一道高考题的推广与引申
高考试卷真题详解语文
一、题目回顾以下为2023年高考语文全国卷Ⅰ的作文题目：阅读下面的材料，根据要求写作。
古人说：“学然后知不足，教然后之困。
”教学相长。
教学是学校工作的中心，也是教师成长和发展的主渠道。
请你以“教学相长”为题，写一篇文章。
要求：①角度自选，立意自定；②明确文体，自拟标题；③不少于800字；④不得套作，不得抄袭。
二、解题思路1. 确定文章立意：本题要求以“教学相长”为题，写一篇文章。
首先，我们要理解“教学相长”的含义。
教学相长是指教师和学生通过教学活动相互促进、共同成长。
在文章中，可以从教师和学生两个角度展开论述。
2. 构建文章框架：文章可以分为三个部分。
第一部分，引出“教学相长”这一主题，并简要阐述其含义。
第二部分，从教师和学生两个角度分别论述教学相长的重要性。
第三部分，总结全文，强调教学相长对个人和社会的深远影响。
三、作文解析以下为作文示例：教学相长古人云：“学然后知不足，教然后之困。
”这句话揭示了教学相长的道理。
教学相长，是指教师和学生通过教学活动相互促进、共同成长。
在教学过程中，教师和学生都受益匪浅，教学相长成为了一种美好的教育现象。
首先，从教师的角度来看，教学相长使教师不断提升自己的教育教学能力。
教师在教学过程中，不仅要传授知识，还要引导学生掌握学习方法，培养学生的综合素质。
在这个过程中，教师不断反思自己的教学方法和理念，不断丰富自己的知识储备，从而提高自己的教育教学水平。
正如我国著名教育家陶行知所说：“教，然后知不足；教，然后知困。
”教师通过教学相长，不断丰富自己的教育教学经验，成为一位优秀的教育者。
其次，从学生的角度来看，教学相长有助于学生全面发展。
在教学过程中，学生通过与教师的互动，了解自己的不足，从而有针对性地进行改进。
同时，学生在学习过程中，不断挑战自己，超越自己，实现自我成长。
此外，教学相长还有助于培养学生的合作精神、创新意识和实践能力。
在团队合作中，学生学会倾听、沟通和协作，形成良好的团队精神。
08年安徽理科高考压轴题的推广与引申
解： Ｉ （ ）由题意得： ， 十音 一１ｆ一口 一 ｆ一２与 ， 。 ｂ， 。解得ｎ ：４ｂ一２所求椭圆方程为 ＋寺 一１ ， 。 ． ．
（Ｉ Ｉ ）设 点 Ｑ、 Ｂ 的 坐 标 分 别 为 （ ， ， ｚ ， ， Ａ、 ｚ ） （ ｙ ）
（ Ｘ２， ） ｙｚ ．
又 Ａ， Ｂ， 四点 共 线 ， 而 ＱＡ—ＡＡＰ， Ｐ， Ｑ 从 ＱＢ一 一
满足ｌ ＡＰ１ ．Ｉ ＱＢ｝ １ Ｑｌ ． 明 ： Ｑ 总 在 某 一 Ａ ・ｌ Ｐ引 证 点 定 直线 上 ． ２ ０ （０ ８年 安 徽 理 科 高考 压 轴 题 ）
百，是ｚ — 而ｎ 一ｉ＾Ｙ 于 ・ １＾Ｙ ｙ＾ ］ ，一 一 专 一ＪＡ ｘ— 。 广 ， － －Ａ ， — Ｔ Ｆ ｍ
２０ ０ ８年 第 ６期
数 学 教 育 研 究
・ ７ ３ ・
０ ８年 安 徽 理科 高 考 压轴 题 的推 广 与 引 申
姜 伟 （ 理工学院， 常熟 江苏常熟 ２５０） １ ０ ５ 张肇 平 （ 江苏省常熟外国 语学 校 ２５０） １５０
２０ ０ ８年 安徽 理 科 高 考 压 轴 题 是 一 道 关 于 定 直 线 的 解 析 几 何 题 ， 以运 用 定 比 分 点 的公 式 解 决 ， 面 先 来 可 下 看 来 题 目和 解 法 ． （ ｎ 为其 外 的一 定 点 ； ｍ， ） 当过 点 Ｐ 的 动 直 线 ｌ 椭 圆 Ｃ 与 相 交 于 两 不 同 点 Ａ ， 时 ， 线 段 ＡＢ 上 取 点 Ｑ， 足 ｌ Ｂ 在 满 ＡＰ１ Ｂ Ｉ Ｉ Ｑｌ・Ｉ Ｂ Ｉ 证 明 ：点 Ｑ 在 某 定 直 圆 相 切 ， Ｑ 也 即 是 切 点 ． 点 Ｐ 可 这 点 过 向椭 圆作 二 切 线 ， Ｑ 也 就 是 二 切 点 ． 此 猜 想 在 其 他 点 因 情 况下 点 Ｑ 是 否 也 在 切 点 弦所 在 直 线 上 ？
