立体几何大题训练及答案
专题03 立体几何大题拔高练(解析版)
【一专三练】 专题03 立体几何大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）如图，已知四棱锥P ABCE -中，1AB =，2BC =，BE =，PA ⊥平面ABCE ，平面PAB ⊥平面PBC(1)证明：AB BC ⊥；(2)若PA =，且AC AE =，G 为PCE V 的重心．求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值．2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC V 的重心，E ，F 分别在棱BC ，CD 上，平面//ABD 平面EFG .(1)求DFCF的值；(2)若AB ⊥平面BCD ，DC CB ⊥，且3AB BC CD ===，求平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小.因为G 为ABC V 的重心，所以因为平面//ABD 平面EFG ，平面DCH FG =，所以//FG DH ，所以23CF CG CD CH ==， 所以 DF CF （2）因为AB ⊥平面BCD ，BC 由(1)同理可得//EF BD ，则CF CE CD CB =所以()(),(),(),3000320,1,01,1,0A F E G ,,,,,所以 (1,2,2)GF =- ， (1,0,0)GE =- 设平面EFG 的法向量为(,,)m a b c = ，则3．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，点P ，Q 在侧棱SD 上，E 是侧棱SC 的中点．(1)若SQ QP PD ==，证明：BE ∥平面PAC ；(2)倍，从下面两个条件中选一个，求二面角P AC D --的大小．①SD ⊥平面PAC ；②P 为SD 的中点．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．在SCP V 中，点E 是SC 的中点，点又因为PC ⊂平面PAC ，且QE 在BQD V 中，点O 是线段BD 又因为OP ⊂平面PAC ，且QB 又因为BQ EQ Q ⋂=，且BQ ，BEQ 设1OC =，则2CD =，SC =所以(1,0,0)C ，(1,0,0)A -，(0,1,0)D 因为SD ⊥平面PAC ，所以平面显然平面DAC 的一个法向量为设1OC =，则2CD =，SC =所以(1,0,0)C ，(1,0,0)A -，D 则131,,22AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,CP ⎛=- ⎝4．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的菱形，AB BC ==，点D 为棱AC 上的动点（不与A 、C 重合），平面1B BD 与棱11A C 交于点E .(1)求证1BB DE //；(2)若平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=，判断是否存在点D 使得平面11A ABB 与平面1B BDE 所成的锐二面角为π3，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）先证明1//BB 平面11ACC A ，再由线面平行的性质定理证明1BB DE //；（2）假设D 点存在，建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角问题，判断D 点坐标是否有解.【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊂/平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，∴1//BB 平面11ACC A ，又∵1BB ⊂平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，∴1BB DE //；（2）连接1A C ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，∴1A AC △是等边三角形，又∵O 为AC 中点，∴1A O AC ⊥，∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，∴1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，∴1A O OB ⊥，又∵AB BC =，∴BO AC ⊥，以点O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D ，满足题意，设()()0,,022D a a -≤≤，5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，12BC B C ==，π3ABC ∠=，侧面11BB A A 是菱形，1π3B BA ∠=．(1)求1BC 与底面ABCD 所成角的正切值；(2)点,E F 分别在1B A 和1B C 上，11EF A C ∥，过点,,B E F 的平面与1B D 交于G 点，确定G 点位置，使得平面BEF ⊥平面11B C DA ．∵侧面11BB A A 为菱形，1π3B BA ∠=，∴1ABB V 为等边三角形，11AB BB ==，1MB AB ⊥∵1AB =，2BC =，π3ABC ∠=，由余弦定理知∴222BC AB AC =+，∴AC AB ⊥．在1AB C V 中，11AB =，12B C =，有211B C AB =6．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，在三棱锥A BCD -中，满足BC CD ==，点M 在CD 上，且5DM MC =，ABD △为边长为6的等边三角形，E 为BD 的中点，F 为AE 的三等分点，且2AF FE =.(1)求证：//FM 面ABC ；(2)若二面角A BD C --的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值.∵6BD =，∴116BN BD ==，NE ∵12AF FE =，∴12BN AF NE FE ==，则FN AB ∥，又FN ⊄面ABC ，∴FN ∥面ABC ，∵1BN CM ==，∴NM BC ∥.7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在多面体PABCFE 中，PA ⊥平面ABC ，////PA CF BE ，且24PA CF BE ==,D 为PA 的中点，连接BD ，PC ，点M ，N 满足2,2DM MB PN NC == .(1)证明：//MN 平面PEF ；(2)若224PA AB BC ===，cos PEF ∠PC 与平面PEF 所成角的正弦值．所以P (0，2，4)，E (0，0，1)，()2,0,1EF = ，()0,2,3EP = ，设平面不妨取x =1，则y =3，z =－2，即2sin cos ,PC n PC n θ⋅===8．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为菱形，E 为棱1CC 的中点，1AB C V 为等边三角形．(1)求证：111AB B C ⊥；(2)若,4,3AC BC AC BC ⊥==，求平面11AA B B 和平面1AB E 夹角的余弦值．）B ，与1AB 相交于点F ，连接11AA B B 为菱形，所以F 为1AB 的中点，且为等边三角形，所以1CF AB ⊥，F =，BF 、CF 在面A 1BC 内，所以由（1）可知1AB BC ⊥，又AC BC ⊥所以BC ⊥平面1AB C ，OB 1、OC 在面因为OG BC ∥，所以OG ⊥平面AB 因为1AB C V 为等边三角形，所以B 以O 为坐标原点，1,,OG OC OB的方向分别为空间直角坐标系，9．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图1是直角梯形ABCD ，//AB CD ，∠D ＝90°，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且∠BCE ＝60°，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =(1)求证：平面1BC E ⊥平面ABED ．(2)在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．10．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形且垂直于侧面SAB ，O 为AB 的中点，2SA SB AB ===，AD =(1)证明：BD⊥平面SOC；(2)侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为15，若存在，求SESD的值；若不存在，说明理由．∵2SA SB AB ===，SAB ∴V 为等边三角形，O 为AB 的中点，112OB AB ∴==，2SO SB OB =-(0,3,0)S ,(1,0,2)C ,(1,0,2)D -(1,3,2)SD =-- ,(2,0,0)AB = ，11．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A B BA 和侧面11A ACC 均为正方形，D 为棱BC 的中点．(1)证明：平面1ADC ⊥平面1B BCC ；(2)若直线1AC 与平面11B BCC 所成角为30°，求平面11A B BA 与平面1ADC 夹角的余弦值．以A 为原点，以AB，AC ，1AA 直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0D ，(10,2,C 设(),,m x y z =是平面1ADC 的一个法向量，则10,0,AD m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,220,x y y z +=⎧⎨+=⎩取12．（2023·福建厦门·统考二模）如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，A 1D ⊥BD 1．(1)证明：四边形ADD1A 1为正方形；(2)若直线BD 1与平面ABCD CD ＝2AB ，求平面ABD 1与平面BCD 1的夹角的大小．，设1,AB a DD b ==，则()()10,,,,0,0B a b D b ，所以()1,,BD b a b =--，设ABCD 的一个法向量为()1,0,0m =，直线BD 1与平面ABCD 所成的角为θ，13．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，直角梯形ABCD 中，//,,22AB DC AB BC AB BC CD ⊥===，直角梯形ABCD 绕BC 旋转一周形成一个圆台．(1)求圆台的表面积和体积；(2)若直角梯形ABCD 绕BC 逆时针旋转角(0)θθ>到11A BCD ，且直线1A D 与平面ABCD，求角θ的最小值．则()1,0,2D ，()12cos ,2sin ,0A θθ，即又平面ABCD 的一个法向量(0,1,0n =则1sin cos ,A D nα=u u u r r(|12cosθ-=-两边平方并结合22sin cos 1θθ+=，1θ1cos θ14．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在Rt PAB V 中，PA AB ⊥，且4PA =，2AB =，将PAB V 绕直角边PA 旋转2π3到PAC △处，得到圆锥的一部分，点D 是底面圆弧BC (不含端点)上的一个动点．(1)是否存在点D ，使得BC PD ⊥？若存在，求出CAD ∠的大小；若不存在，请说明理由；(2)当四棱锥P ABDC -体积最大时，求平面PCD 与平面PBD 夹角的余弦值．则()()(0,0,0,0,0,4,0,A P B15．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是线段AC ，1AA 的中点，BCA BAC ∠=∠．(1)求证：平面BEF ⊥平面11ACC A ；(2)若cos ACB ∠=A BF E --1AA AC 的值．