2019-2020学年高中数学 函数的奇偶性学案2 新人教A版必修1 .doc
2019-2020学年新人教A版必修一 3.2.2 奇偶性 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 3.2.2 奇偶性 教案（一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． ⑹对称性关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。
（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．函数的周期性（一） 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期． 2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）， ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；（二）主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．板块一.函数的奇偶性与对称性题型一：判断函数奇偶性判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．【例1】 判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=．【难度】 2【解析】⑴ 对于函数4()f x x =，其定义域为(,)-∞+∞．因为对定义域内的每一个x ，都有44()()()f x x x f x -=-==， 所以函数4()f x x =为偶函数．类似地，⑵为奇函数；⑶为奇函数；⑷为偶函数．【例2】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．【难度】 4【解析】⑴ 函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞∵222222221(1)1()()1(1)1x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ++⋅+-====---⋅- ∴函数221()1xxa f x a+=-为奇函数； ⑵ 由1010x x -⎧⎨-⎩≥≥，得1x =，∴函数的定义域为{1}．由于函数的定义域不关于原点对称，∴()f x =⑶ 函数的定义域为R ，且22()()5||5||()f x x x x x f x -=-+-=+=∴函数2()5||f x x x =+为偶函数．2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；典例分析（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．【例3】 已知()f x =，)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为（ ）．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【难度】 6 【解析】B ．首先求两函数的定义域，对()f x 有210|2|20.x x ⎧-⎨+-⎩≥，≠得110 4.x x x -⎧⎨⎩≤≤，≠且≠故定义域为(10)(01)-，，．又()g x 的定义域为R ，故乘积函数的公共定义域为(10)(01)-，，． 取(10)(01)x ∈-，，，有|2|222x x x +-=+-=，得()f x =()()f x f x -=-．又()()g x g x -+))lglgx x=+)lgxx=lg10==，有()()g x g x -=-．得()()()F x f x g x -=--[][]()()f x g x =-- ∴()()()f x g x F x =．按定义，()F x 在(10)(01)-，，为偶函数．又由于()F x 不恒为0，故不会又是奇函数．【例4】 已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21x F x f x =+-（x ≠0）是偶函数，且()f x 不恒为0，判断()f x 的奇偶性．【难度】 6【解析】由题意可得()()F x F x -=，即22(1)()(1)()2121x x f x f x -+-=+-- 化简可得：1221()()1221x x x x f x f x ++-=--，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数．题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式．【例5】 函数()f x =a 的取值范围是（ ）．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【难度】 4【解析】C ．充分性．若0a >，则()f x 的定义域为[0)(0]a a -，，．这时()f x =，显 【例6】 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【难度】 4【解析】解一：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2).∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.解二：当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【备注】 此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【例7】 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．【难度】 4【解析】()(1f x x =-．设(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞∴()(1f x x -=-+∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()(1f x f x x -=-=-∴()(1f x x =（(,0)x ∈-∞）．2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f (x)=12[F (x)+G(x)] 其中F (x) =f (x)+f (-x),G(x) =f (x)－f (-x) 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．【例8】 定义在R 上的函数f (x)=22x xx 1++，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．【难度】 6【解析】∵f (x)=22x x x 1++∴g(x)= f (x)+ f (-x)= 22x x x 1+++22x -x x 1+=222x x 1+h(x)= f (x)－f (-x)= 22x x x 1++－22x -x x 1+=22xx 1+3.利用函数奇偶性求函数值【例9】 已知f （x ）,.10)2(832=-+++=f bx ax x 且求f (2). 【难度】 4【解析】设53()g x x ax bx =++，则()()8f x g x =+，()g x 是奇函数()()8f x g x =+， (2)(2)810f g ∴-=-+= (2)2g ∴-=，(2)(2)2g g =--=- (2)(2)8286f g ∴=+=-+=【备注】 挖掘f (x )隐含条件，构造奇函数g (x )，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.【例10】 已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是（ ）． A ．5-B ．-3C ．3D ．随a 、b 、c 而变【难度】 6【解析】C ．由于函数(ln y x =+是奇函数．所以(()ln g x ax c x =++是奇函数，即()4f x -是奇函数．又35(lg log 10)f =1(lg lg 3)(lg lg3)f f -==-， 则(lg lg3)4((lg lg3)4)1f f -=---=-．题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例11】 已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【难度】【解析】结合偶函数的图象特征可得：偶函数函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 在(,0)-∞上是增函数．对奇函数有，在对应的区间上的单调性相同．