孝感市高考数学备考资料研究专题 (选修)例题习题再利用点滴体会
高考复习中，例题、习题再利用点滴体会安陆二中 沈辉 安陆一中 管秀娟摘要：高中数学课堂教学尤其是复习课教学，教师应重视课本中例题的再利用，通过对课本例习题深入挖掘、变形推广、引申改造，引导学生总结方法，拓宽解题思路，激发学生的求知欲，培养学生驾驭课本知识的能力，从而提高数学高考复习备考的质量。
关键词：高三数学 复习 习题再利用课本中的例题、习题，都是编者精心设计筛选的，具有一定的典型性、代表性、示范性和功能性，其中许多例题、习题蕴含着丰富的内涵和背景。
通过对我省近几年高考试卷进行分析不难发现，湖北高考数学命题一贯坚持重视和关注数学教科书而不是各种复习资料这一高考数学改革方向，一些高考题就是把课本和平时练习中的题目通过给出新的情景、改变设问方式、适当变更条件等手段改编而成，许多题目都能在课本上找到“影子”。
因此，尽管剩下的复习时间已经不多只剩下八十多天，但在马上将要进行的二轮复习中我们仍然要注意回归课本。
只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。
回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，教师应有意识地对一些可以改编的问题进行变式训练、题组训练，让学生进一步掌握这类问题的本质及其通性通法，培养学生发散思维能力，只有这样复习才有实效。
下面本人结合近几年的高三教学实践，就高考复习中对课本例题、习题的再利用谈点体会。
一、旧题新做，推陈出新在复习过程中，部分例题在经过一次讲解之后，往往被放置一边，久而久之，造成了学生轻视旧题，一味求全猎奇，从而走入题海的现象。
实际上，好的例题犹如一部名著，可以一讲再讲，细细揣摩，尤其在复习阶段的教学中，将其变化延伸，拓展学生思维，于旧题中挖掘出新意，找出易错点，留给学生的印象也深刻的多。
在高二讲不等式放缩时，我讲过一个例题：证明22312111123++<+-n +…+n n 1212-<。
解析几何试题的高考原题引申
解析几何试题的高考原题引申【关键词】解析几何;数学试题;命题模式;教学策略新高考模式对于教师和学生而言，都具有一定的挑战.因此，为了更好地满足新高考模式下社会对人才的需求，在实际的教学工作中，教师要顺应时代发展的潮流，依据培养目标，有的放矢地对自身的教学模式加以创新.学生同样要有意识地培养自己的学习习惯，提高自身的学习能力，建立相应的数学核心素养.一、新高考情况概述及案例分析高考作为我国重要的人才选拔方式，高考试卷的试题设置关系到万千考生的前途命运，高考试题是众多的专家、学者以及一线教师在经过多方研讨、综合调研下的集体智慧的结晶.因此，对于高中教师而言，研究高考试题是必要且重要的.通过对高考试题的研究，教师能从中发现如今高考数学的考查方向、整体动向，这能对高中数学的教学工作提供良好的指导和改进.2020年山东正式开始实行新高考，这也是山东在高考中首次采取文理一套卷的形式进行的改革尝试.就题目的数量和难度的设置而言，相较于以往的山东高考数学卷，这次数学卷整体上难度不大，在关于解析几何的题目设置上，考查的是曲线与定点和定值的问题.试题如下：回顾题目的解答过程，在传统解析几何解答的基础上，增加了构造直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质.题目对学生的转化与化归、建立数学模型的数学思想和能力进行了全面的考查.