2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一）1.如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，P ABCD -ABCD ⊥PD ABCD ，点分别为的中点.2PD AB ==,,E F G ,,PC PD BC (1)求证：；EF PA ⊥(2)求二面角的余弦值.D FGE --2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱和一个正四棱锥组合而ADE BCF -P ABCD -成，，.AF AD ⊥2AE AD ==(1)证明：平面平面；⊥PAD ABFE (2)求正四棱锥的高，使得二面角P ABCD-h C AF P --3.四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是面积P ABCD -PDC ABCD 为的菱形，为锐角，为的中点．ADC ∠M PB （Ⅰ）求证：∥面．PD ACM （Ⅱ）求证：．PA ⊥CD （Ⅲ）求三棱锥的体积．P ABCD -4.如图，四棱锥满足面，．，S ABCD -SA ⊥ABCD 90DAB ABC ∠=∠=︒SA AB BC a ===．2AD a =（Ⅰ）求证：面面．SAB ⊥SAD （Ⅱ）求证：面．CD ⊥SAC SCBA DMC BAPD5.在四棱锥中，底面为矩形，测棱底面，，点是P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD PD DC =E 的中点，作交于．BC EF PB ⊥PB F （Ⅰ）求证：平面平面．PCD ⊥PBC （Ⅱ）求证：平面．PB ⊥EFD 6.在直棱柱中，已知，设中点为，中点为．111ABC A B C -AB AC ⊥1AB D 1A C E （Ⅰ）求证：平面．DE ∥11BCC B （Ⅱ）求证：平面平面．11ABB A ⊥11ACC A E DABC C 1B 1A 1D ABCEF P7.在四棱锥中，平面，，，，P ABCD -PA ⊥ABCD //AB CD AB AD ⊥PA PB =.::2:AB AD CD =（1）证明；BD PC ⊥（2）求二面角的余弦值；A PC D --（3）设点为线段上一点，且直线平面所Q PD AQ PAC，求的值.PQ PD8.在正方体中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .1111ABCD A B C D -（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；（2）若λ=2，求证：平面CDE ⊥平面CD 1O .9.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面P ABCD -ABCD 135BCD =︒∠PAB ⊥底面，，，，ABCD 90BAP =︒∠2AB AC PA ===E F 分别为，的中点，点在线段上．BC AD M PD （Ⅰ）求证：平面．EF ⊥PAC （Ⅱ）若为的中点，求证：平面．M PD ME ∥PAB （Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与ME PBC ME 平面所在的角相等，求的值．ABCD PMPD10.如图，在三棱柱，底面，，，，分别111ABC A B C -1AA ⊥ABC AB AC ⊥1AC AB AA ==E F 是棱，的中点，为棱上的一点，且平BC 1A A G 1CC 1C F ∥面．AEG （）求的值．11CGCC （）求证：．21EG A C ⊥（）求二面角的余弦值．31A AG E --A 1B 1C 1G F AB CEM FE CBA PD11.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD AD BC ∥，且，．AD AB ⊥3PB AB AD ===1BC =（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面．F PD 13PF PD=CF ∥PAB （Ⅱ）求二面角的大小．B PD A --（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得PD M CM PA ⊥若存在，求出的长；若不存在，说明理由．PM 12.如图，在四棱锥中，平面平面，，，E ABCD -EAD ⊥ABCD CD AB ∥BC CD ⊥，，．EA ED ⊥4AB =2BC CD EA ED ====Ⅰ证明：．BD AE ⊥Ⅱ求平面和平面所成角（锐角）的余弦值．ADE CDE DABCEPFDBCA13.己知四棱锥中，平面，底面P ABCD -PA ⊥ABCD 是菱形，且．，、ABCD 2PA AB ==60ABC ∠=︒BC 的中点分别为，．PD E F （Ⅰ）求证．BC PE ⊥（Ⅱ）求二面角的余弦值．F AC D --（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平行于AB G AF 平面？若存在，指出在上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．