《等边三角形的判定》课后练习题.doc
初中数学：等边三角形练习(含解析)
初中数学：等边三角形练习（含解析）一、选择题1、下面的图形是轴对称图形，而且对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行判断.解：等腰三角形有1条对称轴，等腰直角三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，一般的直角三角形不是轴对称图形，所以对称轴最多的是等边三角形.故应选C.考点：等边三角形2、如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD 与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A. 60°B. 45°C. 40°D. 30°【答案】A【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可得：AC=AB，∠CAE=∠B，根据SAS可证△AEC≌△BDA，根据全等三角形的性质可证∠BAD=∠ACE，所以∠DAC+∠ACE=60°，所以∠DFC=60°.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAE=∠B=60°，在△AEC和△BDA中，AE BD EAC DBA AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDA ，∴∠BAD=∠ACE ，∵∠DAC+∠BAD=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=60°.故应选A.考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质3、下面给出的几种三角形：①三个内角都相等；②有两个外角为120°；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线；④三条边上的高相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】试题分析：根据等边三角形的定义和判定定理进行判断.解：①三角形个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个外角是120°的三角形的两个内角一定是60°，根据三角形内角和定理可得：第三个内角也是60°，所以这个三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线一定是等腰三角形，不一定是等边三角形；④根据三角形的面积公式可得：当三角形三条边上的高相等时，三角形的三条边也相等，所以这个三角形是等边三角形.所以正确的有3个.故应选B.考点：等边三角形的判定二、填空题4、在△ABC 中，如果AB=AC=BC ，则∠A ＝_________，∠B ＝___________，∠C ＝_________。
第一章第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)(原卷版)
第02讲等边三角形的性质与判定(4类热点题型讲练)1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01 等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.知识点02 等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.题型01等边三角形的性质【变式训练】1．（2022下·上海浦东新∠=角形，则BAC题型02 等边三角形的判定【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，40A ∠=°，点E 在边AC 上，连接,BE C CBE ∠=∠．若20ABE ∠=°，求证：BCE V 是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点E 在ABC V 的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F ，若12∠=∠，AE AC =，B ADE ∠=∠．(1)求证：AB AD =；(2)若160∠=°，判断ABD △的形状，并说明理由．2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，ABC V 中，D 为AC 边上一点，ED 的延长线交BC 的延长线于F ，且EF AB ^，CD CF =．(1)求证：ABC V 是等腰三角形；(2)当F ∠等于多少度时，ABC V 是等边三角形？请证明你的结论．题型03 等边三角形的判定和性质【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知ABC V 和CDE V 均是等边三角形，点B ，C ，D 在同一条直线上，BE 与AD 交于点O ．(1)求证：AD BE =；(2)若AD 与CE 交于点N ，AC 与BE 交于点M ，连接MN ，求证：CMN V 为等边三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边ABC V 中，点O 在ABC V 内，OB OC =，且OD AB ∥，OE AC ∥．(1)试判定ODE V 的形状，并说明理由；(2)判断线段BD ，CE 的数量关系，并说明理由．2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 在ABC V 内部，BD BC =，60DBC ∠=°，点E 在ABC V 外部，15060BCE ABE ∠=°∠=°，．(1)求ADC ∠的度数；(2)判断ABE V 的形状并加以证明；(3)连接DE ，若4DE BD DE ^=，，求BC 的长．题型04 含30°角的直角三角形三边的数量关系【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，ABC V 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至点E ，使CE CD =．(1)求证：DB DE =；(2)过点D 作DF 垂直于BE 【变式训练】(1)如图1：求证：AD CE =；(2)如图2，取BD 的中点F ，连接AE AF 、，求证：CAE BAF ∠=∠；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F 作FH AE ^于点H ，求证：3EH AH =．一、单选题1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在等边三角形ABC 中，BD 平分ABC ∠，若10cm BC =，则CD 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在ABC V 中，90A ∠=°，60C ∠=°，4BC =，则AC 的长为（ ）A．1B3．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）^交AB于点于F，DE BCA．50°4．（2023上·山西大同在射线OB上，且CDA．15．（2023上·湖南永州且AD BE=，AE△是等边三角形；③ADFA．3B二、填空题6．（2023上·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知等边三角形的周长为为．7．（2023上·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在（1）D ∠= ；（2）若3CD AE =，CF 9．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）两个三角板抽象成如图10．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图1在天花板上，图2是其示意图．已知轨道220cm AB =已知每小片门扇宽度均相等(AC CD DE EF ===合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，cm ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，C ∠三、解答题11．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在ABC V 中，30A ∠=°，90ACB ∠=°，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点D 作DE AB ^于点E ，连接CE ．(1)若6AD =，求CD 的长；(2)判断BCE V 的形状，并说明理由．12．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，将等边DEF V 放在含有30°角的直角三角板ABC 上（90A ∠=°，30C ∠=°），使EF 落在线段AC 上，DE 与DF 分别交边BC 于点H 、G ，其中2FG =．(1)证明：GF FC =；(2)求CG 的长．13．（2023上·山东日照·八年级校考期中）如图,ABC V 为等边三角形,AE CD =,,AD BE 相交于点P ,BQ AD ^于Q ,9PQ =,3PE =．(1)求证:ABE CAD △△≌;(2)求BPQ ∠的度数;(3)求BE 的长．(1)如图1，若D E 、分别为BC AC 、的中点，求证：2AF FD=(2)如图2，若BD CE =，求证：60AFE ∠=°；(3)如图3，在（2）的条件下，连接FC ，若,2FC AD BD ^=，求(1)求证：ABD CDE ∠=∠；(2)如图2，若60BAC ∠=°，求证：AD CE =；(3)如图3，在（2）的条件下，点F 是ABC V 外一点，连接FC ，AF ，BF ，且FC 平分AFB ∠12AF BF =，求BF 的长．(1)如图1，若60ACD ∠=°，则AFB ∠的度数为________；(2)【初步探究】如图2，若48ACD BCE ∠=∠=°，连接FC ，求AFC ∠的度数；(3)【简单应用】将图1中的等边ACD V 绕点C 顺时针旋转（如图3），连接AE AB BD ，，，若70ABD ∠=°，则EAB ∠的度数为________．。
《等边三角形的性质与判定》教案、导学案、同步练习