直线MN过定点的问题，考生经过分析容易入手，多数考生可以拿到部分基础分数;后半部分点Q的确定，需要考生有较强的数学能力，起到了一定的选拔功能.二、高考数学解析几何试题分析在进行解析几何的问题求解时，往往都会涉及大量的运算，在运算过程中，不仅耗费的时间长而且运算的难度比较大，稍有不慎就会导致运算结果的错误.因此，在高考试题中，解析几何往往是让学生较为头疼的一个类型，但是若能合理地利用平面几何的相关知识，用推理代替计算，就能大大减少运算量，从而提升解题的效率.平面几何与解析几何之间关系密切，将一些简单的平面几何中的知识，例如三角形的相似、射影定理、角平分线定理、圆的性质定理等运用到解析几何中往往会产生意想不到的效果.这就需要教师在平时的教学工作中注意培养学生的创新意识和知识迁移能力，促进学生对知识的灵活运用.这不仅对于学生的数学能力的提升有帮助，还能够锻炼学生解决问题的能力，进而促进学生的全面发展.（一）基本知识点方面的考查在高考数学的解析几何的试题中，往往第一题是对解析几何的基本知识的考查应用，这就要求学生必须掌握椭圆、双曲线、抛物线等的基础知识，利用具体的定义来求解相应的轨迹方程.这就要求教师在平时的教学中，对于基础性知识的讲解与应用提高重视.（二）综合运用方面的考查坐标系法往往是解决圆锥曲线和直线位置关系的主要方法，尤其是对于高考中的大题而言，训练学生在分析几何条件的基础上，选择合适的代数形式对几何问题进行相应的表示，建立系统性、整体性的思维方式，对学生的成绩提升以及未来发展都具有重要意义.三、高中数学解析几何的教学策略解析几何在高考中有着重要的地位，也是教师在高三数学备考复习中的重点.一方面，数学教师要加强对学生解析几何基础知识的教学和基本能力的训练;另一方面，要让学生在掌握基础题型的前提之下，提升解析几何和平面几何的综合应用能力.（一）进行一定的思维训练对试题的具体解决方法的寻找属于“术”的层面的教学工作.对于高中数学教师而言，在教学工作中，不仅要注重对学生的“术”的培养，也要注重对学生的“道”的培养.教师要站在数学文化、数学思维的角度，将数学结构和解析几何的分析价值进行明确，教导学生如何根据自己的直觉思维，结合自己的抽象思维，进行相应的归纳总结，对其中的思维想法进行提取，进而促进顺利解题.正如笛卡尔的数学思想内涵所倡导的那样，将自己的数学思想进行系统化、整体化，这将不仅有利于学生数学成绩的提高，更有利于学生综合能力的培养.（二）立足典型试题，总结解题方法寻找出解决解析几何题的有效途径，是教师在进行解析几何问题讲解时的一大重点.教师要针对解析几何问题中的重要的、常见的、具有代表性的问题，例如上面高考题中的直线MN过定点P的问题，进行相应的训练，根据本班学生的接受能力和知识基础进行相应的试题的难度和题型的选择，为学生精心设计解析几何试题，针对学生的计算能力、思维能力以及旧知识的复习情况进行充分的测试，在测试中提升學生对知识的掌握程度.另外，教师也要及时发现学生解题中的问题，对于一些共性的问题，教师要在课堂上进行相应的点评讲解，对于一些个性的问题，教师则可以采取批注或课下单独辅导的形式解决.然而，需要注意的是，教师在进行解题方法总结的过程中，要将学生放在课堂的主体位置，而不是由教师进行知识的归纳、总结，然后让学生对具体的解题过程和解题技巧进行单纯的记忆.这种教学方法，一方面，不利于学生的自主学习能力的发展，因为学生并没有真正理解教师所总结出来的解题方法的精髓，在如今高考试题不断创新的大背景之下，并不能有效提升学生的数学成绩.另一方面，这种对于教学技巧的灌输式教学模式，会导致学生仅仅是孤立地进行解题方法的记忆，学生将精力错误地用在训练模仿力和记忆力上，这就导致学生在进行解题时，往往只是机械性地熟练操作，并不能深入理解题目背后的含义.