2018高考数学(理)二轮复习闯关导练：大题演练争高分(四) Word版含解析-数学备课大师【全免费】
2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-4 含答案
大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．解：(1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sin C ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C －8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B 结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值． 解：(1)取AB 的中点O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB .又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ， 因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1. 又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的正方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)． 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ，故cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m|B 1D →|·|m |＝－217.则sin θ＝217. ∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.分组 持赞同意见的人数占本组的频率[25,30) 4 0.80 [30,35)80.80[35,40) 12 0.80 [40,45) 19 0.95 [45,50) 24 0.80 [50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为40.80＝5，其频率为5100＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为80.80＝10，其频率为10100＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为120.80＝15，其频率为15100＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为190.95＝20，其频率为20100＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为240.80＝30，其频率为30100＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为170.85＝20，其频率为20100＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为25＋302×0.05＋30＋352×0.1＋35＋402×0.15＋40＋452×0.2＋45＋502×0.3＋50＋552×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为20100＝15，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为15，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A ，则P (A )＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫150＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153×15＝512625.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 04C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 06C 34C 310＝130.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P16 12310130E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.4．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C 是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解：(1)解法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.解法二：设直线BF 交AC 于点D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线， ∴OD ═∥12AB ，∴AB →∥OD →， ∴△OFD ∽△AFB .∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2， 从而FP →·FQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F .5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a ＞0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x ，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a ＞0)．①若a ≥14，x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0＜a ＜14，由x 2－x ＋a ＞0得0＜x ＜1－1－4a 2或x ＞1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a ＜0得1－1－4a 2＜x ＜1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0＜a ＜14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a .∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2)＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜14，则g ′(x )＝ln x ＜0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θθ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＜－1－3x ，－1≤x ＜12，x －2，x ≥12作函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∴1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5.∴x的取值范围是[－1,5]．。
2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 4 Word版含解析
高考大题专攻练4.数列(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点(a n+1，S n)在直线y=x-1上，n∈N*. 世纪金榜导学号92494440(1)当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？并求数列{a n}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)，在(1)的结论下，令b n=f(log3a n)+1，c n=a n+，求{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由题意得S n=a n+1-1，所以S n-1=a n-1，两式相减得a n=a n+1-a n，即a n+1=3a n，所以当n≥2时，数列{a n}是等比数列，要使n≥1时，数列{a n}是等比数列，则只需要=3，因为a1=a2-1，所以a2=2a1+2，所以=3，解得t=2，所以实数t=2时，数列{a n}是等比数列，a n=2·3n-1.(2)因为b n=f(log3a n)+1=[log3(2×3n-1)]+1，因为3n-1<2×3n-1<3n，所以n-1<log3(2×3n-1)<n，所以b n=n-1+1=n，所以c n=a n+=2×3n-1+=2×3n-1+，因为{a n}的前n项和为=3n-1，的前n项和为(1-+-+…+-)==-，所以T n=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=9·2n-1，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n>ka n-1对一切n ∈N*恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a n+1+a n=9·2n-1，所以a2+a1=9，a3+a2=18，所以q===2.又2a1+a1=9，所以a1=3，所以a n=3·2n-1，n∈N*.(2)b n=na n=3n·2n-1，所以S n=3×1×20+3×2×21+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1，所以S n=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1，所以S n=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n，所以-S n=1+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=(1-n)2n-1，所以S n=3(n-1)2n+3，因为S n>ka n-1对一切n∈N*恒成立，所以k<==2(n-1)+，令f(n)=2(n-1)+，则f(n+1)-f(n)=2n+-=2+-=2-=>0，故f(n)随着n的增大而增大，所以f(x)min=f(1)=，所以实数k的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。