PCG G AB14.如图，是边长为的正方形，平面，ABCD 3DE ⊥ABCD ，，与平面所成角为．AF DE ∥3DE AF =BE ABCD 60︒（Ⅰ）求证：平面．AC ⊥BDE （Ⅱ）求二面角的余弦值．F BE D --（Ⅲ）设点线段上一个动点，试确定点的位置，M BD M 使得平面，并证明你的结论．AM ∥BEF D DABCEF15.如图，面，，PA ⊥ABC AB BC ⊥，为的中点．22AB PA BC ===M PB （Ⅰ）求证：平面．AM ⊥PBC （Ⅱ）求二面角的余弦值．A PCB --（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得PCD BD AC ⊥，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．PDPC 16.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面是PB 的中点,,//,PAD AB CD E .2,3,2AHPD PA AB AD HD=====（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若F 是CD 上的点，且，求二面角的正弦值.23FC FD ==B EF C --MDABCP17.如图，DC ⊥平面ABC ，，//EB DC ，，Q22AC BC EB DC ====120ACB ∠=︒为AB 的中点．（Ⅰ）证明：CQ ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求多面体ACED 的体积；（Ⅲ）求二面角A -DE -B 的正切值．18.如图1,在△ABC 中，AB =BC =2,∠B =90°,D 为BC 边上一点，以边AC 为对角线做平行四边形ADCE ，沿AC 将△ACE 折起，使得平面ACE ⊥平面ABC ,如图2.(1)在图 2中，设M 为AC 的中点，求证:BM 丄AE ；(2)在图2中，当DE 最小时，求二面角A -DE -C 的平面角.19.如图所示，在已知三棱柱ABF -DCE 中，，，90ADE ∠=︒60ABC ∠=︒2AB AD AF==，平面ABCD ⊥平面ADEF ，点M 在线段BE 上，点G 是线段AD 的中点．（1）试确定点M 的位置，使得AF ∥平面GMC ；（2）求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值．20.已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC =AB ，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）若，求平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.22AB AP ==21.如图，五面体PABCD 中，CD ⊥平面PAD ，ABCD 为直角梯形，,2BCD PD BC CD π∠===1,2AD AP PD =⊥.（1）若E 为AP 的中点，求证：BE ∥平面PCD ；（2）求二面角P -AB-C 的余弦值.22.如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt △SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中.且点A 为线段SD 的中点，，.现将△SAB 沿AB90SAB SDC ∠=∠=︒21AD DC ==2AB =进行翻折，使得二面角S -AB -C 的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点E ，F 分别在线段SB ，SC 上.（Ⅰ）证明：；BD AF ⊥（Ⅱ）若三棱锥B -AEC 的体积为四棱锥S -ABCD 体积的，求点E 到平面ABCD的距离.2523.四棱锥S -ABCD 中，AD ∥BC ，,BC CD ⊥060SDA SDC ∠=∠=，，E 为SD 的中点.AD DC =1122BC SD ==（1）求证：平面AEC ⊥平面ABCD ；（2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.24.已知三棱锥P -ABC ，底面ABC 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，PA ⊥AC ，BA =BC =PA =2，二面角P -AC -B 的大小为120°.（1）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小；（2）求二面角P -BC -A 的正切值.25.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，090=∠=∠BCD ABC ，，E 是PB 的中点，AB CB DC PD PA 21====（Ⅰ）求证：EC ∥平面APD ；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P -AB -D 的余弦值.26.