习题的变式题(必修3)
高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。
变力做功问题-高一物理举一反三系列(人教版2019必修第二册)(解析版)
变力做功问题【人教版】【题型1 微元法】 ....................................................................................................................................................... 【题型2 功能关系法】 ............................................................................................................................................... 【题型3 图像法】 ....................................................................................................................................................... 【题型4 等效替代法】 ............................................................................................................................................... 【题型5 P -t 法】 ......................................................................................................................................................... 【题型6 联系实际】 ................................................................................................................................................... 【题型7 变化的摩擦力做功问题】 ........................................................................................................................... 【题型8 涉及弹簧的变力做功问题】 .......................................................................................................................【题型1 微元法】【例1】在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R2和R 的两个半圆构成。
专题28荒漠化的防治(练)高考地理一轮复习讲练测(必修3)(原卷版)word版
第28讲荒漠化的防治练案【自主梳理夯实基础】——课前填写落实温故知新一、荒漠化的概念与表现1．概念：发生在及一些的一种土地退化，它是气候变异等自然因素与相互作用的产物。
2．表现：耕地退化、草地退化、林地退化而引起的、石质荒漠化和。
【注意提示】荒漠是指气候干燥，降雨量非常少的地区或自然景观，它包括沙漠、沙地、戈壁等。
荒漠化是土地退化的现象，是一个变化过程，其结果可能出现荒漠景观。
二、干旱为主的自然特征1．西北地区的区域差异(1)植被景观：图中①为温带草原，②为荒漠草原，③为荒漠。
(2)年降水量：图中A为400 mm，B为200 mm，C为50 mm。
(3)土地生产能力：自东向西降水递减，土地的自然产出和载畜量也随之减少。
2．西北地区生态环境的脆弱性气候，地表水贫乏，微弱，物理风化和风力作用显著，分布着大片。
【注意提示】我国与世界其他地区荒漠分布纬度的不同中国的荒漠位于35°N～50°N之间的温带和暖温带地区，比世界上其他荒漠带的范围(南北纬15°～35°之间)偏北l5°~20°左右，这主要是由西北地区所处的特殊位置和地形所造成的。
中国是东亚季风盛行的地区，水汽主要来自由东南太平洋、南海、盂加拉湾和印度洋上吹来的湿润的夏季风。
