高考数学二轮专题突破课堂讲义 第1讲 集合与简单逻辑用语

专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用第1讲 集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值，还是因变量的取值，还是曲线上的点，… 集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据．2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合A 、B ，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A ＝或B ＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ，2n －1，2n －1，2n －2；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．5. 命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解，掌握解这类题的一般步骤与解题格式．6. 学习本节内容，要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化，要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用．1. 已知A 、B 是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B 且x ÏA ∩B}．若A ＝{x∈R |y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x ，x ∈R }，则A×B＝______________.答案：(－∞，3)解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝(－∞，＋∞)，A ∩B ＝[3，＋∞)．∴ A×B＝(－∞，3)．2. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______________．答案：12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题．如图，设两者都喜欢的人数为x ，则只喜爱篮球的人数有15－x ，只喜爱乒乓球的人数有10－x ，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12.3. 已知条件p ：a∈M ＝{x|x 2－x<0}，条件q ：a∈N ＝{x||x|<2}．则p 是q 的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：M ＝(0，1)Ë N ＝(－2，2)．4. 已知p ：－4<x －a<4，q ：(x －2)(3－x)>0，若Øp 是Øq 的充分条件，则实数a 的取值范围是____________．答案：[－1，6]解析：p ：a －4<x<a ＋4，q ：2<x<3，若Øp 是Øq 的充分条件，则q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，即－1≤a≤6.题型一 集合的关系与运算例1 已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ÍA ，求实数p 的取值范围．解：由x 2－3x －10≤0，得－2≤x≤5.∴ A ＝[－2，5]．① 当B≠Æ时，即p ＋1≤2p－1Þp ≥2.由B ÍA 得－2≤p ＋1且2p －1≤5，得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.② 当B ＝Æ时，即p ＋1>2p －1Þp ＜2.B ÍA 成立．综上得p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝Æ，A ∪B ＝A ，A ∪B ＝B 或A ÍB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}．(1) 当a ＝－4时，分别求A∩B 和A∪B；(2) 若(∁R A )∩B＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1) 由2x 2－7x ＋3≤0，得12≤x ≤3， ∴ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x≤3. 当a ＝－4时，解x 2－4<0，得－2<x<2，∴ B ＝{x|－2<x<2}．∴ A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x<2，A ∪B ＝{x|－2<x≤3}． (2) ∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<12或x>3， 当(∁R A )∩B＝B 时，B Í∁R A.① 当B ＝Æ时，即a≥0时，满足B Í∁R A ；② 当B≠Æ时，即a<0时， B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B Í∁R A ，须－a ≤12，解得－14≤a<0.综上，可得实数a 的取值范围是a≥－14. 题型二 数形结合与分类讨论思想在集合问题中的应用例2 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪1－y x ＋1＝3，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}．若A∩B＝Æ，求实数k 的取值范围．解： 集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1，1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A ∩B ＝Æ，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1，1)，所以k ＝2或k ＝－3.已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ，S n n |n ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪14x 2－y 2＝1，x 、y∈R . 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：(1) 若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2) A∩B 至多有一个元素；(3) 当a 1≠0时，一定有A∩B≠Æ．解：(1) 正确；在等差数列{a n }中，S n ＝n （a 1＋a n ）2，则S n n ＝12(a 1＋a n )，这表明点⎝⎛⎭⎪⎫a n ，S n n 的坐标适合方程y ＝12(x ＋a 1)，于是点⎝⎛⎭⎪⎫a n ，S n n 均在直线y ＝12x ＋12a 1上．(2) 正确；设(x ，y )∈A∩B，则(x ，y)中的坐标x 、y 应是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋12a 1，14x 2－y 2＝1的解，由方程组消去y 得：2a 1x ＋a 21＝－4(*)，当a 1＝0时，方程(*)无解，此时A∩B＝Æ；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x ＝－4－a 212a 1，此时，方程组也只有一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－a 212a 1，y ＝a 21－44a 1，故上述方程组至多有一解．∴ A ∩B 至多有一个元素．(3) 不正确；取a 1＝1，d ＝1，对一切的x∈N *，有a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n>0，S n n>0，这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1＝1≠0 如果A∩B≠Æ，那么据(2)的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0，y 0)，而x 0＝－4－a 212a 1＝－52＜0，y 0＝a 1＋x 02＝－34＜0，这样的(x 0，y 0)A ，产生矛盾，故a 1＝1，d ＝1时A∩B＝Æ，所以a 1≠0时，一定有A∩B≠Æ是不正确的．题型三 集合与逻辑知识应用的拓展例3 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x || x －1|＜a}，则“a＝1”是“A∩B≠Æ”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由题意得A ：－1<x<1，B ：1－a<x<a ＋1，① 由a ＝1.A ：－1<x<1.B ：0<x<2.则A ∩B ＝{x|0<x<1}≠Æ成立，即充分性成立．② 反之：A∩B≠Æ，不一定推得a ＝1，如a 可能为12. 综合得“a＝1”是“A∩B≠Æ”的充分不必要条件．设U 为全集，A 、B 是集合，则“存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ”是“A ∩B＝Æ”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充要解析：若存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ，则可以推出A∩B＝Æ；若A∩B＝Æ，由韦恩图可知，一定存在C ＝A ，满足A ÍC ，B Í∁U C ，故“存在集合C 使得A ÍC ，B Í∁U C ”是“A ∩B ＝Æ”的充要条件．题型四 充要条件的探求与证明例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q(p≠0，p ≠1)，求数列{a n }为等比数列的充要条件．