立体几何大题求体积习题集汇总
体积计算速算题目
体积计算速算题目题目一：正方体的体积计算已知一个正方体的边长为a，请计算该正方体的体积。
解答：正方体的体积可以通过边长a的立方来计算。
即体积V等于a的立方，表示为V = a³。
题目二：长方体的体积计算已知一个长方体的长为L，宽为W，高为H，请计算该长方体的体积。
解答：长方体的体积可以通过长、宽和高的乘积来计算。
即体积V等于长L乘以宽W乘以高H，表示为V = LWH。
题目三：球体的体积计算已知一个球体的半径为r，请计算该球体的体积。
解答：球体的体积可以通过半径r的立方乘以π再除以3来计算。
即体积V等于4/3乘以π乘以半径r的立方，表示为V = (4/3)πr³。
题目四：圆柱体的体积计算已知一个圆柱体的底面半径为r，高为h，请计算该圆柱体的体积。
解答：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算。
底面积等于π乘以半径的平方，即底面积A = πr²。
体积V等于底面积A乘以高h，表示为V = Ah，即V = πr²h。
题目五：圆锥体的体积计算已知一个圆锥体的底面半径为r，高为h，请计算该圆锥体的体积。
解答：圆锥体的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算。
底面积等于π乘以半径的平方，即底面积A = πr²。
体积V等于底面积A乘以高h 再除以3，表示为V = (1/3)Ah，即V = (1/3)πr²h。
题目六：棱柱的体积计算已知一个棱柱的底面积为B，高为h，请计算该棱柱的体积。
解答：棱柱的体积可以通过底面积乘以高来计算。
即体积V等于底面积B 乘以高h，表示为V = Bh。
题目七：棱锥的体积计算已知一个棱锥的底面积为B，高为h，请计算该棱锥的体积。
解答：棱锥的体积可以通过底面积乘以高再除以3来计算。
即体积V等于底面积B乘以高h再除以3，表示为V = (1/3)Bh。
题目八：棱台的体积计算已知一个棱台的上底面积为A，下底面积为B，高为h，请计算该棱台的体积。
文科高考数学立体几何大题求各类体积方法
A BCD PA B CDP文科高考数学立体几何大题求各类体积方法【三年真题重温】1.【2011⋅新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ．(Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32．3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.（1） 证明：PE ⊥BC（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。
6.【2012 新课标全国文】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
立体形的体积计算练习题
立体形的体积计算练习题为了更好地帮您回答题目“立体形的体积计算练习题”，我将按照数学练习题的格式来撰写文章。
如下：立体形的体积计算练习题1. 计算长方体的体积已知长方体的长为L，宽为W，高为H，请计算其体积V。
解答：长方体的体积计算公式为V = L × W × H。
根据题目中给出的长、宽、高的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知长方体的长L为5m，宽W为3m，高H为2m，代入公式V =5 × 3 × 2，计算得到体积V为30立方米。
2. 计算正方体的体积已知正方体的边长为a，请计算其体积V。
解答：正方体的体积计算公式为V = a³。
根据题目中给出的边长a的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知正方体的边长a为4cm，代入公式V = 4³，计算得到体积V为64立方厘米。
3. 计算圆柱体的体积已知圆柱体的底面半径为r，高为h，请计算其体积V。
解答：圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中π约等于3.14。
根据题目中给出的底面半径r和高h的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知圆柱体的底面半径r为5cm，高h为8cm，代入公式V = 3.14 ×5² × 8，计算得到体积V为628.8立方厘米。
4. 计算球体的体积已知球体的半径为r，请计算其体积V。
解答：球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中π约等于3.14。
根据题目中给出的半径r的数值，代入公式计算即可得到体积V的结果。
示例：已知球体的半径r为10cm，代入公式V = (4/3) × 3.14 × 10³，计算得到体积V为4186.7立方厘米。
总结：通过以上练习题的计算，我们可以学会如何计算不同立体形的体积。
无论是长方体、正方体、圆柱体还是球体，只需根据给定的尺寸数据，代入对应的体积计算公式，即可轻松求解。
专题10：立体几何中的体积问题(解析版)
专题10：立体几何中的体积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥；（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.（2）计算∆BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵1CC ⊂平面11CC B B ，CB ⊂平面11CC B B ，1CC CB C =，∴AC ⊥平面11CC B B ，∵1BC ⊂平面11CC B B ，∴1AC BC ⊥.（2）∵D 是AB 中点， ∴111343222BCD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， ∵1BB ⊥平面ABC ，114BB AA ==，∴111134433B BCD BCD V S BB -∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.2．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；（2）求三棱锥V ABC -的体积.【答案】（1）详见解答；（23. 【分析】（1）由已知可得OC AB ⊥，再由面面垂直定理可得OC ⊥平面VAB ，即可证明结论； （2）OC ⊥平面VAB ，用等体积法求三棱锥V ABC -的体积.