表2 斜率图 三合同
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苏教版高中数学必修二直线与方程直线的斜率文字素材
直线斜率的几种求法斜率是直线的要素之一，求斜率是求直线方程的必要步骤，求出斜率就相当于直线问题解决了一半，下面介绍几种求直线斜率的方法。
一、利用直线上两点求斜率例1、已知直线l 过点(02)M ，且与以两点(14)(31)A B ，，，为端点的线段AB 相交，求直线l 斜率的范围． 解：如图42210MA k -==-，121303MB k -==--， 作直线MC 使0MC k =，根据题意可知直线l 斜率的范围为123k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 点评：本题利用数形结合先求出“临界值”2MA k = ，13MB k =-，然后用运动变化观点求出k 的范围。
一般地，求经过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)(且x 1≠x 2)的直线斜率，可用公式1212x x y y k --=。
二、利用直线的倾斜角求斜率例2、已知过A(3,-5)、B(0,-9)两点的直线的倾斜角为θ，直线l 的倾斜角与2θ互为补角，求直线l 的斜率k 。
解：由题意得3434tan πθπθ<<=，故 则直线l 的倾斜角为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,32ππθπ ∴()724tan 1tan 22tan 2tan 2=--=-=-=θθθθπk 。
点评：本题是利用直线斜率与倾斜角的关系求解的，当直线l 的倾斜角为 (θ≠900)时，直线l 的斜率θtan k =。
三、利用直线的方向向量求斜率例3、已知A(7,1)、B(1,4)，直线y=ax 的方向向量是AB ，求a 。
解：∵AB =(-6,3)∴a=－21 点评：直线的方向向量确定了直线的斜率，当直线l 的方向向量为()n m ,=且m ≠0时，直线l 的斜率mn =k ，当m=0时直线的斜率不存在。
四、利用直线位置满足有关要求解得斜率例4、若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点，则k 的取值范围是____________. 解：y=|x|是第一、二象限角的平分线，直线y=kx+1是过定点（0，1）的直线系方程，由图象易知－1<k<1.例5、已知点P （2，－1），求过P 点与原点距离为2的直线l 的斜率。
2024-2025学年高中数学选择性必修第一册(湘教版)配套课件第2章-2.1直线的斜率
π
3
或
3π
4
≤ <π .
高中数学
选择性必修第一册
湖南教育版
例4 已知直线1的倾斜角＝30°，且2 ⊥ 1，求直线1和2的斜率.
解：依题意画图（如图所示），由于直线1的倾斜角＝30°，且2 ⊥ 1，
则直线2的倾斜角＝120°.
于是，直线1的斜率1 = tan30° =
直线2 的斜率2 = tan120° = − 3.
在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，把轴正向绕交点逆时针旋转到与直线向上方
向首次重合所成的角叫作直线的倾斜角.
y
α' l
l'
3
0
α3
.P
l2
l1
α2
x
l
规定：当直线与轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°.
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选择性必修第一册
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倾斜角的范围：ሾ0，πሻ
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角与之对应，直线的倾斜角刻画了
3π
.
4
（3）由直线的一个方向向量为1 2 ＝
π
又因为0 ≤ < ，所以＝ .
6
2 3
2, 3
，可得斜率＝
2 3
3
2
3
＝3，
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跟踪训练
1. 如图，已知(3,2ሻ, (−4,1ሻ, (0， − 1ሻ，求直线, , 的斜率，
并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
12
1
43
7
11
1
0 (4)
2
解：直线AB的斜率k AB
2.1直线的斜率课件高二上学期数学选择性
何意义结合图形特征求解.
解 如图.由
1-(-1)
3-(-1)
Q(-1,-1)及已知条件可知,kQA=1-(-1)=1,kQC=2-(-1)
+1
由+1 表示点
P(x,y)与点
1
Q(-1,-1)两点连线的斜率可知2
+1
1 4
所以 的取值范围是[ , ].
+1
2 3
≤
=
+1
+1
4
1-(-1)
,k
π
3π
α+4 ;当 4 ≤α<π
时,为
3π
α- 4
解析 根据题意,画出图形,如图所示.
通过图形可知,当
3π
0≤α< 4 时,l1 的倾斜角为
π
α+4 ;
3π
π
3π
当 ≤α<π 时,l1 的倾斜角为 +α-π=α- ,故选
4
4
4
D.
探究点二 斜率公式及其应用
角度1根据斜率公式求斜率
【例2】 已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
π
2
倾斜程度越大.
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是直线上的一个定点
以及它的倾斜角,二者缺一不可.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于平面直角坐标系中的每一条直线与其倾斜角α是一一对应关
系.( × )
(2)若一条直线的倾斜角α=0,则该直线与x轴平行.( × )
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角?
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角?
