广东省2018—2019学年高二数学第二学期期末模拟考试卷(一)

广东省高二第二学期期末模拟考试卷（一）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．D．2．数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4 B．8 C．15 D．313．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B． C．1 D．4．若函数y=x+（x＞0）有两个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣）5．曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（）A．e﹣e﹣1B．e+e﹣1C．e﹣e﹣1﹣2 D．e+e﹣1﹣26．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望E（ξ）=8.9，则y的值为（）A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.27．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种8．下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin （B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形10．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C． D．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），且x∈（0，1]时，f（x）=，a=f（），b=f（），c=f（），则（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）14．已知点P在圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上，点Q在不等式，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是．15．已知正态总体的数据落在（﹣3，﹣1）里的概率和落在（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为．16．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD=50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ=．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d=2，S10=120．（1）求a n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．（12分）2016年全国高考将有25个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求考生从选修4﹣1（几何证明选讲）、选修4﹣4（坐标系与参数方程）、选修4﹣5（不等式选讲）的三道题中任选一道题作答．某数学老师教了高三A、B两个理科班共100名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对一次数学模拟考试进行了统计，结果如表所示：若从100名学生中随机抽取一名，他选做选修4﹣4的概率为．（Ⅰ）求a 、b 的值，分别计算两个班没有选选修4﹣5的概率； （Ⅱ）若从A 、B 两班分别随机抽取2名学生，对其试卷的选做题进行分析，记4名学生中选做4﹣1的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望（视频率为概率，例如：A 班选做4﹣1的每个学生被抽取到的概率均为）．19．（12分）如图，已知在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1（侧棱垂直底面的棱柱）中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，DC=DD 1=2AD=2AB=2． （1）求证：DB ⊥平面B 1BCC 1；（2）求BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的周长为6 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形ABCD的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x2）＞﹣2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点Q，AC 平分∠DAB，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．（Ⅰ）求证：PQ2=PD•PB（Ⅱ）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|．【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，∴|z|==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．2．数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4 B．8 C．15 D．31【考点】数列递推式．【分析】由数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），分别令n=1，2，3，能够依次求出a2，a3和a4．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），∴a2=2a1+1=2+1=3，a3=2a2+1=6+1=7，a4=2a3+1=14+1=15．故选C．【点评】本题考查数列的递推式，是基础题．解题时要认真审题，仔细求解，注意数列递推公式的合理运用．3．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B． C．1 D．【考点】三角形的面积公式．【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．【解答】解：S△ABC===．故选B．【点评】本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．4．若函数y=x+（x＞0）有两个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=x+（x＞0）有两个零点，构造函数h（x）=y=x+（x＞0）和g（x）=﹣t，相当于函数在x＞0时，图象有两个交点，结合函数h（x）的图象可知只需使﹣t大于函数g（x）的最小值即可．【解答】解：函数y=x+（x＞0）有两个零点，∴h（x）=y=x+（x＞0）和g（x）=﹣t有两个交点，∵h（x）=x+≥2=，∴﹣t＞，∴t＜﹣．故选D．【点评】考查了函数零点问题的转换和利用函数思想解决实际问题．5．曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（）A．e﹣e﹣1B．e+e﹣1C．e﹣e﹣1﹣2 D．e+e﹣1﹣2【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意可知曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是e x﹣e﹣x积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可．【解答】解：曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积，就是：∫01（e x﹣e﹣x）dx=（e x+e﹣x）|01=e+e﹣1﹣2．故选D．【点评】本题考查函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是封闭图形的面积就是上部函数减去下部函数的积分．6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望E（ξ）=8.9，则y的值为（）A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值．【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9解得y=0.4．故选：C．【点评】本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．7．