5、幂函数图像与性质资料
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定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
1 2
R R 奇函数
yx 0 （0，+） ， 0 （0，+） ，
奇函数
1
奇偶性 奇函数
在（－∞,0] 在R上 在(0，+∞) 在( －∞,0)， 在R上 上是减函 是增函 上是增函数 (0, +∞）上是 单调性 是增函 数，在(0, 减函数 +∞）上是 数 数 增函数 公共点 （1，1）
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
α>1 a=1
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
0<α<1
如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
（幂函数）
yx
1
y 5
5
x
（幂函数）
（指数函数）
y 3
x
y x
（幂函数）
（指数函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
1 -1时的情形。 2
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
函数 y x 的图像
3
定义域： 值 域：
R R
奇偶性Байду номын сангаас 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2
定义域：[0,) 值 域：[0,) 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
y=x 2
2
1
(-1,1)
-4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
（2）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
名称 式子 指数函数: y=a
（a>0且a≠1)
x
常数 a为底数 α为指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2
x
yx
1 2
（指数函数）
因为0 x1 x2 , 所以x1 x2 0, x1
x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x ) x在[0,)上的增函数 .
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
α<0
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
y 8
0 0 0
1 1 1
2 8
2
3 27
4 … 64 …
3
2 …
y=x3
6
4 2
y=x
1 2 3 4 x
1 2
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
V
S
yx
km / s
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速
t
1
y x
1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数 为 (power function) ，其中x为自变量， 常数。
注意： （1）幂函数的解析式必须是
yx
的形式，
前的系数必须是 1，没有其它项。 x
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
yx
(-2,4)
2
4
yx
3
3
(2,4)
y=x
2
yx
(1,1)
2 4 6
1 2
(-1,1)
1
yx
-4
1
-2
(-1,-1)
-1
-2
-3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象 都通过点(1,1). 2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 3、α为奇数时,幂函数为奇 函数, α为偶数时,幂函数为偶 函数.
例2 ： 例 1.证明幂函数f ( x)
x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
1 2
R R 奇函数
yx 0 （0，+） ， 0 （0，+） ，
奇函数
1
奇偶性 奇函数
在（－∞,0] 在R上 在(0，+∞) 在( －∞,0)， 在R上 上是减函 是增函 上是增函数 (0, +∞）上是 单调性 是增函 数，在(0, 减函数 +∞）上是 数 数 增函数 公共点 （1，1）
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
α>1 a=1
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
0<α<1
如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
（幂函数）
yx
1
y 5
5
x
（幂函数）
（指数函数）
y 3
x
y x
（幂函数）
（指数函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
1 -1时的情形。 2
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
函数 y x 的图像
3
定义域： 值 域：
R R
奇偶性Байду номын сангаас 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2
定义域：[0,) 值 域：[0,) 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
y=x 2
2
1
(-1,1)
-4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
（2）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
名称 式子 指数函数: y=a
（a>0且a≠1)
x
常数 a为底数 α为指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2
x
yx
1 2
（指数函数）
因为0 x1 x2 , 所以x1 x2 0, x1
x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x ) x在[0,)上的增函数 .
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
α<0
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
y 8
0 0 0
1 1 1
2 8
2
3 27
4 … 64 …
3
2 …
y=x3
6
4 2
y=x
1 2 3 4 x
1 2
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
V
S
yx
km / s
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速
t
1
y x
1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数 为 (power function) ，其中x为自变量， 常数。
注意： （1）幂函数的解析式必须是
yx
的形式，
前的系数必须是 1，没有其它项。 x
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
yx
(-2,4)
2
4
yx
3
3
(2,4)
y=x
2
yx
(1,1)
2 4 6
1 2
(-1,1)
1
yx
-4
1
-2
(-1,-1)
-1
-2
-3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象 都通过点(1,1). 2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 3、α为奇数时,幂函数为奇 函数, α为偶数时,幂函数为偶 函数.
例2 ： 例 1.证明幂函数f ( x)
x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2