[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第九篇 第1讲 直线方程和两直线的位置关系
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第十一篇 第5讲 几何概型
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第5讲 几何概型A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是( )．A ．1B ．0.1C ．0.01D ．0.001解析 设事件A 为“10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝101 000＝0.01，所以10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01. 答案 C2. (2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( )．A.165B.215C.235D.195解析 由几何概型的概率公式，得S 10＝138300，所以阴影部分面积约为235，故选C. 答案 C3．(2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )．A.14 B.13 C.12D.23解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |. 故所求概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12.答案 C4．(2012·辽宁)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为 ( )．A.16B.13C.23D.45解析 设出AC 的长度，先利用矩形面积小于32 cm 2求出AC 长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm ，0＜x ＜12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )＜32⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12，故所求概率为812＝23. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·长沙模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0至12之间的概率为________．解析 根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.答案 136．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析 设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P (D )＝1－(12)2π－(14)2ππ＝1316. 答案 1316 三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解 弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 8．(13分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率． 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 答案 B2．(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx 有不等实数根的概率为( )．A.14B.12C.34D.25解析 方程x ＝22a －2bx ，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b .在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx 有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．解析 确定点P 到点O 1，O 2的距离小于等于1的点的集合为，以点O 1，O 2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V ＝2×12×43π×13＝43π，圆柱的体积为V ＝Sh ＝3π，所以点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为V ＝1－4π33π＝59. 答案 594．(2012·烟台二模)已知正三棱锥S －ABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是________．解析 三棱锥P －ABC 与三棱锥S －ABC 的底面相同，V P －ABC <12V S －ABC 就是三棱锥P －ABC 的高小于三棱锥S －ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC 的面积为S ，三棱锥S －ABC 的高为h ，则所求概率为：P ＝13Sh －13×14S ×12h 13Sh＝78.答案 78三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·深圳调研)设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中b ，c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “f (1)≤5且f (0)≤3”发生的概率． (1)若随机数b ，c ∈{1,2,3,4}；(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x |0≤x ≤1}，b ，c 是算法语句b ＝4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”） 解 由f (x )＝x 2＋bx ＋c 知，事件A “f (1)≤5且f (0)≤3”，即⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3.(1)因为随机数b ，c ∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b ，c )，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．事件A ：⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3包含了其中6个数对(b ，c )，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 所以P (A )＝616＝38，即事件A 发生的概率为38. (2)由题意，b ，c 均是区间[0,4]中的随机数，点(b ，c )均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S (Ω)＝16.事件A ：⎩⎨⎧b ＋c ≤4，c ≤3所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为S (A )＝12×(1＋4)×3＝152. 所以P (A )＝S (A )S (Ω)＝15216＝1532，即事件A 发生的概率为1532.6．(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解 甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以y 和x 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x －y ≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A “有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式，得P (A )＝242－12×222－12×202242＝67288. 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是67288.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第六篇 第1讲 数列的概念与简单表示法