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27种方案；则符合条件的有64﹣27=37种，故选C．【点评】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3×4×4=48种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．8．下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】写出给定命题的否命题，逆命题，逆否命题，判断真假，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为：命题“若x≤1，则x2≤1”，为假命题；命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为：命题“若x＞|y|，则x＞y”，为真命题；命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为：命题“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”在x=﹣2时不成立，故为假命题；命题“若x2≥1，则x≥1”在x≤﹣1时不成立，故为假命题，故其逆否命题也为假命题；故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，不等式与不等关系等知识点，难度中档．9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin （B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知条件结合三角函数公式化简可得2cosA（sinA﹣sinB）=0，分别可得A=，或a=b，可得结论．【解答】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB，∴A=，或a=b，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D．【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题．10．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为||=．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．【点评】考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，能求出空间点的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清向量夹角和异面直线所成角的关系．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），且x∈（0，1]时，f（x）=，a=f（），b=f（），c=f（），则（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】函数的值．【分析】由已知得f（2+t）=f（2﹣2﹣t）=f（﹣t）=f（t），求出函数的周期性，结合函数f（x）在[0，1]的表达式求出f（x）的单调性，从而比较a，b，c的大小即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），∴f（2+t）=f（2﹣2﹣t）=f（﹣t）=f（t），∴f（x）是以2为周期的函数，∵x∈[0，1]时，f（x）=，f′（x）=≥0在[0，1]恒成立，故f（x）在[0，1]递增，由a=f（）=f（1+）=f（﹣）=f（），b=f（）=f（1+）=f（﹣）=f（），c=f（）=f（），∴c＜a＜b，故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为60．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式T r+1=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，令r=2，则x2的系数==60．故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知点P在圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上，点Q在不等式，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是．【考点】简单线性规划；圆的一般方程．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：化x2+y2﹣2x+4y+1=0为（x﹣1）2+（y+2）2=4，由题意画出图形如图，由图可知，|CQ|=，∴线段PQ长的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知正态总体的数据落在（﹣3，﹣1）里的概率和落在（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为1．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】正态分布的均值就是它的对称轴，由此能求出结果．【解答】解：正态分布的均值就是它的对称轴，∵正态总体的数据落在（﹣3，﹣1）里的概率和落在（3，5）里的概率相等，∴由题可知，对称轴为═1，故这个正态总体的数学期望为1．故答案为：1．【点评】本题考查正态总体的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正态总体的合理运用．16．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD=50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ=﹣1．【考点】解三角形的实际应用．【分析】易求∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理可求BC，在△BCD 中，由正弦定理可求sin∠BDC，再由∠BD C=θ+90°可得答案．【解答】解：∵∠CBD=45°，∴∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理，得BC==50（﹣），在△BCD中，由正弦定理，得，∴sin∠BDC=﹣1，即sin（θ+90°）=﹣1，∴cosθ=﹣1，故答案为﹣1．【点评】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，属基础题，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016春•赤坎区校级期末）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，公差d=2，S10=120．（1）求a n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过公差d=2可知S10=10a1+×2=120，进而可知数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；=2n+1，通过分母有理化、裂项可知b n=（（2）通过（1）可知a﹣），并项相加即得结论．【解答】解：（1）依题意，S10=10a1+×2=120，解得：a1=3，∴数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；（2）由（1）可知a n=2n+1，===（﹣），∴b=（﹣1+﹣+…+﹣）∴T=（﹣1） =．【点评】本题考查数列的通项与求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）（2016•江西校级二模）2016年全国高考将有25个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求考生从选修4﹣1（几何证明选讲）、选修4﹣4（坐标系与参数方程）、选修4﹣5（不等式选讲）的三道题中任选一道题作答．某数学老师教了高三A 、B 两个理科班共100名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对一次数学模拟考试进行了统计，结果如表所示：若从100名学生中随机抽取一名，他选做选修4﹣4的概率为．（Ⅰ）求a 、b 的值，分别计算两个班没有选选修4﹣5的概率； （Ⅱ）若从A 、B 两班分别随机抽取2名学生，对其试卷的选做题进行分析，记4名学生中选做4﹣1的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望（视频率为概率，例如：A 班选做4﹣1的每个学生被抽取到的概率均为）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）从100名学生中随机抽取一名，他选做选修4﹣4的概率为，由此列出方程级求出a，从而能求出b，进而能求出A班没有选做选修4﹣5的概率和B班没有选做选修4﹣5的概率．