《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目标（一）教学知识点经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．（二）能力训练要求1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点等边三角形判定定理的发现与证明．教学难点1．等边三角形判定定理的发现与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备多媒体课件，投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．（演示课件）1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．（教师应给学生自主探索、思考的时间）[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°．[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，•教师可让同学代表发表自己的看法）[生丁]我不同意这个同学的看法，•因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，•我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？•下面同学们可以在小组内交流自己的看法．Ⅱ．导入新课探索等腰三角形成等边三角形的条件．[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．[师]你能给大家陈述一下理由吗？[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？[生]三个角都相等的三角形是等边三角形． [师]下面就请同学们来证明这个结论． （投影仪演示学生证明过程）已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A=∠B ， ∴BC=AC （等角对等边）． 又∵∠A=∠C ，∴BC=AC （等角对等边）．∴AB=BC=AC ，即△ABC 是等边三角形．[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到． （演示课件）AB等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理． （演示课件）[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m ，•他们便得出一个结论：A 、B 之间距离不少于200m ，他们的结论对吗？分析：我们从该问题中抽象出△APB ，由已知条件∠APB=60°且AP=BP ，•由本节课探究结论知△APB 为等边三角形．解：在△APB 中，AP=BP ，∠APB=60°， 所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB ）=（180°-60°）=60°． 于是∠PAB=∠PBA=∠APB ．从而△APB 为等边三角形，AB 的长是200m ，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．Ⅲ．随堂练习（一）课本P54练习 1、2．1．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．2．如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF ． （二）补充练习1212E DCA BF如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，BD 、CD•的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，求证：BE=CF ．证明：连结DE 、DF ，则BE=D E ，DF=CF ．由△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．同理∠DFE=60°， 故△DEF 是等边三角形． DE=DF ， 因而BE=CF ． Ⅳ．课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P56─5、6、7、10题． （二）预习P55～P56． Ⅵ．活动与探究探究：如图，在等边三角形ABC 的边AB 、AC 上分别截取AD=AE ．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由．过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定． 结果：已知：三角形ABC 为等边三角形．D 、E 为边AB 、AC 上两点，且AD=AE ．判断△A DE•是否是等边三角形，并说明理由．解：△ADE 是等边三角形，21E DCABFE DCAB∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．板书设计§12．3．2 等边三角形（一）一、探索等边三角形的性质及判定问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形二、等边三角形的性质及判定三、应用例题讲解四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．等腰三角形（含等边三角形）参考例题1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），DA B∴∠B=∠C （等边对等角）． ∴∠B=∠C=（180°-∠BAC ）=40°（三角形内角和定理）． 又∵AD ⊥BC （已知），∴∠BAD=∠CAD （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）． ∴∠BAD=∠CAD=50°．2．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE ．证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD 是中线， ∴BD ⊥AC ，∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°． ∴∠DBC=∠E ． ∴DB=DE ．3．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E ．求证：△ADE 是等边三角形．证明：∵△ABC 是等边三角形（已知）， ∴∠A=∠B=∠C （等边三角形各角相等）． ∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C （两直线平行，同位角相等）． ∴∠A=∠ADE=∠AED ．∴△ADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．§12．3．2 等边三角形（二）教学目标（一）教学知识点1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质． 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．1212ED ABDCAE B（二）能力训练要求1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索发现法．教具准备两个全等的含30°角的三角尺；多媒体课件；投影仪．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？Ⅱ．导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC ．所以BD=AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC=AB ． (1)D C AB(2)D CAB121212分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD （如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．∴AB=AD （全等三角形的对应边相等）．∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC=BD=AB ． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．（演示课件）[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=AD ，BC=AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=AB ．解：因为DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，由定理知BC=AB ，DE=AD ， 所以BD=×7.4=3.7（m ）．又AD=AB ，所以DE=AD=×3.7=1.85（m ）．答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．ABDC A1212121214121212121212D C AEB[师]再看下面的例题．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ．解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD=AC=a （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．[师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习 （一）课本P56练习Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC•之间有什么关系？答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC ． （二）补充练习1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD=AB ． 证明：在Rt △ABC 中，∠A=30°， ∴BC=AB ． 在Rt △BCD 中，∠B=60°， ∴∠B CD=30°．∴BD=BC ． ∴BD=AB ．