高三数学一轮复习81直线的倾斜角与斜率直线的方程

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2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何8-1直线的倾斜角斜率与方程

2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何8-1直线的倾斜角斜率与方程
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).Leabharlann 教材梳理】1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线 与 轴相交时,我们以 轴为基准, 轴正向与直线 _____的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角.
(2)规定:当直线 与 轴____________时,我们规定它的倾斜角为 .
A.截距相等的直线都可以用方程 表示B.方程 能表示平行于 轴的直线C.经过点 ,倾斜角为 的直线方程为 D.经过两点 , 的直线方程为


解:对于A,截距相等且为0的直线都不可以用方程 表示,故错误;对于B,当 时,方程 表示平行于 轴的直线 ,故正确;对于C,经过点 ,倾斜角为 的直线方程不能写成 ,故错误;对于D,因为 ,所以直线的斜率存在,可写成 ,故正确.故选BD.
(Ⅲ) 经过点 ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解:由题意可知,所求直线的斜率为 ,又过点 ,得 .所求直线的方程为 或 .
(2) 一次函数 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A. 且 B. C. 且 D. 且
解:因为 的图象经过第一、三、四象限,故 ,且 ,即 ,且 为充要条件,因此 是它的一个必要不充分条件.故选B.
(4)若 ,且 时,直线即为 轴,方程为 .
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1) 倾斜角越小,斜率越小. ( )
×
(2) 不是所有的直线都有斜率. ( )

(3) 过点 的直线都可用方程 表示. ( )
×
(4) 能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示. ( )
变式3.(1) 若直线 过点 ,则该直线在 轴、 轴上的截距之和的最小值为( )

2020高三数学一轮复习(人教版理):直线的倾斜角与斜率、直线方程

2020高三数学一轮复习(人教版理):直线的倾斜角与斜率、直线方程
倾斜角为 α,则所求直线的倾斜角为 2α。 因为 tanα=3,所以 tan2α=1-2tatannα2α=-34。 又直线经过点 A(-1,-3), 因此所求直线方程为 y+3=-34(x+1), 即 3x+4y+15=0。 (3)由题意可知,所求直线的斜率为±1。 又过点(3,4),由点斜式得 y-4=±(x-3)。 所求直线的方程为 x-y+1=0 或 x+y-7=0。
答案
1 (2)2
与直线方程有关的最值问题的解题思路 1.借助直线方程,用 y 表示 x 或用 x 表示 y。 2.将问题转化成关于 x(或 y)的函数。 3.利用函数的单调性或基本不等式求最值。
【变式训练】 (1)当 k>0 时,两直线 kx-y=0,2x+ky-2=0 与 x 轴围 成的三角形面积的最大值为________。
解 (1)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-4×13=-43。又直线经过点 A(1,3),因此所求直线方程为 y-3=-43(x-1),即 4x+3y-13=0。
(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为2xa+ay=1,将(-5,2)代入所设方 程,解得 a=-12,所以直线方程为 x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方 程为 y=kx,则-5k=2,解得 k=-25,所以直线方程为 y=-25x,即 2x+5y= 0。故所求直线方程为 2x+5y=0 或 x+2y+1=0。
解析 (1)由题意知 cosθ≠0,则斜率 k=tanα=scions2θθ--01=-cosθ∈ [-1,0)∪(0,1],那么直线 AB 的倾斜角的取值范围是0,π4∪34π,π。
答案 (1)0,4π∪34π,π
(2)已知两点 M(2,-3),N(-3,-2),斜率为 k 的直线 l 过点 P(1,1)且 与线段 MN 相交,则 k 的取值范围是________。

第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2023届高三一轮复习数学精新高考人教A版2019)

第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2023届高三一轮复习数学精新高考人教A版2019)

