2019-2020年高二数学上学期曲线和方程第一课时教案一
高二数学曲线和方程教案 人教版
高二数学曲线和方程教案 人教版教学目标：1.了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，并据定义进行简单的判断与推理.2.会判定一个点是否在已知曲线上.3.进一步培养学生的逻辑推理能力及抽象思维能力. 教学重点：曲线和方程的概念 教学难点：曲线和方程概念的理解 教学方法：启发引导式 教 具：三角板、幻灯片 教学过程：一、复习引入：1.问题1：什么叫直线的方程？什么叫方程的直线？问题2：直线和方程满足什么条件时，才能把这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线？答：（1）以方程的解为坐标的点都是直线上的点； （2）直线上的点的坐标都是这个方程的解．下面我们来进一步研究一般曲线（当然也包括直线）和方程间的关系． 二、讲授新知：㈠曲线与方程的概念：1．x-y=0能否表示第一、三象限的角平分线？ 说明：1)若（x 0，y 0）是方程x-y=0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；2)若点（x 0，y 0）是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即x0=y0， 那么它的坐标（x 0，y 0）是方程x-y=0的解；因此，此方程可以表示第一、三象限的角平分线。
2．0=-y x 能否表示第一、三象限的角平分线？说明：1)若（x 0，y 0）是方程0=-y x 的解，即000=-y x ，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；2)若点（x 0，y 0）是这条直线上的任意一点，则x 0≥0,y 0≥0，而第一、三象限的角平分线的坐标可以小于0；综上所述，以此方程的解为坐标的点都在第一、三象限的角平分线上，而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却不一定满足这条方程。
事实上，此方程表示的曲线是第一象限角平分线（包括原点），不能表示第一、三象限的角平分线．3．x 2-y 2=0能否表示第一、三象限的角平分线？说明：x 2-y 2=0⇔(x-y)(x+y)=0⇔x-y=0或x+y=0，显然以这个方程的解为坐标的点分布在第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上。
2019-2020年高中数学 曲线与方程教案 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学曲线与方程教案新人教A版选修2-1一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：本讲内容是我们学习并学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。
我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。
其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。
要注重对通性通法的求解和运用。
1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
【教案】双曲线及其标准方程说课稿-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.1双曲线及其标准方程尊敬的各位评委：大家好！我今天说课的内容是《双曲线及其标准方程》。
下面，我将从教学内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教学过程设计五个方面来汇报我的思考与设计。
一、教学内容及其解析1.教学内容本节课是人教A 版选择性必修第一册第三章第二节第1 课时。
其主要内容包括：双曲线的现实背景与几何情境，双曲线的几何特征与概念以及双曲线的标准方程。
2.教学内容解析本节内容是在学习直线和圆的方程以及椭圆的基础上，先类比椭圆，从几何情境中抽象出双曲线的几何特征，进而得出双曲线的概念，然后建立它的标准方程，最后再通过例题让学生进一步熟悉双曲线的定义、方程和实际应用。
本节课纵向承接椭圆和抛物线，横向为双曲线简单几何性质的探究打下了基础，起到了深化提高、承上启下的重要作用，为随后抛物线的学习提供了良好的类比价值，也为从整体上认识圆锥曲线提供了经验。
本节课的教学，继续强化了几何概念的抽象过程，充分发挥了坐标法的核心纽带作用，进一步贯彻了“先用几何眼光观察与思考、再用坐标法解决”的研究策略，促进了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的发展。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：双曲线的几何特征，双曲线的定义以及双曲线的标准方程。
二、教学目标及其解析1.教学目标（1）能从几何情境中抽象出双曲线的几何特征，给出双曲线的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养。
（2）类比椭圆标准方程的建立过程，运用坐标法推导出双曲线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算等素养。
2.教学目标解析达成上述目标的标志是：（1）能通过观察利用信息技术演示绘制双曲线的过程，明确双曲线上的点满足的几何条件，明确双曲线的几何特征，形成双曲线的概念。
（2）能认识建立双曲线标准方程的过程与建立椭圆标准方程的过程是类似的。
能通过建立适当的坐标系，根据双曲线上点的几何特征，列出双曲线上点的坐标满足的方程，进而化简所列出的方程，得到双曲线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法。
高中数学《曲线和方程》第一课时优秀说课稿范文
高中数学《曲线和方程》第一课时说课稿高中数学《曲线和方程》第一课时优秀说课稿范文作为一名无私奉献的老师，很有必要精心设计一份说课稿，借助说课稿可以提高教学质量，取得良好的教学效果。
那么应当如何写说课稿呢？以下是小编整理的高中数学《曲线和方程》第一课时优秀说课稿范文，仅供参考，大家一起来看看吧。