教师在立足典型试题总结解题方法时，应该以学生为主体，教师此时不是知识权威者，而应该是引导者，应帮助学生自己总结出相应的规律性、技巧性的解题方法，这不仅有利于学生加深这部分知识的印象，而且学生在课堂中探索出相应的解题方法能够有效地提升他们在数学学习过程中的满足感和自信心.同时引导学生进行相应的更深层次的学习，对于他们的数学思维的培养、数学意识的形成都具有重要意义.（三）创新解析几何题，帮助学生举一反三，真正掌握知识教师在进行解析几何部分的教学工作时，应该有意识地对题型进行创新改造，这样做不仅能够让学生解题时具有新鲜感，同时与时俱进的试题也满足高考选拔人才的要求.平时的创新性试题的训练，能够使学生在面对真正的高考试题时游刃有余.教师在进行解析几何试题创新的过程中，要注意以下几点.第一，立足实际，多方联系.教师可以通过对日常生活中的新情境进行提炼与运用设计创新试题.如今的社会日新月异，整体的时代背景也发生了巨大的变化，高中生不能“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”，提升学生关注社会、关注生活的意识，是高中教师在教学工作中要注意的一个重要方面.教师在进行试题创新的过程中要实现新旧教材的有效结合，将相应的知识点或表述方式进行综合，总结提炼出其中最适合的方式，同时在题型创新时可以采用“旧瓶装新酒”“新瓶装旧酒”“新瓶装新酒”等方式.第二，两点论与重点论相结合.在高考试题中，直线和曲线等综合问题是比较常见的考察对象，因此这部分试题应该是教师在进行相应的题型创新时的重点.四、小结随着新课程改革的不断推进，一线的高中数学教师在进行教学工作的过程中，要加大对学生进行高考解析几何问题的分析引导工作，对学生的解析几何知识的掌握情况进行及时的检测.对于学生容易出现的问题，教师要制订有效的教学策略，带领学生对最新的高考试题进行充分的利用，在掌握基础性知识点之上，引导学生自己总结出相应的解题方法和解题步骤.同时，及时给予学生针对性的辅导，及时督促学生的复习工作，让学生在把握数学课程学习的理念，确定学习目的的前提下，进行知识的进一步学习，将对学生的数学思维和数学意识的培养放在对具体的数学技巧、解题方法同等重要的位置，多方发力，为提升学生对解析几何问题的把握和理解助力，进而提升学生的数学成绩，提高教师的教学质量.【參考文献】欧阳尚昭.解答解析几何试题不要脱离其“几何背景”[J].中小学数学：高中版，2015（6）：55-56.林志展.妙解若干解析几何试题[J].福建中学数学，2011（7）：40-41.王安园.解析几何试题解题方法技巧探究[J].考试周刊，2014（50）：8.陈少华.一道解析几何试题的延伸[J].新课程导学，2017（20）：63.江保兵.对一道解析几何试题的探究[J].数学教学研究，2017（8）：48-51.。
2024高考语文总复习专题教案5：拓展思维,掌握归纳演绎与引申比较的方法与应用
随着教育改革的深入推进和高考考试的不断优化，高中语文教育也在不断地完善和提高。
为了帮助2024届高考考生更好地备考，语文教师们积极探索和研究高考语文总复习案，不断地推陈出新，为考生们提供更加全面、系统的语文复习方案。
其中第五个教案就是深入拓展思维、掌握归纳演绎与引申比较的方法与应用。
一、拓展思维拓展思维是指针对问题的各种可能性进行分析、探索、发掘的能力，可以从不同的角度、不的思维模式、不同的思维方法中汲取有益的信息，以便更好地理解问题、解决问题、表达问题、这是考生们必须具备的一种重要能力。
通过拓展思维，我们可以：1.更好地理解问题在高考语文中，很多文章和题目都存在着深层含义和多层次解读。