四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，PA =2，PB =PD =2，E ，F ，G ，H 分别为棱PA ，PB 2，AD ，CD 的中点．（1）求CD 与平面CFG 所成角的正弦值；（2）探究棱PD 上是否存在点M ，使得平面CFG ⊥平面MEH ，若存在，求出的值；若PDPM不存在，请说明理由．t试卷答案1以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D Dxyz -，，，，，，.()0,0,0D ()0,2,0A ()2,0,0C -()0,0,2P ()1,0,1E -()0,0,1F ()2,1,0G -(1)∵，，()0,2,2PA =- ()1,0,0EF =则，∴.0PA EF ×=PA EF ^(2)易知，，()0,0,1DF = ()2,11FG =--设平面的法向量，DFG ()111,,m x y z =则，即，00m DF m FG ì×=ïíï×=î 1111020z x y z ì=ïí-+-=ïî令，则是平面的一个法向量，11x =()1,2,0m =DFG 同理可得是平面的一个法向量，()0,1,1n =EFG ∴，cos ,m n m n m n×<>==×由图可知二面角为钝角，D FG E --∴二面角的余弦值为D FG E ---2.(1)证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ^平面ADE ，所以：AB AD ^，又AD AF ^，所以：AD ^平面ABFE ，AD Ì平面PAD ，所以：平面PAD ^平面ABFE .(2)由(1)AD ^平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系an dAl l t h A xyz -，设正四棱锥P ABCD -的高h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -.()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,,1AP h =-.设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则：1111220220m AF x y n AC x z ì×=+=ïíï×=+=î ，取11x =，则111y z ==-，所以：()1,1,1m =-- .设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z = ，则22222220n AF x y n AP x hy z ì×=+=ïíï×=-+=î，取21x =，则21y =-，21z h =--，所以：()1,1,1n h =---，二面角C AF P --cos ,m n m n m n ×<>==，解得：1h =.3.E ODPABCM（Ⅰ）证明：连结交于，则是中点，AC BD O O BD ∵在中，是的中点，是的中点，PBD ∥O BD M PB ∴，PD MO ∥又平面，平面，PD ⊄ACM MO ⊂ACM ∴平面．PD ∥ACM（Ⅱ）证明：作，则为中点，连结，PE CD ∥E CD AE ∵底面是菱形，边长为，面积为，ABCD 2∴，11sin 222sin 222S AD DC ADC ADC =⨯⨯⨯∠⨯=⨯⨯∠⨯=∴，，sinADC ∠60ADC ∠=︒∴是等边三角形，ACD ∥∴，CD AE ∥又∵，CD PE ∥∴平面，CD ∥PAE ∴．CD PA ∥（Ⅲ）．11233P ABCD ABCD V S PE -=⨯=⨯=4.DABCSE（）证明：∵平面，平面，1SA ∥ABCD AB ⊂ABCD ∴，AB SA ∥又∵，90BAD ∠=︒∴，AB AD ∥∵，SA AD A = ∴平面，AB ∥SAD 又平面，AB ⊂SAB ∴平面平面．SAB ∥SAD （Ⅱ）证明：取中点为，AD E ∵，，，是中点，90DAB ABC ∠=∠=︒2AD a =BC a =E AD ∴是矩形，，，ABCE ∠CE AB a ==DE a =∴，CD =在中，，，，ACD∥AC=CD =2AD a =∴，222AC CD AD +=即，CD AC ∥又∵平面，平面，SA ∥ABCD CD ⊂ABCD ∴，CD SA ∥∴平面．CD ∥PAC 5.PFECBAD （Ⅰ）证明：∵底面，平面，PD ⊥ABCD BC ⊂ABCD ∴，PD BC ⊥又∵底面为矩形，ABCD ∴，BC CD ⊥∴平面，BC ⊥PCD ∵平面，BC ⊂PBC ∴平面平面．PCD ⊥PBC （Ⅱ）证明：∵，是中点，PD DC =E PC ∴，DE PC ⊥又平面平面，平面平面，PCD ⊥PBC PCD PBC PC =∴平面，DE ⊥PBC ∴，DE PB ⊥又∵，，EF PB ⊥EF DE E = ∴平面．PB ⊥EFD 6.E A1B 1C 1CBAD （Ⅰ）证明：连结，1A B ∵是的中点，D 1AB ∴是的中点，D 1A B ∵在中，是的中点，是的中点，1A BC ∥D 1A B E 1A C ∴，DE BC ∥又平面，平面，DE⊄11BCC B BC ⊂11BCC B ∴平面．DE ∥11BCC B （Ⅱ）证明：∵是直棱柱，111ABC A B C -∴平面，1AA ⊥ABC ∴，1AA AB ⊥又，AB AC ⊥∴平面，AB ⊥11ACC A ∵平面，AB ⊂11ABB A ∴平面平面．