高中数学《曲线和方程》第一课时说课稿1一、教材分析1、教材背景作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时侧重对所求方程的检验。
本课为第二课时主要内容有：解析几何与坐标法；求曲线方程的方法（直译法）、步骤及例题探求。
2、本课地位和作用承前启后，数形结合。
曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论基础，是解几中承上启下的关键章节。
“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式。
“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题。
体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范。
后继性、可探究性。
求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x，y）横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性。
同时，本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法。
数学建模与示范性作用。
曲线的方程是解析几何的核心。
求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范。
数学的文化价值。
解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例。
高中数学说课稿：《曲线和方程》第一课时优秀说课稿模板-2019年教学文档
高中数学说课稿：《曲线和方程》第一课时优秀说课稿模板曲线和方程说课教案（第一课时）四川省科学城一中秦美蓉1．对教材地位与作用的认识在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透，强化的有：函数与方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；等价转化及运动变化思想。
不是所有的课都能把这些思想自然的容纳进去，但由于“曲线和方程”这一节在教材中的特殊地位，它把代数和几何两个单科自然而紧密地结合在一起，因而上述思想能用到大半，这不能不引起我们教师的重视。
“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，用代数的方法研究几何问题。
”曲线与方程”是解析几何中最为重要的基本内容之一.在理论上它是基础,在应用上它是工具,对全部解析几何的教学有着深远的影响，另外在高考中也是考察的重点内容，尤其是求曲线的方程，学生只有透彻理解了曲线与方程的含义，才算是找到了解析几何学习得入门之路。
应该认识到这节“曲线和方程”得开头课是解析几何教学的“重头戏”！2．教学目标的确定及依据(大纲的要求)通过本小节的学习,要使学生了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点,理解曲线的方程和方程的曲线的意义,初步掌握求曲线的方程的方法.所以第一课我在教学目标上是这样设定的: 1）．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；2）．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力；3）会证明已知曲线的方程。
本节课的教学目标定在“初步掌握”的水平上，但“初步”绝不等同于“含糊”，它反应在学生的学习行为上，即要求学生能答出曲线与方程间必须满足的两个关系，才能称作“方程的曲线”和“曲线的方程”，两者缺一不可，并能借助实例进一步明确这二者的区别。
知识的学习与能力的培养是同步的，在具体操作上结合图形分析与反例，来辨析“两个关系”之间的区别，从认识特例到归纳出曲线的方程和方程的曲线一般概念，因而在形成概念的过程中，培养学生分析、抽象、概括的思维能力.会证明已知曲线的方程就能更进一步的理解曲线和方程概念的含义并为下节课求曲线的方程打基础.3.如何突破重难点本小节的重点是理解曲线与方程的有关概念与相互联系，以及求曲线方程的方法、步骤.只有深刻理解了曲线与方程的含义，才能真正掌握好求曲线轨迹方程的一般方法，进一步学好后面的内容．曲线和方程的概念比较抽象，由直观表象到抽象概念有相当难度，对学生理解上可能遇到的问题是学生不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和”“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系各自所起的作用。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；。
2019-2020学年高二数学上学期《曲线与方程的概念》学案.doc
2019-2020学年高二数学上学期《曲线与方程的概念》学案学习目标1. 掌握曲线的方程与方程的曲线的概念，能根据点的坐标是否适合方程判断改点是否在曲线上。
能够通过求方程组的解，确定曲线的交点。
2. 了解用坐标法研究几何问题，初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及由曲线的方程研究曲线的性质的方法。
重点难点重点：曲线与方程概念的应用，求简单曲线的方程及根据曲线方程画出曲线。
难点：体会坐标法（解析法）是解析几何的灵魂。
知识链接1.若点(1,4)P a a ++在曲线253y x x =++上，则a = 。
2.方程2x xy x +=的曲线是 （ ）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线3.到(2,3)A -和(4,1)B -距离相等的点的轨迹方程是 （ ）A. 10x y --=B. 10x y -+=C. 10x y +-=D. 10x y ++=4.直线470x y ++=与曲线240x y -=的交点的坐标是 。