2018高考数学(理)二轮复习闯关导练：基础模拟(四) Word版含解析-数学备课大师【全免费】
基础模拟(四)时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604207)已知复数z ＝2i1＋i，则z 2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．2iD ．－2i2．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 7＝35，则a 4的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10 D ．153．下列关于函数y ＝ln|x |的叙述正确的是( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数4．(导学号：50604208)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x 0∈(0，π2)，sin x 0＝cos x 0.则下列命题中，真命题为( )A ．(綈p )∧qB ．p ∧qC ．p ∨(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥3－y ，y ≤x ＋1，2x －y －3≤0，则z ＝4x ＋6y ＋3的最大值为( )A ．17B ．19C ．48D ．496．(导学号：50604209)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝4所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为( )A.15B.172C.17D.1527．如图所示的程序框图所描述的算法是辗转相除法，若输入m ＝231，n ＝88，则输出的m 值为( )A ．0B ．11C ．22D ．888．某校8名同学参加学校组织的社会实践活动，在某一活动中，要派出3名同学先后．．参与，并且完成任务．已知该活动中A ，B ，C 三人至多一人参与，若A 参加，则D 也会参加，且A 必须最先完成任务，则不同的安排方案有( )A ．70B ．168C ．188D ．2289．(导学号：50604210)已知函数f (x )＝2cos(ωx －φ)(ω>0，φ∈[]0，π)的部分图象如下图所示，若A (π2，2)，B (3π2，2)，则下列说法错．误的是( )A ．φ＝3π4B ．函数f (x )的一条对称轴为x ＝15π8C ．为了得到函数y ＝f (x )的图象，只需将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π8个单位D ．函数f (x )的一个单调减区间为[9π，13π]10．如图，，则该几何体的表面积为( )A ．12＋42＋213B ．12＋82＋213C ．12＋42＋226D ．12＋82＋22611．(导学号：50604211)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝||MF ＋||NF ，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．512．(导学号：50604212)已知O 为原点，曲线f (x )＝a ln(x ＋1)－x －b 上存在一点P (x 0，y 0)(x 0∈(0，e －1))，满足：①直线OP 为曲线f (x )的切线；②直线OP 与曲线g (x )＝e x 的一条过原点的切线l 垂直． 则实数b 的取值范围为( )A ．(1－1e ，1)B ．(0，1e )C ．(0,1－1e) D ．(0,1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ＝(－2,1)，b ＝(m,3)，若a ⊥(a ＋b )，则|a －b |＝________.14．(导学号：50604213)观察下列式子：f 1(x ，y )＝x 3y ＋3，f 2(x ，y )＝3x9y 2＋7，f 3(x ，y )＝5x 27y 3＋13，f 4(x ，y )＝7x81y 4＋23，…，根据以上事实，由归纳推理可得，当n ∈N *时，f n (x ，y )＝________.15．已知一个圆锥内接于球O (圆锥的底面圆周及顶点均在球面上)，若球的半径R ＝5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为________．16．已知数列{}a n 满足a 1＝38，若a n ＋6－a n 91≥3n ≥a n ＋2－a n ，则a 2017＝________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(导学号：50604214)(12分)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2C ＝－14.(Ⅰ)若a ＋b ＝5，求△ABC 面积的最大值；(Ⅱ)若a ＝2,2sin 2A ＋sin A sin C ＝sin 2C ，求b 及c 的长．18.(导学号：50604215)(12分)甲、乙两家快餐店对某日7个时段光顾的客人人数进行统计并绘制茎叶图如图所示(下面简称甲数据、乙数据)，且乙数据的众数为17，甲数据的平均数比乙数据平均数少2.(Ⅰ)求a ，b 的值，(Ⅱ)现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为m ，n ，并进行对比分析，有放回的选取2次，记m ＞n 的次数为X ，求X 的数学期望E (X )．19. (导学号：50604216)(12分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1如下图所示，其中CA ⊥平面ABB 1A 1，四边形ABB 1A 1为菱形，∠AA 1B 1＝60°，且AB ＝2AC ，E 为BB 1的中点，F 为CB 1的中点．(Ⅰ)证明：平面AEF ⊥平面CAA 1C 1； (Ⅱ)求二面角E －AF －B 1的余弦值．20.(导学号：50604217)(12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为22，其上下顶点分别为C 1，C 2，点A (1,0)，B (3,2)，AC 1⊥AC 2.(Ⅰ)求椭圆E 的方程以及离心率；(Ⅱ)点P 的坐标为(m ，n )(m ≠3)．过点A 任意作直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点，设直线MB ，BP ，NB 的斜率依次成等差数列，探究m ，n 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m ，n 的关系式，并证明；若不是，请说明理由．21.(导学号：50604218)(12分)已知x ∈(1，＋∞)，函数f (x )＝e x ＋2ax (a ∈R )，函数g (x )＝|ex－ln x |＋ln x ，其中e 为自然对数的底数．(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)证明：当a ∈(2，＋∞)时，f ′(x －1)>g (x )＋a .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(导学号：50604219)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知A (2，π)，B (2，π2)，圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.F 为圆C 上的任意一点．(Ⅰ)写出圆C 的参数方程； (Ⅱ)求△ABF 的面积的最大值．23．(导学号：50604220)[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝||x －2－||x ＋1. (Ⅰ)解不等式：f (x )<2；(Ⅱ)若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－72t 恒成立，求实数t 的取值范围．基础模拟(四)1．C 依题意，2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，故z 2＝(1＋i)2＝2i.2．B ∵a 1＋a 72×7＝35，∴a 4＝a 1＋a 72＝5.3．D 函数y ＝ln ||x 是偶函数，当x ＞0时，y ＝ln|x |＝ln x ，函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数．4．A 取x ＝0，则20＝30＝1，故命题p 为假；sin π4＝cos π4＝22，故命题q 为真，故(綈p )∧q 为真．5．D 6．C 7．B8．C 若A 参加，则共有C 14A 22＝8种不同的方案；若A 不参加，B ，C 中一人参加，则有C 12C 25A 33＝120种不同的方案；若A ，B ，C 均不参加，则有A 35＝60种不同的安排方案．故共有188种不同的方案．9．D 由图可知T ＝π，故ω＝2πT ＝2，故f (x )＝2cos(2x －φ)，将A (π2，2)代入可知2cos(π－φ)＝2，故cos(π－φ)＝22，因为φ∈[]0，π，故φ＝3π4，故A 正确；将x ＝15π8代入f (x )＝2cos(2x －3π4)中，故f (15π8)＝2cos(15π4－3π4)＝－2，故B 正确；将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π8个单位，得到y ＝2sin(2x －π4)的函数图象，因为f (x )＝2cos(2x －3π4)＝2cos(2x －π4－π2)＝2sin(2x －π4)，故C 正确；函数f (x )在[9π8，13π8]上先增后减，故D 错误．10．D ，如图所示，观察可知，S △ABD ＝S △BCD ＝12×3×4＝6，S △ABC ＝12×42×4＝82，S △ADC ＝12×43×5×7815＝226.11．A 设直线MN ：y ＝kx ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，故x 1＋x 2＝4－2kbk 2，故由抛物线定义可知n ＝||MF ＋||NF ＝x 1＋x 2＋2＝4－2kb k 2＋2，线段MN 的中点为(2－kb k 2，2k)， 故线段MN 的垂直平分线的方程为y －2k ＝－1k (x －2－kb k2)，令y ＝0， 解得x ＝2－kbk2＋2＝a ，所以2a －n ＝2.12．