【详解】（1）,AC BC O =为AB 中点，OC AB ∴⊥，平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面,VAB OC ∴⊂平面MOC ，平面MOC ⊥平面VAB ；（2）AC BC ⊥且2AC BC ==，O 分别为AB 的中点，11,2,2332VAB OC AB S ∆∴===⨯⨯=， OC ⊥平面VAB ，133V ABC C VAB VAB V V OC S --∆==⨯⨯=， 3V ABC V -∴=. 【点睛】本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.3．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.【答案】35(cm )3. 【分析】在Rt VMC ∆中求出3(cm),MC =在Rt ABC ∆中求出25(cm)BC =，再根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】 VM 是棱锥的高，VM MC ∴⊥.在Rt VMC ∆中，2222543(cm),MC VC VM =-=-=.26cm AC MC ∴==，在Rt ABC ∆中，22226425(cm)BC AC AB =-=-=.242585(cm )S AB BC ∴=⨯=⨯=底，3 11325854(cm )333V S VM ∴=⋅=⨯⨯=四棱锥底. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题.4．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（243 【分析】 （1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD ︒=⋅⋅=，故四棱锥P - ABCD 的体积1433V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.5．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出.（2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥（2）由（1）知AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面，且在边长为的菱形中，，所以，3 ，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3=⋅ =11233sin sin 32POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，P ABC V -的最大值为1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据等腰三角形证明PE AD ⊥，得到答案. （2）计算得到2AD =，22PE =，再利用体积公式计算得到答案. 【详解】（1）1PA PD ==，E 为AD 的中点，故PE AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =，故PE ⊥平面ABCD .（2）PA PD ⊥，1PA PD ==，故2AD =，22PE =. 故122223P ABCD V -=⨯⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.【答案】1:6【解析】【分析】棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可.【详解】解：已知的长方体可以看成直四棱柱ADD A BCC B '''-，设它的底面ADD A ''面积为S ，高为h ，则长方体的体积为ADD A BCC B V Sh '''-=.因为棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，且A DD ''的面积为12S ，棱锥C A DD ''-的高是h ，所以111326D A CD C A DD V V Sh Sh ''''--==⨯=. 因此所求体积之比为1:6.【点睛】本题考查了棱锥及棱柱的体积公式，重点考查了转换顶点求棱锥的体积，属基础题 8．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，11190AO B ︒∠=，求此圆柱的体积.【答案】22S l π. 【分析】 根据已知易得AOB 是等腰直角三角形，根据截面11A ABB 的面积为S 求出AB 长，进而求得底面圆面积再求体积即可。
数学题目立体几何的表面积与体积练习题
数学题目立体几何的表面积与体积练习题数学题目：立体几何的表面积与体积练习题1. 题目一：计算一个半径为3厘米的球体的表面积和体积。
解答：首先计算球的表面积。
球的表面积公式为S=4πR²，其中R 为球的半径。
代入半径为3厘米，得到表面积S=4π×3²=36π cm²。
接下来计算球的体积。
球的体积公式为V=4/3πR³，代入半径为3厘米，得到体积V=4/3π×3³=36π cm³。
2. 题目二：一个长方体的长、宽和高分别为5厘米、4厘米和6厘米。
求该长方体的表面积和体积。
解答：长方体的表面积公式为S=2(长×宽+长×高+宽×高)，代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米，得到表面积S=2(5×4+5×6+4×6)=2(20+30+24)=148 cm²。
长方体的体积公式为V=长×宽×高，代入长为5厘米、宽为4厘米和高为6厘米，得到体积V=5×4×6=120 cm³。
3. 题目三：一个圆锥的底面圆半径为2.5厘米，高为7厘米。
求该圆锥的表面积和体积（保留π）。
解答：首先计算圆锥的母线，母线公式为l=√(r²+h²)，其中r为底面圆半径，h为圆锥的高。
代入半径为2.5厘米和高为7厘米，得到母线l=√(2.5²+7²)≈7.416 cm。
圆锥的表面积公式为S=πr(r+l)，代入底面圆半径为2.5厘米和母线长为7.416厘米，得到表面积S=π×2.5(2.5+7.416)≈82.512 cm²。
圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，代入底面圆半径为2.5厘米和高为7厘米，得到体积V=1/3π×2.5²×7≈36.750 cm³。
专题5：立体几何体积与面积的求法基础练习题