2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把1214121214DC AD CAB对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ， ∴∠ABC=60°，∠C=30°． 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30°． ∴AD=BD ，BD=CD ． ∴CD=2AD ． Ⅳ．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业（一）课本P58─11、12、13、14题． （二）预习P60～P61，并准备活动课．1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字． 2．思考镜子对实物的改变． Ⅵ．活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．结果：已知：如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ． 求证：∠B AC=30°．证明：延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°．1212DCAB(1)C AB又∵AC=AC ，∴△ACB ≌△ACD （SAS ）． ∴AB=AD ． ∵CD=BC ，∴BC=BD ． 又∵BC=AB ，∴AB=BD ． ∴AB=AD=BD ，即△ABD 为等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°． 板书设计§12．3．2 等边三角形（二） 一、定理的探究定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、范例分析 三、随堂练习 四、课时小结 五、课后作业 备课资料 参考例题1．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形． 求证：AN=BM ．证明：△ACM 与△CBN 是等边三角形． ∴∠ACM=∠BCN ．∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM ， 即∠ACN=∠MCB ． 在△ACN 和△MCB 中，1212(2)DC ABCBMN∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，•CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．∴BC=AB=5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．13.3.2 等边三角形《第1课时等边三角形的性质和判定》教案教学目的1．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质,反证法》复习课时教案
《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质,反证法》复习课时教案【课题】《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质,反证法》复习【课型】复习【教学目标】知识：1、复习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．3、反证法复习能力：学生经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明。
情感：在探究性学习活动中养成刻苦钻研的习惯，具有勇于探索创新的精神。
【教学重难点】重点：复习并掌握等边三角形的判定方法，掌握含30°角直角三角形的性质。
难点：够运用等边三角形的性质和判定解决问题，能灵活运用含30°角直角三角形的性质解决有关问题【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。
）知识回顾（1分钟）1、等边三角形的性质和判定2、含30°角直角三角形的性质3.反证法（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
二、自主探究,合作学习：（一）依据导纲，自主学习探究一：探究点一：等边三角形的判定（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）【类型一】三边都相等的三角形是等边三角形已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC 是等边三角形．方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．【类型二】三个角都是60°的三角形是等边三角形如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．【类型三】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．探究二：含30°角的直角三角形的性质（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示）【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】与角平分线有关的综合运用如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3 B．2C．1.5 D．1方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质求BD的长，正确的计算出△ABC的面积．（二）分组研讨，组内合作设计意图（让学生学会梳理知识，善于找出疑问，以便进一步提高，同时培养学生的语言表达能力。
2021年九年级数学中考复习分类专题练习：等边三角形的判定与性质(三)
2021年九年级数学中考复习分类专题：等边三角形的判定与性质（三）一．选择题1．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，下列结论：①若AD＝AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对2．如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形3．设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM＝BN＝CP，则△MNP是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是（）A．30°B．45°C．120°D．15°6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有（）A．5条B．6条C．7条D．8条9．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（）A．5 B．7 C．8 D．910．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题11．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝．12．在△ABC 中，AB ＝AC ＝8cm ，∠B ＝60°，则BC ＝ cm ．13．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上一点，且AD ＝BE ＝CF ．则△DEF 的形状是 ．14．两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点．如图，∠A ＝30°，AC ＝8，则此时两直角顶点C ，C ′间的距离是 ．15．如图，已知△ABC 中高AD 恰好平分边BC ，∠B ＝30°，点P 是BA 延长线上一点，点 O 是线段AD 上一点且OP ＝OC ，下面的结论：①∠APO +∠DCO ＝30°；②△OPC 是等边三角形；③AC ＝AO +AP ；④S △ABC ＝S 四边形AOCP ．其中正确的为 ．（填序号）16．如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC 和△A 1B 1C 1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动三角板ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角板A 1B 1C 1的斜边A 1B 1上，当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C 1的距离是 ．三．解答题17．如图，已知：边长相等的等边△ABC和等边△DEF重叠部分的周长是6．（1）求证：△FGH和△CHL和△LEK和△KBJ和△JDI和△IAG都是等边三角形．（或证明∠AGF＝∠FHC＝∠CLE＝∠EKB＝∠BJI＝∠DIA＝120°）（2）求等边△ABC的边长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝8cm．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝10cm，求ED的长．19．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，且∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．求证：由线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．证明过程如下，请仔细阅读并将证明继续下去：证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°∴△AOO′是一个等边三角形∴AO＝OO′又∵OB＝O′C∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′请继续：20．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．（1）证明：△DEF是等边三角形；（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求的值．21．