高一数学《函数的应用》单元测试题3
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套测试卷一(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．02．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )A .P P －1 B .11P －1C .11PD .P －1114．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④5．如图1，直角梯形OABC 中，AB∥OC，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l∶x＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f(t)的图象大致为图中的( )图16．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －axD ．y ＝b －cc －ax 7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A ．38%B ．41%C ．44%D ．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R(Q)＝4Q －1200Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )A ．250 300B ．200 300C ．250 350D ．200 3509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y0.240.5112.023.988.02则x 、y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数11．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)( )A ．0.25B ．0.375C ．0.635D ．0.82512．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x 3＋2x －1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．15．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x 的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线AB 是函数y ＝ka t(t≥1，a>0，且k ，a 是常数)的图象．(1)写出服药后y 关于t 的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3， (1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f 2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y 亿．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f(x)；(2)求函数y ＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)答案1．B [由1＋1x ＝0，得1x＝－1，∴x ＝－1.]2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根，令f (x )＝x 3－22－x，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11， ∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t 0≤t ≤112×1×2＋t －1×21<t ≤2＝⎩⎪⎨⎪⎧t 20≤t ≤12t －11<t ≤2∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －a b －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.]8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，b x无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，即0＋0.52＝0.25. 14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n. 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x≤a3，0.9x≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8t ， 0≤t <1，8222t，t ≥1.(2)令82·(22)t≥2，解得t ≤5. ∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)． 故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克． 20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个． 21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿． 经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)． 经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1% ＝13.56×(1＋1%)2(亿)． 经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1% ＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.(2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x|x∈N*}．(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.∵1＋1%>1,13.56>0，∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x≤100时，P＝60；当100<x<550时，P＝60－0.02·(x－100)＝62－x50；当x≥550时，P＝51.所以P＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤10062－x50，100<x<550，51，x≥550(x∈N)．(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧20x，0<x≤10022x－x250，100<x<550，11x，x≥550(x∈N)．当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．测试卷二(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )A ．每个110元B ．每个105元C ．每个100元D ．每个95元3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A .y ＝log 2tB ．y ＝12C ．y ＝t 2－12D ．y ＝2t －24．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )A ．413.7元B ．513.7元C ．548.7元D ．546.6元5．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－235，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[－235，1]D ．(－∞，－235]6．设f(x)是区间[a ，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a ，b]( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根7．方程x 2－(2－a)x ＋5－a ＝0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是( )A ．a<－2B ．－5<a<－2C ．－5<a≤－4D ．a>4或a<－48．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x 的关系分别是：f 1(x)＝12x ，f 2(x)＝14x ，f 3(x)＝log 2(x ＋1)，f 4(x)＝log 8(x ＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )A ．f 1(x)＝12xB ．f 2(x)＝14xC ．f 3(x)＝log 2(x ＋1)D ．f 4(x)＝log 8(x ＋1)9．函数f(x)＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)10．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2的两个零点分别为α，β，则( )A ．a<α<b<βB ．α<a<b<βC ．a<α<β<bD ．α<a<β<b11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f(x ＋1x ＋4)的所有x之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．812．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x>03xx≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______________．14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长与宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为________．15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x>0，－x 2－2x ，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．16．若曲线|y|＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．18．(12分)(1)已知f(x)＝23x－1＋m 是奇函数，求常数m 的值； (2)画出函数y ＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下： C(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ，1≤n≤24，n ∈N *，11n ，25≤n ≤48，n ∈N *，10n ，n ≥49，n ∈N *，这里n 表示定购书的数量，C (n )是定购n 本书所付的钱数(单位：元)．若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？20．(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：m，n，a的值．答案1．A [在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．] 2．D [设售价为x 元，则利润y ＝[400－20(x －90)](x －80)＝20(110－x )(x －80)＝－20(x 2－190x ＋8800) ＝－20(x －95)2＋4500.∴当x ＝95时，y 最大为4500元．]3．C [当t ＝4时，y ＝log 24＝2，y ＝12log 4＝－2，y ＝42－12＝7.5，y ＝2×4－2＝6.所以y ＝t 2－12适合，当t ＝1.99代入A 、B 、C 、D4个选项，y ＝t 2－12的值与表中的1.5接近，故选C.]4．D [购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋4230.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]5．C [令f (x )＝x 2＋ax －2，则f (0)＝－2<0， ∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0f 5≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤023＋5a ≥0，解得－235≤a ≤1.]6．D [∵f (a )·f (b )<0，∴f (x )在区间[a ，b ]上存在零点，又∵f (x )在[a ，b ]上是单调函数，∴f (x )在区间[a ，b ]上的零点唯一，即f (x )＝0在[a ，b ]上必有唯一实根．]7．C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥02－a2>2f 2>0，解得－5<a ≤－4.]8．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f 2(x )＝14x 增长的最快．]9．B [f (2)＝ln2－22＝ln2－1<1－1＝0，f (3)＝ln3－23>1－23＝13>0.故零点所在区间为(2,3)．]10．B [设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的，而g (x )的两个零点为a ，b ，f (x )的两个零点为α，β，结合图象可得α<a <b <β.]11．C [∵x >0时f (x )单调且为偶函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x (x ＋4)＝±(x ＋1)． ∴2x 2＋9x ＋1＝0或2x 2＋7x －1＝0. ∴共有四根．