11ABB A ⊥11ACC A 7.以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(2,0,0)B ，D ，(0,0,2)P ，C （1）(BD =- ，2)PC =-，∵0BD PC ∙=∴BD PC⊥（2）AC = ，(0,0,2)AP = ，平面PAC 的法向量为1,0)m =-(0,2)DP = ，(1,0,0)AP = ，平面DPC 的法向量为(0,1)n =-.cos ,m n m n m n∙==∙，二面角B PC D --.g（3）∵AQ AP PQ AP tPD =+=+，[]0,1t ∈∴(0,0,2)2),22)AQ t t =+-=-设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角sin cos ,AQ m AQ m AQ mθ∙===∙223684t t t =⇒=-+，解得2t =（舍）或23.所以，23PQ PD =即为所求.8.解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以,,DADC 1DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．D xyz -则A (1，0，0)，，，D 1(0，0，1)，()11022O ，，()010C ，，E ， ()111442，，于是，.由cos ＝＝.所以异面直线AE 与CD 1. （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·＝0，m ·＝0CO1CD 得取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) .由D 1E ＝λEO ，则E，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·＝0，n ·＝0.CD DE 得取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2．9.（Ⅰ）证明：在平行四边形中，ABCD ∵，，，AB AC =135BCD =︒∠45ABC =︒∠∴，∵，分别为，的中点，AB AC ⊥E F BC AD ∴，∴，EF AB ∥EF AC ⊥∵侧面底面，且，PAB ⊥ABCD 90BAP =︒∠∴底面，∴，PA ⊥ABCD PA EF ⊥又∵，平面，平面，PA AC A = PA ⊂PAC AC ⊂PAC ∴平面．EF ⊥PAC （Ⅱ）证明：∵为的中点，为的中点，M PD F AD ∴，又∵平面，平面，MF PA ∥MF ⊄PAB PA ⊂PAB ∴平面，同理，得平面，MF ∥PAB EF ∥PAB 又∵，平面，平面，MF EF F = MF ⊂MEF EF ⊂MEF ∴平面平面，又∵平面，MEF ∥PAB ME ⊂MEF ∴平面．ME ∥PAB （Ⅲ）解：∵底面，，PA ⊥ABCD AB AC ⊥∴，，两两垂直，故以，，分别为轴，轴和轴建立如图空间AP AB AC AB AC AP x y z 直角坐标系，则，，，，，，(0,0,0)A (2,0,0)B (0,2,0)C (0,0,2)P (2,2,0)D -(1,1,0)E 所以，，，(2,0,2)PB =- (2,2,2)PD =--(2,2,0)BC =- 设，则，([0,1])PMPDλλ=∈(2,2,2)PM λλλ=-- ∴，，(2,2,22)M λλλ--(12,12,22)ME λλλ=+--易得平面的法向量，ABCD (0,0,1)m =设平面的法向量为，则：PBC (,,z)n x y =，即，令，得，00n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩1x =(1,1,1)n = ∴直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，ME PBC ABCD ∴，即，|cos ,||cos ,|ME m ME n <>=<> ||||||||||||ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅∴（舍去），|2λ-λ=λ=故．PM PD=D10.（）∵平面，又平面，平面平面，11C F ∥AEG 1C F ⊂11ACC A 11ACC A AEG AG =∴，1C F AG ∥∵为的点，且侧面为平行四边形，F 1AA 11ACC A ∴为中点，G 1CC ∴．112CG CC =（）证明：∵底面，，，21AA ⊥ABC 1AA AB ⊥1AA AC ⊥又，如图，以为原点建立空间直角坐标系，AB AC ⊥A A xyz -设，则由可得，，，，2AB =1AB AC AA ==(2,0,0)C (0,2,0)B 1(2,0,2)C 1(0,0,2)A ∵，分别是，的中点，∴，，E G BC 1CC (1,1,0)E (2,0,1)G ∴，1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=∴，1EG CA ⊥∴．