初中数学苏科版八年级上册第三章3.1勾股定理同步练习-普通用卷

初中数学苏科版八年级上册第三章3.1勾股定理同步练习一、选择题1.已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为()A. 9B. 12C. 15D. 182.如图是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=12，则S2的值是()A. 12B. 8C. 6D. 43.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为BC上一点，将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在AB边上，则折痕AD的长是()A. 5B. √34C. 3√5D. √614.我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是()A. 分类思想B. 方程思想C. 转化D. 数形结合5.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=5，BD=4，DC=2，则AC等于()A. 13B. √13C. √5D. 56.△ABC中，AB=17，AC=10，高AD=8，则△ABC的周长是()A. 54B. 44C. 36或48D. 54或337.等边三角形的边长为2，则它的面积为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 18.已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是()A. a2−b2=c2B. ∠A−∠B=∠CC. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. a：b：c=7：24：259.将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=6√2，则CD的长为()A. 2√3B. 6−3√3C. 6−2√3D. 3√310.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=10，则Rt△ABC的斜边上的高是()A. 4.8B. 2.4C. 1.2D. 48二、填空题11.在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．12.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，斜边上的高为_______。

13.等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则底边上的高为_______cm。

14.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．三、解答题15.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求证：(1)△ACE≌△BCD；(2)2CD2=AD2+DB2．16.在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC.过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于⊥MN于N．(1)证明；MN=BM+CN；(2)若AM=a.BM=b.AB=c.试利用此图验证勾股定理a2+b2=c2．17.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AF为BC边上的中线，DE经过△ABC的重心G，且∠ADE=∠C．(1)问：线段AG是△ADE的高线还是中线？请说明理由．(2)若AB=6，AC=8，求AD的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：过点A作AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD=12BC=12×18=9，∴AD=√AC2−CD2=√152−92=12(cm)，∴它底边上的高为12cm；故选：B．过点A作AD⊥BC，根据AB=AC，求出CD，再根据勾股定理得出AD=√AC2−CD2，最后代入计算即可．此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形．2.【答案】D【解析】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG⋅DG=GF2+2CG⋅DG，S2=GF2，S3=(NG−NF)2=NG2+NF2−2NG⋅NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG⋅DG+GF2+NG2+NF2−2NG⋅NF=3GF2=12，∴GF2=4，∴S2=4．故选：D．根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据S1=(CG+DG)2，S2=GF2，S3=(NG−NF)2，S1+S2+S3= 12得出3GF2=12，求出GF2的值即可．此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2=12是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：如图，设将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在AB边上点E处，∴DC=DE，∠DEA=∠C=90°，AE=AC=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√36+64=10，∴BE=AB−AE=4，设BD=x，则CD=DE=8−x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2=42+(8−x)2，∴x=5，∴BD=5，CD=3，∴AD=√AC2+CD2=√36+9=3√5，故选：C．由勾股定理求出AB=10，由折叠的性质得出CD=DE，∠C=∠AED=90°，AE=AC= 6，得出BE=AB−AE=4，∠BED=90°，设设BD=x，则CD=DE=8−x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，可求BD长，由勾股定理可求AD的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：由题意可得，它体现的数学思想方法是数形结合思想．故选：D．由于是用一副反应勾股定理的数形关系图来揭示直角三角形的三边之间的关系，所以它体现的数学思想方法是数形结合思想．本题考查了勾股定理，数学常识，理解数形结合思想是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD=√AB2−BD2=√52−42=3，在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC=√AD2+CD2=√32+22=√13，故选：B．在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD，则在Rt△ACD中，由勾股定理可求得AC．本题主要考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：分两种情况：①如图1所示：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴BD=√AB2−AD2=√172−82=15，CD=√AC2−AD2=√102−82=6，∴BC=BD+CD=15+6=21；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC=17+10+21=48．②如图2所示：同①得：BD=15，CD=6，∴BC=BD−CD=15−6=9；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC=17+10+9=36．综上所述：△ABC的周长为48或36．故选：C．分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．7.