高三理科数学第一轮复习§2.10：变化率与导数、导数的计算
2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算
2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《变化率与导数、导数的计算》含答案
第十节变化率与导数、导数的计算知识点一 导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx→0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．1．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．2．函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x ＝2处的导数为4.解析：函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22－122－1＝3，在x ＝2处的导数为f ′(2)＝2×2＝4.3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . 解析：∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 知识点二 导数的运算1．几种常见函数的导数2.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．4．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( B ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 5．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( B ) A ．e 2 B ．e C.ln22D ．ln2解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.1．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[g (x )]2，(cos x )′＝sin x .2．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．考向一 导数的运算【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 【解】 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin4x ，∴y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .(1)对于复杂函数的求导，首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，不要与求导的乘法公式混淆.(1)函数y ＝sin xx 的导数为y ′＝x cos x －sin x x 2. (2)已知f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋a )，若f ′(－1)＝2，则f ′(1)＝26. (3)函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值是－74.解析：(1)∵y ＝sin xx ，∴y ′＝x (sin x )′－x ′sin x x 2＝x cos x －sin xx 2.(2)f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋a )＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋a )＝x 3＋(a ＋3)x 2＋(3a ＋2)x ＋2a ，所以f ′(x )＝3x 2＋2(a ＋3)x ＋3a ＋2，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋2(a ＋3)×(－1)＋3a ＋2＝2，解得a ＝3，所以f ′(x )＝3x 2＋12x ＋11，所以f ′(1)＝3×12＋12×1＋11＝26.(3)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－12，解得f ′(2)＝－74. 考向二 导数的几何意义方向1 已知切点求切线方程【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x【解析】 解法1：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)·(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.解法2：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【答案】 D 方向2 求切点坐标【例3】 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．【解析】 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．【答案】 (1,1)方向3 未知切点的切线问题【例4】 (1)(2019·西安八校联考)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2019·广州市调研测试)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．【解析】 (1)解法1：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A (23x 0,0)．易知线段OB 的垂直平分线方程为y －x 302＝－1x 20(x －x 02)，根据线段OB 的垂直平分线过点A (23x 0,0)可得－x 302＝－1x 20(23x 0－x 02)，解得x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.故选C. 解法2：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A (23x 0,0)．由|OA |＝|AB |，得4x 209＝x 209＋x 60，又x 0≠0，所以x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.故选C.(2)由y ＝x ln x 得，y ′＝ln x ＋1.设直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，又直线y ＝kx －2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y 0＝x 0ln x 0代入切线方程，得x 0＝2，故P (2,2ln2)．把(2,2ln2)代入直线的方程y ＝kx －2，得k ＝1＋ln2.【答案】 (1)C (2)1＋ln21.与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .,(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.2.根据导数的几何意义求参数的值的思路一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.1．(方向1)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( B )A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3解析：设x >0，则－x <0，∵f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x ln x －x ＋2)＝x ln x ＋x －2.∴f (1)＝－1，f ′(x )＝ln x ＋2.∴f ′(1)＝2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是y ＝2x －3.故选B.2．(方向2)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( A )A ．ln2B ．－ln2 C.ln22D ．－ln22解析：对f (x )＝e x ＋a ·e －x 求导得f ′(x )＝e x －a e －x ，又f ′(x )是奇函数，故f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1，故f ′(x )＝e x －e －x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝32，得e x 0＝2或e x 0＝－12(舍去)，得x 0＝ln2.3．(方向3)经过原点(0,0)作函数f (x )＝x 3＋3x 2的图象的切线，则切线方程为y ＝0或9x ＋4y ＝0.解析：当(0,0)为切点时，f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0；当(0,0)不为切点时，设切点为P (x 0，x 30＋3x 20)(x 0≠0)，则切线方程为y －(x 30＋3x 20)＝(x －x 0)(3x 20＋6x 0)，因为切线过原点，所以x 30＋3x 20＝3x 30＋6x 20，所以x 0＝－32，此时切线方程为9x ＋4y ＝0.典例 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.【分析】 分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．【解析】 解法1：求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1. 又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln2－1＝1－ln2.解法2：设直线y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2的切点坐标为A (x 1，ln x 1＋2)，则在点A 处的切线方程为y －(ln x 1＋2)＝1x 1(x －x 1)，即为y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1 ①，设直线y ＝kx ＋b 与y ＝ln(x ＋1)的切点坐标为B (x 2，ln(x 2＋1))，则在点B 处的切线方程为y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，即为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1②，由①②表示同一直线，则⎩⎨⎧ x 1＝x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，则b ＝ln 12＋1＝1－ln2.【答案】 1－ln2已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝8.解析：法1：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法2：同法1得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧ x 0＝－12，a ＝8.。
高考数学一轮复习课件2.10变化率与导数、导数的计算
(1)若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1)) 处的切线的倾斜角为( )
A．0
B．锐角
C．直角
D．钝角
(2) 已 知 f(x) ＝ logax(a>1) 的 导 函 数 是 f′(x) ， 记 A ＝ f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则( )
A．A>B>C
_y_－__f_(x_0_)_＝__f′_(_x_0)_(_x_－__x_0)_______．
(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝
______________________________为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
【解析】 ∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2. ∴所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
【答案】 2x－y＋1＝0
求下列函数的导数： (1)y＝exsin x；
(2)y＝x－sin
x 2cos
x2；
(3)y＝ln（x22＋x＋13）.
