九年级数学上册第21章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与增长下降率问题习题课件新
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九年级数学上册21一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第一课时增长率与单循环赛类问题
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11．一个容器中盛满12 L纯药液，倒出纯药液后，用水加满，再倒 出等量液体，再用水加满，此时容器中药液与水之比为1∶3，问每 次倒出液体多少升．
第11页
12．(济宁)某地年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异 地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年基础上增加投 入资金1 600万元． (1)从年到年，该地投入异地安置资金年平均增加率为多少？
【解】 设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励， 依据题意，得1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000， 解得a≥1 900， 答：今年该地最少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．
第8页
(2)若该县教育经费投入还将保持相同年平均增加率，请你预算 年该县投入教育经费多少万元． 【解】 因为年该县投入教育经费为8 640万元，且增加率为20%， 所以预算年该县投入教育经费为：y＝8 640×(1＋20%)＝10 368(万元)，
答：预算年该县投入教育经费10 368万元．
第9页
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第7页
*8.某省农作物秸秆资源巨大，但合理利用量十分有限，年利 用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出农作物秸秆总量不 变，且合理利用量增加率相同，要使年利用率提升到60%，则每年增 长率为____4_1_%_____.（取 2≈1.41） 9．为深入发展基础教育，自年以来，某县加大了教育经费投入，年该县投入教 育经费6 000万元.年投入教育经费8 640万元．假设该县这两年投入教育经费年平均 增加率相同． (1)求这两年该县投入教育经费年平均增加率； 【解】 设该县投入教育经费年平均增加率为x，依据题意得 ：6 000(1＋x)2＝8 640， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)， 答：该县投入教育经费年平均增加率为20%.
11．一个容器中盛满12 L纯药液，倒出纯药液后，用水加满，再倒 出等量液体，再用水加满，此时容器中药液与水之比为1∶3，问每 次倒出液体多少升．
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12．(济宁)某地年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异 地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年基础上增加投 入资金1 600万元． (1)从年到年，该地投入异地安置资金年平均增加率为多少？
【解】 设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励， 依据题意，得1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000， 解得a≥1 900， 答：今年该地最少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．
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(2)若该县教育经费投入还将保持相同年平均增加率，请你预算 年该县投入教育经费多少万元． 【解】 因为年该县投入教育经费为8 640万元，且增加率为20%， 所以预算年该县投入教育经费为：y＝8 640×(1＋20%)＝10 368(万元)，
答：预算年该县投入教育经费10 368万元．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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*8.某省农作物秸秆资源巨大，但合理利用量十分有限，年利 用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出农作物秸秆总量不 变，且合理利用量增加率相同，要使年利用率提升到60%，则每年增 长率为____4_1_%_____.（取 2≈1.41） 9．为深入发展基础教育，自年以来，某县加大了教育经费投入，年该县投入教 育经费6 000万元.年投入教育经费8 640万元．假设该县这两年投入教育经费年平均 增加率相同． (1)求这两年该县投入教育经费年平均增加率； 【解】 设该县投入教育经费年平均增加率为x，依据题意得 ：6 000(1＋x)2＝8 640， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)， 答：该县投入教育经费年平均增加率为20%.
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题
3．(鸡西中考改编)(教材P22习题4变式)某校“研学”活动小组在一次野外 实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数 目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多 少个小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋x·x＝43，即x2＋x－42＝0，解 得x1＝6，x2＝－7(不合题意，舍去)，故每个支干长出6个小分支
10．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线， 一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( B) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
11．(新疆中考)周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之 间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
人教版
第二十一章 一元二次方程
21．3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题
1．某种疾病，传染性很强，曾有2人同时患上这种疾病， 在一天内，一人可传染x人， 两天后共有128人患上这种疾病，则x的值为(D ) A．10 B．9 C．8 D．7 2．(2020·通辽)有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新 冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了__1_2_个人．
15．(1)n边形(n＞3)中一个顶点的对角线有_(_n_－__3_)__条； (2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？ (3)是否存在有21条对角线的凸多边形？ 如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．
解：(2)设这个凸多边形是 n 边形，由题意得n（n2－3） ＝14，解得 n1＝7，
设有 x 人参加这次聚会，下面所列方程正确的是( B )
A．x(x－1)＝21
B．x（x－ 2 1） ＝21
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时，主要介绍了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。
本节课的内容是学生对一元二次方程知识的进一步拓展和应用，有助于提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念、解法和应用。
但实际问题与一元二次方程的结合，对学生而言是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生对实际问题转化为数学问题的能力的培养，引导学生学会用数学的眼光看待实际问题。
三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程之间的关系，学会将实际问题转化为一元二次方程。
2.掌握一元二次方程的解法，并能应用于实际问题的解答。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.教学重点：实际问题转化为一元二次方程的方法。
2.教学难点：如何引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的联系。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体案例，引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的关系。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、分享心得，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实际问题与一元二次方程之间的关系。
2.案例素材：准备一些实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生思考实际问题与数学问题之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示几个实际问题，让学生尝试将其转化为一元二次方程。
学生在课堂上进行讨论，分享自己的思路。
教师引导学生总结实际问题转化为一元二次方程的方法。
3.操练（10分钟）教师给出一些实际问题，学生独立将其转化为一元二次方程，并求解。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 第1课时 传播问题与一元二次方程
解：设个位数字为 x ，则十位数字为 （11－ x ）.