设120x x << ，则120x x ->->，由()f x 在(0,)+∞上是减函数得：12()()f x f x -<-， 又()f x 是偶函数，故12()()f x f x <， 所以，()f x 在(,0)-∞上是增函数．【例12】 已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =，解不等式41(log )0f x -<≤，【难度】【解析】第一问只需按照函数单调性的定义证明即可；第二问需要先找到－1和0对应的自变量的值，然后按照函数的单调性来解不等式． ⑴取120x x <<，则120x x ->->， 由()f x 在(0)+∞，上是增函数，可得：12()()f x f x ->-．又∵函数()f x 是奇函数，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(0)-∞，上是增函数．⑵由题意可得：11()()122f f -=-=-，(0)0f =．原不等式可化为41()(log )(0)2f f x f -<≤．又∵()f x 在(0)-∞，上是增函数，∴41log 02x -<≤，即112x <≤．∴原不等式的解集为1{|1}2x x <≤．2.函数对称性【例13】 设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____． 【难度】【解析】因为此函数的图象关于2x =对称，所以它与x 轴的交点也关于直线2x =对称，交点的横坐标对应方程的根，从而两根之和为4．3.利用函数奇偶性证明整除问题【例14】 试证1991)19911()19911(19901990--+是整数.【题1】上例可推广为：设m 、n 为自然数，证明mm m nn )1()1(--+是整数.【难度】【解析】证明：令上的奇函数为易证记R x f R x x x x f x m n n )(,,)1()1()(,∈--+==，故f (x )是x 的奇次幂的整系数多项式，那么()f x x是x 的偶次幂的整系数多项式，故mm m nn )1()1(--+是整数.【备注】 本证明构造奇函数f (x )，利用奇函数性质得出证明，比利用二项式定理证明简捷.板块二.函数的周期性题型一：求周期问题【例15】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数D. 周期为40的偶函数【难度】 2 【解析】C【例16】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【难度】 4【解析】错解：因为函数tan y α=与函数cot y α=的最小正周期都是π ，因此，函数tan cot y αα=-的最小正周期是π 。
2019-2020学年高中数学 函数的奇偶性教案 人教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学函数的奇偶性教案人教版必修1一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 .1. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.2. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.3. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.1. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法 .2. 教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性 .3. 教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.4. 为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.三. 教学内容及课时安排建议本章教学时间约13课时。
其中1.3 函数的性质占3课时。
本次集体备课着重分析第二课时《函数的奇偶性》。
一．教学目标1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．二．教学重点和难点：教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式三．学法与教学用具学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．教学用具：三角板投影仪四．教学思路通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．（二）研探新知函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=- 解：函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x=+ （4）21()f x x = 解：（略）小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：①()(4)(4)f x lg x g x =++- ②2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．解：（1）{()f x x x 的定义域是|4+＞0且4x -＞}0={|4x -＜x ＜}4，它具有对称性．因为()(4)(4)()f x lg x lg x f x -=-++=，所以()f x 是偶函数，不是奇函数． （2）当x ＞0时，－x ＜0，于是2211()()1(1)()22g x x x g x -=---=-+=- 当x ＜0时，－x ＞0，于是222111()()11(1)()222g x x x x g x -=-+=+=---=- 综上可知，在R －∪R +上，()g x 是奇函数． 例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 41思考题：规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．证明：（略）小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（四）巩固深化，反馈矫正．（1）课本P 42 练习1．2 P 46 B 组题的1．2．3（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+④())f x lg x =。
2019-2020学年新人教A版必修一 函数的奇偶性 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 函数的奇偶性 教案考点一 函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．函数奇偶性的判定的三种常用方法1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二函数的周期性|设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 015)＋f(2 017)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f (2 017)＝f (1)＝log 22＝1，f (－2 015)＝f (2 015)＝f (3)＝－1f (1)＝－1，∴f (－2 015)＋f (2 017)＝0. 答案：0考点三 函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．已知奇偶性求参数．2．利用单调性、奇偶性求解不等式． 3．周期性与奇偶性综合．4．单调性、奇偶性与周期性相结合． 探究一 已知奇偶性求参数1．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 答案：1探究二 利用单调性、奇偶性求解不等式 2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f (x )是单调递增的，故f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)，∴|x |>|2x －1|，解得13<x <1，故选A.答案：A探究三 周期性与奇偶性相结合3．(2015·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 答案：A探究四 单调性、奇偶性与周期性相结合4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数， 则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． 答案：D函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.