【答案】A【解析】解：作CD⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，∴AD=1，∴在直角△ADC中，CD=√AC2−AD2=√3，×2×√3=√3；∴S△ABC=12故选：A．如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD的长，代入面积计算公式，解答出即可；本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想．8.【答案】C【解析】解：(A)当∠A=90°时，此时a2=b2+c2，故A能成立．(B)∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故B能成立．(C)设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x=15°，∴∠C=75°，故C不能成立．(D)设a=7x，b=24x，c=25x、当∠C=90°，∴a2+b2=c2，故D能成立，故选：C．根据三角形内角和定理以及勾股定理即可求出答案．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．9.【答案】C【解析】解：如图，过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=6√2，∴BC=AC=6√2，∵AB//CF，=6，CM=BM=6，∴BM=BC×sin45°=6√2×√22在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴∠EDF=60°，∴MD=BM÷tan60°=6÷√3=2√3，∴CD=CM−MD=6−2√3．故选：C．过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF= 60°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形，利用所学的三角函数的关系进行解答．10.【答案】A【解析】解：设a、b分别为3x、4x，由勾股定理得，(3x)2+(4x)2=102，解得，x=2，则a=6，b=8，=4.8，Rt△ABC的斜边上的高为：6×810故选：A．根据勾股定理求出a、b，根据三角形的面积公式求出Rt△ABC的斜边上的高．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．11.【答案】126或66【解析】【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积和分类讨论的数学思想方法，关键是分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；先利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．进而求得△ABC的面积．注意不能漏解即可．【解答】解析如图 ①，当∠B为锐角时，由勾股定理得BD=√AB2−AD2=√132−122=5，CD=√AC2−AD2=√202−122=16，∴BC=BD+CD=21，可求得如图 ②，当∠B为钝角时，同理可得，BD=5，CD=16，∴BC=CD−BD=11，可求得综上所述，△ABC的面积为或．故答案为126或66．12.【答案】6013【解析】【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴由勾股定理，得出斜边为√52+122=13．设h为斜边上的高．∵S△ABC=12×5×12=12×13ℎ，∴ℎ=6013．故答案为6013．13.【答案】12【解析】【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰三角形底边上的高，本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，等腰三角形的高也是等腰三角形底边上的中线．【解答】解：如图，已知等腰△ABC，过点A作AB⊥BC．设底边BC=10cm，腰长AB=AC=13cm，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=12BC=5(cm)，在Rt△ABD中，AB=13cm，BD=5cm；由勾股定理，得：AD=√AB2−BD2=8(cm)．故答案是12．14.【答案】4.8【解析】【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【解答】解：由垂线段最短可知BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又∵BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得AD=√AC2−CD2=4，当BP⊥AC时，S△ABC=12BC⋅AD=12BP⋅AC，∴BP=BC⋅ADAC =6×45=4.8．15.【答案】证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD．∴∠BCD=∠ACE．在△ACE和△BCD中，{AC=BC,∠ACE=∠BCD, CE=CD,,∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠CAE=∠B=45°．∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°．∴AD2+AE2=DE2．∴AD2+DB2=DE2．又∵△ECD是等腰直角三角形，∴CD2+CE2=2CD2=DE2．∴2CD2=AD2+DB2．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．(1)本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS可以得出△ACE≌△BCD；(2)由(1)的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而可证明AD2+DB2=DE2，又因为在Rt△ECD中，CD2+CE2=2CD2=DE2，即可得证．16.【答案】证明：(1)∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，∴∠MAB=∠ACN，在△MAB和△NCA中{∠BMA=∠ANC ∠MAB=∠NCA AB=AC，∴△MAB≌△NCA(AAS)，∴BM=AN，AM=CN，∴MN=AM+AN=BM+CN；(2)∵△MAB≌△NCA，∴CN=AM=a，AN=BM=b，AB=AC=c，∴MN=a+b，∵S梯形MBCN =S△MAB+S△ABC+S△NCA=12ab+12c2+12ab，S梯形MBCN =12(BM+CN)×MN=12(a+b)2，∴12ab+12c2+12ab=12(a+b)2，∴a2+b2=c2．【解析】(1)利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系；(2)利用S梯形MBCN =S△MAB+S△ABC+S△NCA=12ab+12c2+12ab，S梯形MBCN=12(BM+CN)×MN=12(a+b)2，进而得出答案；本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的证明等知识，根据已知得出△MAB≌△NCA是解题关键．17.【答案】解：(1)∵∠CAB=90°，AF为BC边上的中线，∴AF=12BC=CF，∴∠C=∠FAC，∵∠ADE=∠C，∴∠ADE=∠FAC，∵∠FAC+∠DAG=90°，∴∠DAG+∠ADE=90°，∴∠AGD=90°∴线段AG是△ADE的高线；(2)在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=√AC2+AB2=√62+82=10，∵AF为BC边上的中线，∴AF=5，∵G为△ABC的重心，∴AG=23×5=103，∵∠ADE=∠C，∴sin∠ADG=AGAD =sin∠C=ABBC，∴103AD=610，AD=509．【解析】(1)说明∠DAG+∠ADE=90°可得结论；(2)先根据重心的性质：重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，可得AG的长，根据等角的三角函数列式可得结论．本题考查的是重心的概念和性质、三角形中线的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．。