3.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_-__2_y_=_.0 或 x+y-5=0
解析 当纵、横截距均为 0 时,直线方程为 3x-2y=0; 当纵、横截距均不为 0 时,设直线方程为ax+ay=1, 则2a+3a=1,解得 a=5. 所以直线方程为 x+y-5=0.
◇考题再现
向旋转 15°,则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A.x- 3y+1=0
B. 3x-y=0
C. 3x+y+1=0
D.3x- 3y-1=0
(2)若 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等,则直线 l 的方程为_2_x_-__3_y_=__0_或 ___x_+__y.-5=0
(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适 合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
[巩固演练] 3.已知直线 l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0 及点 P(3, 4). (1)证明:直线 l 过某定点,并求该定点的坐标; (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时,求直线 l 的方程. 解析 (1)在直线 l 的方程可化为: a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0, 由2x+x+y-y+11==00,解得xy==-3 2,, ∴直线恒过定点(-2,3).
=5+-k+-4k≥5+4=9. 所以当且仅当-k=-4k且 k<0, 即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值. 这时 l 的方程为 2x+y-6=0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程, 建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.

高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程课件理

高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程课件理
第三十三页,共46页。
冲关针对训练 已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程.
第三十四页,共46页。
解 (1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
第四页,共46页。
2.直线方程的五种形式
第五页,共46页。
第六页,共46页。
[诊断自测] 1.概念思辨 (1)直线的斜率为 tanα,则其倾斜角为 α.( × ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × ) (3)经过点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0) 表示.( × ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线 都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( √ )
设直线 l 的方程为ax+by=1,则1a+1b=1,
所以
|OA|+|OB|=a+
b

(a
+b)1a+1b=2

a b
+ba≥2+
2 ab·ba=4, 当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线 l 的方程为 x
+y-2=0.
第三十五页,共46页。
(2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0, 直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 则 A1-1k,0,B(0,1-k), 所以|MA|2+|MB|2=1-1+1k2+12+12+(1-1+k)2=2 +k2+k12≥2+2 k2·k12=4. 当且仅当 k2=k12,即 k=-1 时取等号,此时直线 l 的 方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第8章第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程(含答案)

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第8章第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程(含答案)

高考数学一轮总复习知识梳理:第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理知识点一直线的倾斜角1.定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,把x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角的取值范围为 [0°,180°).知识点二直线的斜率1.定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在.2.过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.3.直线的方向向量与斜率的关系1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°kk >0且α越大,k 就越大 不存在k <0且α越大,k 就越大口诀:斜率变化分两段,直角便是分界线; 小正大负皆递增,分类讨论记心中. 2.特殊直线的方程(1)过点P 1(x 1,y 1)垂直于x 轴的直线方程为x =x 1; (2)过点P 1(x 1,y 1)垂直于y 轴的直线方程为y =y 1; (3)过原点的直线的方程为x =my . 3.谨记以下几点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意.(2)当直线与x 轴不垂直时,可设直线的方程为y =kx +b ;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为x =my +b .(3)A ,B ,C 三点共线⇔k AB =k AC (或k AB =k BC ,或k AC =k BC ). (4)直线Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)的一个方向向量a =(-B ,A ).双 基 自 测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等.( √ )(4)经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示.( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a +y b=1表示.( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示.( √ )题组二 走进教材2.(选择性必修1P 58T7)经过两点A (4,2y +1),B (2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y=( B )A .-1B .-3C .0D .2[解析] 由2y +1--34-2=2y +42=y +2,得y +2=tan 3π4=-1,∴y =-3.3.(选择性必修1P 67T7)过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 3x -2y =0或x +y -5=0 .[解析] 当截距为0时,直线方程为3x -2y =0; 当截距不为0时,设直线方程为x a +y a=1,则2a +3a=1,解得a =5.所以直线方程为x +y -5=0.题组三 走向高考4.(2022·北京高考真题)若直线2x +y -1=0是圆(x -a )2+y 2=1的一条对称轴,则a =( A )A.12 B .-12C .1D .-1[解析] 由题意知圆心坐标为(a,0),又直线2x +y -1=0是圆(x -a )2+y 2=1的一条对称轴,所以圆心在直线上,即2a +0-1=0,解得a =12.故选A.5. (2021·山东高考真题)如右图,直线l 的方程是( D )A.3x -y -3=0B.3x -2y -3=0C.3x -3y -1=0 D .x -3y -1=0[解析] 由图可得直线的倾斜角为30°,所以斜率k =tan 30°=33,又直线l 与x 轴的交点为(1,0),所以直线的点斜式方程可得l :y -0=33(x -1),即x -3y -1=0.故选D.。