学习过程一、课内探究问题1：画出以原点为圆心，5为半径的圆，并分析圆上的点与方程2522=+y x 的解的关系. 问题2：过点)0,2(A 平行于y 轴的的直线l 的方程是2=x 吗？为什么？问题3：已知曲线C 的方程是422+-=x x y ，问)3,1()4,2()1,3(C B A ，，是否在曲线C 上？如何判断？二、典例剖析例1：已知“曲线C 上的所有点的坐标都是方程0)(=y x F ，的解”，则下列命题中正确的是________.(1) 不在曲线C 上的点的坐标一定不是方程0)(=y x F ，的解；(2) 以方程0)(=y x F ，的解为坐标的点都在直线上；(3) 曲线C 的方程是0)(=y x F ，；(4) 方程0)(=y x F ，表示的曲线不一定是C .跟踪训练：判断正误已知坐标满足方程0)(=y x F ，的点都在曲线C 上，① 若点)(y x M ，的坐标是方程0)(=y x F ，的解，在点)(y x M ，在曲线C 上；② 曲线C 上的点的坐标都满足方程0)(=y x F ，；③ 凡是坐标不满足方程0)(=y x F ，的点都不在曲线C 上；④ 不在曲线C 上的点的坐标一定不满足方程0)(=y x F ，例2：已知两圆 求证：对任意不等于1-的实数λ，方程0)54(1662222=--++-++x y x x y x λ是通过两个已知圆交点的圆的方程.跟踪训练：求通过两圆221x y +=，224410x y x y +---=的交点和点(2,1)的圆的方程。
高二数学教案： 曲线与方程
曲线和方程教学目标1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念.2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力.教学重点与难点对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解.教学过程师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系.这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书)例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程.(2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C.(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.)生甲：如果M(x0,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来.生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上.师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.)学生乙的回答忽略了-1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系.师：请这位同学进一步阐明自己的见解.生：就本题而言，如(3，18)∈G，但P(3，18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上.师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2)，而方程y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线的一部分，方程却是y=2x2，不加任何制约条件.那么，此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢?(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫.学生讨论后口答.)生丙：曲线C上的任一点P的坐标(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y0)是y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x2(x＜-1或＞2＝的图象上.师：回答得很好.我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线y=2x2，而方程还是y=2x2(-1≤x≤2).它们的关系又是怎样呢?(进一步引导学生积极参与并多向思维.学生口答.)生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；而以y=2x2(-1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上.师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系.那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢?为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说，我们也把直线看成曲线.在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x,y)联系起来，而二元方程f(x,y)=0的任一个解恰是一个有序实数对.现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答).师：同学们讨论得很好.曲线C和二元方程f(x,y)=0应具备以下两个条件：1.若P(x0,y0)∈C,则f(x0,y0)=0成立；2.若f(x0,y0)=0,则P(x0,y0)∈C.本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格)：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x0,y0)=0的解建立了如下的关系：1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形).师：我们已经给曲线的方程、方程的曲线下了定义.这堂课［例1］的第(1)小题，方程x-y=0是l的方程，而l是方程x-y=0的曲线；第(2)小题，方程y=2x2(-1≤x≤2)是曲线C的方程，而C是方程y=2x2(-1≤x≤2)的曲线.同学们再举3个例子，每个例子画一条曲线，写一个方程.第1个例子满足定义中的两个条件；第2个例子满足定义中第1个条件，不满足第2个条件；第3个例子不满足定义中第1个条件，满足第2个条件.(鼓励学生进行思维训练，强化概念记忆.选一位同学构造的例题板书.)