2017-2018学年广西桂林中学高一(上)开学数学试卷(解析版)

2017-2018学年广西桂林中学高一（上）开学数学试卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，3}B．{2，5}C．{4}D．∅2．（5分）下面各组中f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）＝x2，B．f（x）＝1，g（x）＝（x﹣1）0C．，g（x）＝x﹣3D．3．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，则下列式子表示不正确的是（）A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅⊆A D．{1，﹣1}⊆A 4．（5分）下列函数中是偶函数的是（）A．y＝x4（x＜0）B．y＝|x+1|C．y＝3x﹣1D．5．（5分）若集合A＝，则A∪B＝（）A．[0，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪[2，+∞）D．∅6．（5分）设函数f（x）＝，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．187．（5分）集合M＝{x|x＝+，k∈Z}，N＝{x|x＝k+，k∈Z}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅8．（5分）下列函数中，在[1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝（x﹣2）2B．y＝|x﹣1|C．y＝D．y＝﹣（x+1）2 9．（5分）已知函数y＝ax和y＝﹣在（0，+∞）上都是减函数，则函数f（x）＝bx+a在R上是（）A．减函数且f（0）＞0B．增函数且f（0）＞0C．减函数且f（0）＜0D．增函数且f（0）＜010．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．B．（0，12]C．[0，12]D．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在（﹣∞，0]上单调递减，那么一定有（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝为R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣1，﹣4]D．（﹣∞，﹣4]二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）集合用列举法表示．14．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，1]，函数，则g（x）的定义域为．15．（5分）若f（x）＝x2+2ax+2在（﹣∞，4]上是减函数，则a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）满足，则f（﹣2）＝．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|2a≤x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞5}．（1）若a＝﹣1，求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．18．（12分）已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1，及f（x+1）﹣f（x）＝2x．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的值域．19．（12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣x．（1）用分段函数的形式表示该函数，并画出该函数的图象；（2）写出该函数的值域、单调区间（不用说明理由）．20．（12分）设A＝{x|x2+8x＝0}，B＝{x|x2+2（a+2）x+a2﹣4＝0}，其中a∈R．如果A∩B ＝B，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）判断函数的单调性并用定义法证明；（3）解不等式：f（t﹣1）+f（t）＜0．22．（12分）对于区间[a，b]和函数y＝f（x），若同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“不变”区间．（1）求函数y＝x2（x≥0）的所有“不变”区间．（2）函数y＝x2+m（x≥0）是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．2017-2018学年广西桂林中学高一（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{2，4，5，6}，∴∁U B═{1，3，7}，又集合A＝{1，3，4，6}，∴A∩∁U B＝{1，3}，故选：A．2．【解答】解：对于A，函数f（x）＝x2（x∈R），与g（x）＝＝|x|（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数f（x）＝1（x∈R）与g（x）＝（x﹣1）0＝1（x≠1）的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数f（x）＝＝x﹣3（x≠﹣3），与g（x）＝x﹣3（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）＝＝1（x＞0），与g（x）＝＝1（x＞0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．