C 依题意可设l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 1，y 1)，则y 1＝e x 1，k ＝g ′(x 1)＝e x 1＝y 1x 1，∴x 1＝1，y 1＝e ，k ＝e ，∴直线OP 的斜率k 0＝－1e ，直线OP 的方程为y ＝－1e x ，∴k 0＝ax 0＋1－1＝－1e ＝y 0x 0，∴y 0＝－1e x 0，a ＝(1－1e )(x 0＋1)；又y 0＝a ln(x 0＋1)－x 0－b ，∴－1e x 0＝(1－1e)(x 0＋1)ln(x 0＋1)－x 0－b ，即b ＝(1－1e)[(x 0＋1)ln(x 0＋1)－x 0]，x 0∈(0，e －1)，令m (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－x ，x ∈(0，e －1)，∵m ′(x )＝ln(x ＋1)>0，∴m (x )在(0，e －1)上单调递增，∴m (x )∈(0,1)即实数b 的取值范围为(0,1－1e)．13．21014.(2n －1)x 3n y n ＋(2n －1＋2n ) 因为f 1(x ，y )＝x 3y ＋3＝1·x 31·y ＋(1＋21)，f 2(x ，y )＝3·x32·y 2＋(3＋22)， f 3(x ，y )＝5·x33y 3＋(5＋23)，…，由归纳推理可知，f n (x ，y )＝(2n －1)x 3n y n＋(2n －1＋2n ).15.1283π 设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝2r .由题意知球心在圆锥内，如图所示，得OA ＝2r －5，由勾股定理可得52＝r 2＋(2r －5)2，解之得r ＝4或r ＝0(舍去)，从而r ＝4，h ＝8，则V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×8＝1283π.16.320178 a n ＋6－a n 91≥3n ≥a n ＋2－a n ⇔a n ＋2≤a n ＋3n 且a n ＋6≥a n ＋91·3n ，由a n ＋2≤a n ＋3n 得a 2017≤32015＋a 2015≤32015＋32013＋a 2013≤…≤32015＋32013＋…＋31＋a 1＝38(91008－1)＋a 1，由a n ＋6≥a n ＋91·3n得a 2017≥91·32011＋a 2011≥91·(32011＋32005)＋a 2005≥…≥91(32011＋32005＋…＋31)＋a 1 ＝38(91008－1)＋a 1，故a 2017＝38(91008－1)＋a 1＝38·91008＝320178. 17．解：(Ⅰ)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π，所以sin C ＝104.故S △ABC ＝12ab sin C ＝108ab ≤108·(a ＋b )24＝251032，当且仅当a ＝b ＝52时，取“＝”，即△ABC 面积的最大值为251032.4分(Ⅱ)2sin 2A ＋sin A sin C ＝sin 2C ， 故2sin 2A ＋sin A sin C －sin 2C ＝0， 故(2sin A －sin C )(sin A ＋sin C )＝0， 即2sin A ＝sin C ，当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，即2a ＝c ，解得c ＝4，由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，且0<C <π，得cos C ＝±64，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或b ＝26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.12分18．解：(Ⅰ)由众数定义可知a ＝7，甲数据的平均数为6＋7＋8＋13＋15＋15＋207＝12，故乙数据的平均数为14，故8＋9＋10＋15＋17＋17＋20＋b ＝98，解得b ＝2，故乙数据的方差s 2＝17(36＋25＋16＋1＋9＋9＋64)＝1607.6分(Ⅱ)依题意，X 的可能取值为0,1,2，可知从甲、乙两组数据中各随机选一个，共有C 17C 17＝49种选法，其中m ＞n 的选法有3＋3＋3＋6＝15种，故从甲、乙两组数据中各随机选一个，其中m ＞n 的概率为1549，易知X ～B (2，1549)．故E (X )＝2×1549＝3049.12分19．解：(Ⅰ)∵四边形ABB 1A 1是菱形，∠AA 1B 1＝60°＝∠ABB 1， ∴△ABB 1是正三角形．又BE ＝B 1E ， ∴AE ⊥BB 1，又AA 1∥BB 1，则AE ⊥AA 1， ∵CA ⊥平面ABB 1A 1，∴CA ⊥AE .又AA 1 ∩CA ＝A ，∴AE ⊥平面CAA 1C 1，而AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面CAA 1C 1.4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AE ⊥平面CAA 1C 1，∴AE ，AC ，AA 1两两垂直，以AE →、AA 1→、AC →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB ＝2a ，∴CA ＝a ，则C (0,0，a )，E (3a,0,0)，B 1 (3a ，a,0)，F (32a ，12a ，a 2)． 设平面AFB 1的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB 1→＝0，即⎩⎨⎧(x 1，y 1，z 1)·(0，0，a )＝0，(x 1，y 1，z 1)·(3a ，a ，0)＝0⇒⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，∴可取m ＝(1，－3，0)， 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x 2，y 2，z 2)·(3a ，0，0)＝0，(x 2，y 2，z 2)·(32a ，12a ，a2)＝0⇒ ⎩⎨⎧x 2＝0，3x 2＋y 2＋z 2＝0，∴可取n ＝(0，－1,1)，∴cos m ，n ＝m·n|m|·|n |＝(1，－3，0)·(0，－1，1)2×2＝64，又二面角E —AF —B 1为锐角，∴二面角E －AF －B 1的余弦值为64.12分 20．解：依题意，2c ＝22，故c ＝2， 点C 1(0，b )，C 2(0，－b )， 因为AC 1⊥AC 2，所以b ＝1，所以a ＝b 2＋c 2＝3，所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1，离心率e ＝c a ＝63.4分(Ⅱ)m ，n 的关系为m －n －1＝0，证明如下： 设直线MB ，BP ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，①当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 23＋y 2＝1解得x ＝1，y ＝±63.不妨设M (1，63)，N (1，－63)， 因为k 1＋k 3＝2－632＋2＋632＝2，又k 1＋k 3＝2k 2，所以k 2＝1，所以m ，n 的关系式为n －2m －3＝1，即m －n －1＝0.6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1整理化简得，(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1.又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 3＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)(3－x 1)(3－x 2)＝[2－k (x 1－1)](3－x 2)＋[2－k (x 2－1)](3－x 1)x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝2kx 1x 2－(4k ＋2)(x 1＋x 2)＋6k ＋12x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝2k ×3k 2－33k 2＋1－(4k ＋2)×6k 23k 2＋1＋6k ＋123k 2－33k 2＋1－3×6k 23k 2＋1＋9＝2(12k 2＋6)12k 2＋6＝2.所以2k 2＝2，所以k 2＝n －2m －3＝1，所以m ，n 的关系式为m －n －1＝0.综上所述，m ，n 的关系式为m －n －1＝0.12分21．解：(Ⅰ)依题意，f ′(x )＝e x ＋2a ，当2a ≥－e ，即a ≥－e2时，函数f ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，此时f (x )的单调增区间为(1，＋∞)；当2a <－e ，即a <－e2时，令f ′(x )>0，解得x >ln(－2a )，令f ′(x )<0，解得1<x <ln(－2a )，故函数f (x )的单调增区间为(ln(－2a )，＋∞)，单调减区间为(1，ln(－2a ))．综上所述，当a ≥－e 2时，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)；当a <－e2时，函数f (x )的单调增区间为(ln(－2a )，＋∞)，单调减区间为(1，ln(－2a )).4分 (Ⅱ)f ′(x －1)>g (x )＋a ⇔e x －1＋2a >|e x－ln x |＋ln x ＋a ⇔e x －1＋a －ln x >|e x －ln x |，设p (x )＝e x －ln x ，q (x )＝e x －1＋a －ln x ，故p ′(x )＝－e x 2－1x<0，∴p (x )在x ∈(1，＋∞)上为减函数，又p (e)＝0，∴当1<x ≤e 时，p (x )≥0，当x >e 时，p (x )<0；当1<x ≤e 时，|p (x )|－q (x )＝e x－e x －1－a ，设m (x )＝e x －e x －1－a ，则m ′(x )＝－e x2－e x －1<0，∴m (x )在x ∈(1，e]上为减函数，∴m (x )<m (1)＝e －1－a ，∵a >2，∴m (x )<0，故f ′(x －1)>g (x )＋a ，当x >e 时，|p (x )|－q (x )＝2ln x －e x－e x －1－a <2ln x －e x －1－a ，设n (x )＝2ln x －e x －1－a ，则n ′(x )＝2x －e x －1，令k (x )＝2x －e x －1，k ′(x )＝－2x2－e x －1<0；∴n ′(x )在x >e 时为减函数，∴n ′(x )<n ′(e)＝2e －e e －1<0，∴n (x )在x >e 时为减函数，∴n (x )<n (e)＝2－a －e e －1<0，故f ′(x －1)>g (x )＋a ， 综上所述，f ′(x －1)>g (x )＋a .12分22．