∵x 1＋x 2＝－92，x 3＋x 4＝－72，∴所有x 之和为－92＋(－72)＝－8.]12．B [因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 随相应的增量Δy 越来越小，而5分钟后y 关于t 的增量保持为0.故选B.]13．(1，＋∞)解析 由f (x )＋x －a ＝0， 得f (x )＝a －x ，令y ＝f (x )，y ＝a －x ，如图，当a >1时，y ＝f (x )与y ＝a －x 有且只有一个交点， ∴a >1. 14．300m 3解析 设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ， 则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2＋60x,0<x <20，由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V 的最大值． ∴x ＝10时，V 最大＝300(m 3)． 15．(0,1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．16．[－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件为b ∈[－1,1]．17．解 令f (x )＝4x 3＋x －15， ∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数． ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解． 18．解 (1)∵f (x )＝23x －1＋m 是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴23－x －1＋m ＝－23x －1－m .∴2·3x1－3x ＋m ＝21－3x －m ， ∴23x －11－3x＋2m ＝0. ∴－2＋2m ＝0，∴m ＝1.(2)作出直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象，如图．①当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；②当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；③当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．19．解 设甲买n 本书，则乙买(60－n )本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n ≤30，n ∈N *.①当1≤n ≤11且n ∈N *时，49≤60－n ≤59，出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋10(60－n )－5×60＝2n ＋300； ②当12≤n ≤24且n ∈N *时，36≤60－n ≤48， 出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋11(60－n )－5×60＝n ＋360；③当25≤n ≤30且n ∈N *时，30≤60－n ≤35， 出版公司赚的钱数f (n )＝11×60－5×60＝360. ∴f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋300， 1≤n ≤11，n ∈N *，n ＋360，12≤n ≤24，n ∈N *，360，25≤n ≤30，n ∈N *.∴当1≤n ≤11时，302≤f (n )≤322； 当12≤n ≤24时，372≤f (n )≤384； 当25≤n ≤30时，f (n )＝360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元． 20．解 若实数a 满足条件， 则只需f (－1)f (3)≤0即可．f (－1)f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1， 所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．21．解 当a ＝0时，函数为f (x )＝2x －3，其零点x ＝32不在区间[－1,1]上．当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况： ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ≥0f －1·f 1＝a －5a －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＝0－1≤－12a ≤1，解得1≤a ≤5或a ＝－3－72.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0－1<－12a <1f －1f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a<1a －5a －1≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)． 22．解 (1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a ，0<x ≤m ， ①9＋n x －m ＋a ，x >m .②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②，得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n 4－m ＋a ， ③23＝9＋n 5－m ＋a .④③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16. 又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13，这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套1
高中数学必修一《函数的应用》单元测试卷及答案2套单元测试卷一(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝2x ＋m 的零点落在(－1,0)内，则m 的取值范围为( ) A ．(－2,0) B ．(0,2) C ．－2,0] D ．0,2]2．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不确定3．下列函数中，不能用二分法求零点的是( ) A ．y ＝3x ＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝log 2(x －1)D ．y ＝(x －1)24．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( ) A ．－1,0] B ．0,1] C ．1,2] D ．2,3]5．为了求函数f (x )＝2x＋3x －7的零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.26．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1 D．0<m ≤17．设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)8．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3不存在零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) B ．{－2,6} C ．－2,6]D ．(－2,6)9．由表格中的数据可以判定方程e x－x －2＝0的一个零点所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的值为( )x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋21234510．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>011．已知函数f (x )＝|log 3(x －1)|－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1有2个不同的零点x 1，x 2，则( )A ．x 1·x 2<1B ．x 1·x 2＝x 1＋x 2C ．x 1·x 2>x 1＋x 2D ．x 1·x 2<x 1＋x 212．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续的，且存在常数λ(λ∈R )，使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意的实数x 成立，则称f (x )是“λ－同伴函数”．下列关于“λ－同伴函数”的叙述中正确的是( )A ．“12－同伴函数”至少有一个零点B ．f (x )＝x 2是一个“λ－同伴函数” C ．f (x )＝log 2x 是一个“λ－同伴函数” D ．f (x )＝0是唯一一个常值“λ－同伴函数”第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．14．函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________． 15．若函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________.16．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x －1|＋1x ≠1，ax ＝1，若关于x 的方程2f (x )]2－(2a＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6，x ≤0，x 2－2x ＋2，x >0.(1)求不等式f (x )>5的解集；(2)若方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知定义在R 上奇函数f (x )在x ≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分． (1)请补全函数f (x )的图象；(2)写出函数f (x )的表达式(只写明结果，无需过程)； (3)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数(只写明结果，无需过程)．19．(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：第t 天4 10 16 22 Q (万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？20．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2＋mx－1.(1)当x∈(0，＋∞)时，求f(x)的解析式；(2)若方程y＝f(x)有五个零点，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a(2x＋1)－log a(1－2x)．(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给予证明；(2)若函数y＝f(x)与y＝m－log a(2－4x)的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx，(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若函数f(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．答案1．B 解析：由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴0<m<2.2．B 解析：因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以由零点存在性定理可得，方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25,1.5)内．3．D 解析：结合函数y＝(x－1)2的图象可知，该函数在x＝1的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．4．C 解析：方程x 3－x －3＝0的实数解，可看成函数f (x )＝x 3－x －3的零点．∵f (1)＝－3<0，f (2)＝3>0，∴f (1)·f (2)<0.由零点存在性定理可得，函数f (x )＝x 3－x －3的零点所在的区间为1,2]．故选C.5．B 解析：函数f (x )＝2x＋3x －7的零点在区间(1.375,1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.6．B 解析：函数图象与x 轴有公共点，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |，g (x )＝－m 有交点．作出f (x )，g (x )的图象，如图所示．0<－m ≤1，即－1≤m <0，故选B.7．C 解析：∵f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，由零点定理得f (2)·f (3)<0.∴x 0所在的区间为(2,3)．故选C.8．D 解析：∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3不存在零点，二次函数图象开口向上，∴Δ<0，可得m 2－4(m ＋3)<0，解得－2<m <6，故选D.9．C 解析：设函数f (x )＝e x－x －2，如果零点在(k ，k ＋1)，那么f (k )·f (k ＋1)<0，由表格分析，f (1)<0，f (2)>0，故k ＝1，故选C.10．B 解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f (x )在(1，＋∞)上为增函数，又1<x 1<x 0<x 2，x 0为f (x )的一个零点，所以f (x 1)<f (x 0)＝0<f (x 2)．