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形；所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠B＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，所以②正确．故选：C．2．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故选：C．3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AM＝BN＝CP，∴BM＝CN＝AP，在△AMP，△BNM和△CPN中，，∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS），∴PM＝MN＝NP，∴△MNP是等边三角形．4．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．5．解：设∠B＝x∵BD＝AD则∠B＝∠BAD＝x，∠ADE＝2x，∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝2x，∵AE＝EC，∠AED＝∠EAC+∠C∴∠EAC＝∠C＝x又BD＝DE＝AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE＝90°，则∠B+∠AED＝x+2x＝90°得x＝30°∴∠BAC＝180°﹣2x＝120°故选：C．6．解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．7．解：∵D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，∴AD＝BD＝BE＝EC＝CF＝FA＝DF＝DE＝EF＝AB＝AC＝∴等边三角形有：△ABC、△ADF、△BDE、△CEF、△DEF共5个，故选：D．8．解：如图，连接EF．∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠ADE＝∠ADF＝30°，△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，∴∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD，即图中与BD相等的线段有7条．故选：C．9．解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°，∵BE＝AB，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠DAC＝BAE，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，∴∠BAD＝∠EAC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（ASA），∴BD＝CE，∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，∴BD＝5，故选：A．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，∴选项A、B、C正确，选项D错误．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：如图，连OQ，∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ，∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ，∴∠POQ＝60°，∴△POQ为等边三角形，∴PQ＝PO＝2．故答案为2．12．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝8cm．故答案为：8．13．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE，∴AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，∴在△ADF与△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS）．同理证得△ADF≌△CFE（SAS），∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一个等边三角形．故答案是：等边三角形．14．解：如图，连接CC'，∵点M是AC中点，∴AM＝CM＝AC＝4，∵旋转，∴CM＝C'M，AM＝A'M∴A'M＝MC＝C'M＝4，∴∠A'＝∠A'CM＝30°∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M∴△CMC'是等边三角形∴C'C＝CM＝4故答案为：415．解：①连接OB，如图1，∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故③正确；④如图3，作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD ＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S △ABD ＝S △AHC ，∵四边形OAPC 面积＝S △OAC +S △AHC +S △CHP ，S △ABC ＝S △AOC +S △ABD +S △OCD∴四边形OAPC 面积＝S △ABC ．故④正确．故答案为：①②③④．16．解：如图，连接CC 1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M ，∴M 是AC 、A 1C 1的中点，AC ＝A 1C 1，∴CM ＝A 1M ＝C 1M ＝AC ＝5，∵∠A ＝30°，∴∠A 1＝∠A 1CM ＝30°，∴∠CMC 1＝60°，∴△CMC 1为等边三角形，∴CC 1＝CM ＝5，∴CC 1长为5．故答案为5．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠F＝60°，FG＝FH，FD＝BC，∴△FGH是等边三角形，同理△CHL、△LEK、△KBJ、△JDI、△TAG都是等边三角形；（2）∵△FGH是等边三角形，∴GH＝FG．同理，IJ＝ID，HL＝CL，JK＝KB，∴重叠部分的周长为：FD+BC＝6，∴FD＝BC＝3，即等边△ABC的边长是 3．18．解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图．∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BF＝BE＝8，∠EFB＝60°．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∴∠HDF＝30°，∴∠ADE＝∠HDF＝30°；（2）∵BC＝10，∴FC＝2．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BH＝CH＝BC＝5，∴HF＝5﹣2＝3．在Rt△DHF中，∵∠HDF＝30°，∴DF＝2HF＝6，∴DE＝8﹣6＝2．∴ED的长为2cm．19．证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°，∴△AOO′是一个等边三角形，∴AO＝OO′，又∵OB＝O′C，∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′，∵∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．∴∠AOC＝120°，∠AO′C＝120°∵△AOO′是一个等边三角形，∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°，∴∠O′OC＝∠OO′C＝60°，∴△OCO′是等边三角形，∴线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA，∵AD＝BE＝CF，∴BD＝EC＝AF，在△ADF、△BED和△CFE中∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形；（2）解：∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴△DEF∽△ABC，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，即BE＝BC，CE＝BC，∵EF＝EC•sin60°＝BC•＝BC，∴＝（）2＝（）2＝．21．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB＝EF＝2，BC＝1，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝。
八年级数学上册13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练(含解析)
