2015-2016学年福建省泉州市泉港区九年级上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年福建省泉州市泉港区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共21分）1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．任何实数2．（3分）下列计算正确的是（）A．×= B．+=C．=4 D．﹣=3．（3分）方程2x2﹣4x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．2、4、﹣3 B．2、﹣4、3 C．2、﹣4、﹣3 D．﹣2、4、﹣34．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2=13 B．（x+3）2=13 C．（x﹣3）2=5 D．（x+3）2=55．（3分）若，则下列各式中不正确的是（）A．B．=4 C．D．6．（3分）顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定7．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，共40分）8．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=．9．（4分）若，则xy=．10．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x+k=0的一个根为1，则k=．11．（4分）已知x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，则x1+x2=．12．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围．13．（4分）某款手机连续两次降价，售价由原来的1100元降到了891元．设平均每次降价的百分率为x，则可列出方程．14．（4分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点G为△ABC的重心，GD=2，则CD=．15．（4分）如图，已知△ABC∽△ADE，若AD=2，AB=5，AE=4，则AC=．16．（4分）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比他爸爸矮0.3m，则她的影长为m．17．（4分）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答18．（9分）计算：|2|+（π﹣3）0﹣÷+4×2﹣1．19．（9分）先化简，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其中．20．（9分）解方程：x（x﹣6）=2（x﹣6）21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k的值．22．（9分）已知：△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点O，试说明：△BDC∽△ABC．23．（9分）如图所示，以△OAB的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，A、B的坐标分别为A（﹣2，﹣3）、B（2，﹣1），在网格图中将△OAB作下列变换，画出相应的图形，并写出三个对应顶点的坐标：（1）将△OAB向上平移5个单位，得△O1A1B1；（2）以点O为位似中心，在x轴的下方将△OAB放大为原来的2倍，得△OA2B2．24．（9分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．（1）商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？（2）若商店要获得最大利润，则应进货多少台？最大利润是多少？25．（13分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．26．（13分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC 沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．2015-2016学年福建省泉州市泉港区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共21分）1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．任何实数【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（）A．×= B．+=C．=4 D．﹣=【解答】解：A、×=，正确；B、+无法计算，故此选项错误；C、=2，故此选项错误；D、﹣=2﹣，故此选项错误；故选：A．3．（3分）方程2x2﹣4x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．2、4、﹣3 B．2、﹣4、3 C．2、﹣4、﹣3 D．﹣2、4、﹣3【解答】解：方程2x2﹣4x﹣3=0的二次项系数是2、一次项系数是﹣4、常数项是﹣3，故选：C．4．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2=13 B．（x+3）2=13 C．（x﹣3）2=5 D．（x+3）2=5【解答】解：x2﹣6x=﹣4，x2﹣6x+32=5，（x﹣3）2=5．故选：C．5．（3分）若，则下列各式中不正确的是（）A．B．=4 C．D．【解答】解：根据比例的基本性质，利用比例的合比性质化简可得A、B和C选项均符合题意；只有D，十字相乘得4x=﹣3y，与条件不符，不正确．故选：D．6．（3分）顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF，AE=BE=CG=DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH=HD，AE=DG，∴△AEH≌△DGH，∴EH=HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH∴EH=HE=GF=EF，∠EHG=∠EFG，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．7．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选：B．二、填空题（每题4分，共40分）8．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a=7．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴a﹣2=5，解得：a=7．故答案为：7．9．（4分）若，则xy=﹣2．【解答】解：根据题意得，x+2=0，y﹣1=0，解得x=﹣2，y=1，∴xy=（﹣2）×1=﹣2．故答案为：﹣2．10．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x+k=0的一个根为1，则k=1．【解答】解：把x=1代入方程x2﹣2x+k=0得：1﹣2+k=0，解得：k=1．故答案为：1．11．（4分）已知x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，则x1+x2=4．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣=4．故答案为4．12．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围m＞﹣．