解题技巧：本题主要考查了函数的零点和单调性，解决本题的关键是判断出函数f (x )＝2x＋11－x的单调性． 11．D 解析：∵函数f (x )＝|log 3(x －1)|－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1有2个不同的零点，∴函数f (x )＝|log 3(x －1)|与函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1的图象有两个不同的交点．又∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1是减函数，∴－log 3(x 1－1)>log 3(x 2－1)，∴(x 1－1)(x 2－1)<1，整理得x 1·x 2<x 1＋x 2，故选D.12．A 解析：令x ＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12f (0)．若f (0)＝0，显然f (x )＝0有实数根；若f (0)≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (0)＝－12(f (0))2<0.又因为函数f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上必有实数根，即任意“12－同伴函数”至少有一个零点．故A 正确；用反证法，假设f (x )＝x 2是一个“λ－同伴函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即(1＋λ)x2＋2λx ＋λ2＝0对任意实数x 成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f (x )＝x 2不是一个“λ－同伴函数”．故B 错误；因为f (x )＝log 2x 的定义域不是R .故C 错误；设f (x )＝C 是一个“λ－同伴函数”，则(1＋λ)C ＝0，当λ＝－1时，可以取遍实数集，因此f (x )＝0不是唯一一个常值“λ－同伴函数”．故D 错误．13．2 解析：依题意可知f (x )＝x 2＋2x －3的零点为－3,1，∵x ≤0，∴零点为－3.f (x )＝－2＋ln x 的零点为e 2.故函数有2个零点．14．1 解析：依题意可知，f (－6)＝(－6)2－6m －6＝0⇒m ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x －6＝(x ＋6)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－6或x ＝1，所以另一个零点是1.15．2 解析：∵函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点，∴函数y 1＝lg|x －1|与函数y 2＝m 有两个交点，∵y 1＝lg|x －1|的图象关于x ＝1对称，∴lg|x 1－1|＝lg|x 2－1|，∴x 1＋x 2＝2.16．1＜a <32或32<a <2 解析：∵题中原方程2f (x )]2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有且只有5个不同实数解，∴要求对应于f (x )等于某个常数有3个不同实数解， ∴先根据题意作出f (x )的简图：由图可知，只有当f (x )＝a 时，它有三个根． 所以有1＜a ＜2①.再根据2f (x )2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有两个不等实根， 得：Δ>0即(2a ＋3)2－24a >0，a ≠32②.结合①②得：1＜a <32或32<a <2.解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是找出隐含条件f (x )＝a 有3个不同实数解．17．解：(1)当x ≤0时，由x ＋6>5，得－1<x ≤0； 当x >0时，由x 2－2x ＋2>5，得x >3.综上所述，不等式的解集为(－1,0]∪(3，＋∞)．(2)方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点．由图可知1<m 22<2，解得－2<m <－2或2<m <2.所以，实数m 的取值范围(－2，－2)∪(2，2)．解题技巧：本题主要考查了函数零点和方程解的关系，解决本题的关键是画出函数f (x )图象，使函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点，从而求出m 的范围．18．解：(1)补全f (x )的图象如图(1)所示．①(2)当x ≥0时，设f (x )＝a (x －1)2－2，由f (0)＝0得，a ＝2，所以此时，f (x )＝2(x －1)2－2，即f (x )＝2x 2－4x ， 当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝2(－x )2－4(－x )＝2x 2＋4x ，① 又f (－x )＝－f (x )，代入①，得f (x )＝－2x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4x x ≥0，－2x 2－4x x <0.(3)函数y ＝|f (x )|的图象如图(2)所示．②由图可知，当a <0时，方程无解； 当a ＝0时，方程有三个解； 当0<a <2时，方程有6个解； 当a ＝2时，方程有4个解； 当a >2时，方程有2个解．19．解：(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为 P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N ，－110t ＋8，20<t ≤30，t ∈N .(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系，即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N . (3)由以上两问，可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2－t ＋40，0≤t ≤20，t ∈N ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8－t ＋40，20<t ≤30，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －152＋125，0≤t ≤20，t ∈N ，110t －602－40，20<t ≤30，t ∈N ，当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125， 当20<t ≤30，y 随t 的增大而减小，∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元． 20．解：(1)设x >0，则－x <0，所以 f (－x )＝－x 2－mx －1. 又f (x )为奇函数，即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝x 2＋mx ＋1(x >0)．又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋mx ＋1，x >0，0， x ＝0，－x 2＋mx －1，x <0.(2)因为f (x )为奇函数，所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即方程f (x )＝0有五个不相等的实数解，得y ＝f (x )的图象与x 轴有五个不同的交点． 又f (0)＝0，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1(x >0)的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点， 即方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等正根，记两根分别为x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m >0，x 1·x 2＝1>0，解得m <－2.所以，所求实数m 的取值范围是m <－2. 21．解：(1)函数f (x )为奇函数． 证明如下：∵f (x )的定义域为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，关于原点对称，f (x )＋f (－x )＝log a2x ＋11－2x ＋log a －2x ＋11＋2x＝log a 1＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)函数y ＝f (x )与y ＝m －log a (2－4x )的图象有且仅有一个公共点⇔方程log a 2x ＋11－2x＝m－log a (2－4x )在区间x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上有且仅有一个实数解． m ＝log a2x ＋11－2x＋log a 2(1－2x )＝log a (4x ＋2)． ∵ －12<x <12，∴0<4x ＋2<4∴log a (4x ＋2)∈(－∞，log a 4)或log a (4x ＋2)∈(log a 4，＋∞)， ∴当a >1时，m ∈(－∞，log a 4)，当0<a <1时，m ∈(log a 4，＋∞)． 22．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ， ∴log 44x＋14x －log 4(4x＋1)＝2kx ，∴(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意知，log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－a )，整理，得log 4(4x ＋1)＝log 4(a ·2x －a )2x]， ∴4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x(*)．令t ＝2x，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0(**)只需其仅有一正根． ①当a ＝1时，t ＝－1不合题意；②当(**)式有一正一负根时，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－41－a >0，t 1t 2＝11－a <0，得a ＞1；③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，∴a ＝±22－2，且a2a －1>0， ∴a ＝－2－2 2.综上所述，a 的取值范围为{a |a ＞1或a ＝－2－22}．单元测试卷二(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2－2x －3的零点是( ) A ．1，－3 B ．3，－1 C ．1,2 D ．不存在2．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．x 0＝32C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32或x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是－1(a ≠0)，则函数g (x )＝ax 2＋bx 的零点是( )A ．－1B ．0C ．－1和0D ．1和04．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A ．10%B ．15%C ．18%D ．20%5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，3，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)7．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (c )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少2个8．若方程m x－x －m ＝0(m ＞0，且m ≠1)有两个不同实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞0 D ．m ＞29．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )10．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的图象可能是( )11．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不给予优惠；②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款( )A．413.7元 B．513.7元C．546.6元 D．548.7元12．已知0<a<1，则方程a|x|＝|log a x|的实根个数为( )A．2 B．3C．4 D．与a的值有关第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是________．14．根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.x 1234 5ln x 00.69 1.10 1.39 1.61付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是0,1]时，求函数f (x )的值域．21．(本小题满分12分)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ≤1时，f (x )＝x 2－1. (1)写出y ＝f (x )的解析式并作出图象；(2)根据图象讨论f (x )－a ＝0(a ∈R )的根的情况．22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？答案1．B 解析：令x 2－2x －3＝0得x ＝－1或x ＝3，故选B.2．C 解析：∵f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．