苏科版八上讲义：第一章 第10课时 探索三角形全等的条件(8)
苏科版数学八年级上册探索三角形全等的条件(8)HL课件
A
D
EB
拓展延伸
2.如图，AB=AC，点D、E在AC、AB上， AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，且AG＝AF，说明： AD＝AE
A
E F
D
G
B
C
8.如图,△ABC和△EFG中 ，AD 、EH 分别是高,AD=EH，AB=EF，AC=EG， 求证：△ABC≌△EFG
E
D
F
HG
1．直角三角形全等的判定方法有四种根据：
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). 又 ∠DE课堂练习
1.如图，AB=DF，CF=EB，AC⊥ CE， DE⊥CE，垂足分别为C、E. 问：△ABC与△DFE全等吗？为什么？
A
F
E
C
B
D
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′ （ 对）SAS （3）AB＝A′B′，∠A＝ ∠ A′ （ 对） AAS （4）∠A＝∠A′, ∠B＝∠B′ （ ）错
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （ 对 ）HL （6）∠A＝∠A′, AB＝ B′C′ （ 错）
➢例题讲授
例1 如图，在△ABC中，已知：BD⊥AC， CE⊥AB，BD=CE.试说明△EBC≌ △DCB。
(1)若 ∠A＝∠D，AB＝DE，
A
D
则△ABC≌△DEF .（ ASA） (2)若∠A＝∠D，BC＝EF，
则△ABC≌△DEF. （ AAS） B
CE
F
(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC≌△DEF. （ SAS ）
上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直
角三角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直
A
苏科版八年级数学上册知识讲义-1.三角形全等的性质与判定
初中数学 三角形全等的性质与判定精讲精练【考点精讲】一、全等形及全等三角形1. 两个能够完全重合的图形是全等形；2. 全等形的形状、大小都相同。
二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等；2. 全等三角形对应边上的高，中线，角平分线相等。
三、三角形全等的判定方法1. 一般的三角形全等的判定方法有4种，分别是SAS 、SSS 、AAS 、ASA ；2. 直角三角形全等的判定还有一个特殊的方法是：HL 。
（注：判断三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中至少要有一组对应边相等。
三角形具有稳定性或用尺规作图所利用的原理都是：SSS ）【典例精析】例题1 如图，四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：△ACF ≌△BDE 。
思路导航：从结论△ACF ≌△BDE 入手，题目所给全等条件只有AC=BD ；由AE=BF ，两边同时减去EF 得到AF=BE ，又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件，可以是CF=DE ，也可以是∠A=∠B 。
由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明△ACE ≌△BDF ，从而得到A B ∠=∠，进而可证明△ACF ≌△BDE 。
答案：AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中AE BFAC BD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ）∴A B ∠=∠AE BF =∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =在ACF ∆与BDE ∆中 AF BE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△BDE （SAS ）点评：本题实际上运用的是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。
再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。
苏科版八年级数学上册教材配套教学课件《探索三角形全等的条件》
3 B
C E
又∵CE⊥AN∴∠ADB＝∠AEC＝90°
N
在△ADB和△ACE中
∠1＝∠3 ∠ADB＝∠ACE AB＝AC
∴△ADB≌△ACE （AAS）
∴AD＝CE BD＝AE （全等三角形的对应边相等）
∵DE＝AE－AD∴DE＝BD－CE
课堂小结
谈谈这一节课你有哪些收获？ 本节课学习了哪种判断两个三角形全等的方法？
A
F
B
C
E
∠ABB∥=∠DEE （ASA）
或∠A=∠D （AAS）
D
或 AC=DF （SAS）
AB=DE可以吗？ ×
2.已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，
∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ D ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED
D．∠1＝∠2
∴ △ABC≌ △DCB（AAS）． ∴AB=DC(全等三角形的对应边相等）
4. 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB=∠EAC． 求证：AB =AC．
证明：∵ ∠DAB =∠EAC， ∴ ∠DAC =∠EAB. ∵ AE⊥BE，AD⊥DC， ∴ ∠D =∠E =90°. 在△ADC 和△AEB 中,
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全 等 (简写成“角角边”或“AAS”）．
在今后的学习中，如果要证明线段相等或角相等， 我们首先要想到利用三角形全等这个重要途径。
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。20.9.320.9.3T hursday, September 03, 2020
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苏科版数学八年级上册1.3 探索三角形全等的条件 第1课时课件
1 . 3 探索三角形全等的条件
例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF， AE∥BF.
求证：△AEC ≌△BFD.
证明：∵AE // BF (已知)， ∴∠AEC＝∠BFD
(两直线平行，内错角相等).
1 . 3 探索三角形全等的条件
在△AEC 和△BFD 中， AE＝BF(已知)， ∠AEC＝∠BFD(已证)， CE＝DF(已知)，
1.3 探索三角形全
等的条件
第1课时 利用两边夹角判 定三角形全等
1 . 3 探索三角形全等的条件 讨论
1.当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗? 当两个三角形的1对边或角相等时，它们不一定全等. 2.当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗?