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第六篇数列第1讲数列的概念与简单表示法A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝5，a n＋2＝a n＋1－a n(n∈N*)，则a100等于()．A．1 B．－1 C．2 D．0解析法一由a1＝1，a2＝5，a n＋2＝a n＋1－a n(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得此数列周期为6，故a100＝－1.法二a n＋2＝a n＋1－a n，a n＋3＝a n＋2－a n＋1，两式相加可得a n＋3＝－a n，a n＋6＝a n，∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.答案 B2．已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＋S n＋1＝a n＋1(n∈N*)，则此数列是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析∵S n＋S n＋1＝a n＋1，∴当n≥2时，S n－1＋S n＝a n.两式相减得a n＋a n＋1＝a n＋1－a n，∴a n＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴a n＝0(n∈N*)，故选C.答案 C3．(2013·北京朝阳区一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( )． A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1，又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)．∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 答案 B4．(2013·山东省实验中学测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a 2 014－5＝( )．A ．2 020×2 012B ．2 020×2 013C ．1 010×2 012D ．1 010×2 013解析 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)．所以a 2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大． 解析 易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{a n }的最末一个非负项．令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大．答案 10或116．(2013·杭州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________；a n ＝________.解析 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n＝n ＋1n ， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ，∴a 2＝2，a n ＝n .答案 2 n三、解答题(共25分)7．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，112a n ＝14a n －1＋13(n ≥2)，求{a n }的通项公式．解 ∵112a n ＝14a n －1＋13(n ≥2)，∴a n ＝3a n －1＋4，∴a n ＋2＝3(a n －1＋2)．又a 1＋2＝3，故数列{a n ＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．∴a n ＋2＝3n ， 即a n ＝3n －2.8．(13分)(2013·西安质检)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 013＝ ( )．A ．－1B ．－12 C.12 D ．1 解析 将x 1＝1代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1x n ＋1－1， 得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2 013＝x 1＝1.答案 D2．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n } 既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·合肥模拟)已知f (x )为偶函数，f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013＝________.解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )＝f (x －2)．故f (x )周期为4，∴a 2 013＝f (2 013)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.答案 124．(2012·太原调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)，∴⎩⎨⎧ 3－a >0，a >1，f (8)>f (7)⇒2<a <3.答案 (2,3) 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·杭州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋(a －3)2n －2，n ≥2. a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．6．(13分)(2012·山东)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m}的前m项和S m.解(1)因为{a n}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9m＜a n＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得b m＝92m－1－9m－1.于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×(1－81m)1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布
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第8讲 二项分布与正态分布A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·湖北)如图，用K 、A1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析 P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. 答案 B2．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A.34B.23C.35D.12解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案 A3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( )． A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ，则C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·台州二模)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，P ＝P [](A ∪A －)A －AA ＝(1－P (A )] P (A ) P (A )＝0.128. 答案 0.1286．设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，如果P (X ≤1)＝0.8413，则P (－1<X <0)＝________.解析 ∵P (X ≤1)＝0.841 3，∴P (X >1)＝1－P (X ≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7. ∵X ～N (0,1)，∴μ＝0.∴P (X <－1)＝P (X >1)＝0.158 7，∴P (－1<X <1)＝1－P (X <－1)－P (X >1)＝0.682 6. ∴P (－1<X <0)＝12P (－1<X <1)＝0.341 3. 答案 0.341 3 三、解答题(共25分)7．(12分)设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．8．(13分)(2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝13＋23×12×13＋⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3由独立性，知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2) ＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P ()A 1B 1 A 2 B 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19. 综上知，ξ的分布列为从而E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次)．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi ·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·湘潭二模)如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k ＝________.解析 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220－k ＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值． 答案 104．(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小1球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案 34三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为9 80.6．(13分)(2012·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ， 根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －) ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13； P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法