等边三角形的判定、一．选择题（共8小题）·1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形·C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰不等边三角形·4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A 等于（）A．60° B．45° C．90° D．不能确定5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（）A．B．C．D．6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（）·A．B．C．D．7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN 至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）·A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a·8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm二．填空题（共5小题）··9．点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1，0），点C与点A、B构成等边三角形，点C的坐标为（所有可能）·．10．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形·．11．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长= ．12．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1、8，BC=3、9，∠B=60°，将△ABC 绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为．13．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是．三．解答题（共4小题）14．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．15．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．16．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．17．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOC是等边三角形；（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．人教版八年级数学上册13、3、2、2《等边三角形的判定》同步训练习题（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形考点：节等边三角形的判定．分析：节根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．解答：节A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；故选D．点评：节本题考查了等边三角形的判定：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点：等边三角形的判定．分析：根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．解答：解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D．点评：本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰不等边三角形考点：等边三角形的判定．分析：先根据△ABC中，AB=AC得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数，进而得出结论．解答：解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=60°，∴∠B=∠C==60°，∴△ABC是等边三角形．故选C．点评：本题考查的是等边三角形的判定，熟知三个角都相等的三角形是等边三角形是解答此题的关键．4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A 等于（）A．60° B．45° C．90° D．不能确定考点：等边三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可．解答：解：△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，∴b﹣c=0，a﹣b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，所以∠A=60°．故答案选：A．点评：本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，即可求得BD的长，又由勾股定理即可求的高．解答：解：如图：过点A作AD⊥BC于D，∵等边三角形△ABC的边长为4cm，∴DC=DB=2cm，∵AB=4cm，∴AD==2cm．故选A．点评：本题主要考查等边三角形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC 的周长为m，则AD=（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=AC，进而得到AD=．解答：解：∵三角形ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵BD⊥AC于D，∴AD=AC，∵△ABC周长为m，∴AD=，故选B．点评：本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN 至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．解答：解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP∴△MNP是等边三角形．又∵MQ⊥PN，垂足为Q，∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，∵NG=NQ，∴∠G=∠QMN，∴QG=MQ=a，∵△MNP的周长为12，∴MN=4，NG=2，∴△MGQ周长是6+2a．故选D．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm考点：等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．分析：根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=AE，可求得DE，则可求得BD．解答：解：∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，∴AE=BE=CE=AC=10cm，∴△ACE为等边三角形，∵CD⊥AE，∴DE=AE=5cm，∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm，故选C．点评：本题主要考查直角三角形的性质及等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．二．填空题（共5小题）9．点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1，0），点C与点A、B构成等边三角形，点C的坐标为（0，）或（0，﹣）（所有可能）．考点：等边三角形的判定；坐标与图形性质．分析：根据题意画出图形，求出边长AB=2，根据等边三角形的性质得出三边相等，再根据勾股定理求出OC，即可得出答案．解答：解：有两种情况：如图，∵点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1，0），∴OA=OB=1，AC1=AC2=AB=2，由勾股定理得：OC1=OC2==，即点C的坐标是（0，）或（0，﹣），故答案为：（0，）或（0，﹣）．点评：本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能求出符合条件的所有情况．10．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= a 时，△AOP为等边三角形．考点：等边三角形的判定．分析：根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．解答：解：∵AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．点评：本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．11．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长= 5 ．考点：等边三角形的判定与性质．分析：在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去60°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数，进而判断出三角形为等边三角形，即可求得腰长解答：解∵等腰三角形的顶角为60°，∴底角==60°，∴三角形为等边三角形，∴腰长=底边长=5，所以它的腰长为5，故答案为5．点评：本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角．12．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1、8，BC=3、9，∠B=60°，将△ABC 绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为2、1 ．考点：等边三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC 边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．解答：解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=1、8，BC=3、9，∴CD=BC﹣BD=3、9﹣1、8=2、1．故答案为：2、1．点评：此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．13．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是 a ．考点：等边三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：延长第2个等边三角形的一边与第1个等边三角形的一边相交于D，然后判定BD是三角形的中位线，然后求出BD的长，再求出BC的长，从而求出第2个等边三角形与第一个等边三角形边长的关系，也就是第2个正六边形与第1个正六边形的边长的关系，再根据此规律依次求解即可．解答：解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，∵B为中点，∴BD=×a=，∴BC=a﹣﹣=，∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的，∵正六边形的边长是相应等边三角形边长的，∴下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的，根据题意，第一个正六边形的边长是a，所以，第6个正六边形的边长：a×（）5=a．故答案为：a．