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据线面垂直的判定可得BE ⊥平面11ACC A ，再由面面垂直判定定理得证；（2）设()0AF t t =>，则12AA t =，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角余弦值解出t 即可得解.【详解】（1）因为BCA BAC ∠=∠，所以AB BC =，而E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥．因为1A A ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以1A A BE ⊥．又1A A AC A =I ，,1A A AC ⊂平面11ACC A ，所以BE ⊥平面11ACC A ．因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面11ACC A ．设()0AF t t =>，则12AA t =，所以()2,0,0EB = ，(0,EF = 设平面BEF 的法向量为(n =则00n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11120x y tz =⎧⎨-+=⎩16．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是边长为2的正三角形，侧面11BCC B 为菱形，已知160BB C ∠=，1AB a =．(1)当a =时，求三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)设点P 为侧棱1BB 上一动点，当3a =时，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值的取值范围．因为11BCC B 为菱形，且1BB C ∠又有ABC V 为正三角形且边长为且13AO B O ==，16AB =，所以所以1B O AO ⊥，因为又BC ⋂则133,0,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0B -，133,2,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，133,1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，()3,1,0AC =- 33AC ⎛=-17．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台1111ABCD A B C D -的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱1CC 上点E 满足1113CE C C =.(1)证明：直线1//AB 平面1AD E ；(2)若1CC ⊥平面ABCD ，且13CC =，求直线1BB 与平面1AD E 所成角的正弦值.则()()()()(110,4,0,0,2,3,4,4,0,2,0,3,0,0,2B B A D E 所以()()()110,2,3,2,4,3,4,4,2BB AD AE =-=--=-- 设平面1AD E 的法向量(),,n x y z =r ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得取()1,2,2n =--r，146213n BB ⋅-== 18．（2023·湖南·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ACC A ，侧面11ACC A 为菱形2AC =，160A AC ∠=︒，底面ABC 为等腰三角形，AB BC =，O 是AC 的中点．(1)证明：1OA AB ⊥；(2)若二面角11A OB C --的余弦值为，求三棱柱111ABC A B C -的体积．则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()0,0,B t ，C19．（2023·山东聊城·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD V 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面CDM ⊥平面PAB ；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD ，求三棱锥P MCD -的体积．）N ，连接PN ，因为PAD V 为等边三角形，所以⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD ABCD ，所以PN AB ⊥，AB ，PN PD P = ，,PN PD ⊂平面））可知，PN AB ⊥且PD AB ⊥，PN AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，为坐标原点，分别以,AB AD 所在直线为2AD a =，则可得)()()0,0,0,2,0,0,0,,3,0,a B P a a M ⎛20．（2023·湖南郴州·统考三模）如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAC ⊥底面,,ABC AC BC PAC ⊥V 是边长为2的正三角形，4,,=BC E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线l .(1)证明：直线l ⊥平面PAC .(2)若Q 在直线l 上且BAQ ∠为锐角，当P AEFQ P ABC V V --=时，求二面角A PQ B --的余弦值.则()1,0,3P ，()()()2,0,0,0,4,0,2,6,0A B Q ()()1,0,3,0,6,0PA AQ =-= ，()()1,4,3,2,2,0PB BQ =-= 令平面PAQ 的法向量为(n x =r 21．（2023·湖南岳阳·统考二模）在ABC V 中，45,3ACB BC ∠== ，过点A 作AD BC ⊥，交线段BC 于点D （如图1），沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠= （如图2），点,E M 分别为棱,BC AC 的中点.(1)求证：CD ME ⊥；(2)在①图1中4tan23B =-，②图1中2133AD AB AC =+ ，③图2中三棱锥A BCD -的体积最大.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知__________，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN BM ⊥，并求平面BMN 与平面CBN 的夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.()()()(0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,D B C A 则()1,1,1BM =- .设()0,,0N a ，则1,1,02EN a ⎛=-- ⎝ 0EN BM EN BM ⊥∴⋅= ，，即⎛- ⎝()()()(D B C A0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥A ABC '-中，D ，E ，P 分别在棱AC ，AB ，BC 上，且D 为AC 中点，2AD AE A D A E ''====，AP DE ⊥于F .(1)证明：平面AA P '⊥平面A DE ¢；(2)当1BE =，5BC =，二面角A DE P '--的余弦值为35时，求直线A B '与平面A DE ¢所成角的正弦值.（2）因为1BE =，5BC =，所以AB 所以90BAC ∠=︒，22222DE =+=由（1）知A FP ∠'为二面角A DE '--所以3cos 5A FP ∠='，4sin 5A FP ∠='以点F 为原点，,,FE FP Fz 分别为,x23．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，2AB BC ==，111AA B B BC ∠=∠.(1)证明：1BB AC ⊥；(2)若1BB BC ⊥，且满足：______，______（待选条件）.从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角11B B D C --的正弦值.①三棱柱111ABC A B C -的体积为②直线1AB 与平面11BCC B ③二面角1A BB C --的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）通过证明AC ⊥平面1BDB 来证得1AC BB ⊥.法三：如图所示，建立空间直角坐标系，设平面1BDB 的一个法向量为(m = 300x m BB =⎧⎧⋅=⎪⎪ 方案二：选择①②；解析：过点A 作AO BC ⊥于点O方案三：选择②③；∵1BB ⊥平面ABC ，∴1BB AB ⊥，BB ∴ABC ∠为二面角1A BB C --的平面角，即AO BC ⊥O 24．（2023·浙江·校联考三模）如图，四面体ABCD 中，90B A D B A C C A D ∠=∠=∠= ，AC AD =，AB 与面BCD 的所成角为45 ．(1)若四面体ABCD ，求AC 的长；(2)设点M 在面BCD 中，45ABM ∠= ，30ACM ∠= ，过M 作CD 的平行线，分别交,BC BD 于点,H F ，求面AFH 与面ACD 所成夹角的余弦值．设AC a =，AB b =，则22AE a =，BC 则由AE AB AO BE ⋅=⋅得：22b a =，1136A BCD B ACD ACD V V S AB AC --∴==⋅=⨯V （2）设2AC =，由（1）得：1AB =延长CM 交于点G ，连接AG ，Rt BGM V ∽Rt BED △，BM BDBG ∴=又3BD =，33BG =，2BE =方法一：//HF CD ，H ∴为BC 中点，以A 为坐标原点，,,AC AD AB正方向为则()0,0,0A ，()0,0,1B ，21,0,22H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，F ⎛ ⎝210,,22AF ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21,0,22AH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，AB设平面AFH 的法向量(),,n x y z =，则2102221AF n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨，令1x =，解得：AFH ∴V 在平面ACD 的投影为ATK V ，设平面AFH 与平面ACD 所成的二面角为25．（2023·广东江门·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，点E 在PC 上，且//AP 平面BOE .(1)求PEEC的值；(2)若OP ⊥平面ABCD ，OE PC ⊥，2AB =，60BAD ∠= ，求直线OE 与平面PBC 所成角的正弦值.。
(完整版)高考立体几何大题及答案(理)
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（II）设线段 、 的中点分别为 、 ，
求证： ∥
（III）求二面角 的大小。
10.如题（18）图，在五面体 中， ∥ ， ， ，四边形 为平行四边形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直线 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
11．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅱ）设平面BCD的法向量 则
又 =（-1，1，0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1,z= , =(1,1, ).