广大西北地区因探居内陆，距海遥远，夏季风到达那堕已是强弩之末，加之南部和东南边缘又有昆仑山。
秦岭、吕梁山、大兴安岭等高大山系和巨大的青藏高原为屏障，湿润的海洋气流(东南季风和西南季风)难以进入；西部和西北部的天山和阿尔泰山对大西洋水汽和北冰洋水汽也有一定的阻挡作用，因此夏季水汽非常贫乏，降水稀少。
冬季，由于北方地形比较开阔，无高山屏障，来自蒙古一西伯利亚高压区的强大干冷气流直泻南下，导致气候异常寒冷干燥。
这样，西北地区终年处于极端干燥的环境，形成了世界上最大的、具有典型大陆性气候的干旱和半干旱区。
由于流水作用微弱，风成了塑造地貌的主要外力，疏松裸露的沙质地表受到强烈风蚀，沙土不断推移、堆积和发展扩大，便形成了今日广袤千里的荒漠。
人教版高一物理必修第一册《2.2 匀变速直线运动的速度与时间的关系》练习题(带解析)
2.2 匀变速直线运动的速度与时间的关系【四大题型】【人教版2019】【题型1 对匀变速直线运动的理解】 ..................................................................................................................... 1 【题型2 对公式v =v 0+a t 的理解与应用】 ............................................................................................................... 2 【题型3 匀变速直线运动的平均速度】.................................................................................................................. 3 【题型4 v -t 图像的初步应用】 (4)知识点1：匀变速直线运动1.定义：沿一条直线，加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动。
2.特点： ① a 恒定不变 ① v -t 图象是一条倾斜直线.3.如果速度随时间均以增加，叫作匀加速直线运动 如果速度随时间均匀减小，叫作匀减速直线运动4.速度与时间关系atv v +=0，适用条件：匀变速直线运动，包括匀加速和匀减速.矢量性：v 0、v 、a 均为矢量，应用时，应先选取正方向. 【题型1 对匀变速直线运动的理解】【例1】对于作匀变速直线运动的物体，下列说法中正确的是（ ）A ．若加速度方向和速度方向相同，虽然加速度很小，物体的速度还是要增大的B ．若加速度方向和速度方向相反，物体的速度可能增加C ．不管加速度方向和速度方向的关系怎样，物体的速度都是增大的D ．因为物体作匀变速直线运动，所以它的加速度是均匀变化的 【变式1-1】关于匀变速直线运动，下列说法中正确的是( ) A.匀变速直线运动的速度变化量是一个恒量 B.在相等的时间内，匀变速直线运动的位移相等C.加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动D.匀变速直线运动的速率可能先减小后增大【变式1-2】(2023南阳月考)关于匀变速直线运动,下列说法中正确的是()A.速度先逐渐减小再逐渐增大的运动，一定不是匀变速直线运动B.在匀减速直线运动中，物体的加速度一定为负值C.匀加速直线运动的速度一定与时间成正比D.在匀加速直线运动中，物体的速度变大时，其速度变化量可能为负值【变式1-3】下列关于匀变速直线运动的说法正确的是（）A．匀加速直线运动的速度一定与时间成正比B．匀减速直线运动就是加速度为负值的运动C．匀变速直线运动的速度随时间均匀变化D．速度先减小再增大的运动一定不是匀变速直线运动【题型2 对公式v=v0+a t的理解与应用】【例2】在女子400 m直线比赛中，某同学从静止开始做匀加速直线运动，经t1＝4 s后速度达到v1＝8 m/s，然后匀速运动了t2＝10 s，接着经t3＝5 s匀减速运动到v2＝6 m/s。
数学教材的习题变式探究
数学教材的习题变式探究
邵祖耿
【期刊名称】《《教学月刊（中学版）》》
【年(卷),期】2012(000)001
【摘要】有许多同学一遇到综合题就会手足无措，不知从何下手，但经老师点拨后．他也能很快予以解决．造成这种情况有两方面原因．首先，数学题型千变万化．同一个知识点考核方式和方法迥然不同；同时由于知识积累越来越多．有时无法很快作出判断和抉择，或几种方法纠缠在一起，导致解题思路紊乱．其次，许多同学缺少对知识进行必要的归纳和总结．遇到题目就做，做完后也不去整理和反思解题的方法和技巧．