C 解析：由条件知f (－1)＝0，∴b ＝a ，∴g (x )＝ax 2＋bx ＝ax (x ＋1)的零点为0和－1，故选C.4．D 解析：由题意，可设平均每次价格降低的百分率为x ， 则有2 000(1－x )2＝1 280，解得x ＝0.2或x ＝1.8(舍去)，故选D.5．C 解析：本题主要考查二次函数、分段函数及函数的零点．f (－4)＝f (0)⇒b ＝4，f (－2)＝－2⇒c ＝2，∴ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，3，x >0.当x ≤0时，由x 2＋4x ＋2＝x 解得x 1＝－1，x 2＝－2；当x >0时，x ＝3.所以函数y ＝f (x )－x 的零点的个数为3，故选C.6．B 解析：f (1)＝ln(1＋1)－21＝ln 2－2＝ln 2－ln e 2<0，f (2)＝ln(2＋1)－22＝ln 3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B.7．D 解析：由f (a )·f (b )<0知，y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一零点，由f (c )·f (b )<0知，y ＝f (x )在(b ，c )上至少有一零点，故y ＝f (x )在(a ，c )上至少有2个零点．8．A 解析：方程m x－x －m ＝0有两个不同实数根，等价于函数y ＝m x与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点．显然当m ＞1时，如图①有两个不同交点；当0＜m ＜1时，如图②有且仅有一个交点，故选A.9．C 解析：设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴正半轴．故选C.10．C 解析：由题意知，2a ＋b ＝0，所以a ＝－b2.因此g (x )＝bx 2＋b 2x ＝b ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12x ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－b 16.易知函数g (x )图象的对称轴为x ＝－14，排除A ，D.又令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－0.5，故选C.11．C 解析：设该顾客两次购物的商品价格分别为x ，y 元，由题意可知x ＝168，y ×0.9＝423，∴y ＝470，故x ＋y ＝168＋470＝638(元)，故如果他一次性购买上述两样商品应付款：(638－500)×0.7＋500×0.9＝96.6＋450＝546.6(元)．12．A 解析：设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A. 13．2 解析：由y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象可知有两个交点．14．3 解析：由表中数据可知，f (1)＝ln 1－1＋2＝1>0，f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69>0， f (3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.1>0， f (4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61<0， f (5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39<0，∴f (3)·f (4)<0，∴k 的值为3.15．9 解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意，得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，x ∈0，3]，9＋x －3×2.15，x ∈3，8]，9＋5×2.15＋x －8×2.85，x ∈8，＋∞，令f (x )＝22.6，显然9＋5×2.15＋(x －8)×2.85＝22.6(x >8)，解得x ＝9.16．(0,1) 解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即f (x )－m ＝0有3个不相等的实根，结合图象，得0<m <1.17．解：因为二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－－12－2a ＋4a ＋1>0，－32＋2a ×3＋4a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，10a －8>0，解得a >45.18．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意知，c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.∵x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2c a＝10，∴42－6a ＝10， ∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 19．解：(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0<x ≤10，1.5＋2log 5x －9，x >10.(2)x ∈(0,10]，0.15x ≤1.5. 又∵y ＝5.5，∴x >10，∴1.5＋2log 5(x －9)＝5.5，∴x ＝34. ∴老江的销售利润是34万元．20．解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －8－a －ab ＝0，①4a ＋2b －8－a －ab ＝0.②①－②，得b ＝a ＋8.③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0， 即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴是x ＝－12，又0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18， ∴函数f (x )的值域是12,18]．21．解：(1)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤1，x －22－1x >1.图象如图所示．(2)当a <－1时，f (x )－a ＝0无解； 当a ＝－1时，f (x )－a ＝0有两个实数根； 当－1<a <0时，f (x )－a ＝0有四个实数根； 当a ＝0时，f (x )－a ＝0有三个实数根； 当a >0时，f (x )－a ＝0有两个实数根． 22．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ， 所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元． 依题意，得y ＝f (x )＋g (20－x ) ＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 令t ＝20－x (0≤t ≤25)． 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16(万元)时，收益最大，最大收益为3万元．。
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)
高一上学期数学(必修一)《第三章函数的应用》同步练习题及答案(人教版)一、单选题1．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ，则x 满足的方程为（ ）A ．210(1)42x +=B ．21010(1)42x ++=C ．1010(1)10(12)42x x ++++=D ．21010(1)10(1)42x x ++++=2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为2121L x x=-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元4．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A ．233cm 2B ．24cmC ．232cmD ．223cm5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．1957．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（ ）A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米8．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．乙的速度为300米/分钟B ．25分钟后甲的速度为400米/分钟C ．乙比甲晚14分钟到达B 地D ．A 、B 两地之间的路程为29400米二 、多选题 9.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=√x x <A,√A x ⩾A(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，下列结果正确的是（ ）A. A =16B. c =60C. A =4D. c =3010.对任意两个实数a ，b ，定义max{ a,b}={a,a >b,若f(x)=2−x 2，g(x)=x 2下列关于函数F(x)=max{ f(x),g(x)}的说法正确的有（ ）A. 函数F(x)是偶函数B. 函数F(x)有四个单调区间C. 方程F(x)=2有四个不同的根D. 函数F(x)的最大值为1，无最小值11.函数y =[x]的函数值表示不超过x 的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2设函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ⩾0,则下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x ⩾0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x +a 有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[0,+∞)12.已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,−x 2,x >0,则下列结论中正确的是（ ） A. f(√2)=2B. 若f(m)=9，则m ≠±3C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R 单调递减三、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额折扣优惠率 不超过500元的部分5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为__________元．14．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.15．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.四、解答题16.．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.(1)试将横断面中水的面积()A h （2m ）表示成水深h （m ）的函数；(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0.(1)当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？20．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：5 2.236） 参考答案1．D 2．B3．C4．D5．C6．B7．B8．C9.AB;10.AB;11.BD;12.CD;13．112014．215．1616.（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m ，上底为()22h +m ，高为h m 的等腰梯形，所以()()()222220 1.82h A h h h h h ++=⋅=+<≤. （2）由（1）知()()220 1.8A h h h h =+<≤ ()21.2 1.22 1.2 3.84h =+⨯=所以当水深为1.2m 时，横断面水中的面积为3.842m .17.（1）依题意，当04x <≤时()2v x =；当420x <≤时，()v x 是关于x 的一次函数，假设()(0)v x ax b a =+≠则42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩. （2）当04x <≤时()()()2028v x f x x v x x =⇒<=⋅=≤；当420x <≤时()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =. 因为12.58>，所以当x ＝10时，鱼的年生长量()f x 可以达到最大，最大值为12.53/千克米.18.（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x=+-≥⋅-=； 当且仅当1800002x x = ，即400x = 时等号成立 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =--- 因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.19.（1）当产量小于或等于50万盒时20020018010020300y x x x =---=-当产量大于50万盒时222002006035001403700y x x x x x =----=-+-故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时2050300700y ≤⨯-=；当50x >时21403700y x x =-+-当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200． 因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．20.（1）解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）代入80150k v x=--，解得2400k = 所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤. 所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时 ()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x x x --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 4800(35)3667≤-≈. 当且仅当4500150150x x-=-，即30(55)83x =-≈时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.。