专题5：立体几何体积与面积的求法基础练习题专题5：立体几何体积与面积的求法基础练习题1．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ?∠=，侧面P AB ⊥底面ABCD ，22PB =，2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积． 2．如图所示，在棱长为2的正方体1111ACBD AC B D -中，M 是线段AB 上的动点．（1）证明：AB ∥平面11A B C ；（2）若M 是AB 的中点，证明：平面1MCC ⊥平面11ABB A ；（3）求三棱锥11M A B C -的体积．3．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥；（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.6．若长方体的三个面的面积分别是2222cm ,3cm ,6cm ，求：（1）长方体的体对角线的长；（2）长方体的表面积.7．正四棱台两底面边长分别为3和9.（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.8．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//AF BE ，,2,1AB BE AB BE AF ⊥===.（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求三棱锥A DEF -的体积.9．如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，（1）求圆锥的表面积和体积.（2）求圆柱的表面积.10．已知一个球的外切圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，求出该球的表面积. 11．已知A 是圆锥的顶点,BD 是圆锥底面的直径,C 是底面圆周上一点,2BD =,1BC =,AC 与底面所成角的大小为3π,过点A 作截面ABC ,ACD ,截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积;（2）求该几何体的体积.12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD =，45ABC ?∠=.(1)证明：AC PB ⊥；(2)若2AD PA =，且四棱锥P ABCD -的体积为14，求PAB △的面积.参考答案1．（1）证明见解析；（2）3 【分析】（1）由菱形的性质有BD AC ⊥，勾股定理知PA AB ⊥，结合面面垂直的推论可得PA BD ⊥，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由PA ⊥面ABCD 即可计算P ACD V -，结合已知条件可求三棱锥P AMC -的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD 是菱形，且 2.AB AC ==∴BD AC ⊥，又在△PAB 中2AB PA ==，PB =90PAB ∠=?，∴PA AB ⊥，又面P AB ⊥面ABCD ，面P AB 面ABCD AB =，PA ?面P AB ，∴PA ⊥面ABCD ，而BD ?面ABCD ，有：PA BD ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ；（2）由（1）知：PA ⊥面ABCD ，有11||222sin 6036P ACD ACD V PA S -=?==，而——M PAC P AMC V V =，且——12P AC PAC D M V V =，∴—P AMC V =【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）43．【分析】（1）利用11//AB A B 得出//AB 平面11A B C .（2）通过证明CM ⊥平面11ABB A ，可证得平面1MCC ⊥平面11ABB A .（3）利用等体积转化111111M B A C A B A C B ACA V V V ---==求出即可.【详解】（1）证明：因为在正方体1111ACBD AC B D -中，11//AB A B ，11A B ?平面11A B C ，AB ?平面11A B C ，//AB ∴平面11A B C（2）证明：在正方体1111ACBD AC B D -中，BC AC =,M 是AB 中点，CM AB ∴⊥.1AA ⊥平面ABC ，CM ?平面ABC ，则1CM AA ⊥.AB ?平面11ABB A ，1AA ?平面11ABB A ，且1AB AA A ?=，CM ∴⊥平面11ABB A .CM ?平面1MCC ，∴平面1MCC ⊥平面11ABB A（3）因为//AB 平面11A B C ，所以点M ，点A 到平面11A B C 的距离相等.故111111M B A C A B A C B ACA V V V ---== 114222323==．【点睛】本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，注意判定定理中的条件，利用等体积转化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题.3．160【分析】由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案.【详解】如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝22AC ?? ???22BD ??+ ＝224a b +＝200564+＝64，∴AB ＝8. ∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160. 【点睛】本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题.4．（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.（2）计算?BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∵AC ?平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵在ABC ?中，3AC =，4BC =，5AB =，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=?，∴AC BC ⊥，∵1CC ?平面11CC B B ，CB ?平面11CC B B ， 1CC CB C =，∴AC ⊥平面11CC B B ，∵1BC ?