这就需要我们用拓展思维的方法去发掘其更深层的意义，更全面的理解和分析文章、文化、古代文学和现代文学等内容。
例如，《离骚》中的“躞蹀（xiè dí）”一词，我们可以通过拓展思维将其理解为“纵情高歌，不受约束的走路姿态”。
2.更好地解决问题在高考语文中，我们往往需要通过分析、归纳、推理、比较等多种思维方法来解决问题。
而拓展思维则可以帮助我们寻找新的解决问题的方法和角度，提供新的思路和思考方向。
例如，在解答“深情与感情的区别”这样的题目时，我们可以通过拓展思维，结合实际经验，从精神体验、内涵、书写方式等多个角度进行全面、深入的分析和比较。
3.更好地表达问题在高考语文中，若想写出高质量的作文或回答一些较为复杂的问题，通常需要有良好的表达能力。
而拓展思维可帮助我们转变思考方式和思考方法，以便使用更加生动、形象、有力的语言来表达问题和观点，并且包含更加深刻、饱满的文化内涵和思想情感。
例如，在描写一个特定情境时，我们可以通过拓展思维，采用类比、对比、比喻等方法提升表达力，更好地传达情感和信息。
二、归纳演绎归纳演绎是推理方法中最常用的思维方式之一。
一般而言，我们可以根据一些特定的观点或者特定的规则，总结、归纳出某一类事物或某些规律。
高考作文：审读材料,思辨提升—从语法和思辨的角度看2021年全国新高考I卷作文题审题立意
审读材料，思辨提升—从语法和思辨的角度看2021年全国新高考I卷作文题审题立意作文题：1917年4月，XX在《新青年》发表《体育之研究》一文，其中论及“体育之效”时指出：人的身体会天天变化。
目不明可以明，耳不聪可以聪。
生而强者如果滥用其强，即使是至强者，最终也许会转为至弱；而弱者如果勤自锻炼，增益其所不能，久之也会变而为强。
因此，“生而强者不必自喜也，生而弱者不必自悲也。
吾生而弱乎，或者天之诱我以至于强，未可知也”。
以上论述具有启示意义。
请结合材料写一篇文章，体现你的感悟与思考。
要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。
这是一道材料作文题，有“任务”，但不是之前热议的任务驱动作文。
作文材料是有关“体育之效”的论述。
寓意不只适用于体育，在许多领域内也成立，可谓“体育其表，哲思其里”。
立意时，需要分析材料重心，再提炼转化为抽象观点，结合时代确定合适的立意。
一、语法分析，明确重心解读材料，明晰重心是审题的开始。
解读材料时，要理解每句话的大意，并进行语法分析，确定表意重心。
这是个多层复句，最大的一层以冒号为界，前后是解说关系。
冒号前指出这是XX 在论及“体育之效”时指出的，冒号后是具体论述，由四句构成。
这四句又构成一个句群。
“句群也叫句组，它由前后连贯共同表示一个中心意思的几个句子组成。
”审读句群，就要找出或归纳出这个“中心意思”。
我们结可以合XX《论体育之研究》中的相关段落来理解这则材料。
动之属于人类而有规则之可言者曰体育。
前既言之，体育之效，则强筋骨也。
愚昔尝闻，人之官骸肌络，及时而定，不复再可改易，大抵二十五岁以后，即一成无变。
今乃知其不然。
人之身盖日日变易者：新陈代谢之作用不绝行于各部组织之间，目不明可以明，耳不聪可以聪，虽六七十之人犹有改易官骸之效，事盖有必至者。
又闻弱者难以转而为强，今亦知其非是。
盖生而强者，滥用其强，不戒于种种嗜欲，以渐戕贼其身，自谓天生好身手，得此已足，尚待锻炼？故至强者或终转为至弱。
2012年高考数学上海卷第22题的引申与推广
（ 作 者单位
●０
安徽 省 涡 阳第四 中学 ）
● ＜ ） ●Ｃ ¨ ・ ●（＞ ●０ ●Ｃ ＞ ●０ ●＜ ＞●＜ ＞●＜＞ ●＜＞ ●＜＞ ●ｏ ●０ ●
●Ｃ ¨ Ｃ ）●Ｃ ●＜ ¨ Ｃ ）．＜ ）－Ｃ ” Ｃ ＂ Ｃ ¨ ０