【思路点拨】 (1)利用积的导数运算法则求解，(2)先 化简再求导，(3)利用商的导数运算法则和复合函数求导 法则求解．
曲 线 y ＝ f(x)“ 在 ” 点 P(x0 ， y0) 处 的 切 线 与 “ 过 ” 点 P(x0，y0)的切线的区别：
(1)“ 在 ” 曲 线 上 一点 处 的 切线 问 题 ， 先 对 函 数 求 导，代入点的横坐标得到斜率．
(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是 切点，故应先设切点，求切点坐标．
f′(x)＝_____x_______
高考数学(理,浙江专版)一轮复习课件：2.10 变化率与导数、导数的计算
导数的计算
[例 1] 求下列函数的导数 (1)y＝(1－ x)1＋ 1x； (2)y＝lnxx； (3)y＝tan x；
(4)y＝3xex－2x＋e.
[自主解答]
(1)∵y＝(1－
x)1＋
1x＝
·
1－2cos2x4
”如何求
解？
解：∵y＝sin x2·1－2cos2x4＝－sin x2cos x2＝－12sin x
∴y′＝－12cos x．
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求函数导数的方法
(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进 行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度， 减少差错；
f′xgx－fxg′x
(3)[gfxx]′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
4.复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的
导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′ ，即 y 对 x 的导数等于 y对u的 导数 与 u对x 的导数的乘积．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)f′(x)是函数 f(x)＝13x3＋2x＋1 的导函数，
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解导数概念的实际背景； 2.理解导数的几何意义； 3.会用基本初等函数的导数公式和
导数的四则运算法则求简单的函 数的导数． 4.(理)能求简单的复合函数(仅限于 形如f(ax＋b))的导数.
2012·填空题T16
[归纳·知识整合]
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
高三数学复习课件【变化率与导数、导数的运算】
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x
1 f′(x)＝__x_ln__a_
1 f′(x)＝___x__
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3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
考点二 导数的几何意义
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型 既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第1问中， 难度较小，属中低档题.,常见的命题角度有：
1求曲线的切线方程； 2求切点坐标； 3求参数的值范围.
[题点全练] 角度(一) 求曲线的切线方程
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1．已知函数 f(x)＝ln x－8xx＋－11，则函数 f(x)的图象在1，－72处
(3)函数 f(x)的导函数：
fx＋Δx－fx
称函数 f′(x)＝ lim Δx→0
Δx
为 f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0)
f(x)＝ex
导函数 f′(x)＝__n_·x_n_－_1 f′(x)＝__c_o_s _x_ f′(x)＝_－__s_in__x_ f′(x)＝_a_x_l_n_a__
则 P 点的坐标为
()
A．(1,3)
B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3)
D．(1，－3)
解析： f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＝2，则 3x2－1＝2，解得 x
＝1 或 x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)
【创新设计】高三数学一轮复习 变化率与导数 导数的计算课件 北师大版
【考卷实录】
【答题模板】
解答：(1)f′(x)＝4x3－6x
由f′(x)>0解得
f(x)的递增区间为
由f′(x)＜0解得
知：递减区间为
(2)设切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝
整理得
切线方程为
切线方程为
【分析点评】
导数部分是高考的重点和热点内容，多以解答题的形式考查，考卷实录中提
供的解答其错误有两处：一是四次函数f(x)＝x4－3x2＋6的递增区间有两个分
2．导数的几何意义 如右图所示，设y＝f(x)的函数图像是一条平滑的曲线， 从图象上可以看出：当△x取不同的值，可以得到不 同的割线；当△x趋近于零时，点B将沿着曲线y＝f(x) 趋向于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l
和曲线y＝f(x)在点A处“相切”.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线.该切 线的斜率是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0).
别是
不能错误的写成
二是求过一定点与曲线相切的直线方程，要判断定点是否在曲线上，如果定 点不在曲线上，要设出切点，然后再利用导数进行求解.