高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试题(含答案)
高中数学必修一第三章单元测试题《函数的应用》(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是( )3.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内4.已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点5.设x0是方程lnx+x=4的解,则x在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6.下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=07.函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.【补偿训练】在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( )A. B.C. D.【解析】选C.将选项代入f(x)=e x+4x-3.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅【补偿训练】函数f(x)=+k有两个零点,则( )A.k=0B.k>0C.0≤k<1D.k<011.若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点=2.5,那么下一个有根的区间是.为x14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.【补偿训练】若函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,则实数k的取值范围是.15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.8918.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727)20.(12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.21.(12分)(2015·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?高中数学必修一第三章单元测试题《函数的应用》(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.2.(2015·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c ∈(a,b)使得f(c)=0.【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】选C.在A中,函数无零点,在B和D中,函数有零点,但它们在零点两侧的函数值的符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点两侧的函数值异号,所以C中的函数能用二分法求其零点.3.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx 的解在区间(2,3)内.4.(2015·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.5.(2015·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.6.(2015·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=0【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:7.(2015·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.【解题指南】本题如果注意到定义域可排除C,D选项,用f(a)·f(b)<0去验证B选项即可得到答案.【解析】选B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-∞,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内.【补偿训练】在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( )A. B.C. D.【解析】选C.将选项代入f(x)=e x+4x-3.检验f f=(-2)(-1)<0,且f(x)=e x+4x-3的图象在上连续不断,故选C.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅【解析】选A.画出y1=a x,y2=x+a的图象知a>1时成立.【补偿训练】函数f(x)=+k有两个零点,则( )A.k=0B.k>0C.0≤k<1D.k<0【解析】选D.在同一平面直角坐标系中画出y1=和y2=-k的图象:由图象知,-k>0即k<0.11.(2015·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=e x-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( ) A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x=2.5,那么下一个有根的区间是.【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5).答案:(2,2.5)14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).答案:[0,1)∪(2,+∞)【补偿训练】若函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,则实数k的取值范围是.【解析】函数f(x)=|7x-1|-k有两个零点,等价于方程k=|7x-1|有两个不等实根,即函数y=|7x-1|的图象与y=k的图象有两个公共点,结合图象知0<k<1.答案:(0,1)15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .【解题指南】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点所在的范围,然后结合零点的存在性定理来进行判断.【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2. 答案:216.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f<0,f·f(0)<0,f·f<0,所以函数f在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727)【解析】设函数f(x)=2x+x-8,则f(2)=22+2-8=-2<0,f(3)=23+3-8=3>0,所以f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解.用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3) 2.5 0.157(2,2.5) 2.25 -0.993(2.25,2.5) 2.375 -0.438(2.375,2.5) 2.437 5 -0.145 5由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.20.(12分)(2015·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.【解题指南】设出解析式,利用根与系数的关系求出未知量.【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意知:c=3,-=2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,所以-=10,所以16-=10,所以a=1.代入-=2中,得b=-4.所以f(x)=x2-4x+3.21.(12分)(2015·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座A B 81(元) 68(元) 51(元)(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:解得则2m=20,答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票. 所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x-180)+81(210-x),即y=-13x+13950(180≤x<210).②当0<x<180时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),即y=-30x+17010(0<x<180).(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.当0<x<180时,y=-30x+17010,由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.。
高一数学必修1《第三章 函数的应用》单元测试题(含答案)
高一数学必修1《第三章 函数的应用》单元测试题（满分150分 时间 120分钟）班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题 （每题5分，共50分） 1. 函数223y x x =--的零点是（ ）A ．1,3-B ．3,1-C ．1,2D ．不存在2. 方程1lg x x -=必有一个根的区间是（ ）A ．(0.1,0.2)B ．(0.2,0.3)C ．(0.3,0.4)D ．(0.4,0.5)3．下列函数中增长速度最快的是（ ）Ａ．1100xy e =B ．y=100ln xC ．y=100xD ．y=1002x ⋅4．已知函数2212341,2,21,2,x y y x y x y x==--=-=其中能用二分法求出零点的函数个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 若函数()f x 唯一的零点一定在三个区间(2,16)2824、（，）、（，）内，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(2,3)内有零点B ．函数()f x 在区间(2,3(3,4)）或内有零点C ．函数()f x 在区间(3,16)内有零点D ．函数()f x 在区间(4,16)内无零点6. 如图表示人的体重与年龄的关系，则（ ）A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15~25岁D ．体重增加最快的是15岁之前7. 世界人口已超过60亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口约为（ ）A ．120万B ．1100万C ．1200万D ．12000万8. 已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在0x 使0()0f x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.(][),21,-∞-+∞C. []1,2-D. []2,1-9. 若商品进价每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件。
高中数学必修1第3章《函数的应用》单元测试