●Ｃ ●（ ●Ｃ ｝●Ｃ ¨ Ｃ Ｈ ０
了解英语 交际 中常用 的体 态语 ， 了解英 语 国家 的饮食 习俗 ， 用恰 好教学实践 的一个保障 。寻找适 当的教学方法并加入文化背景 知 有助于初 中英语 教学实践。文化教学从途径上讲是 多方 当 的方 式表 达 赞扬 等 意义 。新课 程 标 准 中规定 的功 能项 目如 识学 习，
肘（ ２ ， 、 ／ 一 ） ， Ⅳ （ 、 ／ ， １ ） ， ０为坐标 原点．
．
定值 ； 若不是， 请说明理由． （ ２ ） 求Ｉ
参考文献 ：
Ｏ Ｂ ｌ 的最小值．
（Ｉ） 求 椭圆 Ｅ的方程 ； （Ⅱ） 是否存在 圆心在 原点 的圆 ， 使巧［ Ｊ ］ ． 中学数 学教 学参
该圆的任意一条切线与椭圆 Ｅ恒在两个交点 Ａ ， 且 Ｊ ＿ － ｏ － ￣？ 考， ２ ０ １ １ （ ３ ） ： ６ ｌ 一 ６ ３ ．
若存在， 写出该圆的方程， 并求 Ｉ Ａ Ｂ ｌ 的取值范围； 若不存在 ， 说明
＜ ）●（ ）●＜ ＞ ● ０ ●ｏ ●ｏ ●Ｃ Ｍ Ｃ ） ．Ｃ Ｈ Ｃ ＞ ●０ ●ｏ ●０ ●０ ●Ｃ ¨ Ｃ ）● ｂ ● ｏ ●０ ●ｏ
一
、
高 考试 题
例： （ ２ ０ １ ２年 上 海卷 理 科 第 ２ ２ 题） 在 平 面 直 角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ，
理 由 。 略 解 ： （ Ｉ ） 椭 圆 Ｅ 的 方 程 为 等 － － １ ・
椭圆一切线性质的发现、引申及切线的一种新作法——2013年一道高考题引发的思考
椭圆一切线性质的发现、引申及切线的一种新作法——2013
年一道高考题引发的思考
周天擎
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2013(000)019
【摘要】引例已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的焦距为4,且过点P(21/2,31/2).（1）求椭圆C的方程;（2）设Q（x0,y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2 21/2,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点。
【总页数】2页(P29-30)
【作者】周天擎
【作者单位】江苏省南通第一中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.破解一道椭圆切线高考题的策略 [J], 刘刚;赵毅
2.从椭圆的光学性质谈椭圆的切线作法 [J], 周伯明;张仁端;
3.由一道高考题引申出的切线三角形问题的探讨 [J], 李思蔚
4.由一道高考题引申出的切线三角形问题的探讨 [J], 李思蔚;顾金(指导)
5.从一道高考题看抛物线切线的几何作法——对2016年高考新课标Ⅰ卷文科第20题的研究 [J], 李超
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一道高考题的推广与引申
作者：玉邴图
来源：《数理化学习·高一二版》2012年第11期
2012年全国高考大纲卷理科第（8）题、文科第（10）题是：
设E、F是双曲线-的两个焦点，P是双曲线上的一点，若
|PE|=2|PF|，则∠EPF=（）
（A）14 （B） 35 （C）
34 （D）
该问题取材于圆锥曲线焦点三角形的边角关系，在解答过程中，应用到圆锥曲线定义、正余弦定理等知识，难易适中，设计新颖，别具一格.值得我们深入研究，若将其推广引申，进行研究，则可得到.