高三数学一轮复习直线方程

高三数学一轮复习直线方程

解析 由题意可得 kOA=tan 45°=1, 3 kOB=tan(180°-30°)=- , 3 3 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- x. 3 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点
m- C 2
3n m+n , , 2
1 由点 C 在直线 y= x 上,且 A,P,B 三点共线得 2 m- 3n m+n=1· , 2 2 2 解得 m= 3,所以 A( 3, 3). m-0= n-0 , m-1 - 3n-1 3+ 3 3 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= = , 2 3-1 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.
(2)(2014· 贵州贵阳一模)设直线 l 的方程为 x+ycos θ +3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ( A.[0,π )
π 3π C. 4, 4 π B. 4 π D. 4
)
π , 2
π 3π π , ∪ , 2 4 4
1 ∴S△AOB= ab≥4. 2 2 1 1 当且仅当 = = , a b 2 即 a=4,b=2 时,S△AOB 取最小值 4, x y 此时直线 l 的方程为 + =1, 4 2 即 x+2y-4=0.
解法二:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0), 则 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 1 1 S△AOB= ×2-k ×(1-2k) 2
当且仅当 a-2=1,b-1=2,即 a=3,b=3 时, |PA|·|PB|取得最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 解法二:|PA|· |PB|= = 4 2 2+4k +8≥4. k

[广东理数一轮]8.1倾斜角与斜率、直线的方程

[广东理数一轮]8.1倾斜角与斜率、直线的方程

2 . 已Leabharlann 直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交, 求直线l的斜率的取值范围.
题型二
求直线的方程
3. 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点A(-1,-3),且倾斜角等于直线y=3x的倾 斜角的2倍. (3)过点A(2,1)和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的 交点.
1.直线的倾斜角
倾斜角:平面直角坐标系中,一条与 x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点 按逆时针旋转到和直线重合所转的最 小正角,叫做直线的倾斜角. 规定:与x轴平行或重合的直线倾 斜角为0. 范围:0 180
2.直线的斜率 (1)斜率: 90, k tan ;
90, k不存在.
y y1 y 2 y1
斜率存在 斜率存在 且不为0 截距存在 且不为0,
=
截距式
一般式
在两坐标轴 上的截距
x + y =1 a b
x x1 x2 x1
Ax+By+C=o
4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y), x x1 x2 2 则 , 此公式为线段 P P 的中 1 2 y y1 y2 2 点坐标公式.
考纲 1.在平面直角坐标系 中,结合具体图形, 掌握确定直线位置的 几何要素. 2. 理解直线的倾斜角 和斜率的概念,掌握 过两点的直线斜率的 计算公式. 3. 掌握直线方程的几 种形式,了解斜截式 与一次函数的关系.
解读 1.从考查形式上看, 主 要以选择题、填空题 出现. 2.从结合点看,直线 的斜率、方程以及两 直线的位置关系是高 考的重点;另外,常 与圆锥曲线综合命 题,重点考查函数与 方程思想和数形结合 思想.