由题意得 x2＋（11－ x ）2＝85，
解得 x1＝2， x2＝9.
当 x ＝2时，两位数为92，
当 x ＝9 时，两位数为29.
答：这个两位数为92或29.
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第二十一章
一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
要点归纳
知识要点 传播问题
1. 传播、裂变问题：若有一个人患了流感，设每
轮传染 x 人， n 轮传染后患流感的总人数为（1＋x ）n .
2. 握手次数问题： x 位同学为表示友好，他们相
（−）
互握手，则握手次数为
A. （ x ＋1）2＝73
B. x ＋2 x ＋1＝73
C. x （ x ＋1）＝73
D. x2＋ x ＋1＝73
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2. 教材P22习题T6变式某校九年级组织一次篮球比
赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则
该校九年级共有班级个数为（
A. 9
B. 10
C. 11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D. 12
C
）
3. 小明去参加聚会，每两人都互相赠送一件礼物，
；若他们彼此通
信，则信件的总件数为 x （ x －1） .
3. 比赛场次问题： x 支足球队进行比赛，若赛
制为双循环制（每两队之间都赛两场），比赛的总
场次为
x （ x －1）
；若赛制为单循环制（每两
由题意得 x2＋（11－ x ）2＝85，
解得 x1＝2， x2＝9.
当 x ＝2时，两位数为92，
当 x ＝9 时，两位数为29.
答：这个两位数为92或29.
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第二十一章
一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
要点归纳
知识要点 传播问题
1. 传播、裂变问题：若有一个人患了流感，设每
轮传染 x 人， n 轮传染后患流感的总人数为（1＋x ）n .
2. 握手次数问题： x 位同学为表示友好，他们相
（−）
互握手，则握手次数为
A. （ x ＋1）2＝73
B. x ＋2 x ＋1＝73
C. x （ x ＋1）＝73
D. x2＋ x ＋1＝73
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2. 教材P22习题T6变式某校九年级组织一次篮球比
赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则
该校九年级共有班级个数为（
A. 9
B. 10
C. 11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D. 12
C
）
3. 小明去参加聚会，每两人都互相赠送一件礼物，
；若他们彼此通
信，则信件的总件数为 x （ x －1） .
3. 比赛场次问题： x 支足球队进行比赛，若赛
制为双循环制（每两队之间都赛两场），比赛的总
场次为
x （ x －1）
；若赛制为单循环制（每两
人教版九年级上册第21章 课时1 传播问题(12页)
课堂小结
两个要点： 传染源和传播速度
传
播 问 题
传染轮数 与传染总 人数之间
设1个人每次可以传染x人 第一轮：(1+x)人 第二轮：(1+x)+x(1+x)人
的关系： 第三轮：(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人
第n轮： (1+x)+x(1+x)+…x(1+x)n=(1+x)n人
探究新知
解方程 x+1+x(x+1)=121 解方程 x+1+x(x+1)=121
化简得：x2+2x-120=0
提取公因式：(x+1)(x+1)=121
(x-10)(x+12)=0
(x+1)2=121
x1=10, x2=-12(舍)
有更简单的方法 解这个方程吗？
x+1=±11 x1=10, x2=-12(舍)
(1+x)2 =400
解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑。
随堂练习
2.某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞. （1）经过三轮分裂后细胞的个数是 8 . （2）n轮分裂后，细胞的个数共是 2n .