高中数学必修1第3章《函数的应用》单元测试建议用时实践用时总分值实践得分120分钟150分一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的〕1.以下图中函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是〔〕2.假定函数y=f(x)在区间［a，b ］上的图象为时断时续的一条曲线，那么以下说法正确的选项是〔〕A.假定f (a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)=0B.假定f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a ，b)使得f(c)=0C.假定f(a)f(b)>0，有能够存在实数c∈(a，b)使得f(c)=0D.假定f(a)f(b)<0，有能够不存在实数c∈(a ，b)使得f(c)=03.如图，表示某人的体重与年龄的关系，那么( )A.体重随年龄的增长而添加B.25岁之后体重不变C.体重添加最快的是15岁至25岁D.体重添加最快的是15岁之前4.不论m为何值，函数f(x)＝mx＋m2的零点有( )A.2个B.1个C.0个D.不确定5.以下给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)1没有零点的是( )6.图中的图象所表示的函数的解析式为( )A.y＝|x1|(0≤x≤2)B.y＝|x1|(0≤x≤2)C.y＝|x 1|(0≤x≤2)D.y＝1|x1|(0≤x≤2)7.在以下区间内，函数+x+5有零点的区间是〔〕A. B.C. D.8.方程5x＋m=0的两个实根都大于1，那么实数m的取值范围是〔〕A.m<4B.m<C.4<m<D.m∈R9.以下函数中，随着x的增大，其增大速度最快的是( )A.y＝B.y＝1 000ln xC.y＝D.y＝1 000·10.假定函数f(x)＝x a(a＞0且a≠1)有两个零点，那么实数a的取值范围是( )A.{a|a＞1}B.{a|a≥2}C.{a|0＜a＜1}D.{a|1＜a＜2}11.设方程|3|＝a的解的个数为m，那么m不能够等于( )A.1B.2C.3D.412.某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价钱是每份0.20元，卖出的价钱是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价钱退报答社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其他10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必需相反，为使每月所获利润最大，这个摊主应每天从报社买进( )份晚报.A.250B.400C.300D.350二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上〕13.函数f(x)＝＋ax＋a1的两个零点一个大于2，一个小于2，那么实数a的取值范围是.14.1992年底，世界人口已到达54.8亿，假定世界人口的年平均增长率为x，2021年底世界人口数为y亿，那么y与x之间的函数关系式为.15.方程的实数根的个数是.16.某商场对顾客实行购物优惠活动，规则一次购物：①如不超越200元，那么不予优惠；②如超越200元但不超越500元，按标价给予9折优惠；③如超越500元，其中500元按第②条给予优惠，超越500元的局部，给予8折优惠.某人两次去购物，区分付款168元和423元，假定他只去一次购置异样的商品，那么应付款元.三、解答题〔共74分，解容许写出文字说明，证明进程或演算步骤〕17.〔12分〕设函数f(x)＝＋(b8)x a ab的两个零点区分是3和2；(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域.18.(12分)为了维护先生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研讨说明：假定课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，那么y应是x的一次函数，下表列出两套契合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm) 40.0 37.0课桌高度y(cm) 75.0 70.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不用写出x的取值范围).(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们能否配套？为什么？19.〔12分〕某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每添加50元时，未租出的车将会添加一辆.租出的车每辆每月需求维护费150元，未租出的车每辆每月需求维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20.〔12分〕函数＋3x6在区间内有零点，用二分法求方程＋3x6=0在区间内的一个实数解的近似值〔准确度0.1〕.21.(13分)设与区分是实系数方程+bx+c=0和+bx+c=0的一个实数根，且，≠0，≠0，求证：方程+bx+c=0有且仅有一实数根介于与之间.22.(13分)某地西红柿从2月1号起末尾上市，经过市场调查，失掉西红柿种植本钱Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：时间t50 110 250本钱Q150 108 150描画西红柿种植本钱Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝＋bt＋c，Q＝a·，Q ＝a·；(2)应用你选取的函数，求西红柿种植本钱Q最低时的上市天数及最低种植本钱.第3章函数的运用〔人教实验A版必修1〕答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17.18.19.20.21.22．第3章函数的运用〔人教实验A版必修1〕参考答案1.B 解析：B选项中，在零点的两侧函数值同号，∴不能用二分法求函数的零点.2.C 解析：如图，可知选项C正确.3.D 解析：∵整个函数不是增函数，∴A错；函数在[25，50]上为增函数，故B错；函数在[0，15]上比[15，25]上增长快，故C错，D正确.4.A 解析：令f(x)=0，∵Δ＝4(m2)＝＋4＞0，∴方程mx+m2=0有两个不相等的实根，∴f(x)有两个零点.5.C 解析：把y＝f(x)的图象向下平移一个单位后，只要C图中的图象满足y＝f(x)1与x轴无交点.6.B 解析：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝，据此否认A，D.再取x＝0，由图象知y＝f(0)＝0，据此否认C，故正确选项是B.7.B 解析：f(3)=43<0，f(2)=13<0，f(1)=1>0，f(0)=f(1)=5＞0，由f(2)f(1)<0，知函数f(x)在区间〔2，1〕内有零点.8.C 解析：设5x m，那么对称轴为x=，且抛物线启齿向上，所以方程5x m=0的两个实根都大于1⇔即解得4<m<.9.A 解析：增大速度最快的应为指数型函数，又知e≈2.718＞2，应选A.10.A 解析：设函数y＝(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，那么函数f(x)＝x a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数图象只要一个交点，不契合；当a＞1时，由于函数y＝(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以函数(a＞1)与y=x a的图象一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.11.A 解析：在同一坐标系中区分画出函数＝|3|和＝a的图象.如下图.可知方程解的个数为0，2，3或4，不能够为1.12.B 解析：假定设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份晚报，那么每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退报答社10(x250)份，每份盈余0.15元，树立月利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x份晚报，每月取得的总利润为y元，那么依题意，得y＝0.10(20x＋10×250)0.15×10(x250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］.∵函数y=0.5x+625在［250，400］上单调递增，∴当x＝400时，＝825.即摊主每天从报社买进400份晚报时，每月所取得的利润最大，最大利润为825元.13.(∞，1) 解析：函数f(x)＝＋ax＋a1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求得实数a的取值范围是(∞，1).14.y＝解析：1年后，世界人口数为54.8(1＋x)；2年后，世界人口数为54.8(1＋x)(1＋x)＝；3年后，世界人口数为(1＋x)＝；…；19年后,即2021年底，世界人口数为y＝.15.2 解析：如图，由于函数与函数的图象有２个交点，所以方程有２个实数根.16.560.4 解析：设消费金额为x元，应付款为y元，由题意可知，y＝当200＜x≤500时，180＜y≤450；当x＞500时，y＞450.由于168＜180，所以第一次购物的消费金额为168元.由于180＜423＜450，所以第二次购物的消费金额为＝470(元).所以两次的消费金额为x＝168＋470＝638＞500，所以假定他只去一次购置异样的商品，那么应付款y＝0.8×(638－500)＋0.9×500＝560.4(元).17.解：(1)∵f(x)的两个零点区分是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)，(2，0)，∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①4a＋2(b－8)－a－ab＝0，②①②得b＝a＋8.③③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－－3x＋18.(2)由(1)得f(x)＝－－3x＋18＝－3＋18，其图象启齿向下，对称轴是直线x＝－.∴函数f(x)在［0，1］上为减函数.∴＝f(1)＝12，＝f(0)＝18，∴函数f(x)的值域是［12，18］.18.解：(1)依题意，由于课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设y＝ax＋b〔a≠0〕，将给出的契合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得解得所以y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.(2)配套.理由：将x＝42.0代入(1)中的函数关系式得y＝1.6×42.0＋11＝78.2，因此给出的这套课桌椅是配套的.19.解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时可租出88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元，那么租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－×50.整理得f(x)＝－＋162x－21 000＝－(x－4 2＋307 050.所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.20.解：f(1)=－1<0，f(2)=4>0，由f(1)f(2)<0，知函数＋3x－6在内有零点，方程＋3x－6=0在内有解.取的中点1.5，f(1.5)≈1.328 43>0.又f(1)<0，由f(1)·f(1.5)<0，知方程＋3x－6=0在内有解.如此下去，失掉方程实数解所在的区间的表如下：左端点右端点第1次 1 2第2次 1 1.5第3次 1 1.25第4次 1.125 1.25第5次 1.187 5 1.25由于｜1.25－1.187 5｜＜0.1，所以在区间［1，2］内，＋3x－6=0的一个近似解可以为1.25.21.证明：设f(x)=＋bx＋c，∵＋c=0，＋c=0，即＋c=，＋c=，∴=·=.∵，∴a≠0.又≠0，≠0，∴<0，即<0，故方程f(x)=0在与之间有实数根.假定在与之间有两个实数根，那么必有>0，矛盾，故方程+bx+c=0有且仅有一实数根介于与之间.22.解：(1)依据表中数据，表述西红柿种植本钱Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·，Q＝a·均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q ＝＋bt＋c停止描画.〔2〕把表格提供的三对数据代入＋bt＋c失掉解得所以，西红柿种植本钱Q与上市时间t的函数关系是Q＝t＋.当t＝＝150天时，西红柿种植本钱Q最低为Q＝×150＋＝100(元/100 kg).。
人教A版高一上册第三章 函数的应用 测试题及答案解析
第三章 函数的应用一、选择题1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2＋x －3＝0B ．x1＋1＝0 C ．21x ＋ln x ＝0D ．x 2－lg x ＝02．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2］B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)3. 若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a |a ＞1}B ．{a |a ≥2}C ．{a |0＜a ＜1}D ．{a |1＜a ＜2}4．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )．A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5. 函数f (x )＝⎩⎨⎧0＞，ln ＋2－0 ，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).A ．0B ．1C ．2D ．36. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ).A ．y ＝23|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝23－23|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝23－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)7．当x ∈(2，4)时，下列关系正确的是( )．A ．x 2＜2xB ．log 2 x ＜x 2C ．log 2 x ＜x1 D ．2x ＜log2 x 8．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到( )．A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元．A ．2元B ．2.5元C ．1元D ．1.5元10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．A ．250B ．400C ．