点评：本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线并求出后一个等边三角形是前一个等边三角形的边长的是解题的关键．三．解答题（共4小题）14．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．考点：等边三角形的判定．专题：证明题．分析：根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，根据等边三角形的判定就可证得结论．解答：证明：∵OA=OB，∴∠A=∠B=60°，又∵AB∥DC，∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，∴△OCD是等边三角形．点评：本题主要考查了等边三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．15．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．考点：等边三角形的判定．分析：由AB=AC，AD⊥BC得到AD是BC的中垂线，由中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等知，BE=CE，即可得出△BCE的形状．解答：解：△BCE是等边三角形，理由如下：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴AD为BC的中垂线，∴BE=EC，∵BC=BE，∴BC=CE=BE，∴△BCE是等边三角形．点评：此题考查等边三角形的判定，关键是利用了中垂线的判定和性质证明BE=CE．16．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．考点：等边三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC．解答：解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°（3分）∴△ODE是等边三角形；（4分）（2）答：BD=DE=EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°，（6分）∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，（7分）同理，EC=EO，∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．（8分）点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．17．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOC是等边三角形；（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．考点：等边三角形的判定；等腰三角形的判定．专题：几何综合题；分类讨论．分析：（1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°﹣∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．解答：（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，∴CO=CD．∴△COD是等边三角形；（2）∵△ADC≌△BOC，∴DA=OB=4，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°，∴△AOD为直角三角形．又AO=5，AD=4，∴OD=3，∴CO=OD=3；（3）若△AOD是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO，∵∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠BOC=360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD=190°﹣∠AOD，而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO，由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，求得α=125°；由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°﹣∠AOD求得α=110°；由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°﹣2∠AOD，求得α=140°；综上可知α=125°、α=110°或α=140°．点评：此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定等知识，渗透分类讨论思想．。
北师大版数学八年级下册1.1《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》(第4课时)说课稿
北师大版数学八年级下册 1.1《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》（第4课时）说课稿一. 教材分析《等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》是人教版初中数学八年级下册的教学内容，属于几何部分。
本节课主要介绍了等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
通过本节课的学习，学生能够掌握等边三角形的判定方法，理解含30°角的直角三角形的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析在八年级下学期，学生已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但是，对于等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质，提高学生的几何思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握等边三角形的判定方法，理解含30°角的直角三角形的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力，提高学生的问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：等边三角形的判定方法，含30°角的直角三角形的性质。
2.教学难点：等边三角形的判定方法的灵活运用，含30°角的直角三角形的性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境创设：通过生活实例引入等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.自主探索：引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
等边三角形专题最新(含详解 析)
《等边三角形》专题2.(2017天津第9题)如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接.下列结论一定正确的是（ ）A． B． C. D．3. (2017天津第11题)如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A． B． C. D．17. （2017河池第12题）已知等边的边长为，是上的动点，过作于点，过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（）A． B． C. D．10.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。
（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。
《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（ ） A．6B．12C．32D．64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A．180°B．220°C．240°D．300°3．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD 上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ） A．2B．2C．D．34．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（ ） A．2B．4C．D．25．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ） A．B．C．D．不能确定6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ） A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（ ） A．3S1=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S28．（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ） A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ） A．3个B．2个C．1个D．0个10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ） A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定11．（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ） A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ） A．25°B．30°C．45°D．60°13．（2011•茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有 _________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为 _________ ．