（Ⅱ）由题意知，A、B两班每人选选修4﹣1的概率均为，随机变量X服从二项分布X～B（4，），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵从100名学生中随机抽取一名，他选做选修4﹣4的概率为，∴由题意，得：，解得a=25，∴b=100﹣（15+25+10+10+20）=20，A班没有选做选修4﹣5的概率，B班没有选做选修4﹣5的概率p2==．（Ⅱ）由题意知，A、B两班每人选选修4﹣1的概率均为，∴随机变量X服从二项分布，即X～B（4，），∴P（X=i）=，i=0，1，2，3，4，∴X的分布列为：∴．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，注意二项分布的性质的合理运用．19．（12分）（2016春•赤坎区校级期末）如图，已知在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（侧棱垂直底面的棱柱）中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD1=2AD=2AB=2．（1）求证：DB⊥平面B1BCC1；（2）求BC1与平面A1BD所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）首先根据题中的已知条件找到线线垂直，进一步找到线面垂直的条件，来证明线面垂直．（2）要求直线与平面的夹角，首先找到直线与平面所成角的平面角，然后利用余弦定理来求解．【解答】证明：（1）设E是DC的中点，连结BE，则四边形DABE为正方形．∴BE⊥CD，故BD=，BC=，CD=2∴∠DBC=90°即：BD⊥BC∵BD⊥BB1BB1∩BC=B∴BD⊥平面BCC1B1（2）由（1）知∴BD⊥平面BCC1B1BC1⊂平面BCC1B1∴BD⊥BC1取BD的中点F，连结A1F，A1D=A1BA1F⊥BD取DC1的中点M，连结FM，则：FM∥BC1∴FM⊥BD∴BD⊥平面A1FM过M向平面A1FM作垂线，垂足必落在A1F上，∴∠A1FM为直线BC1与平面A1BD所成的角．连结A1M，在△A1FM中，FM==取D1C1的中点H，连结A1H，HM在Rt△A1HM中，∴=∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为【点评】本题考查的知识点：线面垂直的判定，线面垂直的性质定理，直线与平面所成的角，余弦定理勾股定理及相关的运算问题．20．（12分）（2016春•赤坎区校级期末）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的周长为6（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形ABCD的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，2a+2c=6，a2=b2+c2，解出即可得出．（II）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，与椭圆方程联立得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b=．∴椭圆C的方程为=1．（II）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴|y1﹣y2|===，∴S△AOB==|y1﹣y2||OF|=，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=．令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、弦长公式、三角形面积计算公式、换元法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2016•江西二模）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a ∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x2）＞﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x2）的表达式，令g（x）=x2﹣2x+（2x﹣x2）lnx，x∈（0，2），根据函数的单调性求出g（x）＜g（2）=﹣2，从而证出结论．【解答】解：（1）由，得：（1分）①当a≥1时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；（2分）②当0＜a＜1时，，由f'（x）＞0，得或；f'（x）＜0得，故f（x）在区间和上单调递增，在区间上单调递减；（3分）③a=0时，，f（x）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增；（4分）④a＜0时，，由f'（x）＞0得，f'（x）＜0得，故f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增；综上所述：当a≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当0＜a ＜1时，f （x ）在区间和上单调递增，在区间上单调递减；a=0时，f （x ）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增；a ＜0时，f （x ）在区间上单调递减，在区间上单调递增．（6分）（2）由（1）可知，0＜a ＜1，且x 1+x 2=2，x 1•x 2=a ，（7分）∴f （x 2）=﹣2x 2+alnx 2=﹣2x 2+（2x 2﹣）lnx 2，∵x 1＜x 2，且x 1+x 2=2，x 1•x 2=a ，0＜a ＜1，∴0＜x 2＜2．（8分）令…（9分）则…（10分）当0＜x ≤1，1﹣x ≥0，lnx ≤0，所以g'（x ）≤0，当1＜x ＜2，1﹣x ＜0，lnx ＞0，所以g'（x ）＜0；∴x ∈（0，2），g'（x ）≤0， ∴g （x ）在区间（0，2）上单调递减．…（11分） ∴x ∈（0，2）时，g （x ）＞g （2）=﹣2综上所述：若x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数f （x ）的两个极值点，则f （x 2）＞﹣2．（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•哈尔滨校级二模）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点Q，AC平分∠DAB，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．（Ⅰ）求证：PQ2=PD•PB（Ⅱ）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由已知可证∠PAD=∠ABD，进而可证PAQ=∠AQP，可得PA=PQ，利用切割线定理即可得证．（Ⅱ）先证明△PAD∽△PBA，从而可得PB，由切割线定理可求PD，进而可求AQ=DQ=PA﹣PD的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA为圆的切线∴，∠PAD=∠ABD，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，∴∠PAD+∠DAC=∠BAC+∠ABC，∴∠PAQ=∠AQP，∴PA=PQ．∵PA为圆的切线，∴PA2=PD•PB，∴PQ2=PD•PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解：（Ⅱ）∵△PAD∽△PBA，∴，∵PA2=PD•PB，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了三角形相似的性质，切割线定理的应用，考查了数形结合与转化思想，考查了计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•赤峰模拟）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x ﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x ＜2当x ≥2，x +3＞2，x ＞﹣1，∴x ≥2综上所述 {x |x ＞1或x ＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x ∈R ，恒成立，则只需，综上所述． 【点评】考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．。