又平面 的法向量 =（0，1，0）
由二面角 为60°知， =60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以 与平面 所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接 ，在 中， 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，又 平面ACD，DC 平面ACD，所以 平面ACD
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
12（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD，垂足为H，
PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE BC
（2）若 APB= ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
立体几何大题综合(含答案)
立体几何大题综合1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1BC ⊥平面1ACD ；(2)求直线1D C 与平面1AD E 所成角的余弦值．2．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且BE CF =.(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面EFB '与平面BFB '的夹角的正切值.3．（2022秋·广东肇庆·高二校考期中）如图在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，F 为AB 的中点，H 为1DD 的中点，K 为1BB 的中点.(1)求直线1A H 到直线KC 的距离；(2)求直线FC 到平面1AEC 的距离.4．（2022秋·广东江门·高二校考期中）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD CD =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．(1)求证：FG //平面PCD ；(2)求点C 到平面PGB 的距离．5．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AB ⊥平面PAD ，E 是AD 的中点，PAD 为等腰直角三角形，DP AP ⊥，2PA AB ==2(1)求证：PE BD ⊥；(2)求点A 到平面PBE 的距离．6．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）如图，在直角梯形ABCD 中，,=90,AD BC ADC AE ∠︒⊥∥平面ABCD ，EF CD ∥，112BC CD AE EF AD =====．(1)求证：BE AF ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点M ，使平面EMD 与平面AMD 的夹角的大小为π3若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由．7．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M 、N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<．(1)求证MN 与平面BCE 平行；(2)当a =A MN B --的余弦值．8．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市端州中学校考期中）如图在四棱锥P ABCD －中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C PD A --的正弦值．9．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2,,PA AD AB M N ===分别为,AB PC 的中点.(1)求证：MN 平面PAD ；(2)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.10．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90,2,3,2D AB DC AD CE ED ︒∠====.以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且1AC = 2.(1)证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值.11．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC的中点．(1)设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点；(2)若PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，求点P 到平面ABE 的距离．12．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，∠DAB ＝60°.侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝3.(1)求二面角B -D 1C -D 的平面角的余弦值；(2)设E 是D 1B 的中点，在线段D 1C 上是否存在一点P ，使得AE ∥平面PDB ？若存在，请求出11D P D C的值；若不存在，请说明理由.13．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，M为1AA 的中点，1BC BD ==，1AB AA ==(1)求证：DM ⊥平面1BDC ；(2)求平面1MBC 与平面1D B C 夹角的余弦值.14．（2022秋·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考期中）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2=AD AB ，PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E 、F 、G 、O 分别是PC 、PD 、BC 、AD 的中点．(1)求平面EFG 与平面ABCD 所成角的大小；(2)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角的大小为π6，若存在，求出PM PA的值；若不存在，说明理由．15．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60BAD ∠= ，14AA =，P 是1AD 上的动点（不含端点）.(1)当P 为1AD 的中点时，求直线AD 到平面PBC 的距离；(2)求直线1AD 和平面BCP 所成角的正弦值的取值范围.16．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，BC =BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .(1)求DB 与平面ADE 所成角的正弦值.(2)求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.17．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）如图1，在MBC 中，24BM BC BM BC ==⊥，，,A D 分别为棱,BM MC 的中点，将△MAD 沿AD 折起到PAD 的位置，使90PAB ∠=︒，如图2，连接,PB PC .(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --求出PG PC 的值；若不存在，请说明理由.18．（2022秋·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）如图，已知梯形ABCD ，AB //CD ，,120AD DC BC ADC ︒==∠=，四边形ACFE 为正方形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，求平面MAB 与平面ADE 夹角余弦值的取值范围．19．（2022秋·广东东莞·高二校考期中）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD=AA 1=1，AB=2.(1)试问在线段CD 1上是否存在一点N ，使MN ∥平面ADD 1A 1?若存在，确定N 的位置；若不存在，请说明理由；(2)在（1）中，当MN ∥平面ADD 1A 1时，试确定直线BB 1与平面DMN 的交点F 的位置，并求BF 的长.20．（2022秋·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：11D E A D ⊥；(2)求平面1ACD 的法向量.(3)当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离.21．（2022秋·广东广州·高二统考期中）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =，G 为CD 的中点，E ，F 是棱PD 上两点（F 在E 的上方），且2EF =．(1)若BF //平面AEG ，求DE ；(2)当点F 到平面AEC 的距离取得最大值时，求直线AG 与平面AEC 所成角的正弦值．22．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）在多面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，2AB =，3AE =，DE =E AD C --//EF BD .(1)证明：平面ABCD ⊥平面DCE ；(2)若()0EF DB λλ=> ，求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值的取值范围.23．（2022秋·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中）如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，点E 在底面圆周上，且,BE CE M =为AE 上的一点，且,BM AC N ⊥为线段AC 上一动点（不与,A C 重合）(1)若2AN NC =，设平面BMN ⋂面BEC l =，求证：//MN l ；(2)当平面BMN 与平面DEC 夹角为π3，试确定N 点的位置.24．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市端州中学校考期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形，,23ABC AB AP π∠===，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是线段,PB PD 的中点，G 是线段PC 上的一点.(1)若G 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PG CG的值；(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为35，求三棱锥P EFG -体积.25．（2022秋·广东江门·高二校考期中）如图甲，在矩形ABCD 中，2AB AD E ==为线段DC 的中点，ADE V 沿直线AE 折起，使得DC .(1)求证：BE ⊥平面ADE ；(2)线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为π4若不存在，说明理由；若存在，求出H 点的位置.26．（2022秋·广东惠州·高二统考期中）如图，在四棱锥P ABMN -中，PNM △是边长为2的正三角形，AN NP ⊥，AN BM ∥，3AN =，1BM =，AB =C ，D 分别是线段AB ，NP 的中点.