16．（2004•茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则：（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；（2）△A n B n C n的边长a n= _________ （其中n为正整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为 _________ 三角形．18．（1999•广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出 _________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① _________ ；② _________ ；③ _________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF 与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002•黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（2005•临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE 的长？《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E= 15 度．14． ①②③⑤ ． 15．.16． a3=；△A n B n C n的边长a n= （或21﹣n） 17． 等边 三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ．20．解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分）（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分）在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．（3分）（注：其它方法酌情给分）．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① 是 ；② 是 ；③ 否 ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．28．证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE为等边三角形．29．解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，=∠ADC+60°+∠BED，=∠CED+60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE=180°﹣（∠ADE+∠BED）=60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．30．解：过P点作PF∥BC交AC于F点，∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，∴AP=CQ，∵PF∥AB，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，∴△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴EF=AF，∵△APF是等边三角形，AP=CQ，∴PF=CQ∵PF∥AB，∴∠Q=∠FPD，在△PDF和△QDC中∵，∴△PDF≌△QDC，∴DF=CD，∴DF=CF，∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，∴ED=5．双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是 。
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《等边三角形的判定》课后练习题班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6 cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc 中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc 的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a 2.b 3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a2.b3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc 中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6 cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc 中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc 的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a 2.b 3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6 cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc 中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc 的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a 2.b 3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6 cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc 中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc 的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a 2.b 3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a2.b3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△ab c，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc 中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6 cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc 中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc 的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a 2.b 3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6 cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc 中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc 的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a 2.b 3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a2.b3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知，如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1)(2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd=（__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade 是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc，de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde=（__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc 中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在rt△abc中，如右图所示，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，点d到ab的距离de=3.8 cm，则bc等于a.3.8 cm b.7.6 cmc.11.4 cm d.11.2 cm三、解答与证明1. 如下图，在△abc 中，∠a=20°，d在ab上，ad=dc，∠acd∶∠bcd=2∶3，求：∠abc 的度数. 2.如下图，在△abc中，∠b=90°，m是ac上任意一点（m与a不重合）md⊥bc，交∠abc的平分线于点d，求证：md=ma.3.如右图，已知△abc和△bde都是等边三角形，求证：ae=cd.参考答案一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三 4.30 60 等边5.4 30 2 6.8 二、1.a2.b3.c三、1.解：∵ad=dc，且∠a=20°，∴∠a=∠acd=20°，又∵∠acd∶∠bcd=2∶3∴∠bcd=30°，∴∠acb=50°∴∠abc=180°－∠a－∠acb=180°－20°－50°=110°2.证明：∵md⊥bc，且∠b=90°，∴ab∥md，∴∠bad=∠d又∵ad为∠bac的平分线∴∠bad=∠mad，∴∠d=∠mad，∴ma=md3.证明：∵△abc是等边三角形，∴ab=bc，∠abe=60°又∵△bde是等边三角形，∴be=bd，∠dbe=60°，∴∠abe=∠dbe∴在△abe和△cbd中，∴△abe≌△cbd （sas），∴ae=cd。