300D ．350二、填空题11．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是 ．12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长 米，宽 米.13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x (0＜x ≤40)(克)的函数，其表达式为 ．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=161(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系(第14题)式为.(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.15．已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动点，过点M的直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影面积为y，y表示成x的函数表达式为．三、解答题17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B 市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?参考答案一、选择题 1．C解析：易知A ，B ，D 选项对应的函数在区间(0，1)内的函数值恒为负或恒为正，当x 是接近0的正数时，21x ＋ln x ＜0；当x 接近1时，21x ＋ln x ＞0. 所以选C ． 2．D解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则另一个零点为－2，又在(－∞，0］上是减函数，则f (x )＜0的x 的取值范围是(－2，2)．3．A解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a 1)有两个零点， 就是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点(0，a )一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是{a |a ＞1}.4．D解析：因为f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D ．(第4题)5. C解析：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋ln x ＝0，得x ＝100，所以已知函数有两个零点，选C ． 还可以作出f (x )的图象，依图判断． 6. B解析：取特殊值x ＝1，由图象知y ＝f (1)＝32，据此否定A ，D ，在取x ＝0， 由图象知y ＝f (0)＝0，据此否C ，故正确选项是B.或者勾画选项B 的函数图象亦可判断． 7．B解析：当x ∈(2，4)时，x 2∈(4，16)，2x ∈(4，16)，log 2 x ∈(1，2)，x 1∈⎪⎭⎫⎝⎛2141 ，，显然C 、D 不正确，但对于选项A ，若x ＝3时，x 2＝9＞23＝8，故A 也不正确，只有选项B 正确．8．A解析：由题意知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100 log 2(7＋1)＝100×3＝300．9．D解析：设每件降价0.1x 元，则每件获利(4－0.1x )元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x )． 经济效益：y ＝(4－0.1x )(1 000＋100x )＝－10x 2＋300x ＋4 000＝－10(x 2－30x ＋225－225)＋4 000 ＝－10(x －15)2＋6 250．x ＝15时，y max ＝6 250．每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益． 10．B解析：若设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份，则每月共可销售(20x ＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x －250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f (x )，再求f (x )的最大值，可得一个月的最大利润．设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得 y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)＝0.5x ＋625，x ∈［250，400］．∵ 函数y 在［250，400］上单调递增，∴ x ＝400时，y max ＝825(元)． 即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 二、填空题11．参考答案：(－∞，－1)．解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f (2)＜0，可求实数a 的取值范围是(－∞，－1)．12．参考答案：长宽分别为25米． 解析：设矩形长x 米，则宽为21(100－2x )＝(50－x )米，所以矩形面积y ＝x (50－x )＝－x 2＋50 x ＝－(x －25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．13．参考答案：f (x )＝⎩⎨⎧)＜( )＜(40≤ 20 16020≤ 008x x解析：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x ≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x ≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．14．参考答案：(1) y ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛- )＞( )(1.01611.0≤ ≤ 0101.0t t t t ； (2)0.6．解析：(1)据图象0≤t ≤0.1时，正比例函数y ＝k t 图象过点(0.1，1)，所以，k ＝10， 即y ＝10t ；当t ＞0.1时，y 与t 的函数y ＝at -⎪⎭⎫⎝⎛161(a 为常数)的图像过点(0.1，1)，即得1＝a-⎪⎭⎫ ⎝⎛1.0161，所以a ＝0.1，即y ＝1.0161-⎪⎭⎫⎝⎛t ．(2)依题意得1.0161-⎪⎭⎫⎝⎛t ≤0.25，再由y ＝lg x 是增函数，得(t －0.1)lg161≤lg 41，∵ lg 41＜0，即得t －0.1≥0.5，所以，t ≥0.6．15．参考答案：－1＜m ＜45． 解析：由f (x )＝(x ＋1)｜x －1｜＝得函数y ＝f (x )的图象(如图)．按题意，直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝(x ＋1)|x －1|有三个不同的公共点，求直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距m 的取值范围．由 得x 2＋x ＋m －1＝0．Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ，由Δ＝0，得m ＝45，易得实数m 的取值范围是－1＜m ＜45．16．参考答案：y ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)＜( －＋－ )＜( a x a a ax x a x x 2≤ 33223≤ 023222解析：当直线l 平移过程中，分过AB 中点前、后两段建立y 与x 的函数表达式． (1)当0＜x ≤a 时，y ＝21x ·3x ＝23 x 2；(2)当a ＜x ≤2a 时，y ＝21·2a ·3a －21(2a －x )·3(2a －x )＝－23x 2＋23ax －3a 2．所以，y ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)＜( －＋－ )＜( a x a a ax x a x x 2≤ 33223≤ 023222三、解答题17．参考答案：每间客房日租金提高到40元．解析：设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ， 由x ＞0，且300－10x ＞0，得0＜x ＜30．设客房租金总收入y 元，y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20(x －10)2 ＋8 000(0＜x ＜30)， 当x ＝10时，y max ＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.18．参考答案：设从B 市调运x (0≤x ≤6)台到C 市，则总运费x 2－1，x ≥11－x 2，x ＜1 y ＝1－x 2，y ＝x ＋m(第15题)y ＝300x ＋500(6－x )＋400(10－x )＋800［8－(6－x )］＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)． (1)若200x ＋8 600≤9 000，则x ≤2． 所以x ＝0，1，2，故共有三种调运方案．(2)由y ＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)可知，当x ＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元． 19．参考答案：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 均具有单调性不符，所以，在a ≠0的前提下，可选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．把表格提供的三对数据代入该解析式得到： 150250500 62108110100 1215050500 2=++=++=++c b a c b a c b a 解得a ＝2001，b ＝－23，c ＝2425．所以，西红柿种植成本Q 与上市时间t 的函数关系是Q ＝2001t 2－23t ＋2425．(2)当t ＝－2001223－⨯＝150天时，西红柿种植成本Q 最低为Q ＝2001×1502－23×150＋2425＝100(元/100 kg )．20．参考答案：高为88 cm ，宽为55 cm ．解析：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，λx 2＝4 840，设纸张面积为S ，有 S ＝(x ＋16)( λx ＋10)＝λx 2＋(16 λ＋10)x ＋160， 将λ＝28404x 代入上式可得，S ＝10(x ＋x 48416⨯)＋5 000＝10(x －x88)2＋6 760，所以，x ＝x88，即x ＝88 cm 时，宽为λx ＝55 cm ，所用纸张面积最小．。
第三章 函数的应用单元测试(A卷基础篇)(人教A版)(原卷版)
第三章函数的应用单元测试(A卷基础篇）（人教A版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：150分考试时间：120分钟题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（2019春•博望区校级期末）方程lgx+x＝3的解所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）2．（2019春•五华区校级月考）已知函数，g（x）＝f（x）+x，若g（x）有且仅有一个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）3．（2019•西城区模拟）用二分法逐次计算函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个零点附近的函数值，参考数据如下：f（1）＝﹣2 （1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984 f（1.375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165 f（1.40625）＝﹣0.052那么方程f（x）＝0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．（2018秋•越城区校级期末）对于定义域为R的函数f（x），若存在非零实数x0，使函数f（x）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上与x轴都有交点，则称x0为函数f（x）的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（）A．f（x）＝2x﹣x2B．f（x）＝x2+bx﹣2（b∈R）C．f（x）＝1﹣|x﹣2| D．f（x）＝x﹣sin x5．（2018秋•遂宁期末）用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当|a n﹣b n|＜ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（）A．εB．εC．2εD．ε6．（2018秋•泰山区校级月考）函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]7．（2018•烟台一模）某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M．已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（）A．5海里B．海里C．5海里D．10海里8．（2019春•宜宾期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），且x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x2+2x，则函数f（x）的图象与g（x）＝|lgx|的图象交点个数是（）A．4 B．5 C．6 D．79．