当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们不一 定全等.
1 . 3 探索三角形全等的条件 3. 当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗?
当两个三角形的 3 对边分别相等时，它们一定 全等；
当两个三角形的3 对角分别相等时，它们不一 定全等.
1 . 3 探索三角形全等的条件
交流 1. 如图，每人用一张长方形纸剪一 个直角三角形，怎样剪才能使剪下的 所有直角三角形都能够重合?
1 . 3 探索三角形全等的条件
例2 已知：如图1－8，AB、CD 相交于点E，且E是AB、 CD 的中点.
求证：△AEC≌△BED.
证明：∵E是AB、CD的中点(已知)， ∴ AE＝BE，CE＝DE
(线段中点的定义).
1 . 3 探索三角形全等的条件
在△AEC和△BED中， AE＝BE(已证)， ∠AEC＝∠BED(对顶角相等) CE＝DE(已证)，
∴ AC＝CB(线段中点的定义). ∵ AD ∥ CE(已知)， ∴∠CAD＝∠BCE(两直线平行，同位角相等). 在△ ACD 和△ CBE 中， AC＝CB(已证)， ∠CAD＝∠BCE(已证)， AD＝CE(已知)， ∴ △ACD ≌△CBE(SAS).
八年级数学上册知识讲义-1.全等三角形的有关概念-苏科版
初中数学全等三角形的有关概念精讲精练【考点精讲】1. 确定全等三角形的对应边、对应角的技巧（1）根据位置元素来推理①若全等三角形中有对顶角，则对顶角是对应角；②若全等三角形中有公共角（边），则公共角是对应角（边）；③全等三角形对应顶点所在的角是对应角；④全等三角形对应角所对的边是对应边；⑤全等三角形两对对应边（角）所夹的角（边）是对应角（边）；⑥由全等三角形的记法确定对应边和对应角；⑦一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角；⑧一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边。
（2）从运动角度看①平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素。
②翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素。
③旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素。
甲DCAB FE乙DCAB丙DCABE2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等，全等三角形的周长相等、面积相等，全等三角形的对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等。
【典例精析】例题1 如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°思路导航：要想求∠ACA′的度数，应先把它转化为三角形中的角，那就是∠ACB ，由△ACB ≌△A′CB′，可知∠ACB ＝∠A′CB′，两边同时减去∠BCA′，就得到了要求的角和已知角的关系了，进而可求得∠ACA′的度数。
答案：根据全等三角形对应角相等的性质，由△ACB ≌△B C A ''，得∠ACB ＝∠A′CB′，所以∠ACB －∠BCA′＝∠A′C B ′－∠BCA′，即∠AC A′＝∠BCB ′＝30°。
所以应选B 。
点评：利用全等三角形的性质解题时，首先要确定出对应边（角），再根据等量加（减）等量结果仍是等量的性质，转化成所求的边（角）。
1.3 第8课时 探索直角三角形全等的条件—HL2023-2024学年苏科版八年级上册数学
90°，AC＝A'C')，在此图形上用尺规作出BC与B'C'边上的中
线，不写作法，保留作图痕迹，
并据此写出已知、求证和证明过程.
合作探究
解:如图，AD和A'D'就是所要求作的图形.
已知:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC
＝A'C'，AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，且AD＝A'D'，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°.
预习导学
∠＝∠,
在△ACE和△BDF中， ∠＝∠＝°,
＝,
∴△ACE≌△BDF(AAS)，∴CE＝DF.
合作探究
利用“HL”判定两个直角三角形全等
1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的
高，如果CD＝EF，AC＝AE.
合作探究
变式演练
如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，
EA⊥AB，FD⊥AD，AB＝CD，若用“HL”证明
Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程.
合作探究
解:可添加条件EC＝BF.
证明:∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，∴AC＝BD.
∵EA⊥AB，FD⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°.
在Rt△AEC和△Rt△DFB中，
＝,
∴Rt△AEC≌△Rt△DFB(HL).
＝,
方法归纳交流 (1)运用“HL”判定两个直角三角形全等，
在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”.
合作探究
(2)判定两个直角三角形全等的特殊方法(“HL”)，只适用
苏科版八年级数学上册探索三角形全等的条件(第1课时)课件
1.3探索三角形全等的条件（一）
温故知新
Review
1、什么叫全等三角形？
全等三角形
2、全等三角形有什么性质？
A
D
B
C
E
F
对应角相等 对应边相等
△ABC ≌ △DEF
∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
AB=DE AC=DF BC=EF
创设情境
Creating context
课堂反馈
Class Feedback
1.3探索三角形全等的条件（一）
1. 如图（1）， ∠1=∠2， AC=AE，要用“SAS”说明
△ABC≌△ADE.还需添加条件
.
2. 如图（2）， ∠1=∠2， AB=AC， AD=AE，如果
∠ADB=115 ° ，那么∠AED=
°.
