微分方程建模案例
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程模型-伪造名画案
知识回顾 Knowledge Review
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设 t 时刻的原子数为N (t) ，则有
dN N
dt
为物质的衰变常数。
初始条件
N t t0
N0
N (t)
N e (tt0 ) 0
t
t0
1
ln
N0 N
t
t0
1
ln
N0 N
半衰期 T 1 ln 2
碳-14 T 5568 年
镭-226
T 1600 年
铀-238 T 45亿年 铅-210 T 22年
微分方程建模案例—— 范. 梅格伦伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所 有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始 伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成 时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化， 以免留下罪证。
但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都 不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆 大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
原理 著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半 衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说， 每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数 可视为相等。
微分方程建模 个例
A1
C
C1
分析：1.追击开始后，大家将进入正方 A 形里面，距离将变小，由于追击的规则 及四个人速度和方向的假定，四人还是 在某个正方形的顶点上。 2.会不会出现四个人绕一个圆循环追？ 不会！距离会不断缩小最后到一点，就 是正方形的中心。追击曲线是四条指向 D1 中心的螺旋线（可能绕中心几周） 3.坐标架怎么建？ D O点在中心，直角坐标架。
2H g
2.二氧化碳的吸收
空气通过盛有CO2的吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO2的量与 CO2的浓度及吸收层的厚度成正比，今有含CO28%的空气通过厚度 为10cm的吸收层后浓度为2%，求： （1）若吸收层变为30cm厚，出口浓度是多少？ （2）要使出口浓度为1%，应该设多厚的吸收层？ 解： 记吸收层厚度为d，等分n份，每小层d/n厘米。入口浓 度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为： kd k8%d/n，含量变为： 8%(1)
v0t y x(0) 0 y , 就是曲线的切向量， 1 x y (0) 0
Q(1,v0t) 模型里y(t)，x(t)都是t的函数，但是三个 变量不好处理，注意我们要求的是y(x)。 P(x,y) O 1 x
(1 x) y y v0t实现了变量t的分离
再建立一个y(t)，x(t)，t的关系：t时间里导弹已 飞行的距离是可求的。 x 1 y2 dx 5v0t (1 x) y y v0t , x0 0, y0 0
v r (0) 2 2 , (2r cos dx cos dr r sin d dx r sin cos d , , y r sin dy sin dr r cos d dy r cos sin dr d 1 sin cos dx dr r r cos r sin dy
数学建模
微分方程应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一。嫌疑犯问题(尸体温度的变化率正比于尸
人口（亿）5
可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百 年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带 着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。 只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶 化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系， 人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问 题。
当T 37。 时，有21.1 11.5e 0.110 t 37，所以 C t 2.95小时 2小时57分 所以 Td 8小时20分 2小时57分 5小时23分 即被害人死亡时间大约 在下午5： ，因此张某不 23 能被排除在嫌疑犯之外 。
二、微分方程模型
引言
体温度与室温的差)
受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上
32.6。 ，一小时 C 8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为
后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为 31.4。C
室温在几小时内始终保持21.1。C ，此案最大的嫌疑犯是 张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下 午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打 完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害 者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某 不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？ 解设T (t ) 表示时刻t尸体的温度，并记晚 ： 为t 0，则 8 20
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微分方程型建模实例题
一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。
下面就微分方程模型建模展开建模。
下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。
1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。
设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。
5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。
8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。
9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。
我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。
为了建立一个数学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。
假设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微分方程：dN/dt = rN - dN这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌的死亡速率。
如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则上述方程可以进一步简化为：dN/dt = (r-d)N解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：N(t) = N0 * exp((r-d)t)上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。
这与我们的基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。
常见的数值方法包括欧拉法、改进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法基于近似计算的原理，通过迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随时间的变化。
我们可以选择欧拉法，它是一种简单而直观的数值方法。
欧拉法的迭代公式为：N(t+h)=N(t)+h*(r-d)N(t)其中，N(t)是在时间t时刻的细菌数量，N(t+h)是在时间(t+h)时刻的细菌数量，h是时间间隔。
我们可以选择一个足够小的时间间隔h，并迭代使用欧拉法来计算细菌数量的近似解。
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第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m ，空气阻 力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型:求解模型可得:体在地面上的投影面积。
根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来3•利用导数的定义建立微分方程模型dv m 一 dtmg kv 2 • k(exp[2t由上式可知，当t其中，阻力系数k1)时，物体具有极限速度:lim vtmg:k ，s ， 为与物体形状有关的常数,为介质密度，s 为物、mg(exp[2t1)导数是微积分中的一个重要概念，其定义为f （x x ） f （x ） 「 yf （x ） limlim -，x 0 xx 0 x商式一y表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化x率，因而其极限值就是函数的变化率。