(1)求证：平面ANMB ⊥平面NMP ；(2)求直线CD 与平面ABP 所成角的正弦值.27．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,2,4,ABCD PA AD BD AB ====，BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥.(1)若点E 为棱PC 的中点，证明：BE 平面PAD ；(2)已知二面角P AB D --的大小为60 ，求平面PBD 和平面PCD 的夹角的余弦值.28．（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期中）如图，等腰直角△ACD 的斜边AC 为直角△ABC 的直角边，E 是AC 的中点，F 在BC 上．将三角形ACD 沿AC 翻折，分别连接DE ，DF ，EF ，使得平面DEF ⊥平面ABC ．已知2AC =，30B ∠=︒，(1)证明：EF ∥平面ABD ；(2)若DF =A BC D --的余弦值．29．（2022秋·广东阳江·高二统考期中）如图，在四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB =BD ．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若DE mDB = ，二面角D AE C --的余弦值为17，求m ．30．（2022春·广东广州·高二执信中学校考期中）已知△ABC 是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =，沿MN 将△AMN 折起到A MN '△的位置，使90A MB '∠=︒．(1)求证：A M '⊥平面MBCN ；(2)在线段BC 上是否存在点D ，使平面A ND '与平面A MB '所成锐二面角的余弦值为13若存在，设()0BD BC λλ=> ，求λ的值；若不存在，说明理由．立体几何大题综合答案1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1BC ⊥平面1ACD ；(2)求直线1D C 与平面1AD E 所成角的余弦值．（2）以AD 方向为x 轴正方向，妨设正方体边长为1，则()0,0,0A 面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，则设直线1D C 与平面1AD E 所成角为2．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且BE CF =.(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面EFB '与平面BFB '的夹角的正切值.则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,C O B B (,1,0),(0,,0)E m F m ，(1,A F '=- 则(1)(1)11A F C E m m ''⋅=-+-⨯+ ∴A F C E ''⊥ ，故A F C E ''⊥.（2）由（1）知1BB '=,而B BEF V '-故当S 取到最大值时，三棱锥111111的中点，F 为AB的中点，H为1DD的中点，K为1BB的中点.(1)求直线1A H到直线KC的距离；(2)求直线FC到平面1AEC的距离.【详解】（1）长为2的正方形，PD CD =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．(1)求证：FG //平面PCD ；(2)求点C 到平面PGB 的距离．【详解】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(1,1,1),G P A B C F 明显面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，又()0,1,1GF = ，()()1,0,00,1,10n GF ∴⋅=⋅= ，GF n ∴⊥ ，又GF ⊄面PCD ，//GF ∴面PCD ；（2）(1,0,2),(2,2,2)PG PB =-=- ，设平面PGB 的一个法向量为(,,)m a b c = ，00m PB m PG ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ ，即222020a b c a c +-=⎧⎨-=⎩，令1c =，则2,1a b ==-所以平面PGB 的一个法向量为(2,1,1)m =- ，又()2,0,0CB = ，所以点C 到平面PGB 的距离4263||411CB m d m ⋅===++ 5．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AB ⊥平面PAD ，E 是AD 的中点，PAD 为等腰直角三角形，DP AP ⊥，2PA AB ==2(1)求证：PE BD ⊥；(2)求点A 到平面PBE 的距离．【详解】（1）∵AB ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，∴PE AB ⊥，又∵PAD 是等腰直角三角形，E 是斜边AD 的中点，∴PE AD ⊥，又∵AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂=，∴PE ⊥平面ABCD又∵BD ⊂平面ABCD ，∴PE BD ⊥；因为22PA AB ==，则()000E ，，，(0,1,1)B ，()010A ，，则(0,1,1)EB = ，(1,0,0)EP = ，PA 设平面PBE 的一个法向量为(n = 00EB n y z EP n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1y =，则z 设点A 到平面PBE 的距离为h ，则∴点A 到平面PBE 的距离为226．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）如图，在直角梯形,=90,AD BC ADC AE ∠︒⊥∥平面ABCD ，EF CD ∥，112BC CD AE EF AD =====．(1)求证：BE AF ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点M ，使平面EMD 与平面AMD 的夹角的大小为π3若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由．【详解】（1）如图，作,FG EA AG EF ，连接EG ，AF ，BG ，∵EF CD ∥且EF AG ∥，AG CD ∴ ，即点G 在平面ABCD 内，所以四边形CDAG 为平行四边形，四边形AEFG 为平行四边形.又90ADC ∠=︒，BG AG ∴⊥，因为⊥AE 平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以AE BG ⊥，又因为AG AE A = ，,AG AE ⊂平面AEFG ，∴BG ⊥平面AEFG ，因为AF ⊂平面AEFG ，BG AF ∴⊥．AE AG ⊥ ，所以平行四边形AEFG 为矩形，又因为AE EF =，所以矩形AEFG 为正方形，所以AF EG ⊥，又因为BG EG G = ，,BG EG ⊂平面BGE ，所以AF ⊥平面BGE ，因为BE ⊂平面BGE ，所以AF BE ⊥.（2）由（1）知AG ，AD ，AE 为三条两两互相垂直的直线，所以以A 为原点，AG 为x 轴，AD 为y 轴，AE 为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图，则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0)A G E D ，设()001,,0,[1,2]M y y ∈，∴(0,2,1)ED =- ，()01,2,0DM y =- ，设平面EMD 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n ED n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()02020y z x y y -=⎧⎨+-=⎩，令1y =，得02,2z x y ==-，所以平面EMD 的法向量为()02,1,2n y =- ，又⊥AE 平面ABCD ，即⊥AE 平面AMD ，ABEF 所在平面互相垂直，动点M 、N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<．(1)求证MN 与平面BCE 平行；(2)当a =A MN B --的余弦值．8．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市端州中学校考期中）侧棱2PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C PD A --的正弦值．【详解】（1）PA PD = ，O 为AD 的中点，PO AD ∴⊥，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ；（2） 底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，OC AD ∴⊥，又PO ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，易得平面PAD 的法向量(1,0,0m =设平面PCD 的法向量(,,n x y z = 设二面角C PD A --夹角为θ，则1cos 3m n m n θ⋅==⋅ ，则sin θ2,,PA AD AB M N ===分别为,AB PC 的中点.(1)求证：MN 平面PAD ；(2)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.（2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，令2x =，故(2,1,1)m =- ，又(1,0,0)n = 是面PAD 的一个法向量，所以26cos ,3||||6m n m n m n ⋅<>=== 故平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值10．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）图90,2,3,2D AB DCAD CE ED ︒∠====.以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且1AC = 2.(1)证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值.（2）如图②，以D 为坐标原点，DA ，DE 的方向分别为空间直角坐标系.D xyz -则(0,0,0),(3,0,0),(3,2,0),(0,1,0)D A BE ，F 33(,,0)22，133(,,3)22C ，31(,,3)BC =-- ()3,0,0DA = ,DC = 正方形，E 为侧棱PC 的中点．(1)设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点；(2)若PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，求点P 到平面ABE 的距离．【详解】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以//AB CD .又AB ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ⋂平面PCD EF =，所以//AB EF .又因为//AB CD ，所以//CD EF因为E 为PC 的中点，所以F 为PD 的中点.（2）如图所示，以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,1,1)B C P E ，设(,,)n x y z = 是平面ABE 的法向量，则0,0n AE n AB ⋅=⋅= ，即200x x y z =⎧⎨++=⎩令1y =，则平面ABE 的一个法向量为(0,1,1)n =- 又因为(0,0,2)AP = ，所以点P 到平面ABE 的距离为222|||00+01+21|2||011AP n n ⋅⨯⨯⨯==++ （-），即点P 到平面ABE 的距离为2．