平面11CC B B ，∴1AC BC ⊥.（2）∵D 是AB 中点，∴111343222BCD ABC S S ??===，∵1BB ⊥平面ABC ，114BB AA ==，∴111134433B BCD BCD V S BB -?==??=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.5．（1）证明见解析；（2）3 【分析】（1）根据等腰三角形证明PE AD ⊥，得到答案.（2）计算得到AD =PE =. 【详解】（1）1PA PD ==，E 为AD 的中点，故PE AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，故PE ⊥平面ABCD .（2）PA PD ⊥，1PA PD ==，故AD =2PE =.故13P ABCD V -==【点睛】本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．（1.（2）2S cm =表【分析】（1）设长方体的长，宽，高分别为cm,cm,cm a b c ，根据已知条件列出方程，求出,,a b c ，即可求出对角线；（2）根据已知条件，即可求解.【详解】（1）设长方体的长，宽，高分别为cm,cm,cm a b c ，如图.可令2,3,6,ab bc ac ?=??=??=??解得2,1,3.a b c ?=?=??=?2222222221116BD DD BD DD AD AB a b c =+=++=++=，16cm BD ∴=6cm .（2）2(222326)cm S =表.【点睛】本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.7．（1）3（2）94. 【分析】（1）设1O 、O 分别为上、下底面的中心，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.【详解】（1）如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=，112(93)322CE CO EO CO C O =-=-=-= 又2sin 453232EF CE =?==，∴斜高222211(32)333C F C E EF =+=+= ∴1(4349)337232S =??+??=侧（2）由题意知，223990S S +=+=上底下底，∴1(39)4902h ?+??=斜，∴902151244h ?==?斜，又9332EF -==，2294h h EF =-=斜. 8．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）先由面面垂直的性质得BE ⊥平面ABCD ，即得AC BE ⊥，再结合AC BD ⊥即可证明；（2）利用等体积法可求出.【详解】（1）证明：AB BE ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴BE ?平面ABEF .∴BE ⊥平面ABCD ，因为AC ?平面ABCD ，所以AC BE ⊥，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为BD BE B ?=，,BD BE ?平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ；（2）11123323A DEF D AEF AEF V V S AD AE AF AD --====.9．（1）12π；（2）(2π+. 【分析】（1）求出圆锥的高可得体积，由表面积公式计算出表面积；（2）求出圆柱的底面半径后可得表面积．【详解】（1）由题意圆锥的高为h ==所以圆锥的表面积为222412S πππ=?+??=，体积为2123V π=??=．（2）设圆柱半径为r ，则2r =，1r =，所以圆柱的表面积为22121(2S πππ'=?+?=+．【点睛】本题考查圆柱与圆锥的表面积和体积，属于基础题．10．4πRr【分析】若圆台有内切球，则圆台的母线长为r R +，进而求出圆台的高，即圆台的内切球的直径，可得球的表面积．【详解】解：如图所示圆台及内切球的轴截面ABCD 、1O 、2O 、O 分别为上、下底面中心及球心，设球半径为x ，则122O O x =，过C 作CE AB ⊥于E ，则2CE x =,BE R r =-，BC R r =+,∴在Rt CBE 中，由222CB BE CE =+，得()()()2222R r R r x +=-+, 2x Rr =,∴球的表面积为24π4πx Rr =.【点睛】本题考查球的表面积，熟练掌握圆台的几何特征是解答的关键，属于基础题．11．（1）2π（2）33π+ 【分析】(1)设BD 的中点为O ,连结OA ,OC ,则OA ⊥平面BCD .由经能求出S 圆锥侧;(2)该几何体的体积()13BCD V S S AO ?=+?半圆,由此能求出结果. 【详解】(1)设BD 的中点为O ,连结OA ,OC ,A 是圆锥的顶点,BD 是圆锥底面的直径,∴ OA ⊥平面BCD .2BD =,1BC =,AC 与底面所成角的大小为3π,过点A 作截面ABC ,ACD , ∴在Rt AOC ?中,1OC =,3ACO π∠=,2AC =,3AO =∴ 2222S rl πππ==??=圆锥侧. (2)该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体AO =90BCD ∠=?, ∴CD =, 该几何体的体积()13BCD V S S AO ?=+?半圆11313226π??=??= . 【点睛】本题考查几何体的体积的求法和圆锥的侧面积,掌握线面间的位置关系等基础知识是解题关键,考查运算求解能力和空间思维能力.12．(1)证明见解析；【分析】(1)根据已知可得90BAC ?∠=，即AC AB ⊥，再由PA ⊥平面ABCD 可得PA AC ⊥，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PAB ，从而可得AC PB ⊥；(2)根据(1)可求得四边形ABCD 的面积232S AD =，由PA ⊥平面ABCD 可知PA 为四棱锥P ABCD -的高，再根据锥体的体积公式可求出1AD =，从而可求出12PA =，AB =由三角形面积公式即可求出答案.【详解】(1)证明：因为AD CD ⊥，且AD CD =，所以45ACD DAC ?∠=∠=，因为//AD BC ，AD CD ⊥，所以CD BC ⊥，所以90BCD ∠=，所以45ACB ?∠=，又45ABC ?∠=，所以90BAC ?