解：(Ⅰ)因为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0，故x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，故圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数).5分(Ⅱ)易知A (－2,0)，B (0,2)，故直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，点F (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，△ABF 的面积S ＝12×|AB |×d＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝|22sin(π4－θ)＋9|，所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.10分 23．解：(Ⅰ)依题意，||x －2－||x ＋1<2，若x <－1，则原式化为2－x ＋x ＋1＝3>2，故不等式无解；若－1≤x ≤2，则原式化为2－x －x －1＝1－2x <2，解得x >－12，故－12<x ≤2；若x >2，则原式化为x －2－x －1＝－3<2，不等式恒成立，故x >2，综上所述，不等式f (x )<2的解集为(－12，＋∞).6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，函数f (x )＝||x －2－||x ＋1的最小值为－3，故依题意，－3≥t 2－72t ，即2t 2－7t ＋6≤0，32≤t ≤2，故实数t 的取值范围为[32，2].10分。
2018高考数学理二轮复习闯关导练：大题演练争高分二 含解析 精品
大题演练争高分(二)时间：60分钟 满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604129)(2017·萍乡调研)(本小题满分12分)已知函数g ()x ＝34－12sin x cos x －32sin 2x ，将其图象向左移π4个单位，并向上移12个单位，得到函数f ()x ＝a cos 2()x ＋φ＋b ⎝⎛⎭⎫a >0，b ∈R ，||φSymbolcB @π2的图象． (Ⅰ)求实数a ，b ，φ的值；(Ⅱ)设函数φ()x ＝g ()x －3f ()x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数φ()x 的单调递增区间和最值．18.(导学号：50604130)(2017·新余摸底考试)(本小题满分12分) 已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ，AB ＝2AD ，M 是PB 的中点．(Ⅰ)证明：平面P AD ⊥平面PCD ； (Ⅱ)求AC 与PB 所成角的余弦值；(Ⅲ)求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值．19.(导学号：50604131)(2017·商丘质检)(本小题满分12分)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(Ⅱ)若从袋中任意抽取2个球，记下编号，放回袋中，再任意抽取2个球，这样抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(Ⅲ)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列及期望．“争2题”试题部分20．(导学号：50604132)(2017·随州联考)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，且离心率e ＝12.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D ，且满足DA →·DB →＝0，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21.(导学号：50604133)(2017·保定调研)(本小题满分12分)已知f (x )＝－12ax 2＋x －ln(1＋x )，其中a >0.(Ⅰ)若x ＝3是函数f (x )的极值点，求a 的值； (Ⅱ)求f (x )的单调区间；(Ⅲ)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604134)(2017·甘南二模)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρ＝2sin θ与直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝2－t . (Ⅰ)求曲线C 与直线l 的普通方程；(Ⅱ)求与直线l 平行，且与圆相切的直线l ′的方程．23．(导学号：50604135)(2017·海西三模)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数f (x )＝||x －a ＋|x |. (Ⅰ)当a ＝1时，解不等式f (x )≥2；(Ⅱ)若存在x ∈R ，使得f (x )<2恒成立，求a 的取值范围． 选考题题号( )大题演练争高分(二)17．解：(Ⅰ)依题意化简得g ()x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，平移g (x )得 f ()x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋12 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π6＋12 ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋12＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ∴a ＝1，b ＝0，φ＝π36分(Ⅱ)φ(x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋π3)－32由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π()k ∈Z得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，因为x ∈[0，π2]，所以当k ＝0时，在⎣⎡⎦⎤0，π12上单调增， ∴φ(x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π12， 值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.故φ()x 的最小值为－3，最大值为1－32.12分18．(Ⅰ)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥CD .∵AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，∴AD ⊥CD .又AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥平面P AD . 又DC 在平面PCD 内，故平面P AD ⊥平面PCD .3分(Ⅱ)以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1，12)因AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，5分 故|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105.所以AC 与PB 所成角的余弦值为105.8分(Ⅲ)解：AM →＝(0,1，12)，AC →＝(1,1,0)设平面AMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AM →＝0n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋12z 1＝0x 1＋y 1＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝－2y 1x 1＝－y 1，令y 1＝1，则n 1＝(－1,1，－2) 同理：平面BMC 的法向量为n 2＝(1,1,2)，10分∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23∴所求二面角的余弦值为－23.12分19．解：(Ⅰ)设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ， 则两次取球的编号的一切可能结果(m ，n )有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为536.3分(Ⅱ)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p ＝C 15C 26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为C 23p 2(1－p )＝3×(13)2×(23)＝29.8分(Ⅲ)随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6.P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量XE (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝214.12分20．解：(Ⅰ)由题意椭圆的离心率e ＝12.∴c a ＝12，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝12分又点(1，32)在椭圆上，∴14c 2＋(32)23c 2＝1，∴c 2＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0,3＋4k 2－m 2>0.x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.6分y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.