[思路点拨] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[解析] 易知f (x )＝1＋2x ＋sin xx 2＋1.设g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )是奇函数．∵f (x )的最大值为M ，最小值为m ， ∴g (x )的最大值为M －1，最小值为m －1， ∴M －1＋m －1＝0，∴M ＋m ＝2. [答案] 2[方法点评] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．[跟踪练习] 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( )A ．－26B ．－18C ．－10D ．10解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8知f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx ， 令F (x )＝f (x )＋8可知F (x )为奇函数， ∴F (－x )＋F (x )＝0.∴F (－2)＋F (2)＝0，故f (－2)＋8＋f (2)＋8＝0. ∴f (2)＝－26. 答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·陕西一检)若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2．(2015·唐山一模)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0D ．2log 213解析：由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x ＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12－1＋f ⎝⎛⎭⎫－12－1＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝2. 答案：A3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1，故选D.答案：D4．在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当0<x ≤1时，f (x )＝2x ，则f (2 015)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数的周期为3，所以f (2 015)＝f (672×3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.答案：A5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0，或x >1}B ．{x |x <－1，或0<x <1}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |－1<x <0，或0<x <1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，从而有函数f (x )的图象如图所示： 则有不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为 {x |－1<x <0或0<x <1}，选D. 答案：D6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1.答案：17．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－18．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，由③知f (x )在[1,3]上是减函数．所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)＝f (2)，f (2 017)＝f (1)，所以f (1)>f (2)>f (3)，即f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)．答案：f (2 017)>f (2 016)>f (2 015) 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集． 解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12>0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12<0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.答案：C2．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12， ∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A. 答案：A3．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 为偶函数，只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4．(2015·高考天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1，当x ∈[0，＋∞)时，f (x ) ＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .答案：C5．(2015·高考湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln 1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫21－x－1，易知y＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.答案：A。
2019-2020年高中数学1.3.2函数的奇偶性教学设计新人教A版必修1
2019-2020年高中数学1.3.2函数的奇偶性教学设计新人教A版必修1【教学设计】1.学情调查，情景导入情景1：生活中，哪些几何图形体现着对称美？情景2：我们学过的函数图象中有没有体现着对称的美呢？情景3：引导学生从对称角度将所说的函数图象进行分类比较。
2.问题展示，合作探究问题1：根据函数的解析式，结合函数的图像通过求值观察并总结出规律。
(设计这个问题有这样的目的：通过直观图像帮助学生更好的找出规律一是从图象的角度作出判断；二是从“数的方面”论证概念创设教学情景.)问题2：“能不能从函数解析式的角度来描述函数图象的对称性？如果能，该怎么解决？学生会选取很多的x的值，得到结论。
追问：这些x的值能不能代表所有x呢？借助课件演示，引导学生进行代数式推导，再次得出结论f(-x)=-f(x).(强调x是定义域内任意值，帮助学生完成由特殊到一般的思维过程)用数学符号表示奇函数的严格定义。
问题4：让学生用自己的语言描述对偶函数的认识。
(从形和数两方面)问题5：结合课本中的材料，仿照奇函数概念的建立过程，学生独立去建立偶函数的概念。
3.归纳概括，精致概念(此时，大部分学生已经有了如何判断函数奇偶性的意识，只是不太确定。
）问题6：通过具体例题的判断总结如何判断函数的奇偶性(设计这个问题的目的:一来是为学生强调判断函数奇偶性的方法;二来强调判断函数奇偶性的一个先决条件：“定义域必须关于原点对称”)。
问题6：在学习函数奇偶性的概念中有哪些几个注意的地方？问题7：我们经历了函数单调性和奇偶性概念的学习过程，谈谈你对这两个概念的认识？(引导学生进一步精致所学概念：认识单调性、奇偶性都是描述函数整体特征的，都必须在整个定义域范围内进行研究；引导学生对定义中“任意”的理解；引导学生认识到函数图象是函数性质的直观载体；)最后布置思考题：1、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）是偶函数知识梳理，归纳总结由学生总结完成 .。
2019-2020学年新人教A版必修一 奇偶性的应用 学案