∠=，即AC AB ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以PA AC ⊥，又PA AB A =，PA ，AB 平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ，又PB ?平面PAB ，所以AC PB ⊥.(2)解：由(1)可知，2==BC AD .因为AD CD =，所以四边形ABCD 的面积213(2)22S AD AD AD AD =+?=，又2AD PA =，所以12PA AD =，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为四棱锥P ABCD -的高，所以四棱锥P ABCD -的体积21131133224V S PA AD AD = =??=，解得1AD =.因为PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，所以PA AB ⊥，又1122PA AD ==，AB ==所以PAB △的面积为11224?=. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，锥体的体积公式，属于基础题.。
(完整版)立体几何体积问题-
立体几何体积问题未命名一、解答题1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．2．如图，多面体中，为正方形，，,且.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积.3．在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求线段的长.4．如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面.（1）证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的表面积.5．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积6．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.（1）求证：平面;（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.7．如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.（1）证明：；（2）若，求几何体的体积.8．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.9．已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，在棱上，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．10．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.（1）求证：平面⊥平面PAC.（2）求三棱锥的体积.11．在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.（1）求证：（2）取的中点，求证（3）求多面体的体积.12．如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.（1）证明：平面；（2）求多面体的表面积.13．如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求到平面的距离．14．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.15．如图,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.(1) 求证:平面；(2) 若,求三棱柱的体积.参考答案1．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.2．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证A平面即可，（2）由已知，连接交于，作于，由等体积法：，进而可得出结论.（1）证明：∵，由勾股定理得：又正方形中，且∴平面，又∵面，∴平面平面（2）由已知，连接交于作于，则又由（1）知平面平面，平面平面，面，得面由，知四边形为平行四边形，即，而，进而又由，所以，三棱锥的体积.点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.3．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，分别计算出四棱锥的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG 中求出CF的值。
六年级立体几何组合图形求体积应用题
六年级立体几何组合图形求体积应用题
1、一个圆柱的高是4.2厘米，底面直径是4厘米，它的体积是多少？
2、一个圆柱形水池底面直径8米，池深2米，如果在水池的底面和四周涂上水泥，涂水泥的面积有多少平方米？水池最多能盛水多少立方米？
3、用铁皮制10节同样大小的通风管，每节长5分米，底面直径1.2分米，至少需要多少平方分米铁皮？体积是多少？
4、一种压路机的滚筒是圆柱形的筒宽1.5米，直径是0.8米。
这种压路机每分钟向前滚动5周。
这种压路机1分钟压路多少平方米？
5、一个圆柱形蓄水池，从里面量底面直径是20米，深为5米，
(1)要在这个蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
(2)这个蓄水池最多可以蓄水多少吨？（每立方米水重1吨）。
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全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何
1．[·卷20] 如图14所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面
AB ＝2，∠BAD ＝π
3
，M
为BC 上一点，且BM ＝1
2
.
(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P ABMO
图1 4
2．[·卷17] 如图1
5，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．