12．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，∠DAB ＝60°.侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝3.(1)求二面角B -D 1C -D 的平面角的余弦值；(2)设E 是D 1B 的中点，在线段D 1C 上是否存在一点P ，使得AE ∥平面PDB ？若存在，请求出11D P D C 的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）如图1，连接BD ，由题意，△ADB 是正三角形，设M 是AB 的中点，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥DC ，又DD 1⊥平面ABCD ，所以DM ⊥平面DD 1C 1C.以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,3)，C (0,2,0)，B (3,1,0)，则BC ＝(－3,1,0)，1BD ＝(－3,－1,3).显然，平面D 1CD 的一个法向量是()1,0,0m = ，设平面BD 1C 的法向量为n = (x ,y ,z )，则1=30,330,n BC x y n BD x y z ⎧⋅-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令x ＝3，得n = (3,3,2)，设二面角B -D 1C -D 的平面角为θ，由几何体的特征可知θ为锐角，则cos ||||m n m n θ⋅=⋅＝33941++⨯＝34.故二面角B -D 1C -D 的平面角的余弦值为34.（2）设11D P D C＝λ，即有11λD P D C ＝，其中01λ≤≤由（1）知D 1(0,0,3)，C (0,2,0)，则()10,2,3D C =- ，所以P (0,2,33)λλ-+，又D (0,0,0)，B (3,1,0)，1111为1AA的中点，1BC BD==，1AB AA==(1)求证：DM⊥平面1BDC；(2)求平面1MBC与平面1D B C夹角的余弦值.则()0,0,0D，21,0,2M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2=AD AB ，PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E 、F 、G 、O 分别是PC 、PD 、BC 、AD 的中点．(1)求平面EFG 与平面ABCD 所成角的大小；(2)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角的大小为π6，若存在，求出PMPA的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）解：因为PAD 是正三角形，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，PO CD ∴⊥，,,AD CD D AD CD Q Ç=Ì平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ，因为AD BC ∥且AD BC =，O 、G 分别为AD 、BC 的中点，所以AO BG ∥且AO BG =，所以四边形ABGO 为平行四边形，15．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）如图，在直棱柱1111为4的菱形，60BAD ∠= ，14AA =，P 是1AD 上的动点（不含端点）.(1)当P 为1AD 的中点时，求直线AD 到平面PBC 的距离；(2)求直线1AD 和平面BCP 所成角的正弦值的取值范围.则()0,0,0O ，()23,0,0A ，()10,2,4D -，()1123,2,0B C =-∴- ，AB P 为1AD 的中点，则(P()3,3,2BP =∴- ，(BC =- 则33202320n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩4AB =，BC =BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .(1)求DB 与平面ADE 所成角的正弦值.(2)求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1） 平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE BC =，CD BC ⊥，BE ⊂平面BCDE ，CD \^平面ABC ，则以C 为原点，,,CA CB CD正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()22,0,0A()22,0,23AD ∴=- ，DE设平面ADE 的法向量为n =则2223220AD n x z DE n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩DB n ⋅ ,A D 分别为棱,BM MC 的中点，将△MAD 沿AD 折起到PAD 的位置，使90PAB ∠=︒，如图2，连接,PB PC .(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --的余弦值为10若存在，求出PG PC 的值；若不存在，请说明理由.由题意得(0,1,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),D P B C 所以(1,0,1)DE = ，(2,0,2),PB PD =-=设平面PBD 的法向量(,,)n x y z =，则22020PB n x z PD n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，解得(1,2,1)n = 设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，n DE ⋅,120AD DC BC ADC ︒==∠=，四边形ACFE 为正方形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，求平面MAB 与平面ADE 夹角余弦值的取值范围．令(03)FM λλ=≤≤，则(3,0,0),(0,1,0),(,0,3),(3,0,A B M E λ1111AD=AA 1=1，AB=2.(1)试问在线段CD 1上是否存在一点N ，使MN ∥平面ADD 1A 1?若存在，确定N 的位置；若不存在，请说明理由；(2)在（1）中，当MN ∥平面ADD 1A 1时，试确定直线BB 1与平面DMN 的交点F 的位置，并求BF 的长.延长DM交AB于点G，可证点G是线段再过点G作GF//AB1与线段BB1交于点20．（2022秋·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）如图，在长方体11111 AB=，点E在棱AB上移动．2(1)证明：11D E A D ⊥；(2)求平面1ACD 的法向量.(3)当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以1DA DC DD ､､所在直线为x y z ､､轴，建立如图的坐标系，则()()()()()110,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,00,2,0D A D A C ，，所以()11,0,1DA = ，设()1,,0E t ，所以()11,,1D E t =- ，所以11110DA D E ⋅=-= ，故11DA D E ⊥ 所以11D E A D ⊥；（2）设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则()()11,0,1,1,2,0AD AC =-=-，由10,0n AD n AC ⋅=⋅=，得020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =得11,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）当E 为AB 的中点时，()1,1,0E ，则()11,1,1D E =-，由点到平面的距离公式，得()12221111111231112n D E d n ⨯+⨯+⨯-⋅===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，边长为2的正方形，PA=，G为CD的中点，E，F是棱PD上两点（F在E的上方），且2EF=．(1)若BF//平面AEG，求DE；(2)当点F到平面AEC的距离取得最大值时，求直线AG与平面AEC所成角的正弦值．则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()1,2,0G ，因为2EF =，所以EFC 的面积为定值，又点A 到平面EFC 的距离为定值，所以三棱锥A -EFC 的体积为定值，即三棱锥所以要使点F 到平面AEC的距离最大，则AEC △即E 到AC 的距离最小时，点F 到平面AEC 的距离最大，设()0,2,3E t t -，则()0,2,3AE t t =- ，AC22AE AC⎛⎫⋅ DE =E AD C --//EF BD .(1)证明：平面ABCD ⊥平面DCE ；(2)若()0EF DB λλ=>，求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值的取值范围.【详解】（1）∵2AB AD ==，3AE =，5DE =，∴222AD DE AE +=，即AD DE ⊥，又∵在正方形ABCD 中，AD DC ⊥，且DE DC D ⋂=，DE ⊂平面EDC ，DC ⊂平面EDC ，∴AD ⊥平面EDC ，又AD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面EDC ；（2）由（1）知，EDC ∠是二面角E AD C --的平面角，作OE CD ⊥于点O ，则cos 1OD DE EDC =⋅∠=，2OE =，且平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD ⋂平面EDC CD =，OE ⊂平面EDC ，∴OE ⊥平面ABCD ，取AB 中点M ，连接OM ，则OM CD ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0D -，()0,1,0C ，()0,0,2E ，()2,2,0DB = ，()2,2,0EF λλ=，()0,1,2EC =- ，设平面CEF 的一个法向量为(),,m x y z=，则20220m EC y z m EF x y λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11,1,2m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()22,21,2BF λλ=--，()0,2,0AB = ，设平面ABF 的一个法向量为(),,n a b c =，在底面圆周上，且,BE CE M =为AE 上的一点，且,BM AC N ⊥为线段AC 上一动点（不与,A C 重合）(1)若2AN NC =，设平面BMN ⋂面BEC l =，求证：//MN l ；(2)当平面BMN 与平面DEC 夹角为π3，试确定N 点的位置.【详解】（1）由题知AB ⊥面,BEC EC ⊂面BEC ，则AB EC ⊥，由BC 为底面圆的直径，则EC BE ⊥，由BE AB B =I ，,BE AB ⊂面ABE ，则(220,,,1,33BM CA ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭设()(,,2,CN CA λλλλλ==-∈设面BMN 的法向量为(,,n x y z =r 13λ-⎛⎫,23ABC AB AP π∠===，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是线段,PB PD 的中点，G 是线段PC 上的一点.(1)若G 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PGCG的值；(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为35，求三棱锥P EFG -体积.则()()(0,0,0,3,1,0,3,1,0A BC-()31,,1,0,1,122AE AF ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ (0,0,AG AP PG AP PC λ=+=+=设平面AEF 的法向量(,,m a b =ADE V 沿直线AE 折起，使得DC .(1)求证：BE ⊥平面ADE ；(2)线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为π4若不存在，说明理由；若存在，求出H 点的位置.【详解】（1）证明：连接BE ，取线段AE 的中点O ，连接,DO OC ，在Rt ADE V 中，DA DE ==,1DO AE DO ∴⊥=，在OEC △中，11,2OE AE ==()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,D C A B -平面ADE 的法向量()10,1,0n =，在平面直角坐标系xOy 中，直线设H 的坐标为(),2,0t t -，()(。
