九年级上数学期中考试试卷及答案
福建省福州市屏东、延安、十六中联考2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷(含答案)
2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）班级______姓名______成绩______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图，在中，，则等于（ ）A. B. C. D.4.抛物线与轴的交点是（ ）A. B. C. D.5.正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）A.4B.6C.8D.126.如图，将绕点逆时针旋转，得到.若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ）A. B.或C.或 D.2450x x --=()221x +=()221x -=()229x +=()229x -=O e 60ABC ∠=︒AOC ∠30︒60︒120︒150︒223y x =+y ()0,5()0,3()0,2()2,145︒ABC △A 100︒ADE △D BC B ∠30︒40︒50︒60︒ABC △()4,2A ()2,0B ()0,0C O 12A B C '''△A '()2,1()1,2()1,2--()2,1()2,1--()1,2--8.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（ ）A. B. C. D.9.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）01230343A.开口向下 B.顶点坐标为C.当时，随的增大而减小D.10.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）.A. B.1D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______.12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则______.13.如图，在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______.14.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______.ABCD □E CD AE BD AE BD F :4:25DEF ABF S S =△△:DF BF 2:52:33:53:22y ax bx c =++y x x1-y m()1,41x <y x 0m =ABCD 8AB =6AD =C C e BD P C e AP BD T AT PT3512()1,A a (),2B b -a b +=x 20x x m -+=2-m =ABC △MN BC ∥AB AC M N 1AM =2MB =9BC =MN ABCD O e 100A ∠=︒DCE ∠15.若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是______.（结果保留）16.关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是______.三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题8分）用适当的方法解下列方程：（1）（2）18.（本小题8分）已知是关于的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根.19.（本小题8分）为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端相距8米的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，求树的高度.20.（本小题8分）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，，（1）在图1中，求证：；（2）若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？图1 图221.（本小题8分）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的一点，连接，过点作，交于点，连接.8cm 10cm cm πx 2220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22m n <()()22112m n -+-≥1221m n -≤-≤2240x x +-=()3284x x x -=-()2310x a x a ++++=x B E BE D A 1.6DE = 1.5CD =AB AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=AC BD =COD △O AC BD AB O e A O e AC P AC OP B BD OP ∥O e D PD（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：是的切线.22.（本小题10分）如图，四边形内接于，为的直径，平分，，点在的延长线上，连接.（1）求直径的长；（2）若.23.（本小题10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米.现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）.（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；24.（本小题12分）问题背景：如图1，已知，求证：；尝试运用：如图2，在中，点是边上一动点，，且，，，与相交于点，在点运动的过程中，连接，当时，求的长度；拓展创新：如图3，是内一点，，，，，求的长.PD O e ABCD O e BD O e AC BAD ∠CD =E BC DE BD BE =P OM O OM x x ABC ADE ∽△△ABD ACE ∽△△ABC △D BC 90BAC DAE ︒∠=∠=ABC ADE ∠=∠4AB =3AC =AC DE F D CE 12CE CD =DE D ABC △BAD CBD ∠=∠12CD BD =90BDC ∠=︒3AB =AC =AD图1 图2图325.（本小题14分）已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点为.（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；（2）如图1，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为，轴，垂足为，交于点.当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图22024-2025学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案A D C B C B C A CD二、填空题（本大题共24分，每小题4分）11.112.13.314.15.16.①③④三、解答题（共8小题，满分86分）17.（1）解：.，，，22y ax ax c =-+()1,0A -()0,3C x B D D E BC EF BC ⊥F EM x ⊥M BC G BG CF =EFG △AC BD H x P OPB AHB ∠=∠P 6-100︒12π2240x x --=1a = 2b =-4c =-.，即，（2）解：或，.18.证明：，故方程总有两个不相等的实数根；19.解：根据题意，易得，则，则，即，解得：，答：树的高度为.20.解：（1）证明：，均是等腰直角三角形，，，，，；（2）答：相等.在图2中，，，，在和中，，，.21.解：（1）答：补全图形如图所示：()()2242414200b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>1x ∴===11x =+21x =()()3242x x x -=--()()32420x x x -+-=()()3420x x +-=340x +=20x -=12x ∴=243x =-()()()22223411694425140a a a a a a a a ∆=+-⨯⨯+=++--=++=++>90CDE ABE ∠=∠=︒CED AEB∠=∠ABE CDE ∽△△BE AB DE CD =81.6 1.5AB =7.5AB =AB 7.5m AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=OA OB ∴=OC OD =OA OC OB OD ∴-=-AC BD ∴=90AOB COD ︒∠=∠=DOB COD COB ∠=∠-∠ COA AOB COB ∠=∠-∠DOB COA∴∠=∠DOB △COA △OD OC DOB COA OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DOB COA ∴≌△△BD AC ∴=（2）解：证明：连接，切于，，即，，，，，，在和中，，，，，即，是的半径，是的切线.22.（1）解：如图所示，连接，为的直径，平分，OD PA O e A PA AB ∴⊥90PAO ∠=︒OP BD ∥DBO AOP ∴∠=∠BDO DOP∠=∠OD OB = BDO DBO ∴∠=∠DOP AOP ∴∠=∠AOP △DOP △,AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AOP DOP ∴≌△△PDO PAO ∴∠=∠90PAO ︒∠= 90PDO ︒∴∠=OD PD ⊥OD O e PD ∴O e OC BD O e AC BAD ∠，，..，，，即...（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，.，弦弦，劣弧劣弧..为的直径，，，，...23.（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米，现在点为原点，点，顶点，设抛物线的解析式为，把点，点代入得：，90BAD ︒∴∠=11904522BAC DAC BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒OB OD=90COD ︒∴∠=CD = OC OD =222OD CD ∴=228OD =2OD ∴=224BD OD OB ∴=+=+=1S 3S CD CD 2S 90COD ∠=︒45DAC ∠=︒OC OD =4BD =()11180904522BDC COD ︒︒︒∴∠=-∠=⨯=DAC BDC ∠=∠ ∴BC =CD BC =CD 12S S ∴=BD O e CD =90BCD ECD ∴∠=∠=︒BC CD ==BE = CE BE BC ∴=-=-=11622ECD S CE CD ∴=⋅=⨯=△13236ECD S S S S S S ∴=+=+==阴影部分△OM O ∴()16,0M ()8,8P 2y ax bx =+()16,0M ()8,8P 6488256160a b a b +=⎧⎨+=⎩解得抛物线的解析式为，，自变量的取值范围为：.（2）解：当时，，故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆.24.证明：问题背景：，，，，，，.尝试应用：如图（2），连接，，，，，，，，，，，，，，，182a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2128y x x =-+16OM = ()16,0M ∴x 016x ≤≤98 2.512x =--=21992072582232y ⎛⎫=-⨯+⨯=> ⎪⎝⎭ABC ADE ∽△△AB AC AD AE∴=BAC DAE ∠=∠BAD DAC DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠AB AD AC AE=ABD ACE ∴∽△△CE 4AB = 3AC =90BAC ∠=︒5BC ∴===90BAC DAE ∠=∠=︒ ABC ADE ∠=∠ABC ADE ∴∽△△AB AC AD AE∴=43AB AD AC AE ∴==90BAC DAE ︒∠=∠= 90BAD CAE DAC ∴∠=∠=︒-∠BAD CAE ∴∽△△B ACE ∴∠=∠43AB BD AC CE ==设，，，，，，，，，，拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，图3，，，又，，，又，，即，，，，，，∴4BD x =3CE x =54CDx ∴=-90B ACB ︒∠+∠= 90ACE ACB ︒∴∠+∠=90DCE ︒∴∠=12EC DC = 31542x x ∴=-12x ∴=32EC ∴=3CD =DE ∴===A AB D AD M BM 90BAM ADM BDC ︒∴∠=∠=∠=BAD DBC ∠=∠ DAM BCD ∴∠=∠90ADM BDC ︒∠=∠= BDC MDA ∴∽△△BD DC MD DA∴=BDC ADM ∠=∠BDC CDM ADM CDM ∴∠+∠=∠+∠BDM CDA ∠=∠BDM CDA ∴∽△△BM DM BD AC AD DC∴==12CD BD = 2BD CD ∴=2BM AC ∴==2DM AD =，，，（舍去）.25.