河北省大城县第一中学高三数学3月月考

廊坊市大城县第一中学3月月考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，将答题卷交回．
第I 卷（选择题，共 60 分）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟。

一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1、已知正三角形AOB的顶点A,B在抛物线上，O为坐标原点，则
（）
A． B． C． D．
2、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品
和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
3、设圆的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )．
A． B.
C. D.
4、如图，在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（）
A. B. C.
D.
5、已知函数，则的值为（）
A. B. C.
D.
6、已知椭圆与曲线的离心率互为倒数，则（）
A.16
B.
C.
D.
7、设，则，，，中最大的一个是（）
A. B. C. D.
8、在中, ，,点在上且满足,则
等于( )
A． B． C．
D．
9、以下说法错误的是……………………………………………………………………（）A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
10、已知四面体OABC中，OA、OB、OC两两相互垂直，，，D为四面体OABC
外一点．给出下列命题：①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；③存在点D，使CD与AB垂直并相等；④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上．则其中正确命题的序号是（）
A.①②
B.②③
C.①
③ D.③④
11、设点、、且满足，则取得最小值时，点B的个数是（）
A.1个
B.2个
C.3
个 D.无数个
12、若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )．
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
第Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）
二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分
13、设，当时，恒成立，则实数的
取值范围为。

14、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，的平分线分线段
的比为5∶1，则双曲线的离心率的取值范围是．
15、极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为；
16、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为. 若要使该总体的方差最小，则的取值分别
是
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步赚．17．（本题满分 12 分）
已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.
18．（本题满分 12 分）
如图，平面AEB，，，，，,，G是BC的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
19．（本题满分 12 分）
已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线与双
曲线右支交于点．
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）求面积的最小值．
20．（本题满分 12 分）
在锐角△中，、、分别为角、、所对的边，且
（1）确定角的大小；
（2）若,且△的面积为,求的值．
21．（本题满分 12 分）
已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.
（1）求圆C的方程.
（2）若直线与圆C相切，求的最小值.
请考生在第 22 、 23 、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本题满分 10 分）选修 4 一 l ：几何证明选讲
设函数，，，
且以为最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．
23．（本题满分 10 分）如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆
上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点
是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
24．（本题满分 10 分）设函数.
(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;
(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围; (III)当时,求函数在区间上的最大值
廊坊市大城县第一中学2月月考数学试题
参考答案
一、选择题
1、C
2、解析：记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%
＝0.92.
答案：C
3、D
4、 D
5、B
6、B
7、C【解析】含限定条件的不等式比较大小的问题，最有效的方法为特殊值法，取，得最大，故选C.
8、D 9、C 10、D 11、B
12、解析函数y＝x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.
答案 B
二、填空题
13、时，
14、
15、；
16、
三、解答题
17、解：设
∵在上是减函数，在上是增函数
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴∴解得
经检验，时，满足题设的两个条件.
18、解：（Ⅰ）以为轴建立坐标系如图所示，
则，，，，故：
，，
∴
（Ⅱ）设平面GED的一个法向量为，则
，平面FED的一个法向量为
∴，二面角为锐角，其大小为
．
19、解：（Ⅰ）由题设，，，设双曲线的一条渐近线方程为：，与右
准线的交点，则，∴，所求双曲线的方程是
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，设直线的方程为，
由，设，则
，且
，
∴
，令，∴
，而在上为减函数，∴当时有最大值1，面积的最小值为18．
20、解：（1）由得
sinA=2sinC sinA
=2 sinC C=- (2)由（1）知sinC=
又△的面积为
21、解.（I）设圆C半径为，由已知得：
∴，或
∴圆C方程为.
(II)直线，∵
∴∴
左边展开，整理得，∴
∵，∴，
∴∴
∵∴，∴
选做题
22、
（2），，所以的解析式为：
（3）由得，即
，
23、【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，
所以a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.
故椭圆的标准方程为＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦
点，
所以m＝2，
因此双曲线的标准方程为＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则k1＝，k2＝.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，
所以x－y＝4.
因此k1·k2＝·＝＝1，
即k1·k2＝1.
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得
(2k＋1)x2－8k x＋8k－8＝0，
显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.
由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝.
同理可得|CD|＝.
则，
又k1·k2＝1，
所以. 故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
24、解:(I).
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且
,
即,且,
解得.
(II)记,当时,
,
,
令,得.
当变化时,的变化情况如下表:
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,
①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;
②当且,即时,在区间上单调递增,在区间
上单调递减,所以在区间上的最大值为；
当且,即时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；。