【总页数】3页(P48-50)
【作者】邵祖耿
【作者单位】绍兴县成章中学浙江绍兴312036
【正文语种】中文
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5.高中数学教材例习题数学思想方法的体现——以苏教版数学教材必修四三角函数为例 [J], 凌家辉
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人教版高中物理必修第二册《6.4 生活中的圆周运动(课时1)》练习题(原卷版)
6.4 生活中的圆周运动（课时1）【四大题型】【人教版2019】【题型1 火车转弯问题】 ....................................................................................................................................... 3 【题型2 拱形桥和凹形桥问题】 ........................................................................................................................... 4 【题型3 航天器中的失重现象】 ........................................................................................................................... 6 【题型4 离心运动】 .. (7)知识点1：火车转弯问题1．转弯时的圆周平面：火车做圆周运动的圆周平面是水平面，火车的向心加速度和向心力均是沿水平方向指向圆心． 2．转弯速度：设转弯处的半径为R ，行驶的火车质量为m ，两轨所在平面与水平面之间的夹角为θ，如图所示．火车转弯时，重力mg 和支持力F N 的合力提供其所需要的向心力，即mg tan θ＝m v 20R，解得v 0＝gR tan θ，在转弯处轨道确定的情况下，火车转弯时的速度应是一个确定的值v 0（规定速度）． 3．速度与轨道压力的关系（1）当v ＝v 0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车均无挤压作用．（2）当v >v 0时，外轨道对轮缘有侧压力． （3）当v <v 0时，内轨道对轮缘有侧压力．4．汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力．知识点2：汽车过桥问题1．分析汽车过桥这类问题时应把握以下两点： （1）汽车在拱桥上的运动是竖直面内的圆周运动．（2）向心力来源（最高点和最低点）：汽车做圆周运动，重力和桥面的支持力的合力提供向心力． 2．汽车驶至凹形桥面的底部时，加速度向上，合力向上，此时满足F N －mg ＝m v 2R ，F N ＝mg ＋m v 2R >mg ，车对桥面压力最大．3．当车驶至凸形桥面的顶部时，加速度向下，合力向下，此时满足mg －F N ＝m v 2R ，F N ＝mg －m v 2R <mg ，车对桥面的压力最小． 知识点3：对离心运动的理解 1．离心运动的实质离心运动实质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来．一旦作为向心力的合外力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动． 2．合外力与向心力的关系如图所示 （1）若F 合＝mrω2或F 合＝m v 2r，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．（2）若F 合>mrω2或F 合>mv 2r，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”．（3）若F合<mrω2或F 合<mv 2r，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体逐渐远离圆心而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”．（4）若F 合＝0，则物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．【题型1 火车转弯问题】【例1】铁路在弯道处的内外轨高低是不同的。
