高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2

通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图： 画 法
判 定 定 理
垂线 ， 文字表述： 一个平面过另一个平面的 _______ 则这两个平面垂直．
a⊥β ⇒ α⊥ β 符号表示： a⊂α _______
[化解疑难 ] 作二面角的平面角的方法
方法一 (定义法 )：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂 直于棱的射线．
解析：
证法一：利用定义证明．
∵∠ BSA＝∠CSA＝ 60° ，SA＝ SB＝ SC， ∴△ ASB 和△ ASC 是等边三角形，则有 SA＝ SB＝ SC＝ AB＝ AC，令其值 为 a，则△ ABC 和△ SBC 为共底边 BC 的等腰三角形． 如图，取 BC 的中点 D，连接 AD， SD， 则 AD⊥ BC，SD⊥ BC， ∴∠ ADS 为二面角 A－BC－S 的平面角．
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学案· 新知自解
1．理解二面角，面面垂直的概念． 2．掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理． 3．能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题．
二面角 1．二面角 二面角 两个半平面 所组成的图形叫作二面角． 从一条直线出发的_____________ 这条直线 叫作二面角的棱．______________ 这两个半平面 叫作二面角的面． __________ 定义
解析： 由二面角的定义可知，从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫作二面角，所以①不正确；由 a，b 垂直于两个面，则 a，b 都垂直于二面 角的棱，故②正确；对于③，所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不正 确；对于④，由定义可知正确．故选 B.
答案： B
3.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A，B)且 PA＝AC，则二面角 P－BC－A 的大小为____________．
在 Rt△ BSC 中， ∵ SB＝ SC＝ a， 2 BC 2 ∴ SD＝ a，BD＝ ＝ a. 2 2 2 2 在 Rt△ ABD 中， AD＝ a. 2 在△ ADS 中，∵ SD2＋ AD2＝ SA2， ∴∠ ADS＝ 90° ， 即二面角 A－BC－ S 为直二面角， 故平面 ABC⊥平面 SBC.
证法二：利用判定定理． ∵ SA＝ AB＝ AC， ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心． ∵△ BSC 为直角三角形， ∴ A 在△ BSC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点． ∴ AD⊥平面 SBC. 又∵平面 ABC 过 AD， ∴平面 ABC⊥平面 SBC.
[归纳升华] 1.对平面与平面垂直的判定定理的认识： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平 面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面 面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 的六个面中，与面 ABCD 垂直的面有 ( A．1 个 C．4 个 B．3 个 D．5 个
)
解析： 与面 ABCD 垂直的面有面 ABB1A1，面 BCC1B1，面 CDD1C1，面 DAA1D1，共 4 个．
答案：
C
2．下列说法： ①两个相交平面组成的图形叫作二面角； ②两条异面直线分别和一个二面角的两个半平面垂直，则这两条异面直线所 成的角与二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发， 分别在两个半平面内作射线所成的角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是 ( A．①③ C．③④ ) B．②④ D．①②
如图①，∠AOB 为二面角 α－a－β 的平面角． 方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半 平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角 . 如图②，∠AOB 为二面角 α－l－β 的平面角． 方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足 作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图③，∠AFE 为二面角 A－ BC－ D 的平面角.
解析：
由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，
又 PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， ∴∠PCA 为二面角 P－BC－A 的平面角． 在 Rt△PAC 中， 由 PA＝AC 得∠PCA＝45° .
答案：
45°
教案· 课堂探究
平面与平面垂直的判定 多维探究型 如图，已知∠BSC＝90° ，∠BSA＝∠CSA＝60° ，又 SA＝SB＝SC， 求证：平面 ABC⊥平面 SBC.
2垂直，实质上是把问题转化成了求二面角 的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂 直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中 一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 .
1．在四面体 ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，且 E，F 分别是 AB，BD 的 中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD.
∠AOB 叫作二面角的平面角 构成的_________
图形语言
符号语言
OB⊥l ⇒∠AOB OA⊥l ，_________ α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，_________
为二面角 α－l－β 的平面角
平面与平面垂直 平面与平面垂直
直二面角 ，就说这两个平面 定 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 __________ α⊥ β 义 互相垂直，记作： _______
P－AB－Q或_______________ 二面角α－l－β 或二面角 二面角P－l－Q 如图， 记作： ________________ _______________
范围 0° ≤θ≤ 180°
2.二面角的平面角 在二面角 α－l－β 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面
垂直 于棱 l 的______ 射线 OA 和 OB， 文字语言 α 和 β 内分别作______ 则射线 OA 和 OB