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5．复合函数求导法则 函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有 导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数， y′x＝ y′u·u′x或f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．
1．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，
__________．
解析：曲线y＝ 和y＝x2的交点为A(1,1)，在A点处曲线y＝ 的斜率
.切线l1：y＝－1×(x－1)＋1.在A点处曲线y＝x2的斜率
高考数学一轮复习10变化率与导数导数的计算课件理
[同类练]——(着眼于触类旁通) 1．[2019·武汉调研]曲线 f(x)＝xln x 在点 M(1，f(1))处的切线 方程为________．
解析：由题意，得 f′(x)＝ln x＋1，所以 f′(1)＝ln 1＋1＝1， 即切线的斜率为 1.因为 f(1)＝0，所以所求切线方程为 y－0＝x－ 1，即 x－y－1＝0.
第十六页，共三十二页。
(5)令 u＝2x－5，y＝ln u. 则 y′＝(ln u)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5，即 y′＝2x－2 5.
第十七页，共三十二页。
悟·技法
第十八页，共三十二页。
考向二 导数的几何意义[分层深化型] [例] (1)[2018·全国卷Ⅱ]曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切 线方程为________； (2)[2019·武汉调研]过点 P(1,1)作曲线 y＝x3 的切线，则切线 方程为______________．
答案：x－y－1＝0
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2．[2019·广州五校联考]曲线
y＝e
1 2
x
在点(4，e2)处的切线与
坐标轴所围三角形的面积为( )
A.92e2
B．4e2
C．2e2
D．e2
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析：∵y′＝12e
1 2
x
，∴k＝12e
14 2
＝12e2，∴切线方程为
y－e2
＝12e2(x－4)，令 x＝0，得 y＝－e2，令 y＝0，得 x＝2，∴所求面
5π 3π A. 6 B. 4
ππ C.4 D.6
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解析：由题意知 tanα＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当 x ＝0 时等号成立，即 tanα≥－1，又－12≤x≤12，所以 tanα＝ex＋e －x－3≤ e＋ 1e－3<0，所以－1≤tanα<0，又 α∈[0，π]，所以 α 的最小值是34π.
届高三数学一轮复习知识点归纳与总结变化率与导数导数的计算
[备考方向要明了]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f?x＋Δx?－f?x?Δx为f(x)的导函数．[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0?x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．2．几种常见函数的导数3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f?x?g?x?′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?[g?x?]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4 D．－7 3解析：选B∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为() A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0 解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0. 3．y＝x2cos x的导数是()A．y′＝2x cos x＋x2sin xB．y′＝2x cos x－x2sin xC．y＝2x cos xD．y′＝－x2sin x解析：选B y′＝2x cos x－x2sin x.4．(教材习题改编)曲线y＝sin xx在点M(π，0)处的切线方程是________．解析：∵f(x)＝sin xx，∴f′(x)＝x·cos x－sin xx2，∴f′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y＝－1π(x－π)，即x＋πy－π＝0.答案：x＋πy－π＝05．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] (1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝?ln x ?′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝?sin x ?′cos x －sin x ?cos x ?′cos 2x＝cos x cos x －sin x ?－sin x ?cos 2x ＝1cos 2x .(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x∴y ′＝－12cos x ． ———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x . (2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x＋11＋x＝21－x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2?1－x ?′?1－x ?2＝2?1－x ?2. (4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. ———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝1?1－3x ?4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.(2)y′＝(ln x2＋1)′＝1x2＋1·( x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)12-·(x2＋1)′＝xx2＋1.(3)设u＝1－3x，y＝u－4.则y x′＝y u′·u x′＝－4u－5·(－3)＝12?1－3x?5.(4)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x⎝⎛⎭⎫1＋x2′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.[例3](1)(2012·P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．(2)已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[自主解答](1)y＝x22，y′＝x，∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即 y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， 且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)， 即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P ?2，4?在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0. ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20?x 0＋1?－4?x 0＋1??x 0－1?＝0.∴?x 0＋1??x 0－2?2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. ———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝x x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1.所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0.(2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2.S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·?x 0＋2?＝?x 0＋2?22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.[例4] 已知a －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A ———————————————————导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f ?x 1?－f ?x 0?x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π21个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A. [答案] A1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B. 2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． 1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选By ′＝cos x ?sin x ＋cos x ?－?cos x －sin x ?sin x ?sin x ＋cos x ?2＝1?sin x ＋cos x ?2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12. ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是 y ＋2227＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1， ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4， f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(ln x )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e .6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解． ∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝?ax －6?′?x 2＋b ?－?ax －6??x 2＋b ?′?x 2＋b ?2＝－ax 2＋12x ＋ab ?x 2＋b ?2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab ?1＋b ?2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|× |－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx 等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋?－Δx ?]－f ?x 0??－Δx ?＝－f ′(x 0)． 2．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-； (2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
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第二章：函Leabharlann 、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
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第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
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