生：(板书)师：(与学生一起评议)例1符合定义中的两个条件，y=|x|是曲线C的方程，C是方程y=|x|的曲线；例2中，曲线C的方程不是Y=x，C也不是方程y=-x的曲线，如果确定方程，那么曲线上遗漏了坐标是方程解的第三象限的点．如果确定曲线，那么方程缺少了制约条件x＞0；第3个例子，y=4-x2不是C的方程，C也不是y=4-x2的曲线.如果确定方程，曲线上混有坐不是方程解的点(以原点为圆心，2为半径而圆在x轴下方的部分).如果确定曲线，那么方程x2+y2=4增添了制约条件y≥0(以上叙述在师生多次数学交流中进行).师：同学们对上面后两个例子，就定曲线变方程和定方程变曲线分别构造两个例子，使其符合“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，写在投影片上.(选正确与有错误的解答各一份.先展示有错的，进行纠正；后展示正确的定格.)师：通过上面例题的研究，同学们掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，要牢记定义中的1、2两者缺一不可，当且仅当两者都满足时，能才称为“曲线的方程”和“方程的曲线”.下面研究“证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0”的方法和步骤，请看例2(老师操作计算机或投影展示).例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3，-4)，M2(-25，2)是否在这个圆上.师：请同学们研究，证明应从何着手?(大家讨论后回答)生：应从以下两方面着手：1.圆上任一点M(x0,y0)满足x201920195；2.以方程x201920195的解(x0,y0)为坐标的点在圆上.师：同学回答得很好，请大家阅读理解课本第50页例1，学会证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.(进一步培养学生的阅读、思考、逻辑思维能力.)师：现在我们再一起看一下本例题的证明过程.(老师操作计算机或投影片展示)证明：1.设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以x201920195，，也就是x20+y20=25. 即(x0,y0)是方程x201920195的解.2.设(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么x201920=25.两边开方取算术根，得x20192019，即点M(x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M(x0,y0)是这个圆上的一点.由1、2可知，x2+y2=25是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.师：现在请一位同学归纳一下证明已知曲线的方程的方法和步骤.生：用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0.证明中分两个步骤；第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.师：这位同学的回答正确归纳了证明的两个步骤，要记住最后应加以总结，使证明更完美.现在我们再来看两个例题，同学们把解答写在投影片上.(老师操作计算机或投影片，先展示例3，解答后再展示例4.)例3 求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程.(选两个同学的投影片)1.解 y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y=x.2.解：由可知y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y2=x.师：第一个同学的解答是错误的，遗漏了对称图形中x轴下方图象的方程.而第二位同学通过画出曲线y=x2关于直线y=x的图象，写出了其方程.看来证明某已知曲线的方程是f(x,y)=0是必不可少的，证明课下研究.例4 求曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程.(选一个同学的投影片)解设y=x2-x关于点(1，2)的对称曲线上任一点M(x,y)，则M关于点(1，2)的对称点M′(2-x,4-y)，因为M′在曲线y=x3-x上，所以4-y=(2-x)3-(2-x)即为所求的对称曲线的方程.师：这位同学把所求曲线上的点转移到已知曲线上去，方法很好，也是今后求曲线的方程的基本方法.但是，我们这一堂课还要提出的问题是如何证明曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程为4-y=(2-x)3-(2-x)呢?证明也留作课下研究.“曲线和方程”这一节，我们准备用两节课.这一堂课，着重研究了“曲线的方程”、“方程的曲线”这两个概念，以及必须具备的两个条件，这是我们用代数的方法研究几何问题的基础.下一堂课，我们将着重研究证明曲线C的方程及重要性.为此，我们留以下作业：书面作业：课本第51页练习，解答写在书本上；研究作业：(板书)1.证明曲线y=x2关于y=x的对称图形的方程是y2=x.2.证明曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程是4-y=(2-x)3-(2-x).研究作业的解答请同学们储存在软盘内或写在投影片上.设计说明1.“曲线的方程”这一节，按教参要求是两课时，鉴于本节在解析几何中的重要地位，教案设计是第一堂课着重引出“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念；第二堂课着重研究证明某曲线C的方程是f(x,y)=0.由于在2.2节“求曲线的方程”中，指出了求曲线的方程的5个步骤，而课本中特别指明：“除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以省略不写”.同学们高兴的是步骤(5)可以省略不写，而忽略了“同解变形过程”及“如有特殊情况，可适当予以说明”.在提倡素质教育的今天，对学生应用能力的要求日益加强.就目前高中数学对学生的要求，已经到了某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(带字母参数的)的对称曲线的方程，并加以证明.