立体几何大题训练及答案
1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（1）线段的中点为，线段的中点为，求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.解：（1）取的中点为，连,,则,面/面, .............. 分5（2）先证出面，.............. 分8为直线与平面所成角，................ 分11................ 分142、己知多面体ABCDE中，DE平面ACD,, AC=AD=CD=DE=2 AB =1, O 为CD 的中点.（1）求证：AO平面CDE（2）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值3、如图，在△中，，，点在上，交于，交于•沿将△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△ ，使平面平面．（ 1 ）求证：平面；（2 ）若，求二面角的平面角的正切值.解：（1）因为，平面，所以平面.因为平面平面，且，所以平面. …2分同理，平面，所以，从而平面. …4分所以平面平面，从而平面.2)因为，，所以，，，．过E作，垂足为M，连结.由( 1)知，可得，所以，所以.所以即为所求二面角的平面角，可记为.在Rt△中，求得，所以. …4、如图，平面ABC,平面BCD, DE=DA=AB=AC,. M(1) 求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；(2) P为线段DM上一点，且DM，求证：AP//DE. (12)分15 分为BC中点.解：(1) 平面,为在平面上的射影,为与平面所成角. …分2平面,, 设,又,. 在△中，，，又为中点，， ,.…5分在△中，，．……………………分 (7)2),为中点, ．又平面, ,平面．又平面,,分11 …分9又，平面. .............. 分13又平面，. .............. 分145、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF丄平面ABCD, CE// AF,(1)证明：BD丄EF;(2)若AF= 1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为,求的值.解：(1)连结BD、AC,交点为O. •/ ABCD是正方形/• BD丄AC ……2分•/ AF丄平面ABCD A AF丄BD ……4分••• BD丄平面ACEF (6)A BD丄EF ……7分(2)连结0E,由(1)知，BD丄平面ACEF所以/ BEO即为直线BE与平面ACE所成的角. ……10分•/ AF丄平面ABCD, CE// AF , • CE丄平面ABCD, CE1 BC,•/ BC =1 , AF= 1 ,贝U CE= , BE= , B0=,• RtA BEO 中，，…1盼因为解得. …… 15分6、如图在几何体中平面ABC分别是的中点.(1) 求证：平面CDE；(2) 求二面角的平面角的正切值.解：(1)连接ACR1R交EC于点F ,由题意知四边形ACCR1RE是矩形,贝U F是ACR1R的中连接DF, •/ D是AB的中点，•ABCR1R勺中位线，a BCR1R//DF， 4 分•/ BCR1RF面EDC DF平面EDC,• BCR1R//平面CDE. 7 分(2)作AH丄直线CD,垂足为H ,连接HE,•/ AAR1R丄平面ABC, • AAR1RL DC,CD丄平面AHE,CD丄EH ,••• AHE是二面角E -CD -A的平面角. 11分•/ D是AB的中点，• AH等于点B到CD的距离，在厶BCD中，求得：AH=, 在厶AEH中，即所求二面角的正切值为.7、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且,( 1 )求证：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值.解：(1)证明：过点作于点，•••平面丄平面，•平面……2分又•••丄平面•- 〃 , ......... 分又•••平面• 〃平面 ......... 分(2) •••平面•,又•/••………………分8•点是的中点，连结，则•平面•//,•四边形是矩形………………分10设得：，又•••，•，从而，过作于点，则：•是与平面所成角…………………………………………分…… •，• 与平面所成角的正弦值为…………………………分14&如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，侧棱AA仁2, D, E分别为点，点E在平面ABD上的射影是的重心.(1) 求证：DE// 平面ACB；(2) 求A1B与平面ABD所成角的正弦值.12CC1 与A1B 的中9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1中，底面△ ABC为等腰直角三角形，/ B=90°D为棱BB1的中点。
浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案)
1.（本题满分15分）如图，平面⊥平面，是以为斜边的等腰直角PAC ABC ABC ∆AC 三角形。
分别为的中点，。
,,E F O ,,PA PB PC 16,10AC PA PC ===（I ） 设是的中点，证明：平面；C OC //PC BOE （II ）证明：在内存在一点，使⊥平面，并求点到,的距ABO ∆M FM BOE M OA OB 离。
2.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m ，（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDB 1D 1所成角的正切值为（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。
3. 如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB 、AC 靠近B 、C 的三等分点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。
（I ）求证BC ⊥平面AFG ；（II ）求二面角B －AE －D的余弦值．.4在如图所示的几何体中，平面ABC ，平面ABC ，，EA ⊥DB ⊥AC BC ⊥，M 是AB 的中点．2AC BC BD AE ===（1）求证：；CM EM ⊥（2）求CM 与平面CDE 所成的角5.如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，ABCD BEFC BE CF ∥，，．90BCF CEF ∠=∠=o AD =2EF =（Ⅰ）求证：平面；AE ∥DCF （Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？AB A EF C --60o6. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF=沿.432=FD 直线EF 将翻折成使平面平面BEF.AEF ∆,'EF A ∆⊥EF A ' （I ）求二面角的余弦值；C FD A --' （II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与重合，求线段FM 的长.'A EMACBD DABEFC（第18题）7. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
高考数学理数立体几何大题训练(含答案)
高考数学理数立体几何大题训练(含答案)1.（2020·新课标Ⅲ·理）在长方体中，点P、Q分别在棱AB、CD上，且AP=CQ.（1）证明：点PQ平分长方体的体对角线；（2）若PQ在平面BCFE内，求二面角的正弦值．2.（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M、N分别为BC、B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN 所成角的正弦值.3.（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，底面是内接正三角形ABC，P为上一点，AP为底面直径，DP⊥底面．（1）证明：DP平分∠ADC；（2）求二面角平面APD与平面ABC的余弦值．4.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．5.（2020·天津）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点P、Q分别在棱AB、A1B1上，且AP=A1Q，平面PQC1为棱BC1的中垂面，M为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：PM∥B1Q，且PM=B1Q；（Ⅱ）求二面角平面PQC1与直线PM所成角的正弦值；（Ⅲ）求直线B1Q与平面PQC1所成角的正弦值．6.（2020·江苏）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=1，AC=2，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC上一点，DE⊥平面BCD，DE=1.（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值．7.（2020·北京）如图，正方体ABCD-EFGH中，E为AD的中点，P为BF上一点．（Ⅰ）求证：PE∥CG；（Ⅱ）求直线PE与平面CGH所成角的正弦值．8.（2020·浙江）如图，三棱台DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，XXX．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．9.（2020·扬州模拟）如图，在等边三角形ABC的三棱锥ABCD中，D为底面的中点，E为线段AD上一动点，记DE=λAD.（1）当λ=1时，求证：DE与平面ABC垂直；（2）当λ=2时，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值．求证：直线AD与平面BCD垂直；2）若平面ABD与平面ACD所成二面角为，求二面角ABC与平面BCD所成二面角的正弦值。
立体几何大题练习(附答案)