∵DA →·DB →＝0，所以k AD ·k BD ＝－1，又椭圆的右顶点D (2,0)，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，8分 3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0，7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且满足3＋4k 2－m 2>0.10分当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(27，0).12分21．解：(Ⅰ)由题意得f ′(x )＝－ax 2－(a －1)xx ＋1，x ∈(－1，＋∞)由f ′(3)＝0⇒a ＝14，经检验符合题意.2分(Ⅱ)令f ′(x )＝0⇒x 1＝0，x 2＝1a－1①当0<a <1时，x 1<x 2∴f (x )的单调递增区间是(0，1a－1)，f (x )的单调递增减区间是(－1,0)，(1a－1，＋∞)，5分②当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞) ③当a >1时，－1<x 2<0f (x )的单调递增区间是(1a－1,0)，f (x )的单调递增减区间是(－1，1a－1)，(0，＋∞)，8分综上，当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是(0，1a－1)，f (x )的单调递增减区间是(－1,0)，(1a－1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a >1，f (x )的单调递增区间是(1a －1,0)，f (x )的单调递增减区间是(－1，1a－1)，(0，＋∞).9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)的最大值是f (1a－1)但f (1a－1)>f (0)＝0，所以0<a <1不合题意当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减f (x )≤f (0)可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值为f (0)＝0，符合题意 ∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值为0时，a 的取值范围是a ≥1.12分22．解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，而直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0.4分(Ⅱ)设所求直线l ′方程为x ＋y ＋m ＝0，由题知圆心(0,1)到直线l ′的距离为||0＋1＋m 2＝1，∴m ＝－1±2，∴直线l ′的方程为x ＋y －1±2＝0.10分 23．解：(Ⅰ)当a ＝1，f (x )＝||x －1＋|x |.当x ≥1，得f (x )＝2x －1，由f (x )≥2得x ≥32，此时x ≥32；当0<x <1，得f (x )＝1，此时显然f (x )≥2无解； 当x ≤0，得f (x )＝1－2x ，由f (x )≥2得x ≤－12，此时x ≤－12.综上，不等式f (x )≥2的解集为(－∞，－12]∪[32，＋∞).5分(Ⅱ)若存在x ∈R ，使得f (x )<2恒成立，则f (x )在R 上的最小值应小于2. 由绝对值不等式得||x －a ＋|x |≥|x －a －x |＝|a |，则|a |<2，解得－2<a <2， 从而a 的取值范围为(－2,2).10分。
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小题提速练(七)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由韦恩图知阴影部分表示的是A ∩(∁U B )，∵A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}＝{1,2,3}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}＝{0,1}，∴阴影部分对应的集合是A ∩(∁U B )＝{2,3}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为22＝4.2．若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－2C ．4D ．6 解析：选A.∵a ＋3i 1＋2i ＝a ＋－＋－＝a ＋＋－2a5为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0，解得a ＝－6.3．给出命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.关于以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A ．命题“p ∨q ”为假 B ．命题“p ∧q ”为真 C ．命题“p ∨﹁q ”为假D ．命题“p ∧﹁q ”为真解析：选A.命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a·b ＜0，且不异向共线，－2λ－1＜0，解得λ＞－12，由－λ＋2＝0，解得λ＝2，此时a 与b 异向共线，因此向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞且λ≠2，因此是假命题． 4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A ．24πB ．6πC ．4πD ．2π解析：选B.几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为2的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R ＝22＋22，R ＝62，所以外接球的表面积为4πR 2＝6π. 5．下面图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )7 8 9 10 116 9 1 3 6 72 9 4 1 58 6 3 1 4图1图2A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.6．已知正数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( )A ．1 B.14 32 C.116D.132解析：选C.根据约束条件画出可行域，把z ＝4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y化成z ＝2－2x －y，直线z 1＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 1最小值是－4，∴z ＝2－2x －y的最小值是2－4＝116.7．已知函数y ＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A ＞0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为()A. 3B. 2 C ．1D ．2解析：选A.过Q ，P 分别作x 轴的垂线于B ，C ，∵函数的周期T ＝2ππ2＝4，∴MN ＝2，CN ＝1，∵∠PMQ ＝90°，∴PQ ＝2MN ＝4，即PN ＝2，即PC ＝PN 2－NC 2＝4－1＝3，∴A ＝ 3.8．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100D ．10200解析：选B.由题意可得a n ＝n 2cos(n π)＋(n ＋1)2cos[(n ＋1)π]＝(－1)n －1(2n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3－5＋7－9＋11－…＋199－201＝50×(－2)＝－100.9．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，∴f (0)＝20＋a ＝0，解得a ＝－1，故x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1，令f (x )＝2x －12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0，综上所述，函数f (x )的零点个数是3个．10．设A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2＜2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)解析：选B.由题意可得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设M (m ，n )，可得m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2m 2－a 2＝b 2a 2，由题意k MA 1·k MA 2＜2，即为n －0m ＋a ·n －0m －a ＜2，即有b 2a 2＜2，即b 2＜2a 2，c 2－a 2＜2a 2，即c 2＜3a 2，c ＜3a ，即有e ＝ca＜3，由e ＞1，可得1＜e ＜ 3.11．已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，∠C ＝π3，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.∵OA →·OB →＝－12，圆的半径为1，∴cos∠AOB ＝－12，又0＜∠AOB ＜π，故∠AOB ＝2π3，又△AOB 为等腰三角形，故AB ＝3，从圆O 内随机取一个点，取自△ABC 内的概率为334π，即S △ABC S 圆＝334π，∴S △ABC ＝334，设BC ＝a ，AC ＝b ，∵C ＝π3，∴12ab sin C ＝334，得ab ＝3①，由AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，得a 2＋b 2－ab ＝3，a 2＋b 2＝6②，联立①②解得a ＝b ＝3，∴△ABC 为等边三角形．12．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )成立，则( ) A ．3f (ln 2)＞2f (ln 3) B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3) C ．3f (ln 2)＜2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定 解析：选C.