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=﹣m∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解得m＞﹣，故答案为：m＞﹣．13．（4分）某款手机连续两次降价，售价由原来的1100元降到了891元．设平均每次降价的百分率为x，则可列出方程1100（1﹣x）2=891．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得1100（1﹣x）2=891．故答案为：1100（1﹣x）2=891．14．（4分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点G为△ABC的重心，GD=2，则CD=6．【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴CG=2GD=4，∴CD=CG+GD=6，故答案为：6．15．（4分）如图，已知△ABC∽△ADE，若AD=2，AB=5，AE=4，则AC=10．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∴=，即=，解得AC=10，故答案为：10．16．（4分）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比他爸爸矮0.3m，则她的影长为 1.75m．【解答】解：∵爸爸身高1.8m，小芳比他爸爸矮0.3m，∴小芳高1.5m，设小芳的影长为xm，∴1.5：x=1.8：2.1，解得x=1.75，小芳的影长为1.75m．17．（4分）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．【解答】解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S，则相似比为1：2．△ABC如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答18．（9分）计算：|2|+（π﹣3）0﹣÷+4×2﹣1．【解答】解：原式=2+1﹣2+2=3．19．（9分）先化简，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其中．【解答】解：（a+2）2+a（a﹣4）=a2+4a+4+a2﹣4a=2a2+4当时，原式==2×2+4=4+4=8．20．（9分）解方程：x（x﹣6）=2（x﹣6）【解答】解：x（x﹣6）﹣2（x﹣6）=0，（x﹣6）（x﹣2）=0，x﹣6=0或x﹣2=0所以x1=6，x2=2．21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k的值．【解答】解：设方程的另一根为x2，由韦达定理，得：2+x2=6，2x2=k，解得x2=4，k=8所以方程的另一根为4，k的值为8．22．（9分）已知：△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点O，试说明：△BDC∽△ABC．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==72°，∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠CBD==36°，∴∠CBD=∠A，又∵∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC．23．（9分）如图所示，以△OAB的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，A、B的坐标分别为A（﹣2，﹣3）、B（2，﹣1），在网格图中将△OAB作下列变换，画出相应的图形，并写出三个对应顶点的坐标：（1）将△OAB向上平移5个单位，得△O1A1B1；（2）以点O为位似中心，在x轴的下方将△OAB放大为原来的2倍，得△OA2B2．【解答】解：（1）如图所示：O1（0，5），A1（﹣2，2），B1（2，4），（2）如图所示：O（0，0），A2（﹣4，6），B2（4，2），24．（9分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．（1）商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？（2）若商店要获得最大利润，则应进货多少台？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每个小家电的增加是x元，由题意，得（52+x﹣40）（180﹣10x）=2000，解得x1=8，x2=﹣2∵180﹣10x≤180，∴x≥0，∴x=8，答：定价应增加8元；（2）设所获利润为W元，依据题意可得：W=（52+x﹣40）（180﹣10x）=﹣10x2+60x+2160=﹣10（x﹣3）2+2250∵当且当x=3时，W有最大值2250元，∴180﹣10x=150，答：商店进货150台，最大利润是2250元．25．（13分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴．∴m=（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m，∴AC′==，∴，∴，∴3（6﹣m）2=（3﹣m）（11﹣t）2，∵m=，∴3（﹣t2+t）2=（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2=（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2=﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，∴OC′=PC′=PC=11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE=BO=6，OE=BP=t，∴EC′=11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2=PC′2，即（11﹣t）2=62+（11﹣2t）2，解得：t1=，t2=．点P的坐标为（，6）或（，6）．26．（13分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC 沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．【解答】解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；（III）当A′C′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=B，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2∴x2+（x+1）2=（）2，解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），∴BB′=x=（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，设B′D=BD=x，则x2+（x+1）2=22，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），∴BB′=x=；（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，∵AB=AD，∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，∴△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，∴∠BAD=∠CAF，==1，∴△ACF∽△ABD，∴==，∴BD，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，∴BC2+CD2=2BD2．。