1EG A C ⊥（）设平面的法向量为，则：3AEG (,,)n x y z =，即，令，则，，00n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y x z +=⎧⎨+=⎩1x =1y =-2z =-∴，(1,1,2)n =-- 由已知可得平面的法向量，1A AG (0,1,0)m =∴，cos ,||||n m n m n m ⋅<>==⋅由题意知二面角为钝角，1A AG E --∴二面角的余弦值为．1A AG E --111.（Ⅰ）证明：过点作，F FH AD ∥交于，连结，如图所示，PA H BH ∵，13PF PD=∴，13HF AD BC ==又，，，FH AD ∥AD BC ∥HF BC ∥∴四边形为平行四边形，BCFH ∴，CF BH ∥又平面，平面，BH ⊄PAB CF ⊄PAB ∴平面．CF ∥PAB D（Ⅱ）解：∵梯形中，，，ABCD AD BC ∥AD AB ⊥∴，BC AB ⊥∵平面，PB ⊥ABCD ∴，，PB AB ⊥PB BC ⊥∴如图，以为原点，，，B BC BA BP所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，x y z 则，，，，(1,0,0)C (3,0,0)D (0,3,0)A (0,0,3)P 设平面的一个法向量为，BPD (,,)n x y z = 平面的一个法向量为，APD (,,)m a b c = ∵，，(3,3,3)PD =- (0,0,3)BP = ∴，即，00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 333030x y z z +-=⎧⎨=⎩令得，同理可得，1x =(1,1,0)n =- (0,1,1)m = ∴，1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-⋅∵二面角为锐角，B PD A --∴二面角为．B PD A --π3（Ⅲ）假设存在点满足题意，设，M (3,3,3)PM PD λλλλ=-∴，(13,3,33)CM CP PD λλλλ=+=-+- ∵，∴，解得，(0,3,3)PA =- 93(33)0PA CM λλ⋅=+-= 12λ=∴上存在点使得，且．PD M CMPA ⊥12PM PD ==12.Ⅰ∵，，∴，BC CD ⊥2BC CD ==BD =同理，，∴，EA ED ⊥2EA ED ==AD =又∵，∴由勾股定理可知，，4AB =222BD AD AB +=BD AD ⊥又∵平面平面，平面平面，平面，EAD ⊥ABCD EAD ABCD AD =BD ⊂ABCD ∴平面，BD ⊥AED 又∵平面，AE ⊂AED ∴．BD AE ⊥Ⅱ解：取的中点，连结，则，AD O OE OE AD ⊥∵平面平面，平面平面，EAD ⊥ABCD EAD ABCD AD =∴平面，OE ⊥ABCD取的中点，连结，AB F DF BD ∥以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O O xyz -则，，，，，(D (C -E (DC = DE =设平面的法向量为，CDE (,,)n x y z =则即，令，则，，00DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x z x y +=⎧⎨-+=⎩1x =1z =-1y =∴平面的法向量，CDE (1,1,1)n =- 又平面的一个法向量为，ADE 1(0,1,0)n = 设平面和平面所成角（锐角）为，ADE CDE θ则，111cos |cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅∴平面和平面．ADE CDE C13.（）证明：连结，．1AE PE ∵平面，平面，PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD∴．PA BC ⊥又∵底面是菱形，，，ABCD AB BC =60ABC ∠=︒∴是正三角形．ABC ∥∵是的中点，E BC ∴．AE BC ⊥又∵，平面，平面，PA AE A = PA ⊂PAE PE ⊂PAE ∴平面，BC ⊥PAE∴．BC PE ⊥（）由（）得，由可得．21AE BC ⊥BC AD ∥AE AD ⊥又∵底面，∴，．PA ⊥ABCD PA AE ⊥PA AD ⊥∴以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，A AEAD AP x y zA xyz -如图所示，则，，，，，，(0,0,0)A E (0,2,0)D (0,0,2)P 1,0)B -C ．(0,1,1)F ∵平面，PA ⊥ABCD ∴平面的法向量为．ABCD (0,0,2)AP =又∵，．AC = (0,1,1)AF =设平面的一个法向量，则：ACF (,,)n x y z =，即，令，则，，0AC n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y z +==⎪⎩+1x =y =z =∴．(1,n =∴．cos ,||||AP n AP n AP n ⋅==∵二面角是锐角，F AC D --∴二面角F AC D --（）是线段上的一点，设．3G AB (01)AG t AB t =≤≤∵，∴．1,0)AB =-,,0)G t -又∵，．