第 3 讲数学归纳法A 级 基础演练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．用数学归纳法证明不等式 1 1 11271＋ ＋ ＋ ＋ n －1＞64 (n ∈N *)成立，其初始值至2 4 2少应取()．A ．7B ．8C ．9D ．101剖析左侧＝ 1＋1＋1＋ ＋ 1＝n1，代入考据可知的最小1－2 ＝ －n2 42n －11 2 2n －11－2值是 8.答案B2．用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除”，在第二步时，正确的证法是()．A ．假设 n ＝k(k ∈ N ＋ )，证明 n ＝k ＋1 命题成立B ．假设 n ＝k(k 是正奇数 )，证明 n ＝k ＋1 命题成立＝ ＋ ∈ N ＋)，证明 n ＝k ＋ 1 命题成立C ．假设 n 2k 1(kD ．假设 n ＝k(k 是正奇数 )，证明 n ＝k ＋2 命题成立剖析 A 、B 、C 中， k ＋1 不用然表示奇数，只有 D 中 k 为奇数， k ＋2 为奇 数．答案 D3．用数学归纳法证明 1＋1－1＋ ＋1 － 1 ＝ 1 ＋1＋ ＋ 1 ，则 1－234 2n － 1 2n n ＋1 n ＋22n当 n ＝k ＋ 1 时，左端应在 n ＝k 的基础上加上( )．11A.2k ＋ 2 B ．－2k ＋ 2 1 11 1C.2k ＋ 1－ 2k ＋2D.2k ＋1＋2k ＋2剖析 ∵当n ＝k 时，左侧＝ 1－ 1＋ 1－1＋ ＋1 － 1，当＝＋ 时，23 42k － 12k n k 1左侧＝ 1－1＋1－1＋ ＋ 1 － 1 ＋1 － 1 .2 3 42k －12k2k ＋12k ＋ 2答案C4．对于不等式n 2＋n<n ＋ 1(n ∈ N * )，某同学用数学归纳法的证明过程以下：(1)当 n ＝1 时， 12 ＋1<1＋ 1，不等式成立．*2(2)假设当 n ＝ k(k ∈ N 且 k ≥ 1)时，不等式成立，即 k ＋ k<k ＋1，则当 n ＝ k ＋1)＋1，因此当 n ＝k ＋1 时，不等式成立，则上述证法( )．A ．过程所有正确B ．n ＝1 验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理不正确剖析 在 n ＝ k ＋1 时，没有应用 n ＝ k 时的假设，故推理错误．答案 D二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )．用数学归纳法证明不等式 1 ＋1 ＋ ＋ 1＞13的过程中，由 n ＝k 推导 5 n ＋1 n ＋2 n ＋n 24n ＝k ＋1 时，不等式的左侧增加的式子是 ________．剖析 不等式的左侧增加的式子是1 ＋ 1 － 1＝ 1，故2k ＋1 2k ＋2 k ＋1 2k ＋1 2k ＋21 填.2k ＋1 2k ＋21答案2k ＋1 2k ＋26．以以下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n ∈ N *)行，在这些数中非1 的数字之和是 ________________．11 11 2 113 3 114641剖析 所有数字之和 S n ＝ 0＋ ＋ 2 2＋ ＋ n －1＝ n － ，除掉1 的和为 n －1 2 22 2 12－ (2n －1)＝ 2n －2n.答案2n－2n三、解答题 (共 25 分 )． 分 已知 S n＝1＋1＋1＋ ＋ 1， ∈ * ) ，求证：＋n≥ ， ∈ * ．7 (12 )23n (n>1n NS 2n >1 2(n 2 n N )证明1 1 1 252＝ 时命题成立； (1)当 n ＝2 时， S 2n ＝ 4＝ ＋ ＋ ＋ ＝＋ ，即 nS1 2 3 4 12>12 2*1 1 1k(2)假设当 n ＝ k(k ≥ 2， k ∈N )时命题成立，即 S 2k ＝1＋2＋3＋ ＋ 2k >1＋2，1 1 1 1 1 k1 ＋ 则当 n ＝k ＋1 时， S 2k ＋1＝1＋ ＋ ＋ ＋ k ＋ ＋ ＋ >1＋ ＋2 322k＋ 12k ＋12 2k＋ 11＋ ＋ 1 >1＋ k ＋ 2k＝ 1＋ k ＋ 1＝ 1＋ k ＋1，2k＋22k ＋12 2k＋2k2 22故当 n ＝k ＋1 时，命题成立．*n由(1)和(2)可知，对 n ≥ 2，n ∈N .不等式 S 2n >1＋ 2都成立．8．(13 分)已知数列 { a n } ：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝ r ，a n ＋ 3＝a n ＋ 2(n ∈ N * )，与数列 { b n } ：b 1＝ 1，b 2＝ 0，b 3＝－ 1，b 4＝0，b n ＋ 4＝b n (n ∈N * )．记 T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋＋ b n a n .(1)若 a 1＋ a 2＋a 3＋ ＋ a 12＝64，求 r 的值；(2)求证： T 12n ＝－ 4n(n ∈N *)．(1) 解 a 1＋ a 2 ＋ a 3＋ ＋ a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋ 2)＋5＋6＋ (r ＋ 4)＋ 7＋ 8＋ (r ＋ 6)＝48＋ 4r .∵48＋4r ＝64，∴ r ＝4.(2)证明用数学归纳法证明：当 n ∈N * 时， T 12n ＝－ 4n.①当 n ＝1 时， T 12＝a 1－a 3＋a 5－ a 7＋a 9－a 11＝－ 4，故等式成立．②假设 n ＝k 时等式成立，即 T 12k ＝－ 4k ，那么当 n ＝k ＋1 时，T 12(k ＋ 1) ＝T 12k ＋ a 12k ＋ 1－a 12k ＋ 3＋ a 12k ＋ 5－ a 12k ＋7＋ a 12k ＋ 9－ a 12k ＋11＝－ 4k ＋ (8k ＋ 1)－ (8k ＋r)＋ (8k ＋ 4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－ (8k ＋ 8)＝－ 4k － 4＝－ 4(k ＋1)，等式也成立．依照①和②可以判断：当 n ∈ N * 时， T 12n ＝－ 4n.B 级能力打破(时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )．用数学归纳法证明 4＋n 22＝n，则当 n ＝k ＋1 时左端应在 n ＝k11＋2＋3＋ ＋ n2的基础上加上 ()．A ．k 2＋ 1B ．(k ＋ 1)2k ＋ 1 4＋ k ＋ 1 2C.2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ (k 2＋3)＋ ＋ (k ＋ 1)2剖析 ∵当n ＝k 时，左侧＝ 1＋ 2＋ 3＋ ＋k 2，当 n ＝ ＋ 时，左侧＝ ＋ ＋k 1 1 2 3＋ ＋k 2＋(k 2＋1)＋ ＋(k ＋1)2∴当n ＝k ＋1 时，左端应在 n ＝ k 的基础上加上 (k 2＋1)＋ (k 2＋2)＋(k 2＋ 3)＋ ＋(k ＋1)2.答案 D2＋4＋33＋ ＋ n ×3n － 1＝3n－ b) ＋ c 对 2．(2013 ·广州一模 )已知 1＋2×3＋3×3 (na所有 n ∈N * 都成立，则 a 、b 、c 的值为 ( )．1 1 1A ．a ＝2，b ＝c ＝4B ．a ＝b ＝c ＝41C ．a ＝0，b ＝c ＝4D ．不存在这样的 a 、b 、c解 析∵等式对所有n ∈N * 均 成 立 ， ∴n ＝ 1,2,3 时等式成立，即1＝3 a －b ＋c ，1＋2×3＝322a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝333a －b ＋ c ，3a － 3b ＋c ＝1，整理得 18a －9b ＋ c ＝ 7，81a －27b ＋c ＝34，11解得 a ＝2，b ＝c ＝ 4.答案A二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．已知整数对的序列以下： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)， (2,4)， ，则第 60 个数对是 ________．剖析本题规律： 2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；；一个整数 n 所拥有数对为 (n－1)对．n－ 1 n设 1＋ 2＋ 3＋＋(n－ 1)＝60，∴＝60，2∴n＝ 11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12，12＝ 1＋ 11＝2＋10＝ 3＋ 9＝ 4＋ 8＝ 5＋ 7，∴第60 个数对为 (5,7)．答案(5,7)1 *4．已知数列 {a n} 的通项公式 a n＝n＋12(n∈N )， f(n)＝ (1－a1)(1 －a2) (1－a n )，试经过计算 f(1)，f(2)， f(3)的值，推测出 f(n)的值是 ________．剖析1 3－－ 2 ＝1 3 82 4 f(1)＝1－a1＝－＝，＝(11f(1)1－＝×＝＝，1 4 4 f(2) a )(1 a ) · 9 4 9 3 6f(3) ＝ (1 － a1) ·(1－ a2)(1－ a3)＝ f(2) 1－1＝2×15 5f(n)＝·16 3 16＝8，由此猜想，n＋ 2(n∈N* )．