令g (x )＝f xe x ，则g ′(x )＝f x x－f xxe2x＝f x －f xex，因为对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )，所以g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，又ln 2＜ln 3，所以g (ln 2)＜g (ln 3)，即feln 2＜feln 3，所以f2＜f3，即3f (ln 2)＜2f (ln 3)，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝________.解析：因为点P (2,2)满足圆(x －1)2＋y 2＝5的方程，所以P 在圆上，又过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为a ＝2－02－1＝2.答案：214．在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的最大值为________．解析：∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形，∵∠DAC ＝π3－C ，∠ADC ＝2π3，在△ADC 中，根据正弦定理可得ADsin C ＝43sin 2π3＝DCsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋43＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3的最大值为1，则△ADC 的周长最大值为8＋4 3.答案：8＋4 315．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为________．解析：由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，可得y ＝±3·1－14＝±32，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设P (m ，n )，则m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝(m ＋1，n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32＝32n ≤332，可得F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案：33216．定义在R 上的函数，对任意实数都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝2，记a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2018＝________.解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3，∴f (x ＋1)≤f (x )＋1，∵f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，∴f (x ＋1)－f (x )＝1，∴{a n }是以f (1)为首项，公差为1的等差数列． ∴a 2018＝f (2018)＝f (1)＋(2018－1)×1＝2019. 答案：2019。
2018高考数学(理)二轮复习闯关导练：小题训练多抢分(四) Word版含解析
小题训练多抢分(四)时间：50分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604097)(2017·渭南联考)cos(20173π)的值为( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 2．(2017·自贡调研)在复平面内，复数(4＋5i)i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．(2017·汕尾二模)等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝－3，则{a n }的前7项和S 7＝( ) A ．－21 B ．－12 C ．－8 D ．－64．(2017·焦作质检)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≤0，1＋log 2x ，x >0，则f (f (14))＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．45．(导学号：50604098)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是3x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率是( )A.54B.132C.134D.526．(2017·天水摸底考试)设n ＝⎠⎛12(3x 2－1)d x ，则二项式(4x 2－1x )n 展开式中的第4项为( )A ．1280x 3B ．－1280x 3C ．240D ．1240x 47．(2017·济宁联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k(x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－32，－1]C ．(－∞，－32] D ．[－1,3]8．(导学号：50604099)(2017·南平调研)执行如图所示的程序框图，若f(x)＝2x 2－1，取g ＝12，则输出的值为( ) A .58 B .34 C .12 D .149．(2017·淮北二模)一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( ) A ．26＋4 2 B ．27＋4 2 C ．34＋4 2 D ．17＋2 210．(导学号：50604100)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种．有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英11．如图，直线CD 平行于x 轴，且|OC|＝|CD|＝3，ODE 为以原点O 为圆心的扇形，在扇形ODE 内作一矩形PQMN ，其中P 在弧DE 上，Q 在半径OD 上，M ，N 在x 轴上，设∠POE ＝θ，矩形的面积表示成函数y ＝f(θ)，则f(θ)的最大值为( )A ．32－2B .2＋1C ．22－2D ．32－312．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝ln (x ＋1)x ＋1.给出以下命题p 1：当x ＜0时，f (x )＝ln (1－x )x －1；p 2：函数f (x )有3个零点；p 3：若关于x 的方程f (x )＝m 有解，则实数m 的取值范围是－1e ＜m ＜1e；p 4：∀x 1，x 2∈R ，|f (x 2)－f (x 1)|＜1恒成立，其中真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(导学号：50604101)(2017·银川质检)已知向量|a |＝3，|b |＝6，若a ，b 间的夹角为3π4，则|4a －b |＝________. 14．(2017·海北质检)手机微信群有抢红包的功能，假设有一个4人组成的微信群，每个群员抢红包手气最佳的概率相等，每人各发一次红包，群员甲至少有一次手气最佳的概率为________．15．(导学号：50604102)(2017·定西一模)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝________.16．(导学号：50604103)(2017·云浮调研)已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (n ≥3，n ∈N *)，令T A ＝{x |x ＝a i ·a j,1≤i ＜j ≤n ，i ，j ∈N *}，card(T A )表示集合T A 中元素的个数(例如：A ：1,2,4，card(T A )＝3)，若a i ＋1a i＝c (c 为常数，且|c |＞1,1≤i ≤n －1)，则card(T A )＝________.小题训练多抢分(四)1．C cos (20173π)＝cos (672π＋π3)＝cos π3＝12.2．C 因为z ＝4i －5，故复数z 的共轭复数z －＝－5－4i 在复平面内对应的点为()－5，－4，位于第三象限．3．A S 7＝7·a 4＝－21，故选A .4．B f(f(14))＝1－2＝－1，f(－1)＝2－1＋1＝1.5．B 双曲线的渐近线方程为bx±ay ＝0，所以b a ＝32，即b ＝32a ，离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝132.6．B n ＝⎠⎛12(3x 2－1)d x ＝(x 3－x)21＝6，二项式(4x 2－1x )6展开式的第4项为T 4＝C 36(4x 2)3·(－1x)3＝－43C 36x 3＝－1280x 3. 7．A 根据题意画出不等式组表示的平面区域如图，直线y ＝k(x －2)－1恒过定点(2，－1)，斜率为k ，则k CD ≤k ≤k AD ，即k ≤－1.8．A a ＝0，b ＝1，f(a ＋b 2)≠0，f(0)f(12)>0；a ＝12，b －a ＝12，f(a ＋b 2)＝f(34)>0，f(12)f(34)<0，b ＝34，b －a ＝34－12<12输出a ＋b 2＝58. 9．C 由三视图可知，该几何体的直观图如下图所示，是由两个相同的直五棱柱组合而成，故这个几何体的表面积为S ＝⎝⎛⎭⎫2×2－12×1×1×2＋2×2＋1×2＋2×2＋2×2×2＝34＋4 2.10．A 分析题目和选项，由①知排除B 选项；由②知，任何人不同时会日语和法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项；由④知，乙会的语言是甲、丙的一种，A 选项符合．11．D 在Rt △OCD 中，OC ＝CD ，∴∠COD ＝π4，则∠DOE ＝π4，OD ＝6，∴0＜θ＜π4，可以求出P(6cos θ，6sin θ)，|OM|＝|QM|＝|PN|＝6sin θ，|PQ|＝|ON|－|OM|＝6cos θ－6sin θ，故S 矩形PQMN ＝|PQ||PN|＝(6cos θ－6sin θ)6sin θ＝6sin θcos θ－6sin 2θ＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3＝32sin (2θ＋π4)－3，∵0＜θ＜π4，∴π4＜2θ＋π4＜3π4，当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时取最大值32－3.12．