第2课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法；2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式；3.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解．知识点一 用奇偶性求解析式思考 函数f (x )在区间[a ，b ]上的解析式与该区间函数图象上的点(x ，y )有什么关系？ 答案 满足y ＝f (x )．一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式．如果该等式同时满足两个条件：①定义域符合要求；②图象上任意一点均满足该式．如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间 [－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ，－y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式． 知识点二 奇偶性与单调性思考 观察偶函数y ＝x 2与奇函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？答案 偶函数y ＝x 2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．一般地，(1)若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上是增函数，且有最小值－M .(2)若偶函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 知识点三 奇偶性的推广思考 (1)f (－x )＝－f (x )⇔⎩⎨⎧－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝0⇔y ＝f (x )关于(0,0)对称；那么f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔⎩⎨⎧a －x ＋a ＋x2＝a ，f (a －x )＋f (a ＋x )2＝0⇔y ＝f (x )关于________对称；(2)f (－x )＝f (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋x 2＝0，f (－x )＝f (x )⇔y ＝f (x )关于直线x ＝0对称；那么f (a －x )＝f (a ＋x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋a ＋x 2＝a ，f (a －x )＝f (a ＋x )⇔y ＝f (x )关于直线________对称． 答案 (1)(a,0) (2)x ＝a类型一 用奇偶性求解析式例1 (1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 (1)设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，f (x )＝－x －1. (2)∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.① 用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，②(①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．解(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2(－x)＝－2x，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x，∴当x<0时，f(x)＝2x.又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0也适合上式．∴f(x)＝2x，x∈R.(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x，∴f(x)－g(x)＝－2x，②(①＋②)÷2，得f(x)＝0；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.类型二奇偶性对单调性的影响例2设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．证明设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b.∵f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(－x2)＞f(－x1)．∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x 1，x 2属于哪个区间． 跟踪训练2 已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，解不等式f (1－x )＋f (1－2x )＜0.解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴由f (1－x )＋f (1－2x )＜0，得 f (1－x )＜－f (1－2x )． ∴f (1－x )＜f (2x －1)．又∵f (x )在(－1,1)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－x <1，－1<1－2x <1，1－x >2x －1.解得0＜x ＜23.∴原不等式的解集为(0，23)．类型三 对称问题例3 定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x －4)＝－f (x )，且x ∈[0,2]时，f (x )＝x ，试画出f (x )的图象．解 ∵f (x )是奇函数，∴f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )， ∴f (x )关于直线x ＝－2对称．反复利用f (x )关于原点对称又关于直线x ＝－2对称，可画出f (x )的图象如图：反思与感悟 奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似．跟踪训练3 定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x －4)＝－f (x )，且x ∈[0,2]时，f (x )＝x .试画出f (x )的图象．解∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称．反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：1．f(x)＝x2＋|x|()A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数答案 D2．已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于()A．x＋1 B．x－1 C．－x－1 D．－x＋1答案 A3．若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是()A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数答案 B4．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得() A．a<b B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0答案 C5．已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于() A．1 B．－1 C．2 D．－2答案 D1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．一、选择题1．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(0,1) D．[－1,1)答案 A解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.选A.2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于() A．x2B．2x2C．2x2＋2 D．x2＋1答案 D解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②由①②联立，得f(x)＝x2＋1.3．定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则()A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3) 答案 A解析 f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，由于f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)＜f (1)＝f (3)．4．若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f (－32)与f (a 2＋2a ＋52)的大小关系是( )A ．f (－32)>f (a 2＋2a ＋52)B ．