北师大版选择性必修第一册 1-1-2第1课时 直线的倾斜角和斜率 课件(50张)
了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度” 是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
内容索引
一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 三、倾斜角和斜率的应用
随堂演练
课时对点练
一、直线的倾斜角
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
问题2
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆
时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
√A.α＋45°
√B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
解析 根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知， 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
例2 满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率. (1)经过点A(2,3)，B(4,5)； 解 存在.直线 AB 的斜率 kAB＝54－－32＝1. (2)经过点C(－2,3)，D(2，－1)； 解 存在.直线 CD 的斜率 kCD＝2－－1－－32＝－1. (3)经过点P(－3,1)，Q(－3,10)；
知识梳理
_k_＝__yx_22－－__yx_11_(_其__中__x_1_≠__x_2)_为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的 斜率. 注意点： (1)k的大小与两点P1，P2的位置无关. (2)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在. (3)斜率不存在的直线的倾斜角为90°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
综合运用
11.(多选)下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为
内容索引
一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 三、倾斜角和斜率的应用
随堂演练
课时对点练
一、直线的倾斜角
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
问题2
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆
时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
√A.α＋45°
√B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
解析 根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知， 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
例2 满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率. (1)经过点A(2,3)，B(4,5)； 解 存在.直线 AB 的斜率 kAB＝54－－32＝1. (2)经过点C(－2,3)，D(2，－1)； 解 存在.直线 CD 的斜率 kCD＝2－－1－－32＝－1. (3)经过点P(－3,1)，Q(－3,10)；
知识梳理
_k_＝__yx_22－－__yx_11_(_其__中__x_1_≠__x_2)_为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的 斜率. 注意点： (1)k的大小与两点P1，P2的位置无关. (2)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在. (3)斜率不存在的直线的倾斜角为90°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
综合运用
11.(多选)下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为
最新直线的倾斜角与斜率-说课稿优质课ppt课件
主要 活动：
主要 活动：
主要 活动：
1、公司安排分析 2、采购状况分析 3、财务状况分析 4、安全库存分析 5、汇总编制采购计划 （包含全面预算）
6、提交采购计划书供 决策层审批
7、制订非正常采购计 划调整
1、采购任务 分工 2、月度计划 细化 3、下达采购 任务计划 8、非正常采 购任务计划调 整
教学 设计问题 过程 层层探究
思考1 在平面直 思考2 生活中还有
角坐标系内如何 没有其它表示倾斜
确定一条直线？
程度的量？
思考思2考生3 活已中知还直有线没上有两其点它的表坐示标倾如斜何程求度斜的率量？？
公式生成
教学 设计问题 过程 层层探究
思考1 在平面直 思考2 生活中还有
角坐标系内如何 没有其它表示倾斜
主要 活动：
1、采购任务分工 2、月度计划细化 3、下达采购任务 计划 4、非正常采购任 务计划调整
主要 活动：
1、供应商信 息收集调研 2、供应商初 步选择 3、意向洽谈 4、供应商确 定 5、合同谈判 6、合同签定
主要 活动：
1、按照采购 计划采购 2、保存好采 购单据
到货验收
主要 活动：
1、与供应方 共同验货
过程 k
y2 x2
y1 x1
分析
办公用品（总务科）采购流程分析
采购计划 采购任务安排 采购前期工作
主要 活动：
1、公司安排分析 2、各部提出办公用品使用 申请 3、生产状况分析 4、采购状况分析 5、财务状况分析 6、安全库存分析 7、汇总编制采购计划（包 含全面预算） 8、提交采购计划书供决策 层审批 9、制订非正常采购计划调 整
则 m =(
)
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
高中数学苏教版必修二《直线的斜率》课件
• 二级 y
k>0
y
k<0
• 三级
p
直线从左下
p
直线从左上
• 四级
• O五级
x 方向右上方
倾斜
O
方向右下方 x 倾斜
（1）
（2）
. y p
O
（3）
k=0
直线与x轴 平行或重合
x
y
.p
O
（4）
x
k不存在
直线垂直 于 x轴
2023/9/15
14
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直线斜率的运算
• 单击此处编辑母版文本样式
3.直线的斜率公式的实际运用,体现了平面解析 几何的本质是:用代数方法研究图形的几何性质， 体现了数形结合的重要数学思想。
2023/9/15
24
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课本P • 二级
• 三级
72
练习1、2、4
• 四级
直线• 五l级过点M(-1,1)且与以P(-2,2)Q(3,3)为两端点的
如何建造曲线优 美的现代化立交 桥
2023/9/15
4
单击此解处析编几何辑的母本质版标题样式
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• 二级
用代数的方法
• 三级
• 四级
• 五级
平面直角 坐标系
பைடு நூலகம்
法国数学家(1596-1650)
解析几何学的创建者
2023/9/15
研究 几何性质
5
单击此处编辑母肯定版直标线题的样要式素
• 四级 斜率为2
问题• 7五：级直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到直 线l1,则l1的斜率为多少?
直线的斜率PPT课件
当 为 ,我 钝 t们 a = 角 n ta 1 0 规 n 时 8 . 0 定
因,此 当直x线 轴与 不垂 ,直直 线时 的 k与 斜 倾 率
斜角 之间满 k=足 tan.
16
两点的斜率公式
1．已知直线上两点 P 1(x1,y1)P ,2(x2,y2)，运用上述公式 计算直线 AB斜• 率时，与P1, P2 两点坐标的顺序有关吗？
20
• P70: 1, 2， 3, 4
21
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
22
P(x ,y ) 1 1 x2-x1 yy2-2y-y1 1
x2-x1
O
x
坡度＝ 高度
y2 y1
宽度
x2 x1
6
对于一条与x轴不垂直的定直线
y 2 的y 1 值与P、Q两点的位置有关吗?
x2 x1
y
Q’
Q
P’ P
M’
M
y 2 y 1 是一个定值 x2 x1
o
x
7
直线斜率的定义
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，
无关
2．当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还 适用吗？为什么？
不适用
17
两点的斜率公式
x 当直线 P2 P1与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
为什么？
成立
经过两点 P 1 (x 1 ,y 1 )P 2 ,(x 2 ,y 2 )x 1 ( x 2 )的直线的
斜率公式为：
tan= y2 y1.
y 如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率为：
Q(x2, y2 )
k＝ y 2 y 1 x2 x1
( x1 x2 )