(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E ABC 的体积．
3．[·卷19] 如图16所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .
(1)求证：CD
⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD
＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A
4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图13，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝
3
4
，求A到平面PBC的距离．
5．[·卷18] 如图12所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图13折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．
图1 2 图1 3
6．[·卷19] 如图14所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积．
7．[·全国新课标卷Ⅰ19] 如图14，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC A 1B 1C 1的高．
8．[·卷20] 如图14所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π
3
，M
为BC 上一点，且BM ＝1
2
.
(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P ABMO 的体积．
图1 4
9、如图5所示，在三棱锥ABC P -
中，AB BC ==
⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，
3CD =，2=PD ．
（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．
图5
P
A
D
10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，
G BD AC =⋂
（1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。
11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且F 是CD 的中点．3AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积．
12、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a ===，
2AP CP a ==，//DP AM ，且1
2
AM DP =
，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积.
A B
C
D
E
F
13、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F. (1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积.
14、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起到'A BE ∆的位置，使'
'
AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点.
（1）求证：F A '⊥CD ；
（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.
15、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且
2
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
16、如图,在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。
17、如图1，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、
BC 边上的点，AE=CF=CP=1。
将AFE ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （如图2）。
（1）求证：PF//平面A 1EB ；
（2）求证：平面BCFE ⊥平面A 1EB ； （3）求四棱锥A 1—BPFE 的体积。
18、如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的
正方形，O 为AC 与BD 的交点，21=
BB ，M 是线段11D B 的中点．
(1)求证：//BM 平面1D AC ； (2)求三棱锥11D AB C -的体积．
191、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。
(1)证明：BC PDC ⊥平面; (2)求三棱锥P DEF -的体积。
20、如图6，在四面体PABC 中，PA=PB ，CA=CB ，D 、E 、F 、G 分别是PA ，AC 、CB 、BP 的中点． (1)求证：D 、E 、F 、G 四点共面； (2)求证：PC ⊥AB ；
(3)若△ABC 和PAB 都是等腰直角三角形，且AB=2，2=PC ，求四面体PABC 的体积．
21、如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC . （1）求证：//BC EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ⊥；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE -的体积.
22、如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，
60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H
G ,是BE DF ,的中点．
（1）求证：CDE BD 平面⊥；（2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．。