一轮复习:直线的倾斜角、斜率与直线的方程

一轮复习:直线的倾斜角、斜率与直线的方程

授课主题直线的倾斜角、斜率与直线的方程教学目标1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 4.掌握两点间的距离公式.教学内容1. 平面直角坐标系中的基本公式(1)两点间的距离公式:已知平面直角坐标系中的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则d (A ,B )=x 2-x 12+y 2-y 12.(2)中点公式:已知平面直角坐标系中的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),点M (x ,y )是线段AB 的中点,则x =x 1+x 22,y =y 1+y 22.2. 直线的倾斜角(1)定义:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围:[0°,180°). 3. 直线的斜率(1)定义:直线y =kx +b 中的系数k 叫做这条直线的斜率,垂直于x 轴的直线斜率不存在;(2)计算公式:若由A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)确定的直线不垂直于x 轴,则k =y 2-y 1x 2-x 1 (x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ (θ≠π2),则k =tan_θ.4. 直线方程的形式及适用条件名称 几何条件 方程 局限性 点斜式过点(x 0,y 0),斜率为ky -y 0=k (x -x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为k ,纵截距为by =kx +b不含垂直于x 轴的直线两点式过两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 1≠x 2,y 1≠y 2) y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1 (x 2≠x 1,y 2≠y 1) 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b (a ,b ≠0)x a +y b =1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax +By +C =0平面直角坐标系内的直线都适用题型一 直线的倾斜角与斜率例1、直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为________.方法点拨:数形结合,由斜率公式求得k P A ,k PB . 答案 (-∞,-3]∪[1,+∞) 解析 如图,∵k AP =1-02-1=1, k BP =3-00-1=-3,∴k ∈(-∞,-3]∪[1,+∞). 方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1.求直线倾斜角或斜率的取值范围时,常借助正切函数y =tan x 在[0,π)上的单调性求解,这里特别要注意,当α∈⎣⎡⎭⎫0,π2时,斜率k ∈[0,+∞);当α=π2时,斜率不存在;当α∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,斜率k ∈(-∞,0). 2.先画出满足条件的图形,找到直线所过的点,然后求定点与端点决定的直线的斜率.见典例.【冲关针对训练】已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (-1,1)和Q (2,2),若直线l :x +my +m =0与线段PQ 有交点,则实数m 的取值范围是________.答案 -23≤m ≤12解析 如图所示,直线l :x +my +m =0过定点A (0,-1),当m ≠0时,k QA =32,k P A =-2,k l =-1m ,∴-1m ≤-2或-1m ≥32,解得0<m ≤12或-23≤m <0;当m =0时,直线l 的方程为x =0,与线段PQ 有交点. ∴实数m 的取值范围为-23≤m ≤12.题型二 直线方程的求法又∵2a +1b ≥22ab ⇒12ab ≥4,当且仅当2a =1b =12,即a =4,b =2时,△AOB 面积S =12ab 有最小值为4. 此时,直线l 的方程是x 4+y2=1,即x +2y -4=0.(2)设所求直线l 的方程为y -1=k (x -2). 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k -1k ,0,B (0,1-2k )(k <0),∴截距之和为2k -1k +1-2k =3-2k -1k ≥3+2(-2k )·⎝⎛⎭⎫-1k =3+2 2. 此时-2k =-1k ⇒k =-22.故截距之和最小值为3+22,此时l 的方程为y -1=-22(x -2),即x +2y -2-2=0. 方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1.求解与直线方程有关的最值问题,先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决.2.求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解. 【冲关针对训练】已知直线l 过点M (1,1),且与x 轴,y 轴的正半轴分别相交于A ,B 两点,O 为坐标原点.求:(1)当|OA |+|OB |取得最小值时,直线l 的方程; (2)当|MA |2+|MB |2取得最小值时,直线l 的方程. 解 (1)设A (a,0),B (0,b )(a >0,b >0). 