解：（1）把点，代入中，，解得，，顶点；（2）方法一：如图1，抛物线，令，，或，.设的解析式为，将点，代入，得，解得，..设直线的解析式为，设点的坐标为，将点坐标代入中，得，，联立得.AM ∴===222AD DM AM += 22423AD AD ∴+=AD ∴=()1,0A -()0,3C 22y ax ax c =-+203a a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=-++∴()1,4D 223y x x =-++0y =1x ∴=-3x =()3,0B ∴BC ()0y kx b k =+≠()0,3C ()3,0B 330b k b =⎧⎨+=⎩13k b =-⎧⎨=⎩3y x ∴=-+EF CB ⊥ EF y x b =+E ()2,23m m m -++E y x b =+23b m m =-++23y x m m ∴=-++233y x y x m m =-+⎧⎨=-++⎩.把代入，得，..，即.解得或.点是上方抛物线上的点，（舍去）.点，，，，，；方法二：图1如图所示，过点作、分别垂直，轴，分别交于，点设，由可知，则，则代入二次函数解析式化简的解得，（舍去）则22262m m x m m y ⎧-=⎪⎪∴⎨-++⎪=⎪⎩226,22m m m m F ⎛⎫--++∴ ⎪⎝⎭x m =3y x =-+3y m =-+(),3G m m ∴-+BG CF = 22BG CF ∴=()()2222223322m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2m =3m =- E BC 3,m ∴=-∴()2,3E ()1,2F ()2,1G EF ==FG ==112EFG S ∴==△F FR FH y x R H RF m =CF BG =CRF GMB ≌△△RF MB m ==32HM m ∴=-()232EG m =-()23263EM m m m ∴=-+=-()3,63E m m --2760m m -+=11m =26m =1121122EFG S EG FK ∴=⨯⨯=⨯⨯=△（3）如图2，过点作于，点，，.点，点，，联立得，.设，把代入，得，，联立得，，，..设点.过点作轴于点，在轴上作点使得，且点的坐标为.若在和中，，，.A AN HB ⊥N ()1,4D ()3,0B 26BD y x ∴=-+ ()1,0A -()0,3C 33AC y x ∴=+326y x y x =+⎧⎨=-+⎩35245x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩324,55H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭12AN y x b =+()1,0-12b =1122y x ∴=+112226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩11585x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩118,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭2222211816815555AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22281655HN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AN HN ∴=45H ∴∠=︒()2,23P n n n -++P PR x ⊥R x S RS PR =45RSP ︒∴∠=S ()233,0n n -++45OPB AHB ︒∠=∠=OPS △OPB △POS POB ∠=∠OSP OPB ∠=∠OPS OBP ∴∽△△...或或（舍去）.，，.OP OS OB OP∴=2OP OB OS ∴=⋅()()()222213333n n n n n ∴++-=⋅-++0n ∴=n =3n =()10,3P∴2P3P。
北京市第二十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷参考答案
北京市第二十中学九年级第一学期期中练习数学答案及评分标准二、填空题：（每题2分，共计16分）17.∵a ＝1，b ＝﹣6，c ＝﹣16，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0， ∴x ＝21006±＝3±5， ∴x 1＝8，x 2＝﹣2；（有过程，对一个答案3分，两个5分） 18.解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，∴∠DAE ＝60°，AE ＝AD ．..................................................1分 ∴∠BAD +∠EAB ＝∠BAD +∠DAC ．∴∠EAB ＝∠DAC ． .................................................2分 在△EAB 和△DAC 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE DAC EAB AC AB , ∴△EAB ≌△DAC （SAS ）． .................................................3分 （2）∠BED ＝45°． .................................................5分 19.解：∵a 是方程2-210x x −=的一个根，∴2210a a −−=． ................................................1分∴221a a −=． .................................................2分∴a (a -4)＋(a ＋1)(a －1)=a 2-4a +a 2-1=2a 2-4a -1 .................................................3分 =2(a 2-2a )-1 ................................................4分 =1． .................................................5分20.解：（1）∵22y x x =−1)1(11222−−=−+−=x x x .............2分 ∴该二次函数的顶点坐标为（1，−1）； .............3分(2)该二次函数的图象的开口方向向上， .............4分 点P (1，0)不在该抛物线上. .............5分21.解：（1）关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －4＝0中，1,,24a b m c m ==−=−，()()()2222442481640b ac m m m m m ∴∆=−=−−−=−+=−≥ ∴方程总有两个实数根； .................................................2分（2）2240x mx m −+−=∴(2)(2)0x x m −+−=解得122,2x x m ==− .................................................3分 方程有一个实数根为负数，20m ∴−<解得2m < ...............................................4分 m 是正整数1m ∴= .................................................5分22.解：（1）令0y =，则2(1)10x −−=， 解得10x =，22x =，B ∴点坐标为(2,0)， .................................................1分列表得：画图得：.................................................3分（2）如图，由图形可得12x <<时，2(1)1kx b x +>−−． .................................................5分 23.解：（1）111A B C △如下图所示：.................................................3分（其中画平移1分，画旋转2分）由图可知：1(32)B ，； .................................................4分 （2）212A B C 如上图所示：m 的取值范围是：252<<m ..................................................6分 24.解：（1）(4-x )(4+2x )； .................................................1分 (4-x )(4+2x )=16 ............................................2分 解得x 1=0（舍），x 2=2答：此时的x 值为2； .............................................3分 （2）(4-x )(4+2x )=-2x 2+4x +16=-2(x -1)2+18..............................................5分 ∴改造后的面积最大为18，此时x =1. ...............................................6分 25.解：（1）当0x =时，20.2(0 2.5) 2.35 1.1y =−−+=，故击球点的高度为1.1m ； .................................................1分 （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)， 设抛物线的解析式为：2(3)2y a x =−+， 过点(4,1.9)，21.9(43)2a ∴=−+，解得0.1a =−，∴抛物线的解析式为：20.1(3)2y x =−−+； ...............................4分（3）<． .................................................6分 26.解：（1）22x =，2y c =，42a b c c ∴++=， 2b a ∴=−，12bt a∴=−=， .................................................2分 （2）2(0)y ax bx c a =++<， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x t =，112t x t +<<+，∴点M 在对称轴的右侧，①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小．由12y y >，∴12x x <，∴4,24t t ≤⎧⎨+≤⎩， 解得42t t ≤⎧⎨≤⎩，∴2t ≤，②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时，设抛物线上的点()22,N x y 关于x t =的对称点为()2,N d y '，2t x d t ∴−=−，解得22d t x =−，∴()222,N t x y '−，245x <<，∴225224t t x t −<−<−，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小， 由12y y >，∴122x t x <−，∴5225t t t ≥⎧⎨+≤−⎩，解得57t t ≥⎧⎨≥⎩，∴7t ≥，综上所述，t 的取值范围是2t ≤或7t ≥．.................................................6分27.解：（1）补全图形，如图所示：.................................................1分（2）根据题意可知AB AD AC ==，BAD ∠=α，∴902aADB ABD ∠=∠=︒−， .................................................2分90BAC ∠=︒，∴90DAC α∠=︒+，∴452ADC ACD α∠=∠=︒−， ∴45CDB ADB ADC =−=︒∠∠∠． .................................................3分 （3）AE BD CD 22+=，证明如下：.................................................4分如图，作AF AE⊥，交CD于点F，∴90EAF∠=︒，∴EAB FAC∠=∠，BE CD⊥，45BDC∠=︒，∴45DBE∠=︒，22BE DE BD∴==，BAD∠=α，452ABE ACDα∴∠=︒−=∠，. ................................................5分在ABE和ACF△中EAB FACAB ACABE ACF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAABE ACF≌，................................................6分∴AE AF=，BE CF=，2EF AE∴=，∴22CD DE EF CF BD=++=．................................................7分28.解：（1）②③；................................................2分（2）设直线y＝33x+3与x轴和y轴的交点分别为C点和D点，在直线y＝33x+3中，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣3，∴C（0，3），D（﹣3，0），∴OC＝3，OD＝3,∵∠COD=90°∴CD=23在Rt△OCD中，∠ODC＝30°，................................................3分∴∠OCD＝60°，连接AC，如下图，①当点B 在点A 的左侧时 ∵A （1，0）， ∴OA ＝1，在Rt △OCA 中，AC ＝2OA ＝2， ∴∠OCA ＝30°，∵∠ACD ＝∠OCD +∠OCA ＝60°+30°＝90°，故AC ⊥CD ， ∵直线y ＝33x +3是线段AB 的60°﹣联络图形， ∴AB ≥AC ， 即AB ≥2，∴t ≤﹣1； ................................................4分 ②当点B 在点A 的右侧时同理可得t ≥5......................................5分 ∴t ≤﹣1或t ≥5 （3）431m <4． ................................................7分。