2)PC =- ,,2)PG t =--设平面的一个法向量为，则：PCG (,,)n x y z =，即，∴，1100PC n PG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111112020y z ty z -=--=+1()n t t =- +∵平面，∴，，AF ∥PCG AF n ⊥ 0AF n ⋅=1)0t -=解得．12t=故线段上存在一点，使得平行于平面，是中点．AB G AF PCGG AB14.（）证明：∵平面，平面，1DE⊥ABCD AC⊂ABCD∴．DE AC⊥∵是正方形，ABCD∴．AC BD⊥又，DE BDD=∴平面．AC⊥BDE（）∵，，两两重叠，∴建立空间直角坐标系如图所示．2DA DC DE D xyz-∵与平面所成角为，即，BE ABCD60︒60DBE∠=︒∴．EDDB=由，可知，，则，，，3AD=DZ=AF=(3,0,0)A F E(3,3,0)B，．(0,3,0)C∴，，(0,BF=-(3,0,EF=-设平面的法向量为，则BEF(,,)n x y z=，即，令．n BFn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩3030yx⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩z n=∵平面，AC⊥BDE∴为平面的一个法向量，，CABDE(3,3,0)CA=-∴．cos ,||||n CA n CA n CA ⋅===∵二面角为锐角，F BE D --∴二面角F BE D --（）点线段上一个动点，设，则．3M BD (,,0)M t t (3,,0)AM t t =-∵平面，∴，即，解得，AM ∥BEF 0AM n ⋅=4(3)20t t -+=2t =此时，点坐标为，，符合题意．M (2,2,0)13BM BD=15.（）证明：∵平面，平面，1PA ⊥ABC BC ⊂ABC ∴．PA BC ⊥∵，，BC AB ⊥PA AB A = ∴平面．BC ⊥PAB 又平面，AM ⊂PAB ∴．AM BC ⊥∵，为的中点，PA AB =M PB ∴．AM PB ⊥又∵，PB BC B = ∴平面．AM ⊥PBC （）如图，在平面内作，则，，两两垂直，建立空间直角坐标2ABC AZ BC ∥AP AB AZ 系．则，，，，．A xyz -(0,0,0)A (2,0,0)P (0,2,0)B (0,2,1)C (1,1,0)M ，，．(2,0,0)AP = (0,2,1)AC = (1,1,0)AM =设平面的法向量为，则：APC (,,)n x y z = ，即，令，则．00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x y z =⎧⎨+=⎩1y =2z =-∴．(0,1,2)n =- 由（）可知为平面的一个法向量，1(1,1,0)AM = PBC ∴．cos ||||AM n n AM AM n ⋅⋅==∵二面角为锐角，A PCB --∴二面角．A PCB --（）证明：设是线段上一点，且，，3(,,)D v w μPC PD PC λ=(01)λ≤≤即，(2,,)(2,2,1)v w μλ-=-∴，，．22μλ=-2v λ=w λ=∴．(22,22,)BD λλλ=--由，得，0BD AC ⋅= 4[0,1]5λ=∈∴线段上存在点，使得，此时．PC D BD AC ⊥45PD PCλ==16.解：（1）证明：因为平面，所以，AB ⊥PAD PH AB ⊥因为，所以，3,2AHAD HD==2,1AH HD ==设，由余弦定可得，PH x = 22221cos 22x HD PH x PHD x HD x +--∠==⋅22221cos 24x HA PH x PHA x HA x+--∠==⋅因为，故，cos cos PHD PHA ∠=-∠1PH x ==所以，因为，故平面.PH AD ⊥AD AB A = PH ⊥ABCD （2）以为原点，以所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，H ,,HA HP HP ,,x y z 则，3139(2,3,0),(0,0,1),(1,,(1,,0),(1,,0)2222B P E FC --所以可得，，3311(3,,0),(1,,),(2,0,(0,3,0)2222BF BE EF FC =--=--=-=设平面的法向量，BEF (,,)n x y z =则有：，33002(1,2,4)30022x y BF n n z BE n x y ⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩设平面的法向量，EFC (,,)m x y z =则有：，020(1,0,4)2030z EF m x m FC m y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩故cos ,n m n m n m⋅===⋅设二面角的平面角为 ，则B EF C --θsin θ=17.