解：数列{a n }为等比数列，则a 1＝p ＋q ，n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1.由于p≠0，p ≠1，∴ n ≥2时，数列{a n }是公比为p ，首项为p －1的等比数列，∴ p ＋q ＝p －1，∴ q ＝－1.由上面探求的过程可知，数列{a n }为等比数列的充要条件即为q ＝－1.已知p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若Øp 是Øq 的必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3，∵ Øp 是Øq 的必要条件，∴ p 是q 的充分条件，∴ 不等式x 2－mx ＋4≥0对x ∈(0，3)恒成立，∴ m≤x 2＋4x ＝x ＋4x对x ∈(0，3)恒成立． ∵ x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立， ∴ m ≤4.1. (2013·湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：充分不必要2. (2014·福建卷)命题“"x ∈[0，＋∞)，x 3＋x≥0”的否定是________________．答案：$ x ∈[0，＋∞)，x 3＋x<03. (2014·四川卷)已知集合A ＝{x|x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A∩B＝________．答案：{－1，0，1，2}4. 已知集合A ＝{x∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x∈R |(x －m)(x －2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________．答案：－1 1解析：∵ A＝{x∈R ||x ＋2|<3}＝{x|－5<x<1}，又A∩B＝(－1，n)，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.5. (2013·上海卷)设常数a∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x≥a－1}．若A∪B ＝R ，则a 的取值范围为__________．答案：(－∞，2]解析：若a ＞1，则A ＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，A ∪B ＝R ，a －1≤1，则1＜a≤2；若a ＝1，A ∪B ＝R 成立，a ＜1，则A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，A ∪B ＝R 成立．综上a≤2.6. (2013·福建卷)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足；(ⅰ) T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ) 对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)<f(x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：① A ＝N ，B ＝N *；② A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|－8≤x≤10}；③ A ＝{x|0<x<1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 答案：①②③解析：对①取f(x)＝x ＋1，x ∈N *，所以B ＝N *，A ＝N 是“保序同构”；同理对②取f(x)＝92x －72(－1≤x≤3)；对③取f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2，所以应填①②③.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知命题：“$x ∈{x|－1<x<1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1) 求实数m 的取值集合M;(2) 设不等式(x －a)(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x∈M 的必要条件，求a 的取值范围．解：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1，1)上有解，即m 的取值范围为函数y ＝x2－x 在(－1，1)上的值域，易得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪－14≤m<2.(3分) (2) 因为x∈N 是x∈M 的必要条件，所以m ÍN ，当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；(5分)当a>1时，a>2－a ，此时集合N ＝{x|2－a<x<a}，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a<－14，a ≥2，解得a>94；(9分) 当a<1时，a<2－a ，此时集合N ＝{x|a<x<2－a}，则⎩⎪⎨⎪⎧a<－14，2－a≥2，解得a<－14.(13分) 综上，a>94或a<－14.(14分)1. 设集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{4，5，6，7}，则满足S ÍA 且S∩B≠Æ的集合S 的个数为____．答案： 56解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4，5，6，7的子集有23＝8个，所以集合S 共有56个．2. 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M Í [1，4]，求实数a 的取值范围．解： M Í [1，4]有三种情况：其一是M ＝Æ，此时Δ＜0；其二是M≠Æ，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2－a －2)．① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝ÆÍ [1，4]成立；② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－1}Ë[1，4]，当a ＝2时，M ＝{2}Í[1，4]；③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M Í[1，4]Û 1≤x 1＜x 2≤4Û⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0且f （4）≥0，1≤a ≤4且Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，18－7a≥0，1≤a ≤4，a ＜－1或a ＞2，解得2＜a ≤187. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，187. 3. 已知a>0，函数f(x)＝ax －bx 2.(1) 当b>0时，若x ∈R ，都有f(x)≤1，证明：0<a≤2b ；(2) 当b>1时，证明："x ∈[0，1]，|f (x)|≤1的充要条件是b －1≤a≤2 b.证明：(1) ax －bx 2≤1对x∈R 恒成立，又b ＞0，∴ a 2－4b≤0，∴ 0＜a≤2 b.(2) 必要性：∵"x ∈[0，1]，|f (x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax≤1且bx 2－ax≥－1，显然x ＝0时成立，对x ∈(0，1]时，a ≥bx －1x且a≤bx ＋1x ，函数f(x)＝bx －1x 在x ∈(0，1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b －1.函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1b 上单调减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＝2b ， ∴ b －1≤a≤2b ，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax －bx 2＝－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2b 2＋a 24b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1b≤1，f(x)max ＝a 24b ≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b中取最小的，又a －b≥－1，∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立．综上，命题得证．4. 命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．解：使命题甲成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m<0m ＞2.∴ 集合A ＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是Δ2＝16(m －2)2－16<0，∴ 1＜m ＜3.∴ 集合B ＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：① m∈A∩∁R B ；② m ∈∁R A ∩B.若为①，则有A∩∁R B ＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；若为②，则有B∩∁R A ＝{m|1<m<3}∩{m|m ≤2}＝{m|1<m≤2}．综合①、②可知所求m 的取值范围是{m|1<m≤2或m≥3}．。