2 n＋1答案n＋ 2 *2 n＋1 (n∈N )三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设数列 { a n} 满足 a1＝ 3， a n＋1＝a2n－ 2na n＋2，n＝1,2,3，(1)求 a2， a3，a4的值，并猜想数列 {a n} 的通项公式 (不需证明 )；(2)记 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，试求使得 S n<2n成立的最小正整数n，并给出证明．解 (1)a2＝ 5， a3＝7，a4＝9，猜想 a n＝ 2n＋1.n 3＋2n＋ 12n(2)S n＝＝n＋2n，使得S n<2成立的最小正整数n＝6.下证： n≥6(n∈N* )时都有 2n>n2＋2n.6 2①n＝6 时， 2 >6 ＋2×6，即 64>48 成立；《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法②假设 n＝k(k≥6，k∈N* )时， 2k>k2＋2k 成立，那么 2k＋1＝2·2k>2(k2＋ 2k)＝ k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝ (k＋1)2＋ 2(k＋ 1)，即 n＝k＋1 时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的 n≥6(n∈N*)都有 2n>n2＋2n 成立．6．(13 分 )(2012 安·徽 )数列 { x n} 满足 x1＝0， x n＋1＝－ x2n＋x n＋c(n∈N* )．(1)证明： { x n} 是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求 c 的取值范围，使 { x n} 是递加数列．(1)证明先证充分性，若c<0，因为 x n＋1＝－ x2n＋ x n＋c≤ x n＋c<x n，故 { x n} 是递减数列；再证必要性，若 { x n} 是递减数列，则由x2<x1可得 c<0.(2)解①假设{ x n}是递加数列．由 x1＝0，得 x2＝c， x3＝－ c2＋ 2c.由 x1<x2<x3，得 0<c<1.由 x n<x n＋1＝－ x2n＋x n＋c 知，对任意n≥ 1 都有x n< c，①注意到c－x n＋1＝x2n－x n－ c＋c＝(1－c－x n)( c－x n)，②由①式和②式可得1－c－ x n>0，即 x n<1－ c.由②式和 x n≥0 还可得，对任意n≥1 都有c－ x n＋1≤(1－c)( c－x n)．③屡次运用③式，得c－x n≤(1－c)n－1( c－x1)<(1－c)n－1，x n<1－c和c－x n<(1－c)n－1两式相加，知2 c－1<(1－c)n－1对任意 n≥1 成立．依照指数函数 y＝(1－c)n的性质，得1 12c－1≤0，c≤4，故 0<c≤4.1②若 0<c≤4，要证数列 { x n} 为递加数列，即 x n＋1－x n＝－ x n2＋c>0，即证 x n<c对任意 n≥ 1 成立．1下面用数学归纳法证明当0<c≤4时， x n<c对任意 n≥1 成立．1(i) 当 n＝1 时， x1＝ 0< c≤2，结论成立．《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法(ii)假设当 n＝k(k∈N*) 时，结论成立，即 x n< c.因为函数 f(x)＝－ x2＋x＋c 在区间－∞， 1 内单调递加，因此 x k＋1＝f(x k)<f( c)2＝c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立．故 x n< c对任意 n≥1 成立．2因此， x n＋1＝x n－ x n＋c>x n，即 { x n} 是递加数列．1由①②知，使得数列 { x n} 单调递加的 c 的范围是 0，4 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第四篇 第3讲 三角函数的图象与性质
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第3讲 三角函数的图象与性质A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1. ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )， 得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 326．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析 由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3， 所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案 34三、解答题(共25分) 7．(12分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 答案 A2．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x | ＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________． 解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3， 而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确． ④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确． 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 6．(13分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算
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第1讲 平面向量的概念及其线性运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD →D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD→|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →， 又因为AB→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD→＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC→，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→. 而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第七篇 第4讲 基本不等式
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第4讲 基本不等式A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·宁波模拟)若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为 ( )． A.12B ．1C ．2D ．4解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立． 答案 A2．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )．A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时取等号． 答案 A3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2s sa ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A4．(2013·杭州模拟)设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( )．A ．2B ．4C ．2 5D ．5解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝2a 2＋a －b ＋bab (a －b )－10ac ＋25c 2＝2a 2＋1b (a －b )－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”)＝2a 2＋4a 2－10ac ＋25c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”，故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·浙江)设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105. 答案21056．(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 8 三、解答题(共25分)7．(12分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.8．(13分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D2．(2012·湖南)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba 的最小值为( )．A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析 如图，作出y ＝|log 2x |的图象，由图可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x D x C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m －282m ＋12m －282m ＋12m ·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第八篇 第7讲 立体几何中的向量方法(一)