解（Ⅰ）证明：∵平面，DC ⊥ABC //BE DC∴平面BE ⊥ABC ∴ ①CQ BE ⊥又∵，点为边中点2AC BC ==Q AB ∴ ②CQ AB ⊥AB BE B=I 故由①②得平面CQ ⊥ABE（Ⅱ）过点作交延长线于点A AM BC ⊥BC M ∵,AM BC AM BE ⊥⊥∴平面AM ⊥BEDC ∴13A CED CDE V S AM -∆=g sin3AM AC π==g 11212CDE S ∆=⨯⨯=∴113A CEDV -=⨯=（Ⅲ）延长交延长线于，过点作于，连结ED BC S M MQ ES ⊥Q AQ 由（Ⅱ）可得：为的平面角AQM ∠A DE B --∵1//2CD BC ∴2SC CB ==∴SE ==1MC MS ==∵∽SQM ∆SBE ∆∴QM SMBE SE=∴即2QM=QM =∴tan AMAQM QM∠===18.（1）证明：∵在中，，∴当为的中点时，∵平面平面，平面，平面平面∴平面∵平面∴（2）如图，分别以射线，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系设，则，，，∵，，平面平面∴∴当且仅当时，最小，此时，设，平面，则，即∴令，可得，，则有∴∴观察可得二面角的平面角19.（1）取FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点．连接PG ，∵G 是AD 的中点，P 是FE 的中点，∴//PG AF ，又PG ⊂平面MGC ，AF ⊄平面MGC ，所以直线//AF 平面MGC ，∵//PE AD ，//AD BC ，∴//PE BC ，∴2BM BCME PE==，故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点．（2）不妨设2AD =，由（1）知PG AD ⊥，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，PG ⊂平面ADEF ，∴PG ⊥平面ABCD ．故PG GD ⊥，PG GC ⊥，以G 为坐标原点，GC ，GD ，GP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，∵60ABC ∠=︒，2AB AD AF ==，∴ADC ∆为正三角形，GC =，∴(0,0,0)G，C ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E ，∴(0,1,1)GE =，GC =，设平面CEG的一个法向量1(,,)n x y z=，则由1n GE⋅=，1n GC⋅=可得0,0,yz+=⎧⎪=令1y=，则1(0,1,1)n=-，∵(CD=BA=，且(0,1,0)A-，故2,0)B-，故(2,0)BG=，故直线BG与平面GCE所成角的正弦值为11||sin||||n BGn BGθ⋅==⋅．20.（Ⅰ）取PC中点H，连接、EH FH.∵E为AB的中点，ABCD是菱形，∴//AE CD，且12AE CD=，又F为PD的中点，H为PC的中点，∴//FH CD，且12FH CD=，∴//AE FH，且AE FH=，则四边形AEHF是平行四边形，∴//AF EH.又AF⊄平面PCE，EH⊂面PCE，∴//AF平面PCE.（Ⅱ）取BC的中点为O，∵ABCD是菱形，AC AB=，∴AO BC⊥，以A为原点，,,AO AD AP所在直线分别为,,zx y轴，建立空间直角坐标系A xyz-，则))()1,0,,0,2,0B C D-，)()1,0,0,1,,02O P E⎫-⎪⎪⎭，∴)31,,02PC EC⎫=-=⎪⎪⎭，)AO=，设平面的法向量为()1,,n x y z=，则11n PCn EC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即y zx y+-=+=，令1y=-，则2x z==，∴平面PCE的一个法向量为)11,2n=-，又平面PAD的一个法向量为()21,0,0n=.∴121212cos,|n||n|n nn n⋅<>===⋅即平面PAD与平面PCE所成锐二面角的in21.解：（1）证明：取的中点，连接，PD F,EF CF因为分别是的中点，所以且，,E F,PA PD//EF AD12EF AD=因为，所以且，所以,1,//2BC AB BC AD=//EF BC EF BC=//BE CF又平面平面，所以平面.BE⊄,PCD CF⊂PCD//BE PCD（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐P,PD PA x y标系，不妨设，1BC=则，1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(2P A D C B,1((1,2PA AB AD===设平面的一个法向量为，则，PAB(,,)n x y z=1002n PAn AB x z=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩令，得，2x=(2,0,1)n=-同理可求平面的一个法向量为ABDcos,n mm n mn m⋅=⇒===平面和平面为同一个平面，ABD ABC所以二面角.P AB C--22.