第1章 第3讲集合与常用逻辑用语

课时达标第3讲集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．(2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
D解析由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．故选D.
2．(2019·北京朝阳期中)已知命题p：∀x∈R,2x＞0；命题q：在曲线y＝cos x上存在斜率为2的切线，则下列判断正确的是()
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
C解析易知命题p是真命题，对于命题q，y′＝－sin x，设切点坐标为(x0，cos x0)，则切线斜率k＝－sin x0≠2，即不存在x0∈R，使得－sin x0＝2，所以命题q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧(綈q)是真命题，故C项正确．
3．(2019·忻州二中期末)已知命题p：x＞2是x2＞4的充要条件，命题q：若a
c2＞b
c2，则
a＞b，那么()
A．“p或q”为真B．“p且q”为真
C．p真q假D．p，q均为假
A解析由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，根据真值表可知A项正确．4．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2＞0.下列结论正确的是() A．命题p∧q是真命题
B．命题p∧(綈q)是假命题
C ．命题(綈p )∨q 是真命题
D ．命题(綈p )∧(綈q )是假命题
D 解析 取x 0＝π4，有tan π
4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假
命题．再根据复合命题的真值表，知D 项正确．
5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．[0,4]
C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D 解析 命题p 的否定是綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0成立，即不等式ax 2＋ax ＋1<0有解．当a ＝0时，1<0，不等式无解；当a ＞0时，要使不等式有解，则a 2－4a >0，解得a >4；当a ＜0时，不等式显然有解．综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D.
6．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B ．[0,2]
C ．R
D ．∅
B 解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,2]．
二、填空题
7．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.
解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0.
答案 0
8．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题可知“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.
答案 [－22，22]
9．(2019·黄冈中学期中)下列结论：
①若命题p ：∃x ∈R ，sin x ＝－1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0；则命题p ∧(綈q )是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a
b ＝－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．
解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③ 三、解答题
10．(2019·岳阳一中月考)已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
(2)若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．
解析 (1)设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，
1＋m ≥5，
1－m ≤－1，解得m ≥4.故实数m 的取值范围
为[4，＋∞)．
(2)根据条件可知p ，q 一真一假．
当p 真q 假时，⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤5，
x >6或x <－4，无解．
当p 假q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧
x >5或x <－1，
－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.
故实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5,6]．
11．(2019·忻州二中期中)已知命题p ：存在a ＞0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减；命题q ：存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0.若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．
解析 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2
a ≥2，所以0＜a ≤1.
若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根．所以Δ＝[－16(a －1)]2－4×16＜0，所
以12＜a ＜3
2.因为命题p ∧q 为真命题，所以命题p ，q 都为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧
0＜a ≤1，12
＜a ＜32，所以1
2
＜a ≤1.
故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.
12．已知命题p ：∃x ∈[0,2]，log 2(x ＋2)＜2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．
(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．
解析 令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )最小值为f (0)＝1，故若p 为真，则2m ＞1，m ＞12；对于q ：Δ＝4－12m 2＞0，即m 2＜1
3时，方程
3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，所以－
33＜m ＜33. (1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧
m ≤12
，
－33＜m ＜3
3
，
故－
33＜m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦
⎤－33，1
2. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足
⎩⎨⎧
m ＞12
，
m ≤－33或m ≥33
，即m ≥
33
； 若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧
m ≤12
，
－33＜m ＜3
3
，即－
33＜m ≤1
2
.综上所述，实数m 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－
33，12∪⎣⎡⎭
⎫33，＋∞.
13．[选做题]命题p ：f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q ：
正数x ，y 满足x ＋2y ＝8，且a ≤2x ＋1
y
恒成立，若p ∨(綈q )为假命题，求实数a 的取值范围．
解析 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ≤2，解得－1≤a ≤0； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1≤2，解得0<a <1； 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ≤2，解得1≤a ≤2. 所以使命题p 为真的a 的取值范围是[－1,2]． 由x ＋2y ＝8得x 8＋y
4＝1，又x ，y 都是正数，
所以2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 8＋y 4＝12＋⎝⎛⎭⎫x 8y ＋y 2x ≥1
2
＋2x 8y ·y 2x
＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
x 8y ＝y 2x
，x ＋2y ＝8，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝2时，等号成立，故⎝
⎛⎭⎫
2x ＋1y min ＝1. 因为a ≤2x ＋1
y 恒成立，所以a ≤1，所以使命题q 为真的a 的取值范围是(－∞，1]．
因为p ∨(綈q )为假命题，
所以p 假q 真，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a <－1或a >2，
a ≤1，
则a <－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．。