人教版高中物理选择性必修第一册《4.5 光的衍射》练习题(解析版)
4.5 光的衍射【五大题型】【人教版2019】目录知识点1：光的衍射 (1)知识点2：单缝衍射与双缝干涉的对比 (3)知识点3：衍射光栅 (3)【题型1 光的衍射现象】 (4)【题型2 衍射图样及衍射条件】 (4)【题型3 对影响衍射条纹宽度的因素的理解】 (6)【题型4 光的衍射及干涉图样的判断】 (7)【题型5 光的衍射现象的应用】 (9)知识点1：光的衍射一、衍射现象光在传播过程中，遇到障碍物或小孔时，光会偏离原本直线传播的路径而绕到障碍物后面传播，形成了明暗相间的条纹。
二、产生明显衍射的条件障碍物的尺寸可以跟光的波长相比或比光的波长还要小时能产生明显的衍射。
【注】在障碍物的尺寸比光的波长大得多的情况下，衍射现象不明显，也可以近似认为光是沿直线传播的。
三、三种衍射现象及图样1、单缝衍射（1）现象：点光源S发出的光经过单缝后照射到光屏上，若缝较宽，则光沿着直线传播，传播到光屏上的AB区域；若缝足够窄，则光不再沿直线传播，而是可以传播到阴影区，如在AA'、BB'区域出现明暗相间的条纹，即发生衍射现象。
（2）衍射图样特点①中央条纹亮而宽。
②两侧亮条纹具有对称性，亮条纹宽度逐渐变窄亮度逐渐减弱。
③波长一定时，单缝窄的中央条纹宽，各条纹间距大；单缝不变时，波长大的中央条纹宽，各条纹间距大。
④白光的单缝衍射条纹是中央为白色亮条纹，两侧为彩色条纹，且外侧呈红色，靠近自色亮条纹的内侧为紫色。
2、圆孔衍射（1）现象：如图所示，当挡板AB上的圆孔较大时光屏上出现图甲所示的情形；当挡板AB上的圆孔很小时，光屏上出现图乙所示的衍射图样，出现亮暗相间的圆环。
（2）衍射图样特点衍射图样中，中央亮圆的亮度大，外面是明暗相间的圆环，但外围亮环的亮度小，用不同的光照射时所得图样也有所不同。
如果用单色光照射时，中央为亮圆，外面是亮度越来越暗的亮环。
如果用白光照射时，中央亮圆为白色，周围是彩色圆环。
3、圆盘衍射——障碍物的衍射现象（1）现象：各种不同形状的障碍物也能使光发生衍射，使影的轮廓模糊不清。
人教版高中物理选择性必修第二册《3.1 交变电流》练习题(解析版)
3.1交变电流【四大题型】【人教版2019】【题型1 区别交变电流与直流】 (1)【题型2 交变电流产生原因的理解】 (3)【题型3 正弦式交变电流的变化规律】 (4)【题型4 交变电流的图像】 (6)知识点1：交变电流1．交变电流：大小和方向随时间做周期性变化的电流叫作交变电流，简称交流．2．常见的交变电流的波形图实际应用中，交变电流有着不同的变化规律，常见的有以下几种，如图所示．3．直流：方向不随时间变化的电流称为直流．知识点2：交变电流的产生交流发电机的线圈在磁场中转动时，转轴与磁场方向垂直．知识点3：交变电流的变化规律1．中性面(1)中性面：与磁感线垂直的平面．(2)当线圈平面位于中性面时，线圈中的磁通量最大，线圈中的电流为零．2．从中性面开始计时，线圈中产生的电动势的瞬时值表达式：e＝E m sin ωt，E m叫作电动势的峰值，E m＝NωBS. 3．正弦式交变电流：按正弦规律变化的交变电流叫作正弦式交变电流，简称正弦式电流．4．正弦式交变电流和电压电流表达式i＝I m sin ωt，电压表达式u＝U m sin ωt.其中I m、U m分别是电流和电压的最大值，也叫峰值．5．交变电流的峰值E m ＝NωBS ，I m ＝NωBS R ＋r ，U m ＝NωBSRR ＋r.6．电动势峰值E m ＝NωBS 由线圈匝数N 、磁感应强度B 、转动角速度ω和线圈面积S 决定，与线圈的形状无关，与转轴的位置无关．如图所示的几种情况中，如果N 、B 、ω、S 均相同，则感应电动势的峰值均相同．知识点4：交流发电机 1．主要构造：电枢和磁体． 2．分类(1)旋转电枢式发电机：电枢转动，磁极不动． (2)旋转磁极式发电机：磁极转动，电枢不动．【题型1 区别交变电流与直流】【例1】 (多)(2023·三明期中)下列图像描述的电流属于交变电流的是( )【变式1-1】(多)下列图像中属于交变电流的有( )【变式1-2】（2022·白银期中）在交变电流产生的实验中，关于中性面，下列说法正确的是（ ） A ．此时线圈垂直切割磁感线，感应电流最大B．磁感线垂直该时刻的线圈平面，所以磁通量最大，磁通量的变化率也最大C．线圈平面每次经过中性面时，感应电流的方向一定会发生改变D．线圈平面处于跟中性面垂直的位置时，磁通量的变化率为零，感应电动势、感应电流均最大，电流方向不变【变式1-3】如图所示为某交流发电机原理示意图，则（）A．图示位置线圈中电流为零B．图示位置穿过线圈的磁通量量大C．