磁场区域的最小面积问题

磁场区域的最小面积问题

考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。 一、磁场围为树叶形

例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=m

q C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；

⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106

-⨯πs 时间这些离子所在位置

构成的曲线方程；

⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106

m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2

mv qvB R

=２分

运动周期22R m

T v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间6

11066

t s T π-=⨯= ２分

根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动， 转过的角度均为

126

3

π

θπ⨯=

＝ １分

这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan

2

y x x θ

==

２分

⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有

2mv

qv B R

=

０

０ ２分 0

mv R qB

=

1=ｍ １分

这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分

调整后磁场区域的最小面积2

2min

22()422

R R S ππ-=⨯-=m

2

２分

例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，

其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界上A （-2l 0，-l 0）到C （-2l 0，0）区域的某些位置，分布着电荷量+q ．质量为m 的粒子。从某时刻起A 点到C 点间的粒子，

x

O

y

依次以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求匀强电场的电场强度E：

（2）若带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离。

（3）若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，求磁场区域的最小半径及相应的磁感应强度B的大小。

【解析】

二、磁场围为圆形

例1．如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y 轴竖直向上，x 轴上的P 点与Q 点关于坐标原点O 对称，PQ 间的距离d =30cm 。坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E =1.0N/C 。一带电油滴在xOy 平面，从P 点与x 轴成30°的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v =2.0m/s 射出，所带电荷量

q =1.0×10-7

C ，重力加速度为g=10m/s 2。 （1）求油滴的质量m 。

（2）若在空间叠加一个垂直于xOy 平面的圆形有界匀强磁场，使油

滴通过Q 点，且其运动轨迹关于y 轴对称。已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T ，求：

a ．油滴在磁场中运动的时间t ；

b ．圆形磁场区域的最小面积S 。

【 解析】（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有

0qE mg -= 所以81.010qE

m g

-==⨯kg ……（4分）

（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动

设圆周运动的半径为R 、运动周期为T 、油滴在磁场中运动的时间为t ，根据牛顿第二定律： 所以 20.10mv mv

qvB R R qB =⇒==m

所以 20.1R

T v

==ππs

设带电油滴从M 点进入磁场，从N 点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y 轴对称，如图所示，根

据几何关系可知60MO N '∠=，所以，带电油滴在磁场中运动的时间

20.166

T t =

=

π

s 由题意可知，油滴在P 到M 和N 到Q 的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等。根据几何关系可

知，sin 30

0.223m cos303

d

R PM NQ -===

所以 油滴在P 到M 和N 到Q 过程中的运动时间130.1

33

PM t t v ===s

则油滴从P 到Q 运动的时间1230.20.1

(3)s 36

t t t t π=++=+0.17≈s ……（8

分）