高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何大全

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

立 体 几 何

一、选择题

【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是

28π

3

，则它的表面积是（ ） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π

【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面

ABCD m =，

αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）

A ．

3 B ．22 C ．3 D ．13

【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体

的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【2015，11】 【2014，8】 【2013，11】 【2012，7】

【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个

几何体的三视图，则这个几何体是( ) A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱 【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π

【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

A ．6

B ．9

C ．12

D ．15 【2012，8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球

的体积为（ ）

A

B ．

C ．

D ．

【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

二、填空题

【2017，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平

面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．

【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α

截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若

圆锥底面面积是这个球面面积的3

16

，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者

的高的比值为 ． 三、解答题

【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=?． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，且四

棱锥P ABCD -的体积为8

3

，求该四棱锥的侧面积．

【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ．

（1）求证：G 是AB 的中点； （2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．

【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，

(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ；

(Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD 的体积为

6

【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.

（1）证明：;1AB C B ⊥

（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο求三棱柱111C B A ABC -的高.

【2013，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．

(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．

【2012，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=?，AC=BC=2

1

AA 1，D 是棱AA 1的中点．

（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；

（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

【2011，18】如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，DAB ∠=o ，

2AB AD =，

PD ⊥底面ABCD ． （1）证明：PA BD ⊥；

（2）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．

D

A 1

1

C

C 1

解 析

一、选择题

【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）

【解法】选A ．由B ，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ ；由C ，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ ；由D ，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．

【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是

28π

3

，则它的表面积是（ ）． A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π 解析：选A ． 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的

1

8

，设球的半径为R ，则37428π

π833R ?=，解得2R =．该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的

1

4

， 所以该几何体的表面积为2271

4π23π284

S =

??+???14π3π17π=+=．故选A ． 【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，αI 平面

ABCD m =，αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）

A ．

．．1

3

解析：选A ． 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3

EAF π

∠=

，所以其

正弦值为

A ． 解法二（原理同解法一）：过平面外一点A 作平面α，并使α∥平面11C

B D ，不妨将点A 变换成B ，作β使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到β，即为平面1A BD ，如图所示，

即研究1A B 与BD 所成角的正弦值，易知13

A BD π

∠=

，所以其正弦值为2．故选A ．

【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) B

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

解：设圆锥底面半径为r ，依题116

23843

r r ??=?=，所以米堆的体积为

211163203()54339

????=

，故堆放的米约为320

9÷1．62≈22，故选B ． 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体

的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2πr 2+πr×2r+πr 2+2r×2r =5πr 2+4r 2=16+20π， 解得r=2，故选B ．

【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是( )B

A ．三棱锥

B ．三棱柱

C ．四棱锥

D ．四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱． 故选B

【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 解析：选A ．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V 半圆柱＝1

2

π×22×4＝8π，V 长方体＝4×2×2＝16．所以所求体积为16＋8π．故选A ．

【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A ．6

B ．9

C ．12

D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为

三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为

底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD⊥底面BCD ，

AO ⊥底面BCD ，

因此此几何体的体积为

11

(63)3932

V =????=，故选择B ． 【2012，8】8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的 距离为2，则此球的体积为（ ） A ．6π B ．43π

C ．46π

D ．63π

O B D A

【解析】如图所示，由已知11O A =，12OO =

在1Rt OO A ?中，球的半径3R OA ==

所以此球的体积34

433

V R ππ==，故选择B ．

【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．

【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形． 故选D ． 二、填空题

【2017，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平

面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．

【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ，设OA r =，

3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -?=??=????=，所以31

933r r =?=，

所以球的表面积为2436r ππ=．

【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α

截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．

答案：9

π2

解析：如图，

设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ，OH ＝3

R

．又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1．∵在Rt△OEH

中，R 2

＝2

2+13R ??

???

，∴R 2＝98． ∴S 球＝4πR 2＝9π2．

【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若

圆锥底面面积是这个球面面积的3

16

，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高

的比值为 ．

【解析】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，则由223π4π16r R =?，知223

4

r R =．

根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球

的大圆上的点，因此PB QB ⊥．

设PO x '=，QO y '=，则2x y R +=． ? 又PO B BO Q ''△∽△，知22r O B xy '==．

即22

34

xy r R ==

． ? 由??及x y >可得3,22

R

x R y ==．

则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为1

3

．

故答案为1

3

．

三、解答题

【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=?． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，且四

棱锥P ABCD -的体积为8

3，求该四棱锥的侧面积．

【解法】（1）Q 90BAP CDP ∠=∠=?， ∴,AB AP CD DP ⊥⊥ 又Q AB ∥CD ∴AB DP ⊥

又AP ?平面PAD ，DP ?平面PAD ，且AP DP P =I ∴AB ⊥平面PAD Q AB ?平面PAB ，所以 平面PAB ⊥平面PAD

（2）由题意：设=PA PD AB DC a === ，因为90APD ∠=? ，所以PAD ?为等腰直角三角形

即AD

取AD 中点E ，连接PE ，则PE =，PE AD ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面PAD 所以PE ⊥平面ABCD

因为AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD 所以AB ⊥AD ，CD ⊥AD 又=AB DC a =

所以四边形ABCD 为矩形

所以31118

33233P ABCD V AB AD PE a a a -====

g g g g g

即2a =

【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在

平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ．

（1）求证：G 是AB 的中点； （2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积． 解析 ：（1）由题意可得ABC △为正三角形，故6PA PB PC ===． 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ，故PD ⊥平面ABC ． 又AB ?平面ABC ，所以AB PD ⊥．