C 由x ＜0，－x ＞0，f(－x)＝ln (1－x )－x ＋1，因为f(x)为奇函数，所以－f(x)＝ln (1－x )－x ＋1，f(x)＝ln (1－x )x －1，命题p 1为真；当x ＞0时，可得f ′(x)＝1－ln (x ＋1)(x ＋1)2，当x ＝e －1时，f ′(x)＝0，当0＜x ＜e －1时，f ′(x)＞0，当x ＞e －1时，f ′(x)＜0，故f(x)在x ＝e －1处取得极大值也是最大值f(e －1)＝1e，且x ＞0时，f(x)＞0，又函数为奇函数，可以画出函数图象如图，可知命题p 2为假命题；命题p 3要为真命题，则－1e ≤m ≤1e；对于命题p 4，∀x 1，x 2∈R ，|f (x 2)－f (x 1)|≤1e －(－1e )＝2e＜1，所以命题p 4为真命题．故C 正确．13.78 依题意，|4a －b |＝16a 2＋b 2－8ab ＝78. 14.175256 每人手气最佳的概率为14，则群员甲至少有一次手气最佳的概率为p ＝1－(34)4＝175256. 15．10 抛物线x 2＝4y 的准线方程是y ＝－1，由抛物线的定义，得|AF |－|BF |＝y 1－(－1)－[y 2－(－1)]＝y 1－y 2＝2，所以x 214－x 224＝2.所以x 21－x 22＝8.所以y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝10.16．2n －3 由a i ＋1a i＝c (c 为常数)，可知数列{a n }是以a 1为首项，c 为公比的等比数列，则a n ＝a 1·c n －1，又T A 中元素为x ＝a i ·a j ＝a 1c i －1·a 1c j －1＝a 21·c i ＋j －2，因为1≤i ＜j ≤n ，i ，j ∈N *，则i＋j＝3,4,5，…，2n－1，所以i＋j有2n－3个值，即card(T A)＝2n－3.。
2018高考数学(理)二轮复习闯关导练押题模拟(四) Word版含解析
押题模拟(四)时间：分钟满分：分一、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．已知集合＝{≤}，＝{<}，则∪＝( )．{<}．{<≤}．{≤}．{>}．(导学号：)设复数＝－(是虚数单位)，则＋＝( )＋－．－．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为∶∶，现从该学校中抽取一个容量为的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为( )．．．．．(导学号：)已知ω>，设，是方程＝的两个不同的实数根，且－的最小值为，则ω等于( )．若平面向量，，，满足＋＝，－＝(，∈)，且＝，，不垂直，则＝( )．．．－．．某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的外接球的表面积为( )．＋．π．ππ．(导学号：)执行如图所示的程序框图，若输入的为，则运行的次数与输出的值分别为( )．．．．．若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( )．－．．．－．若，满足：(\\(＋－≥，－＋≥，＋－≤，))则＝的最大值与最小值之和为( )．(导学号：)在正项等比数列{}和正项等差数列{}中，已知，的等比中项与，的等差中项相等，且＋≤，当取得最小值时，等差数列{}的公差的取值集合为( )．神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，如图所示．假设航天员到地球最近距离为，到地球最远距离为，地球的半径为.我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则神秘信号传导的最短距离为( )．＋＋．－＋．＋－．＋．已知函数()＝－(＋)(∈)有唯一的零点，则( )．－<<－．－<<－．－<<．<<二、填空题：本题共小题，每小题分，共分．．(导学号：)若命题：“∀∈(－∞，)，≥”，则綈为．．已知双曲线：－＝(>，>)的离心率＝，且它的一个顶点到较近焦点的距离为－，则双曲线的方程为．．(导学号：)已知函数()是定义在上的奇函数，()＝()＋，且当≥时，()＝(＋)，则(－)＝.．已知数列{}，＝(＋)＋(－)(－)(∈*，与无关)，若－≤－－对一切∈*恒成立，则实数的取值范围为．三、解答题：共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第～题为必考题，每个试题考生都必须作答．第、题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共分．．(导学号：)(分)在△中，为的中点，∠＋∠≥°.(Ⅰ)求证：≤；(Ⅱ)若∠＝－，＝，＝，求..(导学号：)(分)如图，三棱柱－中，⊥平面，∠＝°，，的中点，为上一点，且＝.(Ⅰ)求证：平面⊥平面；(Ⅱ)求二面角－－的余弦值．。
2018高考数学理二轮复习闯关导练基础模拟一含解析
基础模拟(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{}x ∈R |0<x <2，N ＝{}x ∈R |x >1，则M ∩(∁R N )＝( )2．(导学号：)命题“若e x ＋x ≤1，则x ≤0”的否命题是( ) A ．若e x ＋x ≤1，则x >0 B ．若e x ＋x >1，则x ≤0 C ．若e x ＋x >1，则x >0 D ．若e x ＋x ≥1，则x ≥03．复数z ＝11＋2i 的虚部为( )A ．－25B ．－2 C.15D ．14．一组数据的平均数是2，方差是3，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．12, 13B ．2, 13C ．2, 3D ．12,35．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2，且a 4＝7，则a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n ＋1 D ．3n －26．(导学号：)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≤6，x －y ≤3，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )B ．17 C.17 D ．57．在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β； ④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直． 其中正确的命题是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④8．(导学号：)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．下图(左)就是阳马与鳖臑的组合体，如果图中鳖臑的三视图如下图(右)所示(小正方形的边长为1)，则该图中阳马的体积为( )A ．4B ．8C ．9D ．129．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于点A ，B ，若AB中点为(1，－12)，且直线AB 的倾斜角为45°，则椭圆方程为( )＋y 25＝1 ＋y 24＝1 C.2x 29＋4y 29＝1 ＋2y 29＝1 10．(导学号：)()x 2－2⎝⎛⎭⎫1x －15的展开式的常数项是( ) A ．8 B ．－8 C ．12 D ．－1211．(导学号：)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为2π，且其图象关于y 轴对称，则( )A ．f (x )在(0，π2)上单调递增B ．f (x )在(π4，3π2)上单调递减C ．f (x )在(0，π2)上单调递减D ．f (x )在(π4，3π2)上单调递增12．函数y ＝－1x的图象向右平移1个单位之后得到的函数图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第13题图13．运行如图所示程序框图，若输入n ＝56，则输出结果为________．14．(导学号：)已知平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角为θ，且|b |＝5，|a －b |＝2，则cos θ＝________.15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1，y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线过点(1，－7)，则a ＝________.16．(导学号：)已知公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝12， 数列{a n S n ＋a 2n }也是公比为q 的等比数列，记数列{4a n ＋1}的前n 项和为T n ，若不等式12k4＋n －T n≥2n －7对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(导学号：)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(Ⅰ)求b 的值； (Ⅱ)求sin C 的值．18.(导学号：)(12分)东海学校从参加2016年迎新百科知识竞赛的同学中，选取60名同学，将他们的成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题.(Ⅰ)求分数在[)70，80内的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[)40，70记0分，在[]70，100记1分，用Χ表示抽取结束后的总记分，求Χ的分布列和数学期望．19.(导学号：)(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面所成角为60°，AA 1＝2AC ＝4，AB ＝BC .(Ⅰ)已知点D 满足AD →＝AB →＋AC →，在直线BB 1上是否存在点P ，使得DP ∥平面A 1BC ？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，求二面角A 1－BC －B 1的余弦值．20.(导学号：)(12分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴交于点N ，过点N 作圆M ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为P 、Q ，且|PQ |＝423.