设直线l 的方程为x a +y b =1,则1a +1b=1,所以|OA |+|OB |=a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+a b +ba≥2+2a b ·ba=4, 当且仅当“a =b =2”时取等号,此时直线l 的方程为x +y -2=0. (2)设直线l 的斜率为k ,则k <0, 直线l 的方程为y -1=k (x -1), 则A ⎝⎛⎭⎫1-1k ,0,B (0,1-k ), 所以|MA |2+|MB |2=⎝⎛⎭⎫1-1+1k 2+12+12+(1-1+k )2=2+k 2+1k2≥2+2k 2·1k2=4. 当且仅当k 2=1k2,即k =-1时取等号,此时直线l 的方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.1.(2017·大庆模拟)两直线x m -y n =a 与x n -ym=a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m -y n =a 可化为y =n m x -na ,直线x n -y m =a 可化为y =mn x -ma ,由此可知两条直线的斜率同号.故选B.2.(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角,且sin θ+cos θ=55,则l 的斜率为( ) A .-12B .-12或-2C.12或2 D .-2答案 D解析 ∵sin θ+cos θ=55,① ∴(sin θ+cos θ)2=1+sin2θ=15,∴2sin θcos θ=-45,∴(sin θ-cos θ)2=95,易知sin θ>0,cos θ<0, ∴sin θ-cos θ=355,②由①②解得⎩⎨⎧sin θ=255,cos θ=-55,∴tan θ=-2,即l 的斜率为-2,故选D.3.(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y =2-x 2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取到最大值时,直线l 的倾斜角为( )A .150°B .135°C .120°D .105°答案 A解析 由y =2-x 2得x 2+y 2=2(y ≥0),它表示以原点O 为圆心,2为半径的圆的一部分,如图所示. 由题意知直线l 的斜率存在,设过点P (2,0)的直线l 的方程为y =k (x -2),则圆心到此直线的距离d =|2k |1+k 2,弦长|AB |=22-⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1+k 22=22-2k 21+k 2,所以S △AOB=12×|2k |1+k 2×22-2k 21+k 2≤(2k )2+2-2k 22(1+k 2)=1,当且仅当(2k )2=2-2k 2,即k 2=13时等号成立,结合图可知k =-33⎝⎛⎭⎫k =33舍去,故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4.(2014·四川高考)设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),则|P A |·|PB |的最大值是________.答案 5解析 易知A (0,0),B (1,3),且P A ⊥PB ,∴|P A |2+|PB |2=|AB |2=10,∴|P A |·|PB |≤|P A |2+|PB |22=5(当且仅当|P A |=|PB |=5时取“=”).一、选择题1.(2018·朝阳模拟)直线x +3y +1=0的倾斜角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析 直线斜率为-33,即tan α=-33,0≤α<π,∴α=5π6,故选D. 2.(2017·正定质检)直线x cos140°+y sin40°+1=0的倾斜角是( )A .40°B .50°C .130°D .140°答案 B解析 将直线x cos140°+y sin40°+1=0化成x cos40°-y sin40°-1=0,其斜率为k =cos40°sin40°=tan50°,倾斜角为50°.故选B.3.(2018·哈尔滨模拟)函数y =a sin x -b cos x 的一条对称轴为x =π4,则直线l :ax -by +c =0的倾斜角为( )A.π4B.π3 C.2π3 D.3π4答案 DA .1B .2C .4D .8答案 C解析 ∵直线ax +by =ab (a >0,b >0)过点(1,1),∴a +b =ab ,即1a +1b =1,∴a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+b a +ab ≥2+2b a ·ab=4,当且仅当a =b =2时上式等号成立.∴直线在x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C. 9.(2017·烟台期末)直线mx +n2y -1=0在y 轴上的截距是-1,且它的倾斜角是直线3x -y -33=0的倾斜角的2倍,则( )A .m =-3,n =-2B .m =3,n =2C .m =3,n =-2D .m =-3,n =2答案 A解析 根据题意,设直线mx +n2y -1=0为直线l ,另一直线的方程为3x -y -33=0, 变形可得y =3(x -3),其斜率k =3,则其倾斜角为60°,而直线l 的倾斜角是直线3x -y -33=0的倾斜角的2倍,则直线l 的倾斜角为120°,且斜率k =tan120°=-3,又由l 在y 轴上的截距是-1, 则其方程为y =-3x -1;又由其一般式方程为mx +n2y -1=0,分析可得m =-3,n =-2.故选A.10.