4.2.3 直线与圆的方程的应用

点坐标公式，有：
a xE 2
ac xO ' xM 2
d yE 2
bd yO ' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分
别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A（a， 0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接 圆的圆心
试帮陈师傅求出这个零件的半径．
A
N B M
解：以 AB 中点 M 为原点，建立如
图所示的平面直角坐标系，由已知有
A(－4，0)，B(4，0)，N(0，2)．
设过 A，B，N 的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 代入 A，B，N 的坐标，可得
D 0， 16 4 D F 0， 16 4 D F 0， 解得 E 6， F 16. 4 2 E F 0，
2 2 2 b 10.5, 0 (4 b) r , 2 解得： 2 2 2 2 10 b r , r 14.5 ,
所以，圆的方程为： x2 ( y 10.5)2 14.52 把 P2 的横坐标 x 2 代入 圆的方程得：
(2)2 ( y 10.5)2 14.52
将半径也用a表示，进而利用弦长，弦心距，半径三者
的关系，构建方程求解.
解：设所求直线的方程为x+y+m=0,圆心(a,0)，由题意
a 1 2 2 知： ( ) 2 a 1 , 解得a=3或a=-1,又因为圆心在 2 x轴的正半轴上，∴a=3,故圆心坐标为(3，0)，而直线
x+y+m=0过圆心(3，0)，∴3+0+m=0，即m=-3,故所求直
第二步： 通过代数运算，解决代数问题． 第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结 论．
已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线 l: y=x-1被圆C所截得的弦长为 2 2， 则过圆心且与直线 l 垂直的直线方程为_______. 分析：关键是设出圆心坐标(a,0)，并利用圆过点(1，0)
由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m)
答：支柱A2P2的高度约为3.86米。
思考：不建立
坐标系,如何 解决这个问题?
H
C
B
解法如下
在 Rt COA 中 CA CO OA ， 作 P 2 H OP
2 2 2
即 r (r 4) 10 得 r 14.5.
2 2 2
得 CH 中， 在 Rt CP 2H
直线与圆的方程的应用
知识回顾
一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(xa)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为
d
位置 d与r的大小关系
| Aa Bb C | A B
2 2
则
相切 d=r 相交 d<r
相离 d>r
图形
d
r
d
r
d

交点个数
0个
1个
2个
15 3 3 , )， 7 7
直线PC的斜率 k PC 因为 kPC k AD
3 ， 9
3 3 3 1， 所以 AP CP. 9
1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面
直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几
何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问 题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要, 但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.
2
r OA2
2
2
206.25，
H
又 OC 14.5 4 10.5,
OH CH OC 3.86.
所以支柱A2P2的高度约是3.86m.
C B
某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图 所示的一部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个 这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在 零件上画了一条线段 AB，并作出了 AB 的垂直平分线 MN，而且测得 AB＝8 cm，MN＝2 cm．根据已有数据，
O 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，
则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点， 由中点坐标公式，有： 第一步:建立坐 标系，用坐标 表示有关的量.
a xE 2
xM xO ' ac 2
d yE 2
第二步:进行有 bd yN yO ' 关代数运算. 2
由两点间的距离公式，有：
线的方程为x+y-3=0.
答案：x+y-3=0
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有 1 1 BD BC , CE CA , AD,BE相交于点P． 3 3 求证： AP CP.
A P B
E
D
C
解：以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段 1 BD 为单位长， 建立如图所示的坐标系，则
不要垂头丧气，即使失去一切，明天 仍在你的手里。
O'E
1 2 d bd 2 a ac 2 2 b c ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2
第三步:把代数 运算结果翻译成 几何关系.
BC b2 c2，
1 所以 O ' E BC ， 2
即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”： 第一步： 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问 题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．
判断直线和圆的位置关系 几何方法 代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a )2 ( y b )2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
px 2 qx t 0
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
A
y
N
┐
B x
M
因此所求圆的方程为
x2＋y2＋6y－16＝0， 化为标准方程是 x2＋(y＋3)2＝52， 所以这个零件的半径为 5 cm．
A
y N
┐
B x
M
例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证 圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”，首先要考虑 的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？
际问题——利用圆的方程求点A2，P2的坐标，从而求线段
A2P2的长，解释实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2. 解：建立如图所示的直 角坐标系，使圆心在y 轴上，设圆心的坐标是 （0，b），圆的半径为 r，那么圆的方程为： A x2＋（y－b）2＝r2，
y
P2
P
x
A1
A2 O A3
A4
B
点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以，有
A(3,3 3), B(0,0), C(6,0), D(2,0), E(5, 3)
2
y
直线AD的方程为 y 3 3( x 2)
3 直线BE的方程为 y ( x 5) 3， 5
A
P
E
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 3 3 ,y ， 7 7
BO D
C x
所以点P的坐标是 (
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆 拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要 用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.
P2 P
A
A1
A2 O A3
A4
B
分析：建立如图所示的直角坐标系，把实际问题转化为数 学问题——求出圆拱桥所在的圆的方程；然后解决这个实
如图所示
y
O
x
探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(a，0)，
B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
B
y M A x N
BC c 2 b 2
C
O
D
探究：四边形ABCD的外接圆圆心O′的坐标如何表示？
B C N D
O
y
M O' E
A
x
过四边形外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂 足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，由中