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=∠=o o ,
将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成三棱锥A BCD -,则在三棱锥A BCD -中,下列命题正确的是
( )
A .平面ABD ⊥平面ABC
B .平面AD
C ⊥平面BDC
C .平面ABC ⊥平面BDC
D .平面ADC ⊥平面ABC
10.设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:① x 、y 、z 均为直线;
② x 、y 是直线,z 是平面;③ z 是直线,x 、y 是平面;④ x 、y 、z 均为平面.
其中使“x ⊥z 且y ⊥z ?x ∥y ”为真命题的是
( )
A . ③ ④
B . ① ③
C . ② ③
D . ① ②
11.已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面α、β,有下列命题 ①若//,m n n α?,则//m α;
②若l α⊥,m β⊥且l m P ,则αβP ;
③若,m m αα??,,m n ββP P ,则αβP ;
④若αβ⊥,m αβ=I ,n β?,n m ⊥,则n α⊥. 中正确的命题个数是 ( )
A .1
B . 2
C .3
D .4
12.直线AB 与直二面角l αβ--的两个面分别交于,A B 两点,且,A B 都不在棱
上,设直线AB 与平面,αβ所成的角分别为,θ?,则θ?+的取值范围是 ( )
A .(0,)2
π B .0,2π??
??
?
C .(,)2
π
π
D .{}2
π
二、填空题
13. 在三棱锥P ABC -中,2PA PB PC ===,30APB BPC CPA ∠=∠=∠=o ,
一只蚂蚁从A 点出发沿三棱锥的侧面绕一周,再回到A 点,则蚂蚁经过的最短路程是 .
14.四面体的一条棱长为x ,其它各棱长为1,若把四面体的体积V 表示成x 的
函数()f x ,则()f x 的增区间为 ,减区间为 .
15. 如图,是正方体平面展开图,在这个正方体中:① BM 与ED 平行; ②
CN 与BE 是异面直线;
③CN 与BM 成60o 角; ④DM 与BN 垂直. 以上四个说法中,正确说法的序号依次是 .
16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是11A B 的中点,则直线AE 与
平面11ABC D 所成的角的正弦值是 . 三、解答题
17.已知,如图是一个空间几何体的三视图. (1)该空间几何体是如何构成的; (2)画出该几何体的直观图; (3)求该几何体的表面积和体积.
18.如图,已知等腰直角三角形RBC ,其中90RBC ∠=o ,2==BC RB .点
,A D 分别是RB ,RC 的中点,现将RAD ?沿着边AD 折起到PAD ?位置,使
PA AB ⊥,连结PB 、PC .
(1)求证:BC PB ⊥;
(2)求二面角P CD A --的平面角的余弦值.
19.如下图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,11
2
AA AB =
,点,E M 分别为11,A B CC 的中点,过点1,,A B M 三点的平面1A BMN 交11C D 于点N .
(1)求证:EM P 平面1111A B C D ; (2)求二面角11B A N B --的正切值;
(3)设截面1A BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为12,V V (12V V <),
求12:V V 的值.
20. 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面为直角梯形,//,90AD BC BAD ?∠=,
PA 垂直于底面ABCD ,N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的
中点.
(1)求证:DM PB ⊥;(2)求BD 与平面ADMN 所成的角;(3)求截面
ADMN 的面积.
高三数学知识点总结:立体几何
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
高中文科数学立体几何知识点(大题)
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结(文科) 一.平行问题 (一) 线线平行: 方法一:常用初中方法(1中位线定理;2平行四边形定理;3三角形中对应边成比例;4同位角、内错角、同旁内角) 方法二:1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三:2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四:3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 (二) 线面平行: 方法一:4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二:5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? (三) 面面平行:6方法一:线线平 行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二:7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l I , 方法三:8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二.垂直问题:(一)线线垂直 方法一:常用初中的方法(1勾股定理的逆定理;2三线合一 ;3直径所对的圆周角为直角;4菱形的对角线互相垂直。) 方法二:9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?????⊥αα (二)线面垂直:10方法一:线线垂直?线面垂直 α α⊥??? ? ???? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥???????⊥=?⊥l l m l m , (面) 面面垂直: 方法一:12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥???? ?⊥l l 三、夹角问题:异面直线所成的角: (一) 范围:]90,0(?? (二)求法:方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角:直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法:就是放到三角形中解三角形 四、距离问题:点到面的距离求法 1、直接求, 2、等体积法(换顶点)
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
2011—2017高考全国卷文科数学立体几何总结
新课标全国卷 文科数学总结 立 体 几 何 一、选择题 【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径.若该几何体的体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点 A ,α∥平面11C B D ,α平面ABCD m =, α 平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A . 2 B .2 C .3 D .13 【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8 【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .15
高考文科数学 立体几何大题-知识点、考点及解题方法
立体几何大题题型及解题方法 立体几何大题一般考以下五个方面: 一、平行位置关系的证明 1、证明线面平行(重点) 解题方法:(1)线面平行判定定理;(2)面面平行的性质定理。 2、证明面面平行 解题方法:(1)面面平行的判定定理;(2)面面平行判定定理的推论;(3)垂直于同一直线的两平面平行;(4)平行平面的传递性。 3、平行位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 二、垂直位置关系的证明 1、证明线线垂直 解题方法: 2、证明线面垂直(重点) 解题方法: 3、证明面面垂直 4、垂直位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 三、求空间距离
1、点到平面的距离 解题方法: 2、空间线段长 解题方法:(1)解三角形法;(2)列方程法。 四、求几何体体积 五、求空间角 1、异面直线所成的角 2、直线与平面所成的角 考点一:如何判断空间中点、线、面的位置关系(排除法)
考点二:平行位置关系的证明 证明题一般的解题步骤: 一、根据题目的问题,确定要证明什么;根据题目的条件,确定用什么证明方法, 如果无法确定,则要通过逆向思维来分析题目; 二、看题目是否需要作辅助线(创造条件),证明平行位置问题一般作的辅助线是连等 分点,特别是中点; 三、根据确定的证明方法,看该方法需要多少个条件,然后看题目给的条件通过什 么方式给,如果是间接条件则需要推理证明得出,如果是直接条件或隐含条件则直接罗列; 四、准备好条件后,再次检查条件是否都满足,是否都罗列了,最后得出结论; 五、规范书写答案过程:一般过程为1、作辅助线;2、准备间接条件;3、罗列直接
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C