高中数学必修四《弧度制》名师教学设计

课题：1.1.2 弧度制教学设计
一、教学目标
知识与技能
1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数；
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算；
3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；
4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.
过程与方法
1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.
2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.
情感态度与价值观
1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.
2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.
二、教学重点、难点
1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化.
2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算.
三、教学方法与教学手段
1.教学方法：问题教学法、合作学习法.
2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件.
四、教学过程
（一）创设情境
1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?
【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助.
2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领
海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一.
【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制.
3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材
有不一样的定义.
提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析.
【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含
的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问
题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键.
（二）探究新知，得到概念
1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周
上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）
学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ⋅π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径
来度量圆心角？（教师几何画板演示）
学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与
半径r 和弧长l 相关.
A
A 教师继续追问：同学们觉得圆心角可能会由谁的值控制？ 学生得出与r
l 有关后，继续追问这个猜想合理吗？教师几何画板演示. 学生活动3：从理论上证明猜想的正确性,由弧长公式180r n l π=，稍作变形得r l n ⋅π=180，这说明当圆心角确定时，r
l 就确定；r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.
【设计意图】通过设置问题启发，发展发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.在探索的过程中,让学生总结归纳出当角确定时，
r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.学生体会用r l 度量角的合理性，从而比较顺利的引出1弧度角的概念.
2.教师总结：r
l 来度量圆心角的大小就是今天要学习的度量角的另一种单位制——弧度制.
3.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad
表示，读作弧度，单位也可以省略不写.用弧度作为角的单位制来度量角的单位制称为弧度制.
（三）深入探究，理解概念
1.度量角的弧度数
通过度量使学生进一步感受到r l 2=时，2=α；r l 3-=时，3-=α； r
l π=时，π=α；r l π=2时，π=α2；
动点从点A 逆时针经过的弧长为l 则这段弧所对的圆心角为多少弧
度？
学生活动：得出 r l =α 教师追问：这个等式能否推广为求解任意角弧度数的一般公式
呢？
【设计意图】通过不断追问，引导学生得出任意角弧度数的一般公式，r
l =
α,并加以强调l 为动点经过的弧长.
2.引入弧度制数学史，向学生介绍角度制到弧度制的跨越有千年，我们就是引用数学家的思想方法进行探究的.
【设计意图】数学史的引入，将弧度制的由来置于丰富的数学文化内涵之中，进一步表明引入弧度制解决了进位制统一的问题，让学生真正感受到现实世界需要这种文化内涵以及引入弧度制的可能性.让学生感知数学家探求知识的艰难，培养学生探索科学的精神.
3.推导出任意角的弧度数公式后，再去度量一个角，既可以用原有的角度制，也可以用弧度制，教师抛出问题：构建起角度与弧度互化的等式是什么呢？ 学生活动：rad 2360π=︒，rad 180π=︒
师追问：用类似的方法，你能够求出特殊角的弧度数吗？
rad 290π=︒，rad 360π=︒，rad 445π=︒，rad 6
30π=︒， rad 00=︒ 从而很顺利得出角度与弧度互化的关系式.
d ra 1801π=︒rad 017450.≈； rad 1︒≈︒π
=30.57)180( 用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写.如2=α表示2弧度的角，
3π就表示3π弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略.
【设计意图】抛出问题让学生尝试不同方法求出相应的弧度数，实现角度与弧度的换算，让学生经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.
（四）巩固新知，应用概念
1.练习1：把下列角从角度化为弧度：
（1）︒-210 （2）0367'︒
练习2：把下列角从弧度化为角度： (1) 5
4π （2）5.3- 结论：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.这样就在任意角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.这也是引入弧度制的意义.
【设计意图】使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系，相互统一的，更容易看清楚与实数的一一对应关系.
2.教师追问：在弧度制下，你能推导出弧长公式和扇形面积公式吗？（用r 表示半径，l 表示弧长，S 表示扇形面积，α表示圆心角的弧度数）（π≤α2）
（师生共同回忆初中扇形的弧长与面积公式，学生尝试推导弧度制下的公式过程） 解：弧长公式：由公式r
l =||α可得：r l α=. 扇形面积公式：222
12r r S α=π⋅πα
=（用弧长表示扇形面积） 又因为r l α=，所以有lr S 2
1=（用圆心角的弧度数表示扇形面积） 【设计意图】通过对比让学生发现：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式
简单了，这也是引入弧度制的好处.
3.师生总结：回过头来再去看问题情境2：通过弧度制的学习，可以将角转化成实数，它不再是三角比，它就是真正意义上的三角函数.
追问学生：我们后面将要研究什么？
【设计意图】前后呼应，再一次让学生体会到引入弧度制的必要性，为我们
今后学习三角函数奠定了基础.
五、课堂小结：
(1)1弧度的角，弧度制定义，任意角的弧度数公式r
l =||α； (2)弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；
(3)角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；
(4)掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.
六、课后作业：
课本第9页练习1到6题
七、板书设计：
八、教学设计说明
通过通过时政话题创设教学情境，极大地调动了学生的关注度，积极性，拉近与学生的距离，运用几何画板课件动态演示作图过程，实施信息技术与学科课程整合教学设计，引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务.几何画板动态效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点知识的理解掌握．
建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习．关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力．本节课的设计思想中体现着由特殊到一般，由具体到抽象的化归思想．
本节本人遵循由浅入深，循序渐进的原则，从学生熟悉的基本单位入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便引导学生去思考，寻找另一种度量角的单位制. 经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力 . 使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.同时，
本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材．。