（2019•全国I卷模拟）如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（）①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价A．①④B．②④C．①③D．②③10．（2018秋•驻马店期末）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，1g2≈0.30）（）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年11．（2018春•海淀区校级期中）某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）A．不增不减B．约增1.4% C．约减9.2% D．约减7.8%12．（2018秋•赣州期中）已知a＞0且a≠1，函数f（x），满足对任意实数x1，x2（x1≠x2），都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，3）B．（2，3] C．（2，）D．（1，2]第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2019春•安徽期末）已知函数f（x）恰有一个零点，则a的取值范围为．14．（2018秋•云浮期末）已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为米．15．（2019春•佛山期末）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．16．（2018秋•南开区期末）有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为m2（围墙厚度不计）．评卷人得分三．解答题（共6小题，满分70分，17题10分，18-22题每小题12分）17．求下列函数的零点：（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）y＝x2+4x+4．18．求方程x3﹣x﹣1＝0在区间（1，1.5）内的一个近似解（精确度0.1）．19．（2018秋•桥西区校级月考）已知函数f（x）的图象如图所示：（1）根据函数图象，写出f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，求a的取值范围20．（2018秋•江门期末）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品档次．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝（出厂价一投入成本）×年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（Ⅱ）投入成本增加的比例多大时，木年度预计的年利润最大？最大值是多少？21．（2019春•宁波期末）已知函数f（x）＝x2﹣（a）x+1（x∈R）．（Ⅰ）当a时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜0有且仅有一个整数解，求正实数a的取值范围．22．（2018秋•淮安区期末）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并用定义证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）＝0在（﹣3，log23）内有解，求实数b的取值范围．。
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高一数学《函数的应用》单元测试题班别 姓名 学号 考分 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数1log (54)x x y +=-的定义域是（ ）。
A. (1,0)-B. 4(0,log 5)C. 4(1,log 5)-D. 4(1,0)(0,log 5)-2. 函数log (2)1a y x =++的图象过定点（ ）。
A.（1，2） B.（2，1）C.（-2，1）D.（-1，1）3. 设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值为（ ）。
A. 128 B. 256C. 512D. 84.25log ()5a -化简的结果是（ ）。
A. –aB. 2aC. |a |D. a5. 函数0.21x y -=+的反函数是（ ）。
A. 5log 1y x =+ B. 5log (1)y x =- C. log 51x y =+D. 5log 1y x =-6. 若231log a y x -=在（0，+∞）内为减函数，且x y a -=为增函数，则a 的取值范围是（ ）。
A. 3(,1)3B. 1(0,)3C. 3(0,)3D. 36(,)337. 设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（ ）。
A.b ＜a ＜1 B. a ＜b ＜1 C. 1＜b ＜aD. 1＜a ＜b8. 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
A. 12xy =B. 112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 1()12x y =- D. 12x y =-9. 设偶函数()f x 在[0，π]上递减，下列三个数a =12(lg),(),()10023f b f c f ππ==-的关系为（ )。
A. a ＞b ＞cB. b ＞a ＞cC. b ＞c ＞aD. c ＞a ＞b 10. 已知0＜a ＜1，b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是（ ）。
A. 11log log log a ba b b b << B. 11log log log ba ab b b << C. 11log log log a a bb b b<<D. 11log log log b a a b b b<<11. 定义运算a b *为：,(),(),a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩ 如121*=，则函数()f x 22x x -=*的值域为（ ）。
A. RB. （0，+∞）C. （0，1]D. [1，+∞）12. 设a 、b 、c 都是正数，且346a b c ==，则以下正确的是（ ）。
A.111c a b=+ B.221c a b=+ C.122c a b=+ D.212c a b=+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13. 851323x x --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭化成分数指数幂为 。
14. 若不等式log (3)log (2)a a x x +<-成立，则x 的取值范围是 ，a 的取值范围是 。
15. 已知4log (92)0m m ->，则m 的取值范围是 。
16. 给出下列四种说法：⑴ 函数(0,1)x y a a a =>≠与函数log (0,1)x a y a a a =>≠的定义域相同； ⑵ 函数33x y x y ==与的值域相同；⑶ 函数2(12)112212x x xy y x +=+=-⋅与均是奇函数；⑷ 函数2(1)21(0,)y x y x =-=-+∞与在上都是增函数。
其中正确说法的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知35()x f x a -=，且(lg )100f a =，求a 的值。
18. 已知函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最大值比最小值大12，求a 的值。
19. 已知指数函数1()x y a=，当(0,)x ∈+∞时，有1y >，解关于x 的不等式2log (1)log (6)a a x x x -≤+-。
20. 已知函数()log (1)(0,1)x a f x a a a =->≠。
⑴ 求()f x 的定义域；⑵ 当a ＞1时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论。
21. 设()f x 124lg ()3x x aa R ++=∈，若当(,1]x ∈-∞时，()f x 有意义，求a 的取值范围。
22. 某商品在最近100天内的价格()f t 与时间t 的函数关系是：122(040,)4()152(40100,),2t t t N f t t t t N ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩销售量()g t 与时间t 的函数关系是： g (t ) = －31t + 3109(0≤t ≤100 , t ∈N ), 求这种商品的日销售额S (t )的最大值。
参考答案一、DDBCB DBBBA CB提示：1. 4log 554010111,0x x x x x x ⎧<->⎧⎪⎪+>⇒>-⎨⎨⎪⎪+≠≠⎩⎩故选D 。
2. 代入验证。
3. 设2log 3x =，则328x ==，代入已知等式，得8(3)2256f ==。
4.22555log ()log()log ||555||a a a a --===5. 由0.21xy -=+，得115xy -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即51x y =-，两边取对数，得5log (1)x y =-，即5log (1)y x =-。
6. 解不等式组2031111,a a⎧<-<⎪⎨>⎪⎩ 即可。
7. 由指数函数的性质，得0＜a ＜1，0＜b ＜1，又由幂函数n y x =的性质知，当n ＞0时，它在第一象限内递增，故a ＜b ＜1。
8. 在12xy =中0x ≠，∴10,1y x≠≠；在1()12x y =-中，值域为（-1，+∞）；而12x y =-的值域为[0，1）。
9. 由题意知，2(2)(2),(),()23a f fb fc f ππ=-===，因为()f x 在[0，π]上递减，且20223πππ<<<<， ∴ 2()(2)()23f f f ππ>>， 即b ＞a ＞c 。
10. 取1,42a b ==。
11. 由题意知，a b *的结果为a 、b 中较小者，于是()f x 22x x -=* 的图象就是22x x y y -==与的图象的较小的部分（如图），故值域为（0，1]。
12. 设346a b c k ===，则k ＞0且k ≠1，取对数得346log ,log ,log a k b k c k ===，∴111log 3,log 42log 2,log 6log 2log 3k k k k k k a b c =====+， ∴ 221c a b=+。
二、13. 415x 。
提示：原式=812144153335152()()x xxx ----⎡⎤⋅==⎢⎥⎣⎦。
14. 2,01x a ><<。
提示：∵ 32,x x +>-且log (3)log (2)a a x x +<-，∴ 0＜a ＜1。
由3020x x +>⎧⎨->⎩，得2x >。
15. 211(,)(,)943+∞。
提示：解不等式组0414********m m m m <<>⎧⎧⎨⎨<-<->⎩⎩或。
16. ⑴⑶。
提示：⑴中两个函数的定义域都是R ；⑵中两个函数的值域分别是R 与（0，+∞）；⑶中两个函数均满足()()f x f x -=-，是奇函数；⑷中函数2(1)y x =-在(0,)+∞不是增函数。
三、17. 解：因为3lg 5(lg )100a f a a -==，两边取对数，得lg (3lg 5)2a a -=，所以23(lg )5lg 20a a --=，解得1lg lg 23a a =-=或， 即1310100a a -==或。
18. 解：若a ＞1，则()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最大值为log 8a ，最小值为log 2a ，依题意，有1log 8log 22a a -=，解得a = 16； 若0＜a ＜1，则()l o g (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最小值为log 8a ，最大1xyO值为log 2a ，依题意，有1log 2log 82a a -=，解得a =116。
综上，得a = 16或a =116。
19. 解：∵ 1()x y a=在(0,)x ∈+∞时，有1y >， ∴11,01a a><<即。
于是由2log (1)log (6)a a x x x -≤+-，得221660x x x x x ⎧-≥+-⎪⎨+->⎪⎩，解得25x <≤， ∴ 不等式的解集为{|25}x x <≤。
20. 解：⑴ 由10x a ->，得1x a <。
当a ＞1时，解不等式1x a <，得0x <； 当0＜a ＜1时，解不等式1x a <，得0x >。
∴ 当a ＞1时，()f x 的定义域为{|0}x x <；当0＜a ＜1时，()f x 的定义域为{|0}x x >。
⑵ 当a ＞1时，()f x 在（-∞，0）上是减函数，证明如下：设12,x x 是（-∞，0）内的任意两个数，且12x x <，则1()f x -2()f x =11221log (1)log (1)log 1x x x a a a x a a a a ----=-，∵ a ＞1，120x x <<， ∴ 1201x x a a <<<， ∴ 12110x x a a ->->。
从而1122111,log 011x x a x x a a a a -->>--，即1()f x ＞2()f x . ∴当a ＞1时，()f x 在（-∞，0）上递减。
21. 解：根据题意，有12403x x a++>，(,1]x ∈-∞， 即11()()42x x a ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦，(,1]x ∈-∞，∵ 11()()42x x --与在(,1]-∞上都是增函数，∴ 11[()()]42x x -+在(,1]-∞上也是增函数，∴ 它在1x =时取最大值为113()424-+=-，即113()()424x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥⎣⎦，∴ 34a ≥-。