湖北省荆州市监利市2024-2025学年上学期九年级期中学业水平监测数学试题(含答案)
监利市2024—2025学年度上学期九年级期中学业水平监测数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔.一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题要求）1.中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意.月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样，下列月饼图案中，为中心对称图形的是A. B. C. D.2.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是A. B. C. D.3.若是方程的一个根，则的值为A.-2B.2C.4D.-44.如图，内接于，是的直径，若，则A. B. C. D.5.关于二次函数的性质，下列说法错误的是A.该函数图象的开口向上B.该函数图象的对称轴是C.该函数的最小值为-1D.当时，随的增大而减小90︒60︒45︒30︒3x =230x bx +-=b ABC △O CD O 50B ∠=︒ACD ∠=30︒40︒50︒60︒()2321y x =--2x =2x >y x6.用配方法解方程时，配方正确的是A. B.C. D.7.若，是方程的两个根，则的值为A.2026B.C.2022D.-20268.如图，以原点为圆心的圆交轴于点，两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是A. B. C. D.9.掷实心球是多地高中阶段学校招生体育考试选考项目.如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处.该男生在此项考试中的成绩是A. B. C.D.10.如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间.则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根：④.其中正确的结论是A.①②B.②③④C.①②④ D.③④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.抛物线的顶点坐标是________.2620x x +-=()2311x +=()237x +=()2638x +=()2634x +=m n 2220240x x +-=23m m n ++2022-O x A B y C D O 65OCD ∠=︒DAB ∠40︒20︒50︒25︒()m y ()m x 9m 54m 3m 10m()4m ()4m +()20y ax bx c a =++≠()1,n x ()3,0()4,0240b ac ->20a b +=21ax bx c n ++=+420a b c -+<()223y x =-++12.在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则=________.13.如图，是的半径，弦于点，连接，若的长为8cm ，的长为，则的半径长为________cm.14.在本届全市青少年校园足球比赛中，每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球队共有________支.15.在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知函数是关于的二次函数.（1）求的值；（2）当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标.18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，.（1）画出关于原点成中心对称的；（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的.19.（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；(),2m -()1,n m n +OA O BC OA ⊥D OB BC AD 2cm O ABCD 6AB =E BC F 2BE =3EF =AF AF A 90︒AP PE 2420x x +-=22150x x +-=()214m m y m xx -=-+x m m ()5,1A -()3,4B -()1,2C -ABC △O 111A B C △ABC △O 90︒222A B C △x ()222110x m x m --++=m（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值.20.（8分）如图，抛物线与直线相交于和，（1）求和的值，及抛物线的解析式：（2）结合图象直接写出不等式的解集.21.（8分）如图，是的直径，，是同侧圆上的两点，半径交于点，.（1）求证：；（2）若，求的半径.22.（10分）阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元/千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元/千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价（元/千克）222426销售量（千克）20018016（1）求与之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元？（3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？23.（11分）【问题情境】活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定的数量关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于的角）.如图1，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段的夹角.如图2，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角.1x 2x 12111x x +=-m 21y ax bx =+22y kx =+()2,0-()1,n k n 12y y >AB O C D AB //OD BC AC E 30BAC ∠=︒ CDBC =AC =O y x x y y x w 90︒ABC △A 20︒ADE △BC DE 20BMD ∠=︒ABC △A 100︒ADE △BC DE 80BMD ∠=︒【特例分析】（1）如图1，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为度；如图2，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为度；【类比分析】（2）如图3，若将等边绕点逆时针旋转得到，连接交于，求与的数量关系；【延伸应用】（3）如图4，已知是等边三角形，，分别在边和上截取和，使得，连接.将绕点逆时针旋转，连接，当和所在直线互相垂直时，请直接写出的长.24.（12分）如图，抛物线交轴于，两点在左边），交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为.（1）直接写出点，，的坐标；（2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点.当线段的长度最大时，求点的坐标；（3）如图2，连接，，过点作直线，交轴于点.若平分线段，求直线的解析式.ABC △A 30︒ADE △BC DE ABC △A 130︒ADE △BC DE ABC △A 120︒ADE △CE AB F AB CE ABC △6AB =AB AC ADAE AD AE ==DE ADE △A CD BC DE CD 211242y x x =--+x A B A B y C P n A B C AC P //PD y AC D PD P AC BC P //PQ BC y Q AC PQ PQ监利市2024-2025学年度上学期九年级期中学业水平监测九年级数学答案与评分说明（请各位教师在阅卷前先做题审答案）一、选择题1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.B9.D 10.C二、填空题11.（-2，3） 12.11 13.5 14.6 15.三、解答题（其他解法，正确即可.）16.解：（1），，，，……（1分），3分）（2）因式分解，得，……（4分）或，，.……（6分）17.解：（1）函数是关于的二次函数，，解得，；……（2分）（2）抛物线有最高点，，，当时，抛物线有最高点，……（4分）二次函数的解析式为，当时，取最大值为2，最高点的坐标为.……（6分）18.解：（1）如图，即为所求；……（3分）31a =4b =2c =-()2441224∆=-⨯⨯-=2x ==-12x =-22x =-()()350x x -+=30x -=50x +=13x =25x =- ()214m m y m x x -=-+x 22m m ∴-=12m =21m =- 10m ∴-<1m ∴<∴1m =-∴224y x x =-+∴4124b m a =-=-=-y ∴()1,2111A B C △（2）如图，即为所求.……（6分）19.解：（1）根据题意得，，……（2分）解得，所以的取值范围是；……（4分）（2）根据题意得，，，……（5分）所以，……（6分）解得，，……（7分）又，所以.……（8分）20.解：（1）将代入得，，解得，……（1分），将代入得，，……（2分）将和分别代入得，解得，……（4分）抛物线的解析式为；……（5分）（2）不等式的解集为或.……（8分，答对一个结果得2分，答对两个结果得3分）21.解：（1）连接，222A B C △()()2221410m m ⎡⎤∆=---+>⎣⎦34m <-m 34m <-()1221211m x x m --+=-=-2212111m x x m +⋅==+1221212112111x x m x x x x m +-+===-+10m =22m =-34m <-2m =-()2,0-22y kx =+022k =-+1k =22y x ∴=+()1,n 22y x =+3n =()2,0-()1,321y ax bx =+0423a b a b =-⎧⎨=+⎩12a b =⎧⎨=⎩∴212y x x =+12y y >2x <-1x >OC是直径，，……（1分），，……（2分），……（3分），，，……（4分）；……（5分）（2），，……（6分）设的半径为，则，在中，，即，……（7分）解得或（舍），答：的半径为2.……（8分）22.解：（1）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入得，解得，与之间的函数关系式为；……（3分）（2）根据题意得，……（4分）解得，（舍），……（5分）答：当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元；……（6分）（3）由题意得，……（7分），AB O 90ACB ∴∠=︒//OD BC OD AC ∴⊥ AD CD∴=30BAC ︒∠= 60AOD COD ∴∠=∠=︒260BOC BAC ∠=∠=︒ CDBC ∴=OD AC ⊥ AC =12AE AC ∴==O r 12OE r =Rt AOE △222AE OE AO +=22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2r =2r =-O y x y kx b =+22x =200y =24x =180y =y kx b =+2002218024k b k b=+⎧⎨=+⎩10420k b =-⎧⎨=⎩y ∴x 10420y x =-+()()16104201600x x --+=126x =232x =()()21610420105806720w x x x x =--+=-+-100a =-<当时，取最大值，……（8分）当时，随的增大而增大，当时，最大为1680，……（9分）答：当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元.