该发电机是利用电磁感应现象制成的D．该发电机工作时把电能转化为机械能【题型2 交变电流产生原因的理解】【例2】(2023·汪清期末)如图所示线圈匀速转动或匀速直线运动，能产生交变电流的是()【变式2-1】在水平向右的匀强磁场中，一线框绕垂直于磁感线的轴匀速转动，线框通过电刷、圆环、导线等与定值电阻组成闭合回路．t1、t2时刻线框分别转到如图甲、乙所示的位置，图甲中线框与磁感线平行，图乙中线框与磁感线垂直，下列说法正确的是()A．t1时刻穿过线框的磁通量最大B ．t 1时刻通过电阻的电流最大，方向从右向左C ．t 2时刻穿过线框的磁通量变化最快D ．t 2时刻通过电阻的电流最大，方向从右向左【变式2-2】(多)下图中，哪些情况线圈中产生了交变电流( )【变式2-3】交流发电机发电示意图如图所示，线圈转动过程中，下列说法正确的是( )A ．转到图甲位置时，通过线圈的磁通量变化率最大B ．转到图乙位置时，线圈中产生的感应电动势为零C ．转到图丙位置时，线圈中产生的感应电流最大D ．转到图丁位置时，AB 边中感应电流方向为A →B【题型3 正弦式交变电流的变化规律】 【例3】如图所示，匀强磁场的磁感应强度B ＝2πT ，边长L ＝10 cm 的正方形线圈abcd 共100匝，线圈总电阻r ＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的轴OO ′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s ，外电路电阻R ＝4 Ω.求：(1)转动过程中线圈中感应电动势的最大值．(2)从图示位置(线圈平面与磁感线平行)开始计时，感应电动势的瞬时值表达式． (3)由图示位置转过30°角时电路中电流的瞬时值． (4)线圈从开始计时经16s 时线圈中的感应电流的瞬时值．(5)电阻R 两端电压的瞬时值表达式．【变式3-1】交流发电机工作时电动势为e ＝E m sin ωt ，若将发电机的转速提高一倍，同时将电枢所围面积减小一半，其他条件不变，则其电动势e ′变为( ) A ．E m sin ωt2B ．2E m sin ωt2C ．E m sin 2ωt D.E m2sin 2ωt【变式3-2】(多)如图所示，单匝矩形线圈abcd 放在匀强磁场中，磁感应强度为B ，ad ＝bc ＝l 1，ab ＝cd ＝l 2.从图示位置起该线圈以角速度ω绕不同转轴匀速转动，则( )A ．以OO ′为转轴时，感应电动势e ＝Bl 1l 2ωsin ωtB ．以O 1O 1′为转轴时，感应电动势e ＝Bl 1l 2ωsin ωtC ．以OO ′为转轴时，感应电动势e ＝Bl 1l 2ωcos ωtD ．以OO ′为转轴跟以ab 为转轴一样，感应电动势e ＝Bl 1l 2ωcos ωt【变式3-3】(2023·娄底期末)如图所示，KLMN 是一个竖直的矩形导线框，全部处于磁感应强度为B 的水平方向的匀强磁场中，线框面积为S ，MN 边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动．在MN 边与磁场方向的夹角达到30°的时刻(图示位置)，导线框中产生的瞬时电动势e 的大小和线框中感应电流的方向分别为(已知线框按俯视的逆时针方向转动)( )A.12BSω，电流方向为KNMLK B.32BSω，电流方向为KNMLK C.12BSω，电流方向为KLMNK D.32BSω，电流方向为KLMNK【题型4 交变电流的图像】【例4】(2022·福建期中)一闭合矩形线圈abcd绕垂直于磁感线的固定轴OO′匀速转动，线圈平面位于如图甲所示的匀强磁场中．通过线圈的磁通量Φ随时间t的变化规律图像如图乙所示，下列说法正确的是()A．t1、t3时刻通过线圈的磁通量变化率最大B．t2、t4时刻线圈中感应电流方向改变C．t2、t4时刻线圈中通过的磁通量最大D．t1、t3时刻线圈中感应电动势最小【变式4-1】(2022·长春期末)如图所示为交流发电机模型的示意图．位于磁场中的矩形导线框abcd可绕过其对称轴的轴线(图中虚线)转动．已知在t＝0时刻，线框的平面与磁场方向垂直(图示位置)，并从此位置开始以恒定的角速度绕转轴沿逆时针方向转动．若规定通过电阻的电流方向为由e到f为正，则下列i－t图像正确的是()【变式4-2】(多)一矩形线圈绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的固定轴匀速转动，线圈中的感应电动势e随时间t变化的规律如图所示，则下列说法正确的是()A．图中曲线是从线圈平面与磁场方向平行时开始计时的B．t1和t3时刻穿过线圈的磁通量为零C．