1.(本小题总分值14分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD 底面ABCD, PD DC 1, E 是PC 的中点,作EF PB 交PB 于点F.(I)证实： PA //平面EDB; (II)证实：PB ,平面EFD; (III)求三棱锥P DEF 的体积.2 .(本小题总分值(m)求三棱锥(I )求证：B 118.(本小题总分值14分)如右图,在直角梯形ABCD中, B=90 °,1DC//AB,BC=CD= -AB=2 , G 为线段AB 的中点,将VADG 沿GD 2折起,使平面ADG 平面BCDG,得到几何体A-BCDG.(1)假设E,F分别为线段AC,AD的中点,求证：EF//平面ABG;(2)求证：AG 平面BCDG;(3)求V C-ABD 的值.4、(本小题总分值14分)如图4, AA是圆柱的母线, AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点, AA AB 2.(1)求证：BC 平面A〔AC ；(2)求三棱锥A ABC的体积的最大值.图4C (n ) 求证：EF 面PAC;〔出〕求三棱锥B-PAC的体积.6 .〔本小题总分值14分〕如图,平行四边形ABCD中,CD 1, BCD 60,且BD CD ,正方形ADEF 和平面ABCD成直二面角,G, H是DF , BE的中点.〔I〕求证：BD 平面CDE ;〔n〕求证：GH 〃平面CDE；〔出〕求三棱锥D CEF的体积.7.〔本小题总分值14分〕右图是一个直三棱柱〔以A i B i C i为底面〕被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.A i B i = B i C i = l, ZAi B i C i = 90 ,AA i = 4,BB i=2, CC i=3.(I)设点O是AB的中点,证实：OC//平面A i B i C i;(II)求此几何体的体积.8 .(本小题总分值i4分)如图,在正方体ABCD—A i B i C i D i中,E、F为棱AD、AB的中点.(i )求证：EF//平面CB i D i；(2)求证：平面CAA i C■平面CB i D i.9 .(本小题总分值i4分)如图i ,在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度),将直角梯形DCEF沿CD折起,使平面DCEF 平面ABCD,连结局部线段后围成一个空间几何体,如图2.(I)求证：BE〃平面ADF ;(n)求三棱锥F BCE的体积.图图-10 .(本小题总分值14分)在直三棱柱ABC ABG中,AD 平面ABC,其垂足D落在直线A〔B上.(I )求证：BC A1B ；(n)假设AD J3, AB BC 2, P为AC的中点,求三棱锥P ABC的体积.B1…1 .解：(1)证实：连结AC, AC交BD于O,连结EO••・底面ABCD是正方形,,点O是AC的中点在PAC中,EO是中位线,,PA // EO而EO 平面EDB且PA 平面EDB,所以,PA //平面EDB.(2)证实：PD,底面ABCD 且DC 底面ABCD,,PD DCPD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,.DE PC ①同样由PD,底面ABCD,得PDXBC•••底面ABCD是正方形,有DCXBC,,BC,平面PDC 而DE 平面PDC, BC DE ②由①和②推得DE 平面PBC而PB 平面PBC, . DE PB又EF PB 且DE EF E,所以PB ,平面EFD................................ 8分(3) . PD DC 1,由 PD ,平面 ABCD,PDXBC,又.BCXCD, PDACD = D,BC± PC.-CL 2f在Z^BDE 中,DE -------- , BD22221 DE2 BE 2 BD 2 — 2 而由(2), PB,平面EFD,••.BC,平面 PCD,3 c-一 2 0,即 DEL BE.2PBXDE,因而 DEL 平面 BEF,2在 RtABPD 中,BF BP BD , BF1 1 . V DE EF PF 32 2.解：(I)证实：连结 BD ,那么 BD // B 1D 1,ABCD 是正方形,,AC BD. CE 面 ABCD,,CE BD .又 A .CE C, BD 面 ACE. . AE 面 ACE, . . BD AE ,• .B 1D 1 AE .(n)证实：作BB 1的中点F,连结AF 、CF 、EF.• •・E 、F 是 CC 、BB 1 的中点,,CE?B 1F , • •・四边形B 〔FCE 是平行四边形,, CF// B 1E .E,F 是 CC 、BB 1 的中点,,EF//BC ,又 BC//AD , EF //AD ...............14分136；Rt 革EFEF. AF I CF C , B 1EI ED E ,,平面 ACF 〃面 B 1DE .又 AC 平面 ACF , . . AC 〃面 B 1DE .4证实：二.是底面圆周上异于 A, B 的任意 柱底面圆的直径, •••BCXAC,……2 分,.AA1,平面 ABC , BC i 平面 ABC, . AAiXBC,…… 4 分•.AA i AAC=A , AA 1 i 平面 AA i C, AC i 平面 AA1 C, . EC ,平面AA1C.……6分 (2)解法 1 :设 AC=x ,在 RtMBC 中,BC = J AB 2 AC 2 h x 2(o<x<2),……7 分....1 一 … 1 11 -~~2故 V ARABC = —S VABC AA 1— — AC BC AA 1 _x \ 4x (0<x<2),13 3 23即 V A 「ABC =4“ x 2 1 \/x 2 (4 x 2)：J (x 2~2)2~4 . ……11 分 23 33,-0<x<2 , 0<x 2<4 ,「.当 x 2=2,即 x = 五时, 三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为 -.……14分35(1)证实：在三角形 PBC 中,E 是PC 中点.F 为PB 中点所以 EF//BC , BC 面ABC, EF 面ABC, 所以 EF 〃面ABC ……4分,四边形ADEF 是平行四边形,AF // ED ,(3)S ABD - AB AD 2 •2VA BDE VE ABD1S ~ SABDCE1S3 SABDCE2 3又AB 是.O 的直径,所以BC AC …… ⑵ ……7分 由(1) (2)得 BC 面PAC 因EF//BC BC 面PAC ,所以EF 面PAC ……9分(出)因PA OO 所在的平面,AC 是PC 在面ABC 内的射影,1V B PACV P ABC S ABC PA37 . (1)证实：作OD //.交片81于口,连C 1D .那么 OD // BB 1 // CC 1 .作BH(n) PA BC面ABC 面ABCBC PA所成角 PCA 450,PA=AC11分在Rt ABC 中,E 是PC 中点,BAC -, AC BC 2412分Q O 是AB 的中点,OD1-(AA 1 BB 1) 3 CC 1 .2那么ODCQ 是平行四边形,OC // C 1D .……4分Q C 1D 平面 C 1B 1A 且 OC 平面C1B1A ,OC // 面 A 1B 1C 1.(2)如图,过B 作截面BA 2c 2CC 1 于 A 2,//面ABG,分别交AA1,Q CC 1 面 BA 2c 2, CC 1BH ,那么BH 平面AC .又Q A 2B AB 1 1 , BC 2B 1c l 1 , BH --, 2V B AA 2C 2C1 S A A 2c 2c3BH 1 1 厂J.21 (1 2) '2 -3 2 22PCA 即为PC 与面ABC'.2----- …14分3所求几何体体积为：V V B AACC . 八八 2 J 2 J8 .〔本小题总分值14分〕折叠之后平行关系不变. BC 平面ADF , AD 平面 • .BC//平面 ADF ,V AB|C 1 A2BC 21八, SA A 1B 1C 1BB 1 - 2 1〔1〕证实：连结 BD .在长方体AC i 中, 对角线BD//B 1D 1. 又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点, ・.EF //BD . . .EF //BD 1. 又 B 1D 1 平面 CBD 1, EF 平面 CB 1D 1,,EF//平面 CB 1D 1. (2) Q 在长方体 AC ［中,AA 1,平面 A 1B 1C 1D 1,而 B 1D 1 平面 A 1B 1C 1D 1, . AA iX B i D i . 又Q 在正方形 A 1B 1C 1D 1 中,A 1C 1 XB 1D 1, .. B 1D 1,平面 CAA 1C 1. 又Q B 1D 1 平面 CB 1D 1,,平面 CAA 1C 1,平面 CB 〔D 1. 14分9 .〔本小题总分值14分〕 证实：〔I 〕证法一：取 DF 中点为G,连结AG, EG 中, 八 1一 八 一八.CE — DF ,,EG 〃CD 且 EG CD 2 又•••AB 〃CD 且AB CD,,EG 〃AB 且 EG AB四边形ABEG 为平行四边形,,BE//AG. BE 平面ADF , AG 平面 ADF,. ・BE 〃平面 ADF ,证法二：由图1可知BC // AD , CE//DFV A 1B 1C 1 A 2BC 2同理CE〃平面ADF ................... 4分. BCI CE C , BC , CE 平面BCE ,,平面BCE 〃平面ADF ......... 6分. BE 平面BCE ,,BE 〃平面ADF ......... 7 分(II)解法1：V F BCE V B CEF .................... 8分由图1可知BC CD.平面DCEF 平面ABCD ,平面DCEF I平面ABCD CDBC 平面ABCD,..BC 平面DCEF ,1 1由图 1 可知DC CE 1 S CEF -CE DC .................. ........... 12 分2 2V F BCE V B CEF 3 BC S CEF解法2：由图1可知CD BC , CD CEBCI CE C. .CD 平面BCE ,. DF //DC点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1 ,由图1可知BC CE 1 S BCE 1-BC CE 2BCE 1 … c 13 CD S BCE 6解法3:过E作EH FC ,垂足为H , ....................... 8分由图1可知BC CD•••平面DCEF 平面ABCD,平面DCEFI 平面ABCD CD11分A B11分BC 平面 ABCD,. BC 平面 DCEF ,EH 平面 DCEF.BC EH,EH 平面BCF 1 、5S BCF -BC DF —, .......... 12 分 2 2又 BD CD. .BD ¥® CDE(n )证实：连结 EA ,那么G 是AE 的中点••• EAB 中,GH // AB又 AB//CD . GH //CD . .GH 〃平面CDE 11分 由 BC FC , FC .DC 2 DF 2 5, 在 CEF 中,由等面积法可得 EHV F BCE V E BCF EH S BCF13分 14分 6.(本小题总分值14分)(I )证实：平面 ADEF 平面ABCD ,交线为ADED AD• .ED 平面ABCDED BD2〔出〕解：设Rt BCD中BC边上的高为h1 1 -依题意：一2 h 1 32 23• • h —2_ ___ _____ .. 一、. .3即：点C到平面DEF的距离为- ---------------- 10•V D CEF V C DEF .32,33分------- 14 分。
高中《立体几何》大题(附答案解析)
《立体几何》大题及答案解析1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。
（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()ΙΙ求二面角S AM B −−的大小。
2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小ACBA 1B 1C 1DE3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD −的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF °==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A −−的大小。