这样，高中数学中的8种基本对称关系：关于x轴、关于y轴、关于直线y=x、关于直线y=-x、关于直线x=α(α≠0)、关于直线y=b(b≠0)以及关于原点、关于除原点外的任一个定点(t,r)的对称曲线的方程的求法及证明已放到了教学日程上.那么这些问题放哪儿解决?由于这些问题在前一阶段的教学中已有了不同程度的渗透，所以在这一节中系统解决较好.为此，设计了例3和例4，为下一堂课铺垫，也为学生在学习“坐标变换”后解决某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(或某已知直线)的对称曲线的方程，并加以证明打下良好的基础.关于除此之外的第9种对称关系，即除上述提到前8种对称关系外的任一直线Ax+by+C=0的对称曲线的方程则可在以后的学习中适时介绍.2.在锐意创新的时代，着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的数学能力是本教案的出发点.在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透、掌握、强化的有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变换思想.不是所有的课都能把这些思想自然地溶纳进去，但由于“曲线与方程”这一节在教材中的特殊地位，它把高中数学中的解析几何和代数这两个单科紧紧连在一起，为此能把以上数学思想溶纳大半，这不能不引起我们的高度重视.几何，原始的展现是形.解析几何，主要体现用数学研究形.为此，这一节教材中的“数形结合”应是涉及到数学思想中最多的一个，尽管侧重于用“数”研究“形”，同时对学生用“形”来研究“数”，解决某些代数问题起到了有益的启迪.由于曲线C中有很多的代数中函数的图象，曲线C 是点按某种条件运动而成的，所以在这一节的教学中应对函数与方程思想、运动变换思想加以足够的重视.在本教案中例1的直线l和抛物线的一部分C在计算机显示中均以点运动所成的轨迹出现.并与代数中一次函数和二次函数的图象和方程相联系，触类旁通提高学生的数学能力是高中教学的任务之一，而逻辑思维能力是所有数学能力的核心.为了实现这一目标，本教案力图让学生主体参与、主题参与.让学生动手、动脑，通过观察、联想、猜测、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索.在学生的活动中，老师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误.引导学生，揭示内涵，从正反两方面认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义的两个条件，不断地培养和训练学生的逻辑思维能力。
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2019-2020年高二数学上学期曲线和方程第一课时教案一
●教学目标
1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
●教学重点
曲线和方程的概念
●教学难点
曲线和方程概念的理解
●教学方法
学导式
●教具准备
三角板、幻灯片
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.
Ⅱ.讲授新课
1．曲线与方程关系举例：
师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，如果点M （x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图）
又如，函数y=ax2的图象是关于y轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y=ax2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M（x0,y0）是抛物线上的点，那么（x0,y0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x0,y0）是方程y=ax2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y=ax2是这条抛物线的方程.（如右图）.
2．曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
3．点在曲线上的充要条件：
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）.在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
4．例题讲解：
例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25,并判断点M （3，－4）、M 2（－25，
2）是否在这个圆上.
证明：（1）设M （x 0,y 0）是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以,52
020=+y x
也就是,252020=+y x 即（x 0,y 0）是方程x 2+y 2=25的解.
（2）设（x 0,y 0）是方程x 2+y 2=25的解，那么,252020=+y x 两边开方取算术根，得,52020=+y x
即点M （x 0,y 0）到原点的距离等于5，点M （x 0,y 0）是这个圆上的点.
由（1）、（2）可知，x 2+y 2=25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程.
把点M 1（3，－4）的坐标代入方程x 2+y 2=25，左右两边相等，（3，－4）是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2（－25，2）的坐标代入方程x 2+y 2=25，左右两边不等，（－25，2）不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上.
Ⅲ.课堂练习：
课本P 69练习1，2，3
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家能够理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，并掌握判断一点是否在某曲线上的方法，为进一步学习解析几何打下基础.
●课后作业
习题7.6 1，2
● 板书设计
●教学后记。