解：（Ⅰ）证明：因为二面角的大小为90°，则，S AB C--SA AD⊥又，故平面，又平面，所以；SA AB⊥SA⊥ABCD BD⊂ABCD SA BD⊥在直角梯形中，，，，ABCD90BAD ADC∠=∠=︒21AD CD==2AB=所以，又，1tan tan2ABD CAD∠=∠=90DAC BAC∠+∠=︒所以，即；90ABD BAC∠+∠=︒AC BD⊥又，故平面，AC SA A=I BD⊥SAC因为平面，故.AF⊂SAC BD AF⊥（Ⅱ）设点到平面的距离为，因为，且，E ABCD hB ABC E ABCV V--=25E ABCS ABCDVV--=故，511215321122132ABCDS ABCDE ABCABCS SAVV S h h--∆⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯∥∥故，做点到平面的距离为.12h=E ABCD1223.（1）为的中点，ESD01,602AD DC SD SDA SDC==∠=∠=.ED EC AD DC∴===设为的中点，连接则O AC,EO DO EO AC⊥//,AD BC BC CD⊥.AD BC∴⊥又OD OA OC==从而EOC EOD∴∆≅∆EO OD⊥面AC ABCD=DO⊂ABCD0AC DO=面面EO∴⊥ABCD EO⊂AEC面面………………6分∴EAC ⊥ABCD （2）设为的中点,连接,则平行且等于F CD OF EF 、OF 12AD ∥∥AD BC EF ∴BC不难得出面（ ）CD ⊥OEF EO CD ⊥ FO CD ⊥面面∴ECD ⊥OEF在面射影为，的大小为与面改成角的大小OF ECD EF EFO ∠BC ECD 设，则 AD a =2aOF =EF =os OF c EFO EF <==即与.（亦可以建系完成） ………………12分BC ECD 24.解（Ⅰ）过点P 作PO ⊥底面ABC ，垂足为O ，连接AO 、CO ，则∠为所求线面角，PCO ，,AC PA ⊥ ,AC PO PA PO P ⊥⋂=且平面.则∠PAO 为二面角P -AC -B 平面角的补角AC ∴⊥PAO ∴∠，又， 60=PAO 2PA =∴，P O = 1sin 2PO PCO CO ∠==，直线PC 与面ABC 所成角的大小为30°.030PCO ∴∠=（Ⅱ）过作于点,连接，则为二面角P -BC -A 的平面角，O OE BC ⊥E PE PEO ∠平面,,AC ⊥ PAO AC OA ⊥045AOE ∠=设与相交于OE CA F 2OE EF FO ∴=+=+a在中，PEO ∆tan POPEO EO∠===则二面角P -BC -A 25.解：（Ⅰ）如图，取中点，连接，PA F FD EF ,是的中点，E BP 且，又AB EF // AB EF 21=AB DC AB DC 21,//= 四边形是平行四边形，故得∴∴DC EF //EFDC //EC FD又平面平面⊄EC ⊂FD PAD ,PAD平面//EC ∴ADE（Ⅱ）取中点,连接,因为，所以AD H PH PD PA =ADPH ⊥ 平面平面于， ⊥PAD ABCD AD 面，⊥∴PH ABCD 是在平面内的射影HB ∴PB ABCD 是与平面所成角PBH ∠∴PB ABCD 四边形中， ABCD 090=∠=∠BCD ABC 四边形是直角梯形∴ABCD AB CB DC 21==设，则a AB 2=aBD 2=在中，易得ABD ∆aAD DBA 2,450=∴=∠.22212222a a a DH PD PH =-=-=又22224ABa AD BD ==+ 是等腰直角三角形，ABD ∆∴090=∠ADB a a a DB DH HB 2102212222=+=+=∴ 在中，∴PHB Rt ∆5521022tan ===∠a aHB PH PBH （Ⅲ）在平面内过点作的垂线交于点，连接,则是在平ABCD H AB AB G PG HG PG 面上的射影，故，所以是二面角的平面角，ABCD AB PG ⊥PGH ∠D AB P --由，又a HA a AB 22,2==aHG HAB 21450=∴=∠在中，PHG Rt ∆22122tan ===∠a aHG PHPGH 二面角的余弦值大小为∴D AB P --.3326.（1）∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA 2+AB 2=PB 2，PA 2+AD 2=PD 2，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵E ，F ，G ，H 分别为棱PA ，PB ，AD ，CD 的中点．∴C （2，2，0），D （0，2，0），B （2，0，0），P （0，0，2），F （1，0，1），G （0，1，0），=（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴CD与平面CFG 所成角的正弦值为．（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG⊥平面MEH，则（a，b，c﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M（0，2λ，2﹣2λ），E（0，0，1），H（1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ），设平面MEH 的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面CFG 的法向量=（1，﹣2，﹣3），∵平面CFG⊥平面MEH，∴=﹣2﹣=0，解得∈[0，1]．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH ，此时=．。