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1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ︒===∠= （1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ，求证：//PM BCE 平面；（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值.解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC∴面PMN //面EBC ,∴//PM BCE 平面………………………5分(2)先证出FE ⊥面EBC ， ………………………8分FCE ∴∠为直线CF 与平面BCE 所成角， ………………………11分6tan FEFCE EC∠== ………………………14分2、己知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O 为CD 的中点.(1)求证：AO ⊥平面CDE ；(2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值ABCDE FPM ..ABCDEO3、如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '；（2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．解：（1）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．…6分 （2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=．…8分过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．由（1）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分在Rt △PCE 中，求得a EM 552=， B PF PABFC'B 'A EPABF C'B 'A E（第20题）MA BCDEP M所以55522tan =='=a aEM E A θ． …15分4、如图，⊥DA 平面ABC ，⊥ED 平面BCD ，DE=DA=AB=AC.0120=∠BAC ，M 为BC 中点.(1)求直线EM 与平面BCD 所成角的正弦值；(2)P 为线段DM 上一点，且⊥AP DM ，求证：AP//DE. 解：(1) ΘED ⊥平面BCD ，∴DM 为EM 在平面BCD上的射影， ∴EMD ∠为EM 与平面BCD 所成角． (2)分DA ⊥Q 平面ABC ，AC DA AB DA ⊥⊥∴,， 设a AB =，又=Q DA AB =AC ，a DB DC2==∴．在△ABC 中，Q ︒=∠120BAC，a BC3=∴，又Q M 为BC中点，∴⊥DM BC ，12==BM BC ，∴a DM 25=．…5分在Rt △EDM 中，EM =32a =，∴sin EMD ∠=32DE a EM a =23=．………………………7分 （2）Θ=AB AC ，M 为BC 中点，∴⊥BC AM ．又⊥DA 平面ABC ， ∴⊥BC DA ，⊥∴BC 平面DAM ．……………………9分又⊂AP平面DAM，AP BC ⊥∴， ……………………11分 又ΘDM AP ⊥，⊥∴AP 平面BCD ． ……………………13分 又ΘED ⊥平面BCD ，DE AP //∴． ……………………14分 5、如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，)1(>=λλAF CE ． （1）证明：BD ⊥EF ；（2）若AF ＝1，且直线BE 与平面ACEMP EDCB AA BCDE A 1C 1为1023，求λ的值．解：（1）连结BD 、AC ，交点为Ｏ．∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ……2分∵AF ⊥平面ABCD ∴AF ⊥BD ……4分 ∴BD ⊥平面ACEF ……6分 ∴BD ⊥EF ……7分（2）连结OE ，由（1）知，BD ⊥平面ACEF ，所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角． ……10分 ∵AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，∴CE ⊥平面ABCD ，CE ⊥BC ， ∵BC =1，AF ＝1，则CE ＝λ，BE ＝21λ+，BO ＝22， ∴Rt △BEO 中， 1023122sin 2=λ+==∠BE BO BEO ， …13分 因为1>λ，解得34=λ． ……15分6、如图，在几何体中，⊥1AA 平面ABC ，,2,//,111===⊥AA BC AB AA CC BC AB E D CC ,,11=分别是1,AA AB 的中点. (1)求证：//1BC 平面CDE ；(2)求二面角A DC E --的平面角的正切值. 解：（1）连接ACR 1R 交EC 于点F ，由题意知四边形ACCR 1RE 是矩形，则F 是ACR 1R的中点，连接DF ，∵D 是AB 的中点，∴DF 是△ABCR 1R 的中位线，∴ BCR 1R//DF ， 4分∵ BCR 1R ⊄平面EDC ，DF ⊂平面EDC ，∴BCR 1R//平面CDE. 7分(2) 作AH ⊥直线CD ，垂足为H ，连接HE ， ∵ AAR 1R ⊥平面ABC ，∴ AAR 1R ⊥DC ，∴ CD ⊥平面AHE ， ∴ CD ⊥EH ，∴ ∠AHE 是二面角E – CD – A 的平面角. 11分 ∵ D 是AB 的中点，∴ AH 等于点B 到CD 的距离，在△BCD 中，求得：AH ＝552， 在△AEH 中， 25tan ==∠AH AE AHE 即所求二面角的正切值为25.7、如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且PA AB AC ==, （1）求证：PA //平面QBC ；（2）若PQ QBC ⊥平面，求CQ 与平面PBC 所成角的正弦值.解：（1）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ……2分 又∵PA ⊥平面ABC∴QD ∥PA , ………………2分 又∵QD ⊆平面QBC∴PA ∥平面QBC ………………6分（2）∵PQ ⊥平面QBC∴90PQB PQC ∠=∠=o，又∵,PB PC PQ PQ ==∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ = ………………8分 ∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥∴四边形PADQ 是矩形 ………………10分 设2PA AB AC a === 得：2PQ AD a ==，6PD a =又∵,BC PA BC PQ ⊥⊥，∴BC PADQ ⊥平面，QPABCABCA 1B1C 1DE 从而PBC PADQ ⊥平面平面，过Q 作QH PD ⊥于点H ，则：QH PBC ⊥平面 ∴QCH ∠是CQ 与平面PBC 所成角 ………………………………………………12分∴222336a QH a ⋅==，6CQ BQ a ==2312sin 336QH QCH CQ ∠==⋅=∴CQ 与平面PBC 所成角的正弦值为23…………………………14分8、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆是等腰直角三角形，090=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别为CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心. (1)求证：DE//平面ACB ；(2)求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值.9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B=90°,D 为棱BB 1的中点。
（1）求证：面DA 1C ⊥面AA 1C 1C ； （2）若12AA AB，求二面角A —A 1D —C 的大小。
ABCA 1B 1C 1D10、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AB//CD ，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M 为PB 的中点． （1）证明：MC//平面PAD ；（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值．11、如图在梯形ABCD 中，DC AB //，E 、F 是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥,AB CF ⊥，2,3===FB EF CF ,G 为FB 的中点,设t AE =，现将BCF ADE ∆∆,分别沿CF DE ,折起，使A 、B 两点重合于点P ，得到多面体PEFCD . （1）求证：//PD 平面EGC ；（2）当⊥EG 面PFC 时,求DG 与平面PED 所成角的正切值.PA C DMABCDEFGEFCDGP（1）证明：连接DF 交EC 于点M ，连接MGG M ,Θ为中点 MG PD //∴ 又EGC PD 面⊄Θ EGC MG 面⊂ ∴//PD 平面EGC ———5分（2）当⊥EG 面PFC 时, PF EG ⊥ 又ΘG 为FB 的中点，2==∴EP EF ，2=∴t —————7分过点G 在平面PEF 中作EP 的垂线，垂足为N ，连接DN . ⊥DE Θ面PEF ∴面⊥PED 面PEF ⊥∴GN 面PED GDN ∠∴即为DG 与平面PED 所成角.——————11分易求得221,23==DN GN ,所以DG 与平面PED 所成角的正切值为77.——14分12、如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC ，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (1)证明：⊥BD 平面PAC ；(2)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求直线PE 与平面ABCE 所成角的正弦值.解：(1)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中， ∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠,∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC I 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ………… 6分(2)如图，过点P 作AC 的垂线，垂足为H ，连接EH ，EC并取AO 中点F ，连接EF ，∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC I 平面ABCE =AC ，AC PH ⊥ ∴⊥PH 平面ABCE ，∴PEH ∠即为直线PE 与平面ABCE 的所成角， 由(Ⅰ)可知，BD AC ⊥，且32=AO ，3=CO ，又2=PE ，7=PC ，设x CH =，则有27x PH -=，3222-=-=x PH PE EH又∵F 为AO 的中点，在EFH Rt ∆中，x FH -=32，1=EF由勾股定理得，31)32(22-=+-x x ，解得334=x ， BACDEPABCA 11C 1O∴332=EH ，335=PH ∴直线PE 与平面ABCE 的所成角的正弦值即33sin ==∠PE EH PEH .13、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1 =2，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，∠AA 1C 1=∠BAC 1=60°，设AC 1与AC 相交于点O ，如图． （1）求证：BO ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角B 1—AC 1—A 1的大小。