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第7讲 立体几何中的向量方法（一）A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则 ( )． A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )． A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析 若l ∥α，则a·n ＝0.而A 中a·n ＝－2，B 中a·n ＝1＋5＝6，C 中a·n ＝－1，只有D 选项中a·n ＝－3＋3＝0. 答案 D3．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4)解析 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D. 答案 D4．(2012·全国)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 ( )．A ．2B. 3C. 2D ．1解析 连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，因为AB ＝2，所以AC ＝22，又CC 1＝22，所以OH ＝2sin 45°＝1. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________. 解析 由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255. 答案 －2或2556．在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离． ∵P A ＝PB ＝PC ， ∴H 为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a . 答案 33a三、解答题(共25分)7．(12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1、C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量．解 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4.∴n ＝(－3,2，－4)．8．(13分)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)，A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)， ∴DF →＝(0，2，1) ∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF . 同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )．A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4D ．4，407，－15解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)， 则⎩⎨⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.答案 B2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )．A.216aB.66aC.156aD.153a解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析 以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案 14．(2013·淮南模拟)在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的有____________个．解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． (1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．6．(13分)(2012·湖南)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点． (1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)， P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →·P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|. 由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )， 又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ×16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝13×S×P A＝13×16×855＝128515.。
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第九篇解析几何第1讲 直线方程和两直线的位置关系A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3 解析 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎨⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3.答案 D2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B3．(2013·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A4．(2013·江西八所重点高中联考)“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，此时l 1∥l 2， 所以“a ＝0”是“直线l 1与l 2平行”的充分条件； 当l 1∥l 2时，a (a ＋1)－2a 2＝0，解得a ＝0或a ＝1. 当a ＝1时，l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y －3＝0， 此时l 1与l 2重合，所以a ＝1不满足题意，即a ＝0. 所以“a ＝0”是“直线l 1∥l 2”的必要条件． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝06．(2012·东北三校二模)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 35三、解答题(共25分)7．(12分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.8．(13分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )．A ．4B ．6C.345D.365解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.答案 C2．(2013·长沙模拟)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )．A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析 由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4且c ≠－2， 则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0， 由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a ＝±1. 答案 ±14．(2013·盐城检测)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案 12三、解答题(共25分)5．(12分)已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1)求d 的最小值；(2)当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外．过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值．由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3. (2)当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.6．(13分)已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程． 解 法一 因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得|3－(－1)|2＝|m －(－1)|2，解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.法二 由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.。