f (－32)<f (a 2＋2a ＋52)C ．f (－32)≥f (a 2＋2a ＋52)D ．f (－32)≤f (a 2＋2a ＋52)答案 C解析 因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )在[0，＋∞)上是减函数， 所以f (a 2＋2a ＋52)≤f (32)＝f (－32)．5．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 答案 A解析 由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)， 又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1， ∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x ＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x ＜0，即f (x )x＜0， ∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0， ∴当x ＞1时，f (x )＜0. ∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0， 即x ＜－1时，f (x )＞0.综上使f (x )x ＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．二、填空题7．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间是________． 答案 [0，＋∞)解析 利用函数f (x )是偶函数，得k －1＝0，k ＝1，所以f (x )＝－x 2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，16 解析 偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论， 有f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x |)<f ⎝⎛⎭⎫13， 进而转化为不等式|2x |<13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－16，16.9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________. 答案 －0.5解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (3.5＋2)＝f (3.5)＝f (1.5＋2)＝－f (1.5)＝－f (－0.5＋2)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g (x )，x ＜0为奇函数，则f [g (－1)]＝________.答案 －15解析 当x ＜0时，则－x ＞0，由f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ， 所以f (x )＝－x 2＋2x . 即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f [g (－1)]＝f (－3)＝－9－6＝－15. 三、解答题11．已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，求g (－1)．解 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，所以f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3.12．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求实数a 的取值范围．解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， 可知f (x )在(0，＋∞)上递减． ∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)， ∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3， 即3a －2>0，解得a >23.∴实数a 的取值范围是a ＞23.13．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax . (1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )为R 上的单调减函数， ①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)当x <0时，－x >0， 又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2， 所以f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，－x 2－2x ，x ≥0.(2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a2≤0，所以f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减， 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0， 所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，不合题意．所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为a ≤0. ②∵f (m －1)＋f (m 2＋t )<0， ∴f (m －1)<－f (m 2＋t )，又∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)<f (－t －m 2)， 又∵f (x )为R 上的单调减函数， ∴m －1>－t －m 2恒成立，∴t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54恒成立，∴t >54.。
2019-2020学年高中数学 1.3.2 函数奇偶性导学案1 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 1.3.2 函数奇偶性导学案1 新人教A 版必修1 学习目标1. 学会运用函数图象理解函数的奇偶性；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 理解奇偶性的几何意义。
重点 学会判断函数的奇偶性难点 理解奇偶性的几何意义【课前导学】预习教材第33-36页，完成下列学习1．函数的奇偶性定义：（1）偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的____一个x ，都有________，那么()f x 就叫做偶函数．思考：依照偶函数的定义给出奇函数的定义．（2）奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的____一个x ，都有________，那么()f x 就叫做奇函数． 注：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的________性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是__________________.2．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于____对称；奇函数的图象关于____对称．3.奇函数在区间[,]a b 与[,]b a --上的单调性______. 偶函数在区间[,]a b 与[,]b a --上的单调性______. 【预习自测】首先完成教材上P36第1、2题；然后做自测题1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈-- ②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+ ④()f x x =1. 已知奇函数)(x f 在[]b a ,上是减函数，求证：它在[]a b --,上也是减函数。
【典型例题】例1.判断下列函数的奇偶性：1（1）122)(2++=x x x x f ； (2)x x x f 2)(3-=；（3）()f x =⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x(5)3|3|4)(2-+-=x x x f (6)a x f =)( （R x ∈）（7）()f x =例2.已知2()(11)1x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 求,a b 的值。