……（10分）23.解：（1）30；50；……（2分）（2）根据旋转的性质可得，，，……（3分）是等边三角形，，，，，，……（5分），，在中，，即，，；……（7分）（3）如图，①当在直线的上方时，过点作于点，；……（9分）②当在直线的下方时，过点作于点，延长线交的延长线于点，……（11分）24.解：（1），，；……（3分）（2）设直线的解析式为，将代入得，解得，直线的解析式为，……（4分）点在第二象限的抛物线上，点在直线上，∴58029220bxa=-=-=-w∴1628x≤≤w x∴28x=w120EAC∠=︒ABC ADE△≌△ABC△60BAC∴∠=︒AB AC AE==60BAE EAC BAC BAC∴∠=∠-∠=︒=∠90AFE∴∠=︒EF CF=30AEF∴∠=︒2AE AF∴=Rt AEF△222AF EF AE+=()2222AF EF AF+=EF∴=2CE EF∴====DE AC D DH AC⊥H CD=DE AC D DH AC⊥H ED BC G CD=()4,0A-()2,0B()0,2CAC2y kx=+()4,0A-420k-+=12k=∴AC122y x=+P D AC，，，，……（5分）当时，最大，……（6分）此时点的坐标为；……（7分）（3）设直线的解析式为，将代入得，解得，直线的解析式为，……（8分），设直线的解析式为，将代入得，，，直线的解析式为，……（9分），线段的中点坐标为，……（10分）平分线段，线段的中点在直线上，将代入得，解得：，，（舍去）……（11分）直线的解析式为.……（12分）211,242P n n n ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭()40n -<<1,22D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭221111224224PD n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=--+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴12122b n a -=-=-=--PD P ()2,2-BC 2y mx =+()2,0B 220m +=1m =-∴BC 2y x =-+//PQ BC PQ y x b =-+211,242P n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭211242n n n b ∴--+=-+211242b n n ∴=-++∴PQ 211242y x n n =--++2110,242Q n n ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭∴PQ 211,224n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭AC PQ ∴PQ AC 211,224n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭122y x =+2112244n n -+=+11n =-20n =∴PQ 54y x =-+。
山西省吕梁市临县多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷(含答案)
2024-2025学年九年级上期中评估试卷数学试卷说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）1．把一元二次方程化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3，，1B ．3，1，4C ．3，D ．3，4，12．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，得到两个一元一次方程：，从而得到原方程的解为．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．公理化思想B ．模型思想C ．函数思想D ．转化思想4．二次函数的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，在中，A 是的中点，点D 在上．若，则 （ ）AB ． C．D ．6．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，，将绕点C 旋转得到，则点A 与点之间的距离为（ ）2314x x +=4-4,1--210x -=()()110x x -+=10,10x x -=+=121,1x x ==-25y x x =+O BCO AOB α∠=AD C ∠=α2α12α90α︒-4,16AC BD ==BOC △180︒B O C '''△B 'A ．6B ．8C ．10D ．127．下列方程没有实数根的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米若设小路的宽为x m ，根据题意可列方程（ ）A ．B ．C ．D ．9．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度AB （AB 所对的弦的长）约为，拱高CD （AB 的中点到弦AB 的距离）约为，则AB 所在圆的半径OA 为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（）()235x x -=2210x x -+=280x x --=()()230x x -+=36m 22m 2700m ()()3622700x x --=()()36222700x x --=()()36222700x x ++=()()36222700x x --=36m 6m 30m 27m 25m2y ax bx c =++1x =A ．B ．关于x 的方程的两根是C ．当时，y 随x 的增大而减小D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．方程的解是___________．12．如图，四边形ABCD 内接于，若，则的度数为___________．13．若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是____________．14．铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是_________m ．15．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CD 上一点，对角线AC ，BD 相交于点O ，于点F ，连接OF ．若，则OF 的长为______．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（1）解方程：．0a c <20ax bx c ++=121,3x x =-=0x >20a b +=()()430x x -+=O 125A ∠=︒C ∠22y x x m =-+()2,3-22y x x m =-+220x x m -+≤21251233y x x =-++EF AB ⊥15,5,12AB DE AD ===243x x +=（2）以下是小夏同学解方程的过程，请解决问题：解：原方程可变形为， 第一步方程两边同时除以得， 第二步∴原方程的解是．第三步上述解方程的过程从第_______步开始出错，错误的原因是____________②请直接写出方程的解：_________________________17．（本题9分）已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A ，B ，C ，D 的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（每个小方格的边长都是1个单位长度）．（2）描述抛物线是由抛物线如何平移得到的．（3）求四边形AOCD 的面积．18．（本题8分）如图，已知的直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且F 为AD 的中点．（1）求证：．（2）若，求弦CD 的长．19．（本题7分）大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，()()323x x x -=-()()323x x x -=--()3x -2x =-2x =-223y x x =+-223y x x =+-2y x =O AD CD=8AB =严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下：试验田编号123456单位面积试验田种植株数/株304050607080单位面积试验田单株的平均产量/粒514641363126（1）根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植x 株（），则单位面积试验田单株的平均产量为_________粒．（2）如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株?20．（本题8分〉某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x （单位：吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（单位：万元）与进货量x （单位：吨）近似满足函数关系 （其中a ，b 为常数，），且当进货量为1吨时，销售利润为1.4万元，当进货量为2吨时，销售利润为2.6万元．如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨，问这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大?最大利润是多少?21．（本题8分）阅读与思考观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题：方程及其根方程及其根方程及其关联方程方程的根方程及其关联方程方程的根①①②②…………（1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．（2）方程和是不是关联方程?求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．（3）请以一元二次方程为例证明关联方程根的关系特征．22．（本题12分）综合与实践如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P 距地面的距离）时，水线的跨度．3080x ≤≤y 甲0.3y x =甲y 乙2y ax bx =+乙0a ≠22310x x -+=121,12x x ==2230x x +-=123,1x x =-=22310x x ++=121,12x x =-=-2230x x --=123,1x x ==-2240x x --=2240x x +-=()2200,40axbx c a b ac ++=≠-≥3.2m 8m AB =请你结合所学知识解决下列问题：（1）在图2中建立以为单位长度，点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 与AB 垂直的直线为y 轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．（2）若喷水池中心C 到A 的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内?（3）在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C 多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，）23．（本题13分）综合与探究问题情境：数学课上，老师提出一个问题：如图1，在中，，把绕点C 逆时针旋转到的位置，点A ，B 的对应点分别是与AB 相交于点D ．在旋转过程中，线段之间存在一些特殊的位置关系和数量关系．如图2，在旋转过程中，当经过AB 的中点D 时，试判断四边形与AC 的位置关系，并加以证明．问题解决：（1）请你解答老师提出的问题．数学思考：（2）小明同学发现：在图形旋转过程中，有线段垂直关系的存在．如图3，在旋转过程中，当时，求点A 与点之间的距离．数学探究：（3）小敏同学发现：在旋转过程中，有特殊三角形的存在．在旋转过程中，当是等腰三角形时，请直接写出线段AD的长．1m 2.3m 1.8m 2.24≈≈≈2.45, 3.32≈≈≈Rt ABC △90,4,3ACB AC BC ∠=︒==ABC △()090αα︒≤≤︒ABC ''△,,A B AC'''A C 'A B ''A C A B '⊥A 'BCD △数学参考答案1．