函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率。
由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。
这就很容易将导数与实际联系起来， 建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。
例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射 性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化 率）与其存余量成正比。
我们假设时刻t 时该放射性物质的存余量R 是t 的函数, 由裂变规律，我们可以建立微分方程模型期中k 是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。
求解该模型，我们解得： R Ce kt ，其中c 是由初始条件确定的常数。
从这个关系式出发，我们就可以测 定某文物的绝对年龄。
（参考碳定年代法）另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即 函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。
4 •利用微元法建立微分方程模型一般的，如果某一实际问题中所求的变量 p 符合下列条件：p 是与一个变量 t 的变化区间［a,b ］有关的量；p 对于区间［a,b ］具有可加性；部分量 p ,的近似值 可表示为 f ( i )dRdtkRt i 。
那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t 为自变量，并确定其变化区间［a,b］;在区间［a,b］中随便选取一个任意小的区间并记作［t,t dt ］，求出相应于这个区间的部分量p的近似值。
如果p 能近似的标示为［a,b］上的一个连续函数在t处的值f(t)与dt的乘积，我们就把f(t)dt称为量p的微元且记作dp.这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：dp f(t)dt.对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。
例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积、空间立体体积; 代数方面求近似值以及流体混合问题; 物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心;这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。
5．熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。
多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。
案例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80% ( mg / ml ) .现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml),又过两个小时后，测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断：事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?解模型建立设x(t)为时刻t 的血液中酒精的浓度，则在时间间隔[t,t t],酒精浓度的改 变量 x x(t) t ，即x(t t) x(t) kx(t) t其中k 0为比例常数，式前负号表示浓度随时间的推移是递减的，两边除以t, 并令t 0,则得到且满足 x(3)56, x(5) 40 以及 x(0) x 。
.模型求解容易求得通解为x(t) ce kt ,代入x(0)X 。
,得到3k *x °e56 2k 56 5ke 5640 x 0e 4040将 k 0.17代入得 x 0e3 0.1756故事故发生时，司机血液中的酒精浓度已超出规定.案例2在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29°C ,当时环境温 度是21o C .一小时后尸体温度下降到27o C ,若人的正常体温是37o C ,估计死者的 死亡时间.解运用牛顿冷却定律T 仃out T)，得到它的通解为T T out仃0 T out )e,这里T 0是当t 0时尸体的温度，也就是所求的死亡时间时尸体的温度，将题目提供的参数代入dx dtkx,x(t)x °ekt则X o x(0)为所求.又由x(3)56,x(5) 40,代入 x(0) X 。
可得k 0.17 3 0.17x 0 56 e 93.25 >80.21 (37 21)e t 29 21 (37 21)e (t 1} 27.1 v v ;_2一sin---------- 2， R - <v 2gh ..2(v gh)g10m/s ，贝U 41.4 ， R 11.4m .4在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的解得进一步得0.2877,t /I2 /V2.409(h).这时求得的 t 是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间 ，因此反推回去可推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚 10:35.案例3建立铅球掷远模型.不考虑阻力，设铅球初速度为v,出手高度为h ， 出手角度为(与地面夹角)，建立投掷距离与v,h,的关系式，并求v,h 一定的条件下求最佳出手角度.解在图5-1坐标下铅球运动方程为x 0， y g ，x(0) 0，y(0) h ，x(0) vcos ， y(0) vsin解出x(t), y(t)后，可以得铅球掷远为2R —sin g2/V - 2 cos(-in g2h )Kcos g这个关系还可表为2 2 2R g 2v cos (h由此计算乎0,得最佳出手角度和最佳成绩分别为:1.5m,v 案例 816 和 e "z 616 则e浓度成比例•转换A 的一半用了 20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并 作出图象.解 记B 的浓度为时间t 的函数y(t)，A 的浓度为x(t). 一、假设1 . 1mol A 分解后产生nmol B .2 .容体的体积在反应过程中不变.、建立模型，求解有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立其中k 为比例系数.设反应开始时t 0，A 的浓度为x o ，由题中条件知当t 20 (分)时，A 的浓度为x(20) 1-x o .解初值问题2dx , kx dtx(0) X o得x(t)x °e kt .它应满足x(20) x °e k 20£ x o解得1kIn 2, 20所以得dxdtkx ，由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有图5-2案例5车间空气清洁问题某生产车间有一台机器不断排出CO 2，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风 机通入新鲜空气来降低车间空气中的 CO 2含量，那么，上述做法的清洁效果如何 呢？这一问题是利用平衡原理来建模，即建立其微分方程模型•请注意，平衡原 理在建立微分方程模型时常表现为区间［x,x x ］上的微元形式：某个量在该区间 上的增加量等于该区间段进入量与迁出量的差.解1 •问题分析与假设上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其 CO 2含量尽管也有但 较低.新鲜空气与车间空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低CO 2含量.为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同 风量排出车间•此问题中的主要变量及参数设为：x(t)x °et20(In 2)t In 2y(t) n[X ox °e 20] nx o (1_Lln 2e 20).三、作图（如图车间体积：V (单位：立方米)，时间：t (单位：分钟)，机器产生C02速度：r (单位：立方米/分钟)，鼓风机风量：K (单位：立方米/分钟)新鲜空气中CO2含量：m%，开始时刻车间空气中CO2含量：x%，t时刻车间空气中CO2含量：X(t)%.2 .模型建立考虑时间区间［t,t t］，并利用质量守恒定律：［t,t t］车间空气中CO2含量的“增加”等于［t,t t］时间，通入的新鲜空气中CO2的量加上机器产生的CO2 的量减去鼓风机排出的CO2的量，即CO2增加量=新鲜空气中含有CO2量+机器产生的CO2量一排出的CO2量数学上表示出来就是t tV［x(t t)% x(t)］ Km% t r t t Kx(s)%ds.其中t 0.于是令t 0,取极限便得dxa bx, t 0,dtx(0) x o.Km 100r , K其中a ,b .V V3 .模型求解与分析此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题•解之得X(t) a (Xo a )exp{ bt} b bKm 100r Km 100rKK (X o K )exp{ V t}，,则有4 •模型的优缺点分析及改进方向:优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想, 而且所得到的结果与常识基本一致.缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单 改进方向:（1）考虑新鲜空气和车间的空气的混合扩散过程重新建模；（2 ）若要使得车间空气中的CO 2含量达到一定的指标，确定最优的实施方案例6某人的食量是10467 （焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新代谢（即自动消耗）。