因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ，故DE ⊥平面PAB ． 又AB ?平面PAB ，所以AB DE ⊥．

因为AB PD ⊥，AB DE ⊥，PD DE D =I ，,PD DE ?平面PDG ， 所以AB ⊥平面PDG ．又PG ?平面PDG ，所以AB PG ⊥． 因为PA PB =，所以G 是AB 的中点．

（2）过E 作EF BP ∥交PA 于F ，则F 即为所要寻找的正投影． 理由如下，因为PB PA ⊥，PB EF ∥，故EF PA ⊥．同理EF PC ⊥， 又PA PC P =I ，,PA PC ?平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ， 故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影．

所以13D PEF PEF V S DE -=?△1

6

PF EF DE =??．

在PDG △中，32PG =6DG =，3PD =2DE =． 由勾股定理知22PE =PEF △为等腰直角三角形知2PF EF ==，故43

D PEF V -=． 【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，B

E ⊥平面ABCD ，

(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ；

(Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD 的体积为

6

解：(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ． ∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，

∴AC ⊥平面BED ，又AC ?平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ． …6分 (Ⅱ)设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC =120°可得， AG=GC=

3x ，GB=GD=2

x

． 在RtΔAEC 中，可得EG 3x ． ∴在RtΔEBG 为直角三角形，可得2

x ． …9分 ∴31166

32243

E ACD V AC GD BE x -=???==， 解得x =2．

由BA=BD=BC 可得6．

∴ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 5

所以三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25 …12分 18． 解析 （1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥． 又ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．

又因为BD BE B =I ，BD ，BE ?平面BED ，

所以AC ⊥平面BED ．又AC ?平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED ． （2）在菱形ABCD 中，取2AB BC CD AD x ====， 又120ABC ∠=o ，所以3AG GC x ==，BG GD x ==． 在AEC △中，90AEC ∠=o ，所以1

32

EG AC x =

=， 所以在Rt EBG △中，222BE EG BG x =-，

所以31166

22sin12023233E ACD V x x x x -=????==o ，解得1x =．

在Rt EBA △，Rt EBC △，Rt EBD △中， 可得6AE EC ED ===．

所以三棱锥的侧面积11

2256632522

S =??=+侧

【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.

（1）证明：;1AB C B ⊥

（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο求三棱柱111C B A ABC -的高. 证明：(Ⅰ)连接 BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点，

∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C ， …2分 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，…4分 ∴BC 1⊥平面ABC 1，∵AB ?平面ABC 1，

故B 1C ⊥AB . …6分

(Ⅱ)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连结AD ，∵AO ⊥BC ，∴BC ⊥平面AOD ， 又BC ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面AOD ，交线为AD ，

作OH ⊥AD ，垂足为H ，∴OH ⊥平面ABC . …9分

∵∠CBB 1=60°，所以ΔCBB 1为等边三角形，又BC =1，可得OD 3

由于AC ⊥AB 1，∴111

22

OA B C =

=，∴4AD ==，

由 OH·AD=OD·OA ，可得OH=14

，又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为

7，所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7

。 …12分 另解(等体积法)：∵∠CBB 1=60°，所以ΔCBB 1为等边三角形，又BC =1，

可得BO AC ⊥AB 1，∴111

2OA B C ==，∴AB =1，AC=2，…9分

则等腰三角形ABC 的面积为1228

?=

，设点B 1到平面ABC 的距离为d ，

由V B 1-ABC =V A-BB 1C 得1,8427

d d ==解得，

所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7

。 …12分

【2013，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．

(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积． 证明：(1)取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB ．

由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB ．

因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．

(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，

所以OC ＝OA 1＝

又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ， 故OA 1⊥OC ．

因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．

又△ABC 的面积S △ABC ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3．

【2012，19】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=?，AC=BC=2

1

AA 1，D 是棱AA 1的中点．

（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；

（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC =， 得：45ADC ?∠=，

同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠=， 得：1DC DC ⊥．

由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，1CC AC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．

又1DC ?平面11ACC A ，所以1DC BC ⊥ 而DC BC C =I ，所以1DC ⊥平面BDC ． 又1DC ?平面1BDC ，故平面BDC 1⊥平面BDC ．

（2）由已知AC=BC=

2

1

AA 1，D 是棱AA 1的中点， 设12AA a =，AC BC AD a ===，则1112

3122

ABC A B C V a a a -=?=．

由（1），BC ⊥平面11ACC A ，所以BC 为四棱锥1B ACC D -的高，

所以13111

(3)322

B AC

C

D V a a a a -=????=．

因此平面BDC 1分此棱柱为两部分体积的比为

1111133

31

12112

ABC A B C B ACC D

B AC

C D

a a V V V a -----=

=． 【2011，18】如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=o ，

2AB AD =，

PD ⊥底面ABCD ． （1）证明：PA BD ⊥；

（2）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．

【解析】（1）因为60DBA ∠=o ，2AB AD =，由余弦定理得3BD AD =， 从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥，又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥． 所以BD ⊥平面PAD ，故PA BD ⊥．

（2）如图所示，作DE PB ⊥，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD BC ⊥．

D

A 11

C

A

C 1

由（1）知BD AD ⊥，又BC AD ∥，所以BC BD ⊥． 故BC ⊥平面PBD ，BC DE ⊥，则DE ⊥平面PBC ． 因为1AD =，2AB =，60DAB ∠=o ， 所以3BD =1PD =，所以2PB =． 根据DE PB PD BD ?=?，得3

2

DE =

，即棱锥D PBC -的高为32．