A
12
B
D
A 12
E
CB
D
4 40°4
40°
4
6
①
4 5
30°
④
②
6
40°
4
⑤
③
4
4
30°
⑥
例题
Example
1.3探索三角形全等的条件（一）
例1.已知：如图， AB=AD，∠BAC=∠DAC.
求证：△ABC ≌△ADC.
变式拓展：
（1）BC ＝DC吗？
D
（2）CA平分∠DCB吗？
A
C
B
试一试
Have A Try
1.3探索三角形全等的条件（一）
2、如图：AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且 AD=AE. 求证：△ABE≌△ACD.P14 练习--2
苏科版数学八年级上册_《探索三角形全等的条件(8)》参考课件
（1）若 ∠A＝∠D，AB＝DE，
A
D
则△ABC≌△DEF （ （2）若∠A＝∠D，BC＝EF，
）．
则△ABC≌△DEF （
）． B
CE
F
（3）若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC≌△DEF （
）．
上面的第4小题，都只添加了两个条件，就使两个直角三
角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角
展示·探究
4.探索活动三
已知：如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是 三角形的高，并且AB＝DE，AP＝DQ，∠BAC＝∠EDF， 图中有全等三角形吗？若有，请写出所有的全等三角形 并写出判断过程；若没有，请说明理由.
A
D
B
P CE
QF
思考：能否改变题中的某个条件，上面的结论 仍然成立？小组交流一下！
展示·探究
4.探索活动三
变式1：若把∠BAC＝∠EDF，改为BC＝EF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路．
变式2：若把∠BAC＝∠EDF，改为AC＝DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路． 变式3：请你把原题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍 能全等．试证明．
变式4：如果将原题中的如图二字去掉， 对结果是否有影响？
检测·反馈
1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，
则_△__A_B_D_≌_△__A_C_D_，依据是__H_L_定_理_.
A
BD＝__C_D___，∠BAD＝_∠__C_A_D_.
B
D
C
2．如图，∠C ＝∠D＝90°，请你再添加一个条件，使
△ABD ≌ △BAC，并在添加的条件后的（ ）内写出
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盐城市鞍湖实验学校八年级预习作业数学
第10课时探索三角形全等的条件(8)
预习目标
1．经历探索判定直角三角形全等的条件“斜边、直角边”的过程，体会通过操作、归纳获得
数学结论的过程．
2．掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”条件，能运用“斜边、直角边”判定两个直
角三角形全等，并解决一些简单的实际问题．
3．进一步提高结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明的能力．
4．进一步学习文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．
教材导读
阅读教材P27～P28内容，回答下列问题：
1．用尺规画直角三角形
已知Rt△ABC(如图①)，按照下列步骤画直角三角形：
(1)如图②，在直线m上截取DE＝AB；(2)如图③，过点D作直线n⊥m；
(3)如图④，以点E为圆心，BC的长为半径作弧，交直线n于点F；
(4)如图⑤，连接EF，得到Rt△DEF．观察发现：Rt△ABC_______Rt△DEF．
2．直角三角形全等的特殊条件——“斜边、直角边”
斜边和一条_______边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“_______”或“_______”）．也
就是在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A＝∠FDE＝90°．当BC＝_______，AB＝_______，
或BC＝_______，AC＝_______时，Rt△ABC≌Rt△DFF．
例题精讲
例1 如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF．
求证：(1)AF＝CE．(2)AB∥CD．
提示：先运用“HL”证明Rt△ABF≌Rt△CDE，从而得出AF＝CE，∠CAB＝∠ACD，再根
据“内错角相等，两直线平行”得到AB∥CD．
点评：本题着重考查同学们运用“HL”判定两个直角三角形全等的能力．本题还可以证明△
ADE≌△CBF，同学们不妨尝试证明．
例1如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD＝CE，BE与CD相交于点0．
求证：AO平分∠BAC．
提示：要证明AO平分∠BAC，可以证明Rt△AOD≌Rt△AOE，现已知OA＝OA，则只需要
证明DO＝EO即可，因此可以根据条件先证明△BOD≌△COE．
点评：本题主要考查能够较为灵活地运用判定三角形全等条件的能力，判定两个三角形全等时，
往往先根据已知条件或求证的结论确定待证全等的三角形，然后根据三角形全等的条件，看缺什么
条件，再去想办法证得，从而使问题逐步转化，找到解决问题的策略．
热身练习
1．如图，AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
2．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°．
(1)若运用“AAS”说明△ABC≌△ABD，则需添加条件_______或_______．
(2)若运用“HL”说明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需添加条件_______或_______．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，PQ＝BA，P、Q两点分别在线段AC和
过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当A＝_______时，才能使Rt△ABC≌Rt△QPA．
4．如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，BE＝AC，DE＝DC，
BE和AC垂直吗？请证明你的结论．
5．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
DE＝DF．求证：AB＝AC．
6．小亮只用一把直尺就作出了一个角的平分线，你相信吗？如图，他先后将直尺的
一边与∠AOB的两边重合，过另一边先后作两条直线，它们的交点为M，于是作射
线OM，则OM就是∠AOB的平分线．你能说出其中的道理吗？。