A2．B 3．D4．D5．C6．C7．A8．B 9．A10．C 提示：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y 轴交点位置可知，∴，A 选项正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴分别交于和，∴方程的两根是，B 选项正确；抛物线的对称轴是直线，变形可得，D 选项正确；抛物线的对称轴是直线，故时，y 随x 的增大而增大，时，y 随x 的增大而减小，C 选项不正确．故选C ．11．12．13． 14．315．6.5 提示：如图，延长FO 交DC 于点G ，构造中心对称．在矩形ABCD 中，．在矩形AFED 中，，所以．根据矩形的中心对称性和线段的中心对称性可知，，有，∴．在中，根据勾股定理得，∴．16．（1）（解法不唯一）解：配方，得，3分直接开平方，得， 4分∴5分（2）解：①二；没有考虑为0而错误地运用等式的基本性质2进行变形．3分0a <0c >0a c <()3,0()1,0-20ax bx c ++=121,3x x =-=12bx a=-=20a b +=1x =01x <<1x >124,3x x ==-55︒13x -≤≤15AB C D ==5,12AF DE AD EF ====10C E B F ==AFO CGO △≌△15,2CG AF OF FG ===1055EG =-=Rt FEG △13FG ==16.52OF FG ==()227x +=2x +=1222x x =-=-()3x -②． 5分17．解：（1）当时，，解得．∵点A 在点B 的左侧，∴点，点．当时，，∴点．由可得点．2分二次函数的大致图象如下图所示．4分（2）（方法不唯一）抛物线可由抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．6分（3）如图，直线DE 为该抛物线的对称轴，其中E 为对称轴与x 轴的交点，∴．由可得是直角三角形，四边形EOCD 是直角梯形，， 8分∴9分18．解：（1）证明：如图，连接AC ．∵直径AB 垂直弦CD 于点E ，∴，∴，∴．2分又∵F 为AD 的中点，CF 经过圆心O ，∴，∴，∴，∴． 4分（2）由（1）可知，∴是等边三角形，∴．如图，连接BD ，可得． 6分122,3x x =-=0y =2230x x +-=123,1x x =-=()3,0A -()1,0B 0x =3y =-()0,3C -()222314y xx x =+-=+-()1,4D --223y x x =+-223y x x =+-2y x =()1,0E -()()()3,0,0,3,1,4A C D ----A D E △2,1,4AE OE DE ===()4312415222AED AOCD EOCDS S S =+⨯⨯+=+=△四边形梯形CE DE =AC AD = AC AD =C F A D ⊥CD AC = CD AC = AC CD=AC AD CD ==ACD △30D AB ∠=︒90AD B ∠=︒在中，，∴，∴，∴．8分19．解：（1）．2分（2）根据题意可列方程：． 4分整理，得，解得．6分∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故应舍去，∴．答：单位面积大豆应种植60株．7分20．解：由题意可知，解得 2分∴．3分设乙种水果进货m 吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W 万元，根据题意，，5分配方，得．∵，∴当时，W 的最大值为6.6．∴．7分答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元． 8分21．解：（1）一元二次方程和关联方程的系数特征是二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数；一元二次方程和关联方程的根的关系特征是对应根互为相反数．2分（2）方程和的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程．3分Rt ABD △8AB =142BD AB ==AD ===CD AD ==()660.5x -()660.52160x x -=213243200x x -+=1272,60x x ==1x 60x =1.442 2.6a b a b +=⎧⎨+=⎩0.11.5a b =-⎧⎨=⎩20.1 1.5y x x =-+乙()10m -()220.1 1.50.3100.1 1.23W m m m m m =-++-=-++()20.16 6.6Wm =--+0.10-<6m =104m -=2240x x --=2240x x +-=方程的根是的根是它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征．5分（3）一元二次方程的根是，它的关联方程的根是，它们的两个根对应互为相反数．8分22．解：（1）根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 2分由题意可知，抛物线的顶点，可设抛物线的函数解析式为，2分将点B 代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．4分（2）由题可知，∴．6分答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． 7分（3）当时，，解得9分．答：王师傅站立时必须在离水池中心点C 约至的范围内． 12分23．解：（1）． 1分证明：由旋转的性质可知．∵D 是的中点，∴，∴，2分∴，∴ 4分（2）如图，连接2240x x --=21211240x x x x =+=-+-=1211x x =--=-+()200ax bx c a ++=≠≥x =20ax bx c -+=x =()()00,0,8,0B ()4,3.2P ()24 3.2y a x =-+()284 3.20a-+=0.2a =-()220.24 3.20.2 1.6y x x x =--+=-+2.3,8CA AB ==10.3CB CA AB =+=10.3m 1.8y =20.2 1.6 1.8x x -+=1244x x ==+()()122.3 6.3 6.3 2.65 3.7m , 2.3 6.3 6.3 2.658.9m x x +=≈-≈+=≈+≈3.7m 8.9m A B AC ''∥A A ∠=∠'Rt ABC △12AD BD CD AB ===AC A A ∠'=∠ACA A ∠'=∠'A B AC ''∥AA '在中，根据勾股定理可得．根据三角形面积公式可得由旋转可知．∴6分在中，根据勾股定理可得，在中根据勾股定理可得∴点A 与点10分（3）AD 的长为2或或． 13分提示：①当时，；②当时，；③当时，Rt ABC △5AB ==341255CD ⨯==4A C A C '==128455A D A C CD '='-=-=Rt AD C △165AD ==Rt AD A '△AA '==A '7552BC BD =532AD AB BD =-=-=BC CD =9725255AD AB BD =-=-⨯=BC CD =1522AD AB ==。
重庆市开州初中教育集团2024-2025学年九年级上期中测试数学试卷(含答案)
开州初中教育集团2024-2025上九年级期中测试数学试卷（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成．参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上．1．下列实数中，最大的数是（）A ．B ．0C ．2D ．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列方程中是一元二次方程的是（）A ．B ．C ．D ．4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线B ．当时，随的增大而增大C ．顶点的坐标为D ．图象与轴的交点坐标是5．估算的结果（）A ．在6和7之间B ．在7和8之间C ．在8和9之间D ．在9和10之间6．若关于的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2(0)y ax bx c a =++≠24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2b x a=-13-2-20ax bx c ++=212x x -=23324x x x -=-250x =21(3)52y x =-++3x =3x <-y x (3,5)--y (0,5)-+x 2210x x k --+=2y kx k =-7．如图，点，，在上，若，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．8．将一些完全相同的黑点按如图所示的规律摆放，第1个图形有5个黑点，第2个图形有8个黑点，第3个图形有13个黑点，．．．，按此规律排列下去，则第7个图形中共有黑点的个数是（）A ．39B ．40C ．53D ．689．如图，为正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，连接CM ，将线段CM 绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边AB 上，线段MN 交对角线AC 于点，且为MN 的中点．若正方形的边长为4，则AG 的长为（ ）ABC ．D ．10．已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（ ）①若，则代数式的值为；②当，时，代数式的最小值为；③当时，若，则关于的方程有两个实数根；④当时，若，则的取值范围是．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．计算：______．12．已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角多，则它是正______边形．A B C O 25C ∠=︒ABO ∠50︒55︒60︒65︒M M 90︒C N G G 2232M x x =--23N x ax =-+0M =2521x x x --10-3a =-5x ≥M N -10-0a =0M N ⋅=x 3a =2221513M N M N -++-+=x 723x -<<20223(1)--=100︒13．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排28场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为______．14．已知是一元二次方程的一个根，则的值为______．15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（用“<”连接）______．16．若关于的不等式组有且仅有5个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的和是______．17．如图，矩形ABCD 中，BE 平分交AD 于点，把EB 绕点逆时针旋转交BC 于点，过点作于点，连接BG ，若，，则______．18．一个四位自然数，若满足，且，，则称四位数为“神奇数”．例如：四位自然数4312，因为，，，所以4312是“神奇数”．若是一个“神奇数”，且，则满足条件的的个数有______个，若是一个“神奇数”，设，，，和都是整数，则的值为______．三、解答题：本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．19．解下列方程（1）（用公式法解）（2）．20．为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（：，：，：，：）．下面给出了部分信息：七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98．八年级10名学生的比赛成绩在组中的数据是：90，94，94．七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表：x a 2310x x -+=2263a a -++()15,A y -21,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭()33,C y 267y x x =+-1y 2y 3y x 1(32)12532x x x a x⎧-≤+⎪⎨⎪+>-⎩y 2311y a y y --=--a ABC ∠E E 15︒F C CG EF ⊥G 2CF BF =6CE =BG =M abcd =b c ≥a b c =+d b c =-31>431=+231=-M abcd =1d =M M abcd =M badc '=()81M M F M '-=()99M M G M '+=()F M ()G M M 2260x x +-=(1)22x x x -=-x A 85x <B 8590x ≤<C 9095x ≤<D 95100x ≤≤C年级七年级八年级平均数9191中位数90众数100根据以上信息，解答下列问题：（1）______，______，______；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有1300名学生、八年级有1500名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？