t1和t3时刻穿过线圈的磁通量的变化率为零D．感应电动势e的方向变化时，穿过线圈的磁通量最大【变式4-3】(多)如图甲所示，一个矩形线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁场方向且与线圈共面的轴OO′匀速转动，从某个时刻开始计时，穿过线圈的磁通量Φ随时间t的变化如图乙所示，则下列说法中正确的是()A．t＝0时刻线圈处于中性面位置B．t1、t3时刻线圈中的感应电流最大且方向相同C．t2、t4时刻穿过矩形线圈的磁通量最大，但感应电流却为零D．t5时刻穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率也为零3.1交变电流【四大题型】【人教版2019】【题型1 区别交变电流与直流】 ........................................................................................................................... 1 【题型2 交变电流产生原因的理解】 ................................................................................................................... 4 【题型3 正弦式交变电流的变化规律】 ............................................................................................................... 5 【题型4 交变电流的图像】 .. (8)知识点1：交变电流1．交变电流：大小和方向随时间做周期性变化的电流叫作交变电流，简称交流． 2．常见的交变电流的波形图实际应用中，交变电流有着不同的变化规律，常见的有以下几种，如图所示．3．直流：方向不随时间变化的电流称为直流． 知识点2：交变电流的产生交流发电机的线圈在磁场中转动时，转轴与磁场方向垂直． 知识点3：交变电流的变化规律 1．中性面(1)中性面：与磁感线垂直的平面．(2)当线圈平面位于中性面时，线圈中的磁通量最大，线圈中的电流为零．2．从中性面开始计时，线圈中产生的电动势的瞬时值表达式：e ＝E m sin ωt ，E m 叫作电动势的峰值，E m ＝NωBS . 3．正弦式交变电流：按正弦规律变化的交变电流叫作正弦式交变电流，简称正弦式电流． 4．正弦式交变电流和电压电流表达式i ＝I m sin ωt ，电压表达式u ＝U m sin ωt .其中I m 、U m 分别是电流和电压的最大值，也叫峰值． 5．交变电流的峰值E m ＝NωBS ，I m ＝NωBS R ＋r ，U m ＝NωBSR R ＋r.6．电动势峰值E m ＝NωBS 由线圈匝数N 、磁感应强度B 、转动角速度ω和线圈面积S 决定，与线圈的形状无关，与转轴的位置无关．如图所示的几种情况中，如果N、B、ω、S均相同，则感应电动势的峰值均相同．知识点4：交流发电机1．主要构造：电枢和磁体．2．分类(1)旋转电枢式发电机：电枢转动，磁极不动．(2)旋转磁极式发电机：磁极转动，电枢不动．【题型1 区别交变电流与直流】【例1】(多)(2023·三明期中)下列图像描述的电流属于交变电流的是()【答案】AD【详解】大小和方向随时间做周期性变化的电流叫作交变电流，电流的方向没有发生变化，不属于交变电流，故选项B、C错误，选项A、D正确．【变式1-1】(多)下列图像中属于交变电流的有()【答案】ABC【详解】选项D中，电流大小随时间变化，但因其方向不变，所以是直流．选项A、B、C中i的大小和方向均做周期性变化，故它们属于交变电流．【变式1-2】（2022·白银期中）在交变电流产生的实验中，关于中性面，下列说法正确的是（）A．此时线圈垂直切割磁感线，感应电流最大B．磁感线垂直该时刻的线圈平面，所以磁通量最大，磁通量的变化率也最大C．线圈平面每次经过中性面时，感应电流的方向一定会发生改变D．线圈平面处于跟中性面垂直的位置时，磁通量的变化率为零，感应电动势、感应电流均最大，电流方向不变【答案】C【知识点】中性面及其性质【详解】A．线圈平面与中性面重合时，线圈线速度方向与与磁感线平行，不切割磁感线，感应电流为零，故A错误；B．线圈平面与中性面重合时，磁感线垂直该时刻的线圈平面，所以磁通量最大，但磁通量的变化率为零，故B错误；C．线圈平面每次经过中性面时，感应电流的方向一定会发生改变，故C正确；D．线圈平面处于跟中性面垂直的位置时，磁通量的变化率最大，感应电动势、感应电流均最大，电流方向不变，故D错误。