2019-2020年高中数学 函数的奇偶性教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学函数的奇偶性教案新人教A版必修1
（3）判断函数的奇偶性。
（4）判断函数的奇偶性。
小结：㈠判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义式f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )判断。
一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数
八、本节小结：
1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成－x，（x,－x都在定义域内。
即定义域关于原点对称）。
①如果都有f(－x)=-f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。
②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数2、性质:①奇函数的图象关于原点对称。
②偶函数的图象关于y轴对称。
③如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。
④如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。
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2019-2020学年新人教A版必修一 奇偶性 学案
1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然．(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作．函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f (x )上任一点(x ，f (x ))关于y 轴的对称点(－x ，f (x ))也在f (x )图象上． (2)奇函数：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．其实质是函数f (x )上任一点(x ，f (x ))关于原点的对称点(－x ，－f (x ))也在f (x )图象上．知识点三 奇(偶)函数的定义域特征思考 如果一个函数f (x )的定义域是(－1,1]，那这个函数f (x )还具有奇偶性吗？答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x ，其相反数－x 必须也在定义域内，才能进一步判断f (－x )与f (x )的关系．而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f (－1)无定义，自然也谈不上是否与f (1)相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．类型一 如何证明函数的奇偶性例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数；(4)证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <0，1，x >0是奇函数；(5)已知f (x )的定义域为R ，证明g (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数．证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数． (4)定义域为{x |x ≠0}．若x <0，则－x >0，∴f (－x )＝1，f (x )＝－1， ∴f (－x )＝－f (x )；若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－1，f (x )＝1， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数． (5)∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )＝f (－x )＋f (x )的定义域也为R .对于任意x ∈R ，都有g (－x )＝f [－(－x )]＋f (－x )＝f (－x ) ＋f (x )＝g (x )， ∴g (x )是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数；(3)证明f (x )＝a －x 2＋x 2－a (a ≥0)既是奇函数又是偶函数；(4)证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数．证明 (1)由2＋x2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数． (3)定义域为{－a ，a }，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝a －x 2＋x 2－a 为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝a －x 2＋x 2－a 为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数． (4)定义域为{x |x ≠0}． 若x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝x 2，f (x )＝－x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2＝－x 2，f (x )＝x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．类型二 如何判断函数的奇偶性例2 (1)f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，试判断y ＝f (x )＋g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性；(2)判断f (x )＝x 3＋3x 的奇偶性；(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，求实数b ，d 的值． 解 (1)∵f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，y ＝f (x )＋g (x )是奇函数． f (－x )g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是偶函数． f [g (－x )]＝f [－g (x )]＝－f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是奇函数．(2)∵y ＝x 3，y ＝3x 都是奇函数，由(1)知f (x )＝x 3＋3x 是奇函数． (3)由(1)知当b ＝d ＝0时，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数．反思与感悟 判断函数单调性要比证明灵活得多，可以借助图象，也可借助已知奇偶性的函数，在此基础上判断其和、差、积、商复合的奇偶性．跟踪训练2 (1)f (x )，g (x )定义在R 上，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，试判断y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性；(2)判断f (x )＝x 2＋1x的奇偶性；(3)已知f (x )，g (x )均为奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab ≠0)，求F (x )在(－∞，0)上的最小值．解 (1)∵f (x )，g (x )定义在R 上，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是奇函数． f [g (－x )]＝f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是偶函数．(2)∵y ＝x 2＋1是偶函数，y ＝x 是奇函数，由(1)知f (x )＝x 2＋1x是奇函数．(3)∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数．设x<0，则－x>0.