21．在学习了等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论．根据她的想法与思路，完成以下作图与填空．（1）如图，在等腰中，BE 是的角平分线，用尺规作的角平分线分别交BE 、AB 于点、（不写作法，保留作图痕迹）．（2）已知是等腰三角形，BE 平分交AC 于点，CD 平分交AB 于点，且BE、CD 交于点．求证：．证明：是等腰三角形①平分，CD 平分 ② ，，在和中b ca =b =c =ABC △ABC ∠ACB ∠O D ABC △ABC ∠E ACB ∠D O OD OE =ABC △∴BE ABC ∠ACB∠ABE ∴∠=12ABC =∠12BCD ACD ACB ∠=∠=∠ABE CBE BCD ACD∴∠=∠=∠=∠OB OC∴=OBD △OCE △（ ④ ）再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离 ⑤ ．22．如图1．在中，，，，为BC 上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度，沿着的路线运动．设点运动的时间为秒，的面积为，请解答下列问题：图1图2（1）请直接写出与之间的函数解析式及的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察该函数的图象，写出该函数的一条性质：__________________________________________．（3）根据图象，直接写出当时，的取值范围______________________________．23．双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有、两种玩具正在参加活动，已知每个款玩具的售价是每个款玩具售价的2倍，顾客用160元购买款玩具的数量比用160元购买款玩具的数量少1个．（1）求每个款玩具的售价为多少元？（2）经统计，该店每月卖出款玩具100个，每个款玩具的利润为50元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想每月销售款玩具的利润达到5200元，则每个款玩具应降价多少元？24．周日早上，爷爷和小明约定到公园去锻炼身体，公园在小明家正东方向的处，但是由于AE 道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了150米到达处，最后沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向．OB OCBOD COE ⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩③OBD OCE ∴△≌△OD OE∴=Rt ABC △90B ∠=︒30C ∠=︒4AB =E 4BE =P B A C →→P t PBE △S S t t 2S ≤t A B A B A B B A A A A A E B B 60︒C C D D E →E E D 45︒A F E →→E F A 60︒F E（1）求AE 的长度（结果保留根号）；（2）若爷爷步行速度为50米/分，小明步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明）25．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．备用图（1）求抛物线的表达式；（2）若点是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC ，PB ，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；（3）在（2）的条件下，若点是直线BC 上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是㥿形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．26．在中，，为AC 中点，为平面内一点．图1图2图3（1）如图1，点在边BC 上，连接AD ，FD ，若，，，求BD 的值；（2）如图2，连接AD ，将AD 绕点逆时针旋转到AE ，使得，连接DE ，DE 恰好过点，若，证明：；（3）如图3，点在边BC 上，将线段AD 绕点顺时针旋转得到线段AP ，后，，请直接写出FP 的最小值．开州初中教育集团2024-2025上九年级期中测试数学参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．C 10．C二、填空题（每小题4分，共32分）1.4≈ 1.7≈22y ax bx =+-x (1,0)A -(2,0)B y C P PBC △P N Q P B N Q Q ABC △AC AB =F D D 30B ∠=︒4AB =DF =A DAE BAC ∠=∠F 2DF EF =2180ABD AFD ∠+∠=︒D A 60︒120BAC ︒∠=2AB =11．12．九13．14．515．16．17．18．5 909919．（1）（用公式法求解）（2）解：，，解：，，20．（1）；；．（2）解：八年级安全意识更强．理由如下：八年级学生安全知识竞赛成绩中位数为94高于七年级学生安全知识竞赛成绩中位数为90．（同理分析众数）（3）（人）答：参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数为1700人．21．（1）（2） 相等22．解：（1）函数图像如图所示（2）①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；2-(1)282x x -=123y y y <<4-2260x x +-=(1)22x x x -=-2a = 1b =6c =-(1)220x x x -+-=2142(6)49∴∆=-⨯⨯-=(1)2(1)0x x x -+-=174x -±∴=(2)(1)0x x +-=132x ∴=22x =-12x ∴=-21x =40a =94b =98c =513001500(120%10%)170010⨯+⨯--=ABC ACB ∠=∠CBE ∠DBO CEO ∠=∠ASA 2(04)12(412)t t S t t <≤⎧=⎨-+<<⎩04t <<y x 412t <<y x②当时，函数有最大值为8；无最小值．（回答一条即可）（3）当时，或．23．解：（1）设每个款玩具的售价为元．由题意得，解得经检验：是原分式方程的解，且符合题意答：每个款玩具的售价为80元．（2）设每个款玩具应降价元．由题意得，解得，为了尽快减少库存答：每个款玩具应降价10元．24．解：（1）延长AB 、DC 交于点，过点作于点．由题意得，米，米，，．在中，米，米，米在中，米（米）答：AE 的长度为米．（2）在中，，米在中，，米4t =2S ≤01t <≤1012t≤<B x 16016012x x -=80x =80x =B A a (50)1001552005a a ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭110a =2203a = 10a ∴=A M D DN AE ⊥N 300AB BC ==150CD =903060FAE ∠︒︒=︒=-45NDE ∠=︒Rt MBC △300BC =60MBC ∠=︒11502MB BC ∴==MC ==450AM DN AB MB ∴==+=Rt DNE △45NDE ∠=︒450DN NE ∴==600AE AN NE MC CD NE ∴=+=++=600)+Rt DNE △45NDE ∠=︒450DN NE ==DE ∴==Rt AEF △30FAE ∠=︒600AE =米，米爷爷到达所用时间：分钟小明到达所用时间：分钟小明先到达公园25．解：（1）抛物线交轴于点和点解得抛物线的表达式为（2）过点作轴交BC 于点在中，令，得 直线BC 的解析式为设，则当时，的面积有最大值为1，此时150EF AE ∴==+2300AF EF ==+27.650AB BC CD DE t +++==≈爷332470AF EF t +=+=+≈明2427.6< ∴ 22y ax bx =+-x (1,0)A -(2,0)B 204220a b a b --=⎧∴⎨+-=⎩11a b =⎧⎨=-⎩∴22y x x =--P //PE y E22y x x =--0x =2y =-(0,2)C ∴-(2,0)B ∴2y x =-()2,2P a a a --(,2)(02)E a a a -<<22222PE a a a a a∴=--++=-+()2212(1)12BCP B C S PE x x a a a ∴=⋅⋅-=-+=--+△10-< ∴1a =PBC △(1,2)P -（3）26．（1）解：过点作于点，过点作于点过程略（2）证明：取DF 中点，连接AM 、CE证证证，，，即（3）1(0,1)Q -212Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭312Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4117,66Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭A AH BC ⊥H F FG BC ⊥G 2BD =-M ABD ACE ABD ACE⇒∠=∠△≌△⇓ADM AEF AM AF⇒=△≌△⇓AMF CEF AM CE AF CF ⇒===△≌△CFE CEF ∠=∠⇓2ACE AFE ∠=∠2180AFE AFD ACE AFD ︒∠+∠=∠+∠=2180ABD AFD ∠+∠=︒32。
2023-2024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)
20232024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列选项中，哪个是方程的正确表示形式？A. 2x + 3 = 7B. x + y = 5C. 3x 4yD. 2(x + 1) = 62. 下列哪个选项是二元一次方程组？A. 3x + 4y = 7B. 2x y = 5C. 4x + 3y = 8D. 3x + 2y = 6, 2x y = 43. 下列哪个选项是二次方程？A. x^2 5x + 6 = 0B. 2x + 3 = 7C. x^2 + 3x + 2D. 3x^2 4x4. 下列哪个选项是一次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = x^3D. y = 1/x5. 下列哪个选项是反比例函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^36. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^37. 下列哪个选项是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n 1)dB. a_n = a_1 + ndC. a_n = a_1 + (n + 1)dD. a_n = a_1 + (n 2)d8. 下列哪个选项是等比数列的通项公式？A. a_n = a_1 r^(n 1)B. a_n = a_1 r^nC. a_n = a_1 r^(n + 1)D. a_n = a_1 r^(n 2)9. 下列哪个选项是概率的基本性质？A. 0 <= P(A) <= 1B. P(A) > 1C. P(A) < 0D. P(A) = 210. 下列哪个选项是勾股定理的表述？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^2二、填空题（每题2分，共20分）1. 一元一次方程的解是________。