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第1页 对高中数学教材例习题进行变式与开放性设计 邹习平 （必修3） 例题pag17 写出用“二分法”求方程)0(022xx的近似解算法，并画出程序框图
变式一：写出用“二分法”求方程03lgxx的近似解的算法，并画出程序框图。 变式二：用“二分法”求方程0133xx的近似解存在的区间可能是（ ） （A）)641,0( （B）)81,641( （C）)41,81( （D）)21,41( 变式三：写出用“二分法”求方程0133xx的近似解的算法，并画出程序框图。
习题1.1（20pag） A 组 1．找一个实际生活中的分段函数，设计一个求该函数值的算法，并画出程序框图。
变式：已知函数)0(2)0(2)(21xxxxxfx；设计一个求该函数值的算法，并画出程序框
图。 ２．设计一个算法求22221009921的值，并画出程序框图。 变式一：已知nn321!，设计一个算法，求!15的值，并画出程序框图。 变式二：已知nn321!，设计一个算法，求!n的值，并画出程序框图。 ３．某居民区的物业部门每月向居民收取了生费，计费方法是：３人和３人以下的住户，每户收取５元；超过3人的住户，每超出1人回收1.2元。设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生纲，并画出程序框图。 变式一：国家单位员工所缴的个人所得税的规定如下：①个人月收入在3000以内（包括3000）的免缴个人所得税；②超出3000元但不超过4000元的，缴超出3000元部分的10%；③超出4000元，但不超出5000元的，除缴3000元到4000元之间的税款外，另缴超出4000元部分的15%；④超出5000元的，除缴5000元以下部分的税款外，另缴 第2页
超出5000元部分的20%。请你设计一个程序框图，用以计算单位员工的个人所得税，并画出程序框图。 B 组
1.画出求二元一次方程组222111cybxacybxa，)0(1221baba的解的程序框图。
变式一：.画出一个解二元一次方程组222111cybxacybxa的程序框图。 变式二：设计一个求不等式02cbxax的解集的程序框图。 变式三：设计一个求不等式02cbxax的解集的程序框图。 练习（32pag） 1．根据图1.1-2中的程序框图编写程序，判断大于2的整数是否为质数。 变式：编写一个程序，依次输出2—n的所有质素。 2．编写程序，输入正整数n，计算!n)221!(nn。
变式：编写程序，输入正整数n，依次输出!1，!2，……，!n（其中nn221!）。 习题1.2（33pag） 1．读程序，写出程序表示的函数。
变式：已知函数)0(2)0(2)(21xxxxxfx，写出一个程序，当输入自变量x时，则输出)(xf的值。 2．编写一个程序，输入梯形的上底、下底和高的值，计算并输出其面积。
INPUT x IF x<0 THEN y=-x+1 ELSE IF x=0 THEN y=0 ELSE y=x+1 END IF END IF PRINT y END 第3页
变式一：编定一个程序，输入圆柱体的底面半径和高，计算并输出其体积。 变式二：如图，将一个半径为r的圆，剪去一个小扇形后剩下一个圆心为为的扇形，将其做成一个无底的圆锥容器。编写一个程序，输入r和，计算出容积V。并由此试验，当约为多少度时，容积最大。 变式三：如图，将一个半径为r的圆，将其剪成两个圆心角分别为和360的扇形后做成两个无底的圆锥容器。编写一个程序，输入r和，计算出两个圆锥容积的和V。并由此试验，
当约为多少度时，V最大。 3．编写一个程序，计算下面)(*Nnn个数的和：2，23，34，…，nn1。
变式一：编写一个程序：计算下面)(*Nnn个数的和：1，41，91，…，21n。 变试二：编写一个程序：输入数字n，则依次输出下面)(*Nnn个数的值：1)111(，2)211(，3)311(，…，nn)11(。
变试三：编写一个程序：输入数字n，则依次输出下面)(*Nnn个数的值：1)11(，21)21(，21)31(，…，nn1)1(。通过变式二和变式三两个程序的设计，探究一下当n相
当大时，nn)11(和nn1)1(的值的接近情况，以及当n相当大时，它们与e的接近程度。 变式四：编写一个程序：输入大于3的正整数n，则依次输出2~n之间的所有质数。 B 组
1．编写一个程序，求二元一次方程组222111cybxacybxa，)0(1221baba的解。