若点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,则m 2+n 2的最小值是( )A .2B .2 2C .4D .2 3答案 C解析 因为点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,所以4m +3n -10=0. 欲求m 2+n 2的最小值可先求(m -0)2+(n -0)2的最小值.而(m -0)2+(n -0)2表示4m +3n -10=0上的点(m ,n )到原点的距离,如图.当过原点和点(m ,n )的直线与直线4m +3n -10=0垂直时,原点到点(m ,n )的距离最小,最小值为2. 故m 2+n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11.已知P (-3,2),Q (3,4)及直线ax +y +3=0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点),则a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫-73,-13解析 直线l :ax +y +3=0是过点A (0,-3)的直线系,斜率为参变数-a ,易知PQ ,QA ,l 的斜率分别为:k PQ=13,k AQ =73,k l =-a .若l 与PQ 延长线相交,由图可知k PQ <k l <k AQ ,解得-73<a <-13. 12.(2018·石家庄期末)一直线过点A (-3,4),且在两轴上的截距之和为12,则此直线方程是________.答案 x +3y -9=0或y =4x +16解析 设横截距为a ,则纵截距为12-a ,直线方程为x a +y 12-a =1,把A (-3,4)代入,得-3a +412-a =1,解得a =-4,a =9.a =9时,直线方程为x 9+y3=1,整理可得x +3y -9=0.a =-4时,直线方程为x -4+y16=1,整理可得4x -y +16=0.综上所述,此直线方程是x +3y -9=0或4x -y +16=0.13.过直线l :y =x 上的点P (2,2)作直线m ,若直线l ,m 与x 轴围成的三角形的面积为2,则直线m 的方程为________.答案 x -2y +2=0或x =2解析 ①若直线m 的斜率不存在,则直线m 的方程为x =2,直线m ,直线l 和x 轴围成的三角形面积为2,符合题意;②若直线m 的斜率k =0,则直线m 与x 轴没有交点,不符合题意;③若直线m 的斜率k ≠0,设其方程为y -2=k (x -2),令y =0,得x =2-2k ,依题意有12×⎪⎪⎪⎪2-2k ×2=2,即⎪⎪⎪⎪1-1k =1,解得k =12,所以直线m 的方程为y -2=12(x -2),即x -2y +2=0.综上知,直线m 的方程为x -2y +2=0或x =2. 14.在下列叙述中:1112 ∴无论k 取何值,直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知,当k ≠0时,直线在x 轴上的截距为-1+2k k,在y 轴上的截距为1+2k ,要使直线不经过第四象限,则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ -1+2k k ≤-2,1+2k ≥1,解得k >0;当k =0时,直线为y =1,符合题意,故k 的取值范围为[0,+∞). (3)由题意可知k ≠0,再由l 的方程,得A ⎝⎛⎭⎫-1+2k k ,0,B (0,1+2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧-1+2k k <0,1+2k >0,解得k >0. ∵S =12·|OA |·|OB |=12·⎪⎪⎪⎪1+2k k ·|1+2k |=12·(1+2k )2k =12⎝⎛⎭⎫4k +1k +4≥12×(2×2+4)=4, “=”成立的条件是k >0且4k =1k ,即k =12, ∴S min =4,此时直线l 的方程为x -2y +4=0.方法与技巧1. 要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式:k =y 2-y 1x 2-x 1,该公式与两点顺序无关,已知两点坐标(x 1≠x 2)时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1=x 2,y 1≠y 2时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.2. 求斜率可用k =tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜率变化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”.3. 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法. 失误与防范1. 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.2. 根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.3. 利用一般式方程Ax +By +C =0求它的方向向量为(-B ,A )不可记错,但同时注意方向向量是不唯一的.1. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( )A .k 1<k 2<k 3B .k 3<k 1<k 2C .k 3<k 2<k 1D .k 1<k 3<k 2 答案 D 解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k 3<k 2,因此k 1<k 3<k 2,故选D.13。

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