定理1：设E、F是椭圆
（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上的一点，若
（λ>0），椭圆的离心率是e，
∠EPF=θ，则
-（λ+1）
证明：设|PF|=m，则|PE|=λm，由椭圆定义得
λm+m=2a，即m=2aλ+1.
又因为|EF|=2c，由余弦定理得
（λm）-
=
（）-
将m=2aλ+1代入上式得
（）-（）
-（λ+1）
定理2：设E、F是双曲线
-
（a>0，b>0）的两个焦点，P是双曲线上一点，若|PE|=λ|PF|（λ>1），双曲线离心率是
e，∠EPF=θ，则
-（λ-1）
证明：设
|PF|=m，则
|PE|=λm，由双曲线定义得
λm-m=2a，即
m=
2a
λ-1.
又因为
|EF|=2c，由余弦定理得
（λm）-
（）-
将m=2aλ-1代入上式得
（）-（λ-1）
-（λ-1）
2λ.
若将两条焦半径|PE|，|PF|之比改变为之积、之差（或和），进行研究，则得定理3：设
E、F是椭圆
（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上的一点，若
（λ>0），∠EPF=θ，则
=bλ.
证明：设
|PF|=m，则|PE|=n，
，由椭圆定义得
m+n=2a，而
|EF|=2c.
由余弦定理和椭圆定义得
-
=（m+n）-2mn-
=（2a）--
-1.
所以，
=bλ.
定理4：设
E、F是双曲线
-（a>0，b>0）的两个焦点，P是双曲线上的一点，若 |PE||PE|=
（λ>0），∠
EPF=θ，则
θ2
=bλ.
证明：设
|PF|=m，则
|PE|=n，mn，由双曲线定义得|m-n|= 2a，而
|EF|=2c.由余弦定理和双曲线定义得
-
（m-n）-
=（2a）-
=1-
所以，
1-
=bλ.
定理5：设
E（-c，0），F（c，0）是椭圆
（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上的一点，若 |PE|-|PF|=2d，
∠EPF=θ，则
-
-
证明：因为
|PE|
-|PF|
=2d，由椭圆定义得
|PE|+|PF|=2a，联立两式解得
=a+d，|PF|
=a-d，
而
|EF|=2c，由余弦定理得
（a+d）（a-d）-
2（a+d）（a-d）
=
-
-
-
.
定理6：设
E（-c，0），F（c，0）是双曲线
-
（a>0，b>0）的两个焦点，P是双曲线上的一点，若 |PE|+|PF|
=2d，∠EPF=θ，则
--
a-
证明：因为
|PE|+|PF|
=2d，由双曲线定义得
|PE|-|PF|
=±2a，联立两式解得
，|PF|
=d-a
或|PE|=d-a，|PF|=d+a，而
，由余弦定理得
（a+d）（a-d）-
2（a+d）（a-d）
--
--
-
.
研究问题的目的之一是掌握新知识，解决新问题，也是创新的表现，下面我们看这几个结论的应用，限于篇幅，略举数例说明.
例1 （本文开头提出的问题）
解：因为λ=
2，e=2，由定理2得
-（2）（2-1）22·2=
34.故选（C）
例2 （笔者自编题）P是椭圆上一点，E、F是椭圆左右焦点，若
∠PEF=60°，
∶，求椭圆的离心率.
解：因为λ=2，θ=60°，由定理1得
-（2+1）
e=
33.
例3 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第9题）设E、F是双曲线
-的左右焦点，P是双曲线上的一点，若
∠EPF=60°，则P点到x轴的距离是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：设
|PE||PF|
（λ>0），因为θ=60°，a=b=1，e=2，由定理4及双曲线焦半径公式得
=1λ
（ex+a）（ex-a）-
52.
代入双曲线方程-解得|y|=。