变式一：编写一个程序，求二元一次方程组222111cybxacybxa的解。 变式二：设计一个程序求方程02cbxax的解。 变式三：设计一个程序求不等式02cbxax的解集。 变式四：设计一个程序求不等式02cbxax的解集。 变式五：设计一个程序，求方程函数42323xxxy的函数值。 变式六：设计一个程序，求出方程042323xxx的近有近似解（精确到0.01） 第4页
变式七：设计一个程序，输出a、b、c、d，求出方程023dcxbxax的近似解（精确到0.01） 2．某牛奶厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达50%。请你设计一个程序，计算这家牛奶厂2008年底的资金总额。 变式：如果某人在以2分（2%）的月利率借款给他的一位朋友，按每月结算，并且一月后的本利继续借给他朋友，如此下去。编一程序，计算他借出a元，n个月后的本利和。 如果这个人想要在本利和有2a元时收回这笔款，请你利用这个程序帮他算一下，他应该在多少月后收款，才能得到2a元？ 3．编写一个程序，对于函数
)10( 113)101( 12)1( xxxxxxy
输入x的值，输出相应的函数值。 变式一：国家单位员工所缴的个人所得税的规定如下：①个人月收入在3000以内（包括3000）的免缴个人所得税；②超出3000元但不超过4000元的，缴超出3000元部分的10%；③超出4000元，但不超出5000元的，除缴3000元到4000元之间的税款外，另缴超出4000元部分的15%；④超出5000元的，除缴5000元以下部分的税款外，另缴超出5000元部分的20%。请你设计一个程序，输入职工的工资，算出其个人所得税。 变式二：了解Excel中if函数的用法，并在Excel中解决上述员工的个人所得税计
算问题： 将某单位员工的工资保存在E列，将其对应的个人所得税反回到F列。 4．编写一个程序，计算aaaaaaaaaas（例如2222222222）的值，其中*Na，且9a，要求输入的数这a和相加的数的个数n。
变式：编写一个程序，输入数字)(*Nnn，计算!1!31!21!111ns的值。如果n很大，利用这个程序探究一下它与e的逼近情况。 例5（Pag43） 把89化为二进制数（除k对余法） 变式：把89化为二进制数 解：因为89除以62商1余25
25除以42商1余9 第5页
9除以32商1余1 于是01234521202021212026189 所以)2()10(101100189 习题2.1（Pag63） A组 １．在抽样过程中，如果总体中的每个个体都有相等的机会被抽中，那么我们就称这样产生的样本为随机样本。举例说明产生随机抽样的困难。 变式一：在抽样调查过程中，产生随机样本虽然困难，但可以用一些方法来解决，但是对抽出的样本要调查出客观的结果更为困难。请举出几个难以对样本进行调查的例子，请你想出一个恰当的解决办法来。 变式二：我们学校每次的“学评教”活动是对教师的教学业务素质、工作责任心等各方面的一种调查方式，你认为这种方式能客观地反应老师的好坏吗？你认为该如果考评更科学、客观、公证。 7．设计一个抽样方案，调查你们学校学生的近视率。 变式：设计一个抽样方案，调查你们学校学生对数学科的喜欢率。然后分别对高一级，高二级和高三级的喜欢率进行对比，看有些什么区别，就你对调查的结果谈谈你的看法。 习题2.2（Pag81） A组 2．在一批棉花中抽测了60要棉花的纤维长度，结果如下（单位：mm）: 82 202 352 321 25 293 293 86 28 206 323 355 357 33 325 113 233 294 50 296 115 236 357 326 52 301 140 328 238 358 58 255 143 360 340 302 370 343 260 303 59 146 60 263 170 305 380 346 61 305 175 348 264 383 62 306 195 350 265 385 作出这个样本的频率分布直方图（在对样本数据分组时，可试用几种不同的分组方式，然后从中选择一种较为合适的分组方法）。棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，你能从图中分析出这批棉花的质量状况吗？ 变式一：在一批棉花中抽测了60要棉花的纤维长度，结果如下（单位：mm）: 82 202 352 321 25 293 293 86 28 206 323 355 357 33 325 113 233 294 50 296 115 236 357 326 52 301 140 328 238 358