由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，∴af(－x)＋bg(－x)≤3，∴af(x)＋bg(x)≥－3，∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.类型三奇(偶)函数图象的对称性的应用例3定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练3已知f(x)＝xx2＋1在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)的图象，并指出其单调区间．解 显然当x >0时，f (x )>0.又y ＝x 2＋1为偶函数，y ＝x 为奇函数， ∴f (x )＝xx 2＋1为奇函数，其图象关于原点对称．由此得f (x )＝xx 2＋1的图象如下．由图可知f (x )＝xx 2＋1的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)．1．函数f (x )＝0(x ∈R )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 D2．函数f (x )＝1x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 A3．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 C4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 B5．下列说法错误的个数是( ) ①图象关于原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图象一定过原点； ④偶函数的图象一定与y 轴相交；⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案 B1．两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝－x 2＋5(x ∈R ) B ．y ＝－x C ．y ＝x 3(x ∈R ) D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)答案 C解析 函数y ＝－x 2＋5(x ∈R )既有增区间又有减区间；y ＝－x 是减函数；y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)不是定义域内的增函数；只有y ＝x 3(x ∈R )满足条件．2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12答案 B解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.5．f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) A ．f (－x )＋f (x )＝0 B ．f (－x )－f (x )＝－2f (x ) C ．f (x )·f (－x )≤0 D.f (x )f (－x )＝－1 答案 D解析 ∵f (－x )＝－f (x )，A 、B 显然正确， 因为f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0，故C 正确． 当x ＝0时，由题意知f (0)＝0，故D 错误．6．给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是( )A ．(a ，－f (a ))B ．(a ，f (－a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(－a ，－f (－a ))答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－a )＝f (a )， ∴(a ，f (－a ))一定在y ＝f (x )的图象上，∴选B. 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.8．偶函数f (x )的定义域为[t －4，t ]，则t ＝________. 答案 2解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以(t －4)＋t ＝0，即t ＝2. 9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝____.答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________(填“奇函数”或“偶函数”)．答案 奇函数解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数． 三、解答题11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5； (2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1.解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数． 12．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，求实数a 的值． 解 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，即|x －a |＝|x ＋a |， ∴a ＝0.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数． 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
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2019-2020学年高中数学 函数的奇偶性学案2 新人教A 版必修1
【学习目标】 熟练掌握判断函数奇偶性的方法；熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；能利用函
数的奇偶性和单调性解决一些问题．
【课堂导学】
一、预习作业
奇偶性的判断方法和步骤
二、典型例题
例1、判断下列函数的奇偶性
（1）64()8f x x x =++，[2,2)x ∈- （2）42()23f x x x =+
例2、已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x >0时，()(2)f x x x =-，求x <0时，f (x )的解析式．
例3、已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．
例4、定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0，
求实数m 的取值范围．
练习：函数f x ()是定义在()-11，上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，
求实数a 的范围
★例5、函数2()1ax b f x x +=+是定义在)(1,1-上的奇函数，且12()25
f = （1）确定()f x 的解析式
（2）用定义法证明()f x 在)(
1,1-上是增函数
（3）解不等式(1)()0f t f t -+<
三、板书设计
【巩固反馈】
一、填空题
1、函数22()(1)(2)(712)f x m x m x m m =-+-+-+为偶函数，则m =________
2、定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=
++，则常数m = ，n = ； 3、已知函数y=ax 7+6x 5+cx 3+dx +8，且f (－5)= －15，则f (5)=
4、求函数y=322
--x x 的单调增区间
5、函数 在 上是减函数,求 的取值集合
6、设奇函数f （x ）的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时, f （x ）的图象如下图,则
不等式()0f x <的解是 .
7（2011湖南）已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则__________
8（2011全国）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 _____
（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=
二、解答题
9、已知奇函数]()1,1f x ⎡-⎣在上为增函数，解不等式()(1)02x f f x +->
10*．已知函数c
bx ax x f ++=1)(2是奇函数，且2)1(=f ，25)2(=f ，求函数)(x f 的表达式．。