【解答】解；∵集合A＝{x|x2﹣1＝0}＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，∴1∈A，{﹣1}⊊A，∅⊆A，{1，﹣1}⊆A，∴B不正确．故选：B．4．【解答】解：逐一考查所给函数的奇偶性：A．y＝x4（x＜0）是非奇非偶函数；B．y＝|x+1|是非奇非偶函数；C．y＝3x﹣1是非奇非偶函数；D．是偶函数．故选：D．5．【解答】解：集合A＝（﹣1，1），B＝[2，+∞），则A∪B＝（﹣1，1）∪[2，+∞），故选：C．6．【解答】解：当x＞1时，f（x）＝x2+x﹣2，则f（2）＝22+2﹣2＝4，∴，当x≤1时，f（x）＝1﹣x2，∴f（）＝f（）＝1﹣＝．故选：A．7．【解答】解：∵M中：x＝+＝；N中：x＝k+＝n+，k＝n∈Z，∴N⊆M．故选：C．8．【解答】解：对于A，函数y＝（x﹣2）2的图象是抛物线，对称轴是x＝2，当x＜2时是减函数，x＞2时是增函数，∴不满足题意；对于B，函数y＝|x﹣1|＝，∴当x≥1时，是增函数，x＜1时，是减函数，∴满足题意；对于C，函数y＝，当x＜﹣1，x＞﹣1时，函数是减函数，∴不满足题意；对于D，函数y＝﹣（x+1）2的图象是抛物线，对称轴是x＝﹣1，当x＞﹣1时是减函数，x＜﹣1时是增函数，∴不满足题意；故选：B．9．【解答】解：由题意，函数y＝ax和y＝﹣在（0，+∞）上都是减函数，可知a＜0，b ＜0．∴f（x）＝bx+a在R上是减函数，且f（0）＝a＜0．故选：C．10．【解答】解：∵函数的定义域为R，∴ax2+ax+3≥0对任意实数x恒成立，当a＝0时满足题意；当a≠0时，则，解得：0＜a≤12．∴实数a的取值范围为[0，12]．故选：C．11．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，它在（﹣∞，0]上单调递减故f（x）在[0，+∞）上递增，∵a2﹣a+1＝（a﹣）2+≥，∴f（）≤f（a2﹣a+1），故选：B．12．【解答】解：若函数f（x）在R上为减函数，则，即，解得a≤﹣4，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]，故选：D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：根据题意，，即10可以被（m+1）整除，其中（m+1）为整数且m+1≥2，则m+1＝2或5或10；解可得m＝1、4、9，故A＝{1，4，9}；故答案为：{1，4，9}．14．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，1]，∴要使函数g（x）有意义，需有，解得，∴函数g（x）的定义域为：，故答案为：．15．【解答】解：由f（x）＝x2+2ax+2＝（x+a）2+2﹣a2，所以对称轴为x＝﹣a，又f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，有﹣a≥4，所以a≤﹣4．故a的取值范围是（﹣∞，﹣4]，故答案为：（﹣∞，﹣4]．16．【解答】解：由，得，将（1）×x+（2）得：2f（﹣x）＝2x2﹣，∴f（﹣x）＝，∴f（﹣2）＝．故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解（1）当a＝﹣1时，A＝{x|﹣2≤x＜2}，∁R A＝{x|x＜﹣2或x≥2}所以A∪B＝{x|x＜2或x＞5}，（∁R A）∩B＝{x|x＜﹣2或x＞5}；（2）因为A∩B＝ϕ，当A＝ϕ时，2a≥a+3，解得a≥3，当A≠ϕ时，，解得，所以实数a的取值范围是．18．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b，∴由题c＝1，2ax+a+b＝2x恒成立，∴得a＝1，b＝﹣1，c＝1∴f（x）＝x2﹣x+1；（2）在单调递减，在单调递增，∴，f（x）max＝f（﹣1）＝3，∴所求值域为．19．【解答】解：（1）图象如图所示：（2）f（x）的值域是，f（x）的递减区间是，递增区间是．20．【解答】解：∵A＝{x|x2+8x＝0}＝{0，﹣8}，A∩B＝B，∴B⊆A；当B＝∅时，方程x2+2（a+2）x+a2﹣4＝0无解，即△＝4（a+2）2﹣4（a2﹣4）＜0，得a＜﹣2；当B＝{0}或{﹣8}时，这时方程的判别式△＝4（a+2）2﹣4（a2﹣4）＝0，得a＝﹣2；将a＝﹣2代入方程，解得x＝0，∴B＝{0}满足B⊆A；当B＝{0，﹣8}时，，可得a＝2；综上可得，a＝2或a≤﹣2．21．【解答】解：（1）∵函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（0）＝0，得b＝0．又∵，∴，解之得a＝1；因此函数f（x）的解析式为：满足f（﹣x）＝﹣f（x）为奇函数，（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．转化为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t）∴，解不等式得22．【解答】解：（1）易知函数y＝x2（x≥0）单调递增，故有，解得a＝0或1，b＝0或1，又a＜b，∴．所以函数y＝x2（x≥0）的“不变”区间为[0，1]．（2）易知函数y＝x2+m（x≥0）单调递增，若函数y＝x2+m（x≥0）存在“不变”区间，则有b＞a≥0，且，消去m得a2﹣b2＝a﹣b，整理得（a﹣b）（a+b﹣1）＝0．因为a＜b，所以a+b﹣1＝0，即b＝1﹣a．又由b＞a≥0，得1﹣a＞a≥0，∴．所以，∴．综上，当时，函数y＝x2+m（x≥0）存在“不变”区间．。