起始值 新增细胞
第一轮 1
2
第二轮 2
探究新知 列一元二次方程解决实际问题
探究：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
你能解决这个问题吗？
探究新知
设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第一轮传染后有 x+1 人患了流感. 第二轮传染中的传染源为 x+1 人，第二轮传染后 有 x+1+x(x+1) 人患了流感. 根据等量关系 “ 两轮传染后，有121人患了流感 ” 列出方程 x+1+x(x+1)=121 .
人教版九年级数学上册21.3.1 实际问题与一元二次方程(1)传播与握手问题(共24张PPT)
元二次方程并求解. 难点:发现问题中的等量关系.
5
知识点一：建立一元二次方程模型解决传播问题
新知探究
1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染 x个人,开始有一个人
患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染给了x个人， 用代数式表示：①第一轮后共有 (1+x) 人患了流感； ②第二轮的传染中，这些人的每一个人又传染给了 x 人； ③第二轮传染后共有 1+x+x(1+x) 人患了流感.
飞机场. A.4 B.5 C.6 D.7
16
知识点二：建立一元二次方程模型解决握手问题
合作探究
先独立完成导学案互动探究2、3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
17
知识点三：建立一元二次方程模型解决数字问题
典例讲评
例2 有一共两位数，它的十位数字与各位数字之和是8.如果
把十位数字与个位数字对调，所得的两位数与原两位数的乘
赠送一件，全组共互赠了182件.如果设全组共有x名同学，则
根据题意列出的方程是( B )
A.x(x+1)=182
B.x(x﹣1)=182
C.x(x﹣1)=182×2
D.2x(x+1)=182
2、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一
条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有( B )个
学以致用
1.一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字的平
方刚好等于这个两位数，则这个两位数是 25或36 .
2.一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，且这个两位数等
于两个数位上的数字之积的2倍，设其十位数字为x，则下列
5
知识点一：建立一元二次方程模型解决传播问题
新知探究
1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染 x个人,开始有一个人
患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染给了x个人， 用代数式表示：①第一轮后共有 (1+x) 人患了流感； ②第二轮的传染中，这些人的每一个人又传染给了 x 人； ③第二轮传染后共有 1+x+x(1+x) 人患了流感.
飞机场. A.4 B.5 C.6 D.7
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知识点二：建立一元二次方程模型解决握手问题
合作探究
先独立完成导学案互动探究2、3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
17
知识点三：建立一元二次方程模型解决数字问题
典例讲评
例2 有一共两位数，它的十位数字与各位数字之和是8.如果
把十位数字与个位数字对调，所得的两位数与原两位数的乘
赠送一件，全组共互赠了182件.如果设全组共有x名同学，则
根据题意列出的方程是( B )
A.x(x+1)=182
B.x(x﹣1)=182
C.x(x﹣1)=182×2
D.2x(x+1)=182
2、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一
条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有( B )个
学以致用
1.一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字的平
方刚好等于这个两位数，则这个两位数是 25或36 .
2.一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，且这个两位数等
于两个数位上的数字之积的2倍，设其十位数字为x，则下列
2024年人教版九年级上册数学第21章一元二次方程第3节第1课时传播问题
+
+
第二轮分叉，枝干总数为_______________
+
+
+
第三轮分叉，枝干总数为_______________
总结：枝干问题与传播问题的区别是：
（传播问题中传染源会参与每一轮传播，而枝干问题中每一轮的
分支只能参与一轮）
小组讨论
否
现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？____________
所以按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1 500头.
例2 有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了
流感，求每轮传染中平均一人传染了多少人.
解：设每轮传染中平均一人传染了x人.
根据题意，得2+2x+x(2+2x)=288,
整理，得2(1+x)²=288,解得x₁=11,x₂=-13(不合题意，舍去),
二轮传染之后分别共有多少个人感染流感？ ( + )个； ( + ) 个
如果最初有个人患了流感，按照上述的传染模式，轮传染后
共有多少个人感染流感？
( + ) 个
如果最初有 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染 个人，
那么轮传染后共有多少个人感染流感？ ( + ) 个
教师讲评
知识点2：传播问题(难点)
解决传播问题的关键需要找清楚两个量：
1.第一轮传播的传播源的数量a;
2.每一个传播源每轮传播的数量x.
数量关系：传播总量= (1 + ) .
教师讲评
知识点3：枝干问题(难点)
公式：总数=1 + + 2 +. . . + .
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
行第二次降价？
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
知识导航
例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
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例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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