广东省韶关市翁源县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学注意事项：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟．2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B 铅笔把对应的号码的标号涂黑．3．在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．1，2，5B ．C ．D ．3．已知和关于原点对称，则的值为（ ）A ．B ．1C ．D ．54．二次函数的图象顶点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知点，将线段绕点按顺时针方向旋转，旋转后点的对应点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，已知一菜园为长10米，宽7米的矩形，为了方便浇水和施肥，修建了同样宽的四条互相垂直的“井”x 2250x x -+-=1,2,5--1,2,5-1,2,5-(),2A a ()3,B b a b +5-1-23(1)2y x =-+-()1,2-()1,2-()1,2()1,2--22y x =+2(3)1y x =++2(3)3y x =-+2(3)3y x =++2(3)1y x =-+()1,2P PO O 90︒P ()1,2-()2,1-()2,1-()2,1字形道路，余下的部分种青菜，已知种植青菜的面积为54平方米，设小路的宽为米，则根据题意列出的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ）A ．1或B ．C ．1D ．9．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（ ）A ．B．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______．12．若二次函数与轴只有1个交点，则_______．13．数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点，将三角形硬纸板绕点顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______．x ()()1027254x x --=()()10754x x --=()()107254x x --=()()1027254x x +-=x ()22120a x x a -++-=a 2-2-1-()()()1233,,2,,2,A y B y C y --22y x x c =--+123,,y y y 321y y y >>123y y y >>132y y y >>213y y y >>ABCD A C 、()()1,17,3-、D 21y x bx =+-b 32-3212-12()2230a x x -+-=x a 22y x x m =-+x m =ABC △A A ADE △50,15BAC CAD ∠=︒∠=︒CAE ∠=14．设是方程的两个实数根，则的值为_______．15．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为_______三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16．（7分）解方程：17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．（1）画出关于点的中心对称图形；（2）将绕点顺时针方向旋转后得，画出．18．（7分）如图，是二次函数的图象．12,x x 23210x x --=1212x x x x --ABC △3,1AB AC ==ABC △C 90︒CDE △A D AB AE ()330x x x --+=A B C 、、()()()1,1,2,3,4,2ABC △O 111A B C △111A B C △O 90︒222A B C △222A B C △2y ax bx c =++（1）求二次函数解析式；（2）根据图象直接写出关于的不等式的解集．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．（9分）如图，四边形为矩形，，将对角线绕点逆时针旋转得，作交于点．（1）证明：；（2）连接，求的长．20．（9分）乐昌马蹄是广东韶关的特产，韶关乐昌有着“马蹄之乡”的美称．乐昌马蹄以个头大、清甜多汁、爽脆无渣为特点而闻名全国，畅销国内外．某农产品商以每斤5元的价格收购乐昌马蹄，若按每斤10元出售，平均每天可售出100斤．市场调查反映：如果每斤降价1元，每天销售量相应增加50斤．（1）若该农产品商想要日销售利润达到600元，测每斤马蹄应降低多少元？（2）日销售利润能否达到700元？如果能，请计算出每斤马蹄降价多少元；如果不能，请说明理由．21．（9分）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）请用上述方法解方程：．x 20ax bx c ++>ABCD 3,4AB BC ==AC A 90︒AF FE AD ⊥AD E ABC AEF △≌△DF DF ()()22237360x x ---+=23x -23x t -=2760t t -+=121,6t t ==1t =231,2x x -=∴=±6t =236, 3.x x -=∴=±∴12342,2,3,3x x x x ==-==-42540x x -+=（2）已知实数满足，求的值．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．22．（13分）如图，直线与抛物线相交于和．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（14分）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，【初步探究】如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．（1）根据以上信息，填空：（1）_______°；（2）线段之间满足的数量关系为_______；【迁移探究】（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；【拓展探索】（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．,x y ()()2222222222150x y x y +-+-=22x y +2y x =-()220y ax bx a =++≠()1,1A -(),2B m C AB C CD x ⊥D C CD x M ABM △M ABCD ,E F ,BC CD ,,AE AF EF 45EAF ∠=︒ADF △A 90︒D B ABG △AEF AEG △≌△EAG ∠=BE EF DF 、、ABCD E CB F DC 45EAF ∠=︒BE EF DF 、、ABCD 45EAF ∠=︒BD AE AF 、M N 、M BD BM DM <MN2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1-5CBADD 6-10CABDB二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11． 12．1 13． 14． 15三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：．解得：．（方法不唯一，酌情给分）17．解：（1）如图所示：即为所求．（2）如图所示：即为所求．18．解：（1）设二次函数解析式为：2a ≠35︒1-()()330x x x -+-=()()130x x +-=121,3x x =-=111A B C △111A B C △()()()240y a x x a =+-≠把点代入得：解得：（2）．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明：四边形为矩形绕点逆时针旋转得，，，在和中．（2）解：四边形为矩形，，，在中，根据勾股定理得：20．解：（1）设每斤马蹄降价元根据题意得解得答：若该农商想要日销售利润达到600元，则每斤马蹄应降低1元或2元．（2）日销售利润不能达到700元．理由如下：设每斤马蹄降价元则化简得方程无实数根日销售利润不能达到700元．()0,484a -=12a =-24x -<< ABCD 90B BAD ∴∠=∠=︒90BAD CAD ∴∠+∠=︒AC A 90︒AF,90BC EF CAF ∴=∠=︒90EAF CAD ∴∠+∠=︒BAD EAF∴∠=∠FE AD ⊥ 90AEF ∴∠=︒B AEF∴∠=∠ABC △AEF △BAD EAF B AEFAC AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABC AEF ∴△≌△ ABCD 4AD BC ∴==ABC AEF △≌△3,4AB AE BC EF ∴====431DE AD AE ∴=-=-=FE AD ⊥ 90DEF ∴∠=︒Rt DEF △DF ===x ()()10510050600x x --+=111,2x x ==a ()()10510050700a a --+=2340a a -+=2(3)4470=--⨯=-<△∴∴21．解：（1）设则原方程化为：解得：当时当时原方程的解为：（2）设则原方程化为：解得：，，．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解：（1）把代入直线得，，在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为．（2）存在．理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为，点是线段上的动点，当时，线段有最大值且为．（3）存在．设点①当时，2y x=2540y y -+=121,4y y ==1y =2,1,1x x =∴=±4y =2,4,2x x =∴=±∴12341,1,2,2x x x x ==-==-2222w x y=+22150w w --=125,3w w ==-22220x y +≥ 22225x y ∴+=2252x y ∴+= (),2B m 2y x =-4m =()4,2B ∴()()1,14,6A B - 、22y ax bx =++2116422a b a b ++=-⎧∴⎨++=⎩14a b =⎧⎨=-⎩∴242y x x =-+C (),2n n -D ()2,42n n n -+()()2242PC n n n ∴=---+254n n =-+-25924n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ C AB 14n ∴≤≤∴52n =PC 94(),0M c AB AM =解得：或．②当时，解得：或．③当时，解得：，综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或23．（1）①45 ②．（2）解：．证明如下：如图在上截取，连接，和中，，，，即，，，在和中，，2222(14)(12)(1)(10)c -+--=-+--121,1c c =+=+)1,0M ∴+()1,0M +AB BM =2222(14)(12)(4)(20)c -+--=-+-124,4c c =+=)4,0 M ∴+()4,0M +AM BM =2222(1)(10)(4)(20)c c -+--=-+-3c =()3,0M ∴∴ABM △M )1,0+()1,0+)4,0+()4,0+()3,0BE DF EF +=BE EF DF +=DC DH BE =AH ABE △ADH △,AB AD ABE D BE DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABE ADH ∴△≌△,AE AH BAE DAH ∴=∠=∠90BAE BAH BAH DAH ∴∠+∠=∠+∠=︒90EAH BAD ∠=∠=︒45EAF ∠=︒ 45EAF FAH ∴∠=∠=︒EAF △HAF △AE AH EAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，，（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可得，，又，，，设，则，在中，，，解得，；()SAS EAF HAF ∴△≌△EF HF ∴=DF DH HF =+ DF BE EF ∴=+ADN △A 90︒ABK △KM 90AB AD ADC ==∠=︒6BD ∴==12,43BM BD DM BD BM ∴===-=,90ADN ABK KAN ∠=︒△≌△,,45AK AN BK DN ABK ADB ∴==∠=∠=︒90KBM ABK ABD ∴∠=∠+∠=︒90,45KAN MAN ∠=︒∠=︒45KAM MAN ∴∠=∠=︒AM AM = AMK AMN ∴△≌△KM MN ∴=∴MK MN x ==4BK DN x ==-Rt BMK △222BK BM MK +=222(4)2x x ∴-+=2.5x = 2.5MN ∴=。
湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024～2025学年度上学期学情监测九年级数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A.B. C. D.2.一元二次方程根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.两根互为相反数3.如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ）A. 60°B. 120°C. 144°D. 180°4.如图，是的直径，，则的度数是（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.若是方程的一个根，则的值为（ ）A. 2024B. C. D. 10156.用配方法解方程时，配方正确的是（）2210x x --=AB O e 30CDB ∠=︒ABC ∠x m =2210090x x --=2246m m -+2012-1003-2840x x --=A. B. C. D.7.函数和函数（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A.B. C. D.8.小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）A. B. C. D.9.如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（ ）A. 8m 或5mB. 4m 或2.5mC. 8mD. 5m 10.如图，开口向上的抛物线（）与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④当时，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论是（ ）A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①②④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.12.抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的图象解析式为______.13.如图，是的直径，弦于点E ，，，则的长为______cm.()2412x -=()2420x -=()2868x -=()2860x -=y ax a =+221y ax x =--+0a ≠()292616y x =-+8cm AB =4cm DE =CE 13cm 12cm 15cm 9cm12m 6m 220m 1m BC 2y ax bx c =++0a ≠()4,01x =a c b +>20a b +=0x <m a b c >++2ax bx c m ++=()2,3-()2234y x =-+AB O e CD AB ⊥16cm CD =4cm BE =OC14.已知关于x 的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______.15.如图，的半径为2，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且，与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A ，点B 关于原点O 对称，则的最小值为______.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知二次函数.（1）写出该函数图象的开口方向；（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 满足什么条件时，y 随x 增大而减小？18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出关于原点O 成中心对称的；（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的.19.（8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m 的值.20.（8分）如图，已知抛物线和直线相交于点和.()23230x k x k -+++=4a =M e ()3,4M e PA PB ⊥PA PB AB 2240x x --=23100x x --=247y x x =-+-()2,0A ()1,1B ()4,2C ABC △111A B C △ABC △()0,1Q -222A B C △()222110x m x m -++-=1x 2x 22124x x +=21y x bx c =-++21522y x =+()1,A m -(),4B n（1）求m 和n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）结合图象直接写出满足的x 的取值范围.21.（8分）如图，为的直径，点C ，D 为直径同侧圆上的点，且点D 为的中点，过点D 作于点E ，交于点G ，延长，交于点F .图① 图②（1）如图①，若，求证：；（2）如图②，若，，求的半径.22.（10分）我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克。
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九年级上学期期中考试数学试题一．选择题(每小题3分，共30分) 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分.1. 若x=2是关于x 的一元二次方程08mx x 2=+-的一个解，则m 的值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．-62. 对于反比例函数y = 1x，下列说法正确的是( )A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 3．如图，空心圆柱的左视图是（ ）4．反比例函数y ＝ 6x 与y ＝ 3x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．15. 如图（二）所示，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（ ） A.AC ⊥BD B.AB ＝CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD6. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，点E,F,G,H 分别是AB,BC ，CD ，DA 的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. ∠HGF = ∠GHEB. ∠GHE = ∠HEFC. ∠HEF = ∠EFGD. ∠HGF = ∠HEF7．函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k >B ．1k <C ．1k >-D ．1k <-8. 如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且1BP =，点D 为AC 边上一点若60APD ∠=︒，则CD 的长为( )A.12 B.23 C.34D.19. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10. 根据图5中①所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，如图5中②，若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P 、Q ，连接OP 、OQ ，则以下结论：①x ＜0时，y =2x②△OPQ 的面积为定值③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ =2PM⑤∠POQ 可以等于90° 其中正确结论是( )A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤二．填空题(每小题3分，共15分) 将结果直接填写在答题卡相应的横线上.11.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅=________。
12. 如图，菱形ABCD 的边长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为_________㎝2．13. 已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .14. 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB 垂直于地面时的硬长为AC （假定AC ＞AB ），影长的最大值为m ，最小值为n ，那么下列结论：①m ＞AC ;②m =AC ;③n =AB ;④影子的长度先增大后减小． 其中，正确的结论的序号是 ． 15.如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为（1，2），点B 与点D 在反比例函数6(0)y x x=>的图象上，则点C 的坐标为 ． 三．解答题 (共9小题，满分75分)16. （6分）（2010 重庆江津）在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．(第12题)A① ②C AB第14题第15题第6题 第8题 （第9题图）EDCBA第4题 第3题17. （6分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于E，交BC于F。
若AE=4，FC=3，求EF长。
18.（6分）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？19．（8分）如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象相交于A、B两点．求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并求出反比例函数的解析式；（2分）（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．（3分）(3)求△AOB的面积。
（4分）21. （9分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB•在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的影长时，同时测量出DE在阳光下的影长为6cm，请你计算DE的长．22．（9分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.（1）求证： OP=OQ；（4分）（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．（5分）23.（11分）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB 与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．24. （11分）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF ＝EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB ＝a,BC ＝b ，求EGEF的值．图1 图2 图3潜江市2012—2013学年九年级上学期期中考试参考答案一、填空题1．A;2．C ；3．C ；4．A ；5．A ；6．D ；7．A ；8．B ；9．D ；10.B ； 二、选择题11．-90；12．13．15°或75°;14．①③④；15．（3，6）； 三．解答题16．解：根据题意得：△()()2246b b =+--28200b b =+-=解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去）∴2b =…（1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意 （2）当5c a ==时， 12a b c ++=………17．解：连接BD .∵三角形ABC 是等腰直角三角形，D 为AC 边的中点。
∴BD =DC , ∠ABD =∠C =45°，BD ⊥AC 。
∴∠BDF +∠FDC =90°。
又∵DE ⊥DF∴∠BDF +∠BDE =90°。
∴∠FDC =∠BDE . ∴△BED ≌△CFD∴BE =FC =3,BF =BC -FC =AB -BE =AE =4 ∴EF =518．设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意得10)1(4.62=+x ························ 2分解之，得25.225.021-==x x ， . ················ 4分 ∵025.22<-=x ，故舍去，∴x ＝0.25＝25%. ··········· 5分 10×（1＋25%）＝12.5答：2011年的年产量为12.5万辆. 6分19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD=BC ，∴AF ∥EC ，∵BE=DF ， ∴AF=EC ，∴四边形AECF 是平行四边形. （2）∵四边形AECF 是菱形，∴AE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵∠BAC ＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE ＝BE ，∴BE ＝AE ＝CE ＝12BC ＝5.20．解：（1）由图象可知：点A 的坐标为（2，） 点B 的坐标为（﹣1，﹣1）（2分） ∵反比例函数（m ≠0）的图象经过点（2，）∴m=1∴反比例函数的解析式为：（4分）（2）由图象可知：当x ＞2或﹣1＜x ＜0时一次函数值大于反比例函数值（3）∵一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象经过点（2，）点B （﹣1，﹣1） ∴解得：k=b=﹣ ∴一次函数的解析式为（6分）直线AB 与y 轴的交点为（0，21-）， S=43=+∆∆AOC BOC S S 21．（1）（连接AC ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BC 于点F ，线段EF 即为DE 的投影） （2）∵AC ∥DF ，∴∠ACB=∠DFE ，∴∠ABC=∠DEF=90°，∴△ABC ∽△DEF ． ∴53,6AB BC DE EF DE =∴=， ∴DE=10（m ）． 22．【答案】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD ，∠POD=∠QOB ， ∴△POD ≌△QOB ， ∴OP=OQ 。