第1 动态系统的状态空间描述(2版)
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
状态空间表达式
y x1 x2
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
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电信学院 苗荣霞
习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
动态系统的状态空间描述
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
若以n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维 欧氏空间, 并称为n维状态空间, 记为Rn 状态向量的端点在状态空间中 的位置, 代表系统在某一时刻的 运动状态
x2
x(t0)
x(t1) x(t2) x(t)
二维空间的状态轨线
概述(1/4)
概 述
动态系统(又称为动力学系统), 抽象来说是指能储存输入信息 (或能量)的系统, 例如: 含有电感和电容等储能(电能)元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等储能(机械能)元件的刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等 动态系统与静态系统的区别在于 静态系统的输出取决于当前的瞬时输入, 而动态系统的 输出则不仅依赖于系统当前的输入, 还与系统过去的输入 有关。如: 电阻器的端电压是当前电流与电阻值之乘积, 电容器 的端电压则是当前及过去的电流之积分值与电容值 之比
系统的状态空间模型(8/11)
对前面引入的状态空间模型的意义, 有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性,
决定系统状态变量的动态变化
输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,
主要决定系统的动态特性
输入矩阵B又称为控制矩阵, 表示输入对状态变量变化的影响 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响, 许多系统不 存在这种直联关系, 即直联矩阵D 0
线性系统状态空间模型的结构图(2/5)
x(t )
∫
x(t)
x1 x2
x1+x2
x
k
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
状态变量和状态变量模型状态空间表达式的建立状
0 x1 有： 1 x2 L
1 0 x C 1 1 u R x 2 L L
简写为：x Ax Bu
（2）如果令状态变量为： x1 uc , x2 uc ，则：
a1n a2 n , n n维系统矩阵 , 表征各状态变量间的关 系 ann
b11 b B 21 bn1
2019/3/20
b12 b22 bn 2
b1r b2 r n r维输入矩阵 , 表征输入对每个变量的 作用 , bnr
di1 R1 R1 1 i i L1 1 L1 2 L1 u1 dt di2 R1 R1 R2 1 i i u 1 2 2 dt L L L 2 2 2 uA i1 R1 i2 R1 u2 1 L1
u2
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3）状态空间表达式为： R1 1 1 1 R i i L1 L1 u1 1 L1 L1 1 R1 R1 R2 1 0 i u i L2 2 L2 2 L2 2 i1 u1 uA R1 R1 0 1 i2 u2
简写为：x Ax Bu
12
[系统动态方程的模拟结构图]：
常用符号：
积分器
比例器
ki
加法器
注：1、积分器个数与状态变量个数一致。 2、加法器不标“＋”、“－”号，一律默认为加法 “＋”。 模拟结构图：
D
u
B
x
A
x
C
《状态空间描述法》课件
案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环 节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器 姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计 提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角 速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空 间描述法能够全面地描述这些变量之间的关 系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基 于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿 态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实 例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳 定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广 泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确 的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输 入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行 为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通 常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系， 通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来 降低系统的维度，从而简化状态空间 描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以 降低大规模系统的计算复杂性，提高 计算效率。
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【例1-2】建立图1-5所示RLC电路的状态方程
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
du c (t ) C i (t ) dt di (t ) L Ri(t ) u c (t ) u (t ) dt
(1-6)
将式（1-6）中状态变量的一阶导数放在方程左边， 其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
(5)状态轨迹 状态向量的端点在状态空间中的位置代表 了某一特定时刻系统的状态。系统的状态是时 间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随 着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动 的路径就称为系统的状态轨迹。 (6)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输 入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系 统)或一阶差分方程组（离散系统）,称为状态 方程。
1.2 动态系统的状态空间模型
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 状态空间的基本概念 动态系统状态空间表达式的一般形式 状态空间模型的图示 由系统机理建立状态空间模型示例
1.2.1 状态空间的基本概念 1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3.系统状态空间描述的基本概念
1.系统的基本概念
（1-4） 状态方程
RL y ucn RL R0
(1-5) 输出方程
在已知输入u的情况下，解方程式（1-4）、式（1-5）,不仅 可求出输出响应y，而且能获悉系统内部电容上电压随时间变 化的动态过程信息。因此,式（1-4）、式(1-5)是图1-4所示电网 络系统的一种完全描述。
3.系统状态空间描述的基本概念
(1)动态系统的状态 动态系统的状态是完全地描述动态系统运 动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可 以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系 统运动信息的集合为状态。 (2)状态变量 定义完全表征动态系统时间域运动行为的 信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用 符号x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立 （即变量的数目最小）。
【例1-1】确定图1-5所示电路的状态变量。
图1-5 RLC电路
要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输 入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和 电容上的初始电压uC (t0) ，或者说uC (t)和i(t)这两个变量 可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独 立的，故uC (t)和i(t)是该电路的状态变量。
第1章 动态系统的状态空间描述
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 引言 动态系统的状态空间模型 动态系统数学模型变换 离散系统的状态空间描述 MATLAB在系统数学模型变换中的应用
1.1 引言
经典控制理论
(线性、定常、SISO系统)
Байду номын сангаас
现代控制理论
（线性、定常、SISO系统 非线性、时变、MIMO系统）
(1)
an y bu
（1-3）
在已知输入u的情况下，解方程式（1-3），可求出输出响应y, 但不能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程。
(2)内部描述-现代控制（状态空间）
状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基 于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程 组成:
①一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn 和输入变 量u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态 x 方程。其数学表达式的形式对于连续时间系统为 一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶差分 方程组; ②另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,…,xn及输入 变量u1,u2,…,ur与输出变量y1,y2,…,ym 转换关系的 数学表达式，称为输出方程。其数学表达式的形 式为代数方程。
(3)状态向量
设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，将这些状 态变量视为向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )
(4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧 氏空间，称为状态空间。
重新考察图1-4的电网络，利用 电路知识容易得到如下一阶微分 方程组
1 1 du c1 dt R C u c1 R C u 1 1 1 1 du c 2 1 1 uc2 u c1 R2 C 2 R2 C 2 dt 1 1 du cn u u c ( n 1) cn dt Rn C n Rn C n
考察图1-4所示的n级RC网络。图中虚线框内为具有放大 器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出 阻抗为零，放大倍数为1。
图1-4 n级RC网络
系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式(1-3) 所示的高阶线性常系数微分方程,即
y
( n)
a1 y
( n1)
an1 y
du c (t ) 1 i (t ) dt C di (t ) 1 R 1 u c (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
2. 动态系统的两类数学描述
(1)外部描述-经典控制（微分方程）
外部描述通常称为输入、输出描述，这种 描述将系统的输出取为系统外部输入的直接响 应，回避了表征系统内部的动态过程即把系统 当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内 部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变 量与输入变量间的动态因果关系。