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)过抛物线的焦点F 作斜率为k 1的直线与抛物线交于A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标均不为2，连接AM ，BM 并延长分别交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为k 2，问k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21.(导学号：)(12分)已知函数f (x )＝x －ax－2ln x ，a ∈R .(Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)<x 2－1.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(导学号：)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (Ⅰ)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(Ⅱ)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．23．(导学号：)[选修4－5：不等式选讲](10分) 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围．基础模拟(一)1．C 易知∁R N ＝{x ∈R |x ≤1}，又M ＝{x ∈R |0<x <2}，所以M ∩(∁R N )＝{}x ∈R |0<x ≤1.2．C 否命题是条件与结论都要改变，故所求否命题是“若e x ＋x >1，则x >0”．3．A 11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，则复数z 的虚部为－25.4．D 根据题意，平均数增加10，方差不变，则所得新数据的平均数和方差分别是12,3. 5．A ∵a 4＝S 4－S 3＝16A －9A ＝7A ＝7，∴A ＝1，∴a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n >1)，又a 1＝1＝2×1－1，符合上式，∴a n ＝2n － 1. 6．B 画出可行域，代入端点值可得最大值为17.7．D ①平行于同一个平面的两条直线有可能是平行直线、相交直线、异面直线，故①错误；②是正确的；③不共线的三个点分布在平面β的上下两边，则α与β相交，故③错误；④“过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直”是正确的，假如有两个平面与平面α垂直，那么这条斜线必与平面α垂直，矛盾．8．B 由题意及三视图可知，该几何体的直观图如图所示，其中AB ⊥平面BCD ，故体积为V ＝13×(12×3×2)×4＝4，易知阳马的体积为鳖臑的2倍，所以阳马的体积为8.9．C ∵12c －1＝1，∴c ＝32，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，2a 2＋－1b 2＝0，∴a2＝92，b 2＝94. 10．B C 25(－1)3－2C 05(－1)5＝－8.11．C f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π6)，因为f (x )的最小正周期为2π，所以2πω＝2π，解得ω＝1，又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )为偶函数，所以φ＋π6＝k π＋π2(k ∈z )，所以φ＝k π＋π3(k ∈z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2cos x ，所以f (x )在(0，π2)上单调递减．12．D 函数y ＝－1x 的图象按向量a ＝()1，0平移之后得到的函数y 1＝11－x，因为函数y 1＝11－x与y 2＝2sinπx 有公共的对称中心()1，0，作出两个函数的图象如下图：当1<x ≤4时，y 1<0，而函数y 2＝2sinπx 在()1，4上出现个周期的图象，在⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫52，72上是减函数，在⎝⎛⎭⎫32，52，⎝⎛⎭⎫72，4上是增函数，所以函数y 1＝11－x在()1，4上函数值为负数， 且与函数y 2＝2sinπx 的图象有4个交点E ，F ，G ，H .相应地，函数y 1＝11－x 在()－2，1上函数值为正数，且与函数y 2＝2sinπx 的图象有4个交点A ，B ，C ，D ，且x A ＋x H ＝x B ＋x G ＝x C ＋x F ＝x D＋x E ＝2，故所求的橫坐标之和等于8.13．6 S ＝1，i ＝2，S ＝4，i ＝3，S ＝11，i ＝4，S ＝26，i ＝5，S ＝57，i ＝6，故填6. |a －b |2＝|a |2＋|b |2－2ab ＝(2)2＝2，∴a·b ＝4，∴cos θ＝45×5＝45. 15．－13 若x ＜0，则－x >0 ∴f (－x )＝－x 3－ax ＋1 又∵f (x )为偶函数∴f (x )＝－x 3＋ax ＋1，x <0又∵y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线过点(1，－7)． ∴f (－1)＝1－a －1＝－a ，∴切点为(－1，－a ) f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(－1)＝3＋a ， ∴切线斜率为3＋a∴切线为y ＋a ＝(3＋a )(x ＋1) 代入(1，－7)得a ＝－13.16．[132，＋∞) a 1＝12，a 2＝q 2，∵a 2S 2＋a 22＝(a 1S 1＋a 21)q ，化简得q ＝12，则a n ＝(12)n,4a n＋1＝4(12)n ＋1，T n ＝4×12[1－(12)n ]1－12＋n ＝4＋n －42n .由不等式12k4＋n －T n≥2n －7恒成立，得3k ≥2n －72n 恒成立，设d n ＝2n －72n ，由d n ＋1－d n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝－2n ＋92n ＋1，∴当n ≤4时，d n＋1>d n ，当n ≥5时，d n ＋1<d n ，而d 4＝116，d 5＝332，∴d 4<d 5，∴3k ≥332，∴k ≥132.17．解：(Ⅰ)由余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝35，即22＋52－b 22×2×5＝35，解得b ＝17.5分(Ⅱ)由cos B ＝35得sin B ＝45.7分由正弦定理，sin C c ＝sin B b ，即sin C 5＝4517，解得sin C ＝41717.12分18．解：(Ⅰ)设分数在[)70，80内的频率为x . 根据频率分布直方图，则错误!×10＋x ＝1，可得x ＝0.3.2分 所以频率分布直方图如图所示．4分 (Ⅱ)学生成绩在[)40，70的有×60＝24人，在[]70，100的有×60＝36人，并且X 的可能取值是0,1,分P (X ＝0)＝C 224C 260＝46295，P (X ＝1)＝C 124C 136C 260＝144295，P (X ＝2)＝C 236C 260＝105295，9分故X 的分布列为10分故X 的数学期望E (X )＝0×46295＋1×144295＋2×105295＝354295.12分 19．解：(Ⅰ)由点D 满足AD →＝AB →＋AC →，可知点D 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的顶点，作平行四边形ABCD ，连接DB 1，则AB 綊分又三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 綊A 1B 1， 则A 1B 1綊CD ，3分∴四边形A 1B 1DC 为平行四边形， ∴A 1C ∥B 1D ，又B 1D ⊄平面A 1BC ， ∴DB 1∥平面A 1BC ，即在直线BB 1上存在点P (即B 1)满足DP ∥平面分 (Ⅱ)连接A 1C ，作CO ⊥A 1B 于O ，在平面ACC 1A 1内作A 1C ′⊥AC ，垂足为C ′，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1C ′⊥平面ABC ， ∴∠A 1AC ′是AA 1与底面所成的角，∠A 1AC ′＝60°，∴AA 1＝2AC ′， 又AA 1＝2AC ，∴C 与C ′重合， ∴A 1C ⊥平面分而AB ⊂平面ABC ，∴A 1C ⊥AB .又平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，CO ⊥A 1B ， ∴CO ⊥平面A 1ABB 1，∴CO ⊥AB ，又CO ∩A 1C ＝C ， ∴AB ⊥平面A 1BC ，∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是以斜边AC ＝2的等腰直角三角形.7分 以AC 的中点M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ，则B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,1，23)，C 1(0,3，23)．设BC 的中点为E ，则E (12，12，0)，则ME →＝(12，12，0)，即为平面A 1BC 的一个法向量.9分 又CB →＝(1，－1,0)，CC 1→＝(0,2,23)，设平面C 1BC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，x －y ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－3z ，x ＝y ，可取n ＝(3，3，－1)，11分则cos 〈n ，ME →〉＝n ·ME →|n ||ME →|＝32＋3212×7＝427，即二面角A 1－BC －B 1的余弦值为427.12分20．解：(Ⅰ)由已知得N (－p2，0)，M (2,0)．设PQ 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|PR |＝223.于是|MR |＝|PM |2－|PR |2＝13.由△PNM ∽△RPM 得|PM ||RM |＝|NM ||PM |，∴|NM |＝3，即2＋p2＝3，p ＝2.故抛物线的方程为y 2＝分(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 21－y 224＝4y 1＋y 2，同理k 2＝4y 3＋y 4.设AC 所在直线的方程为x ＝ty ＋2，与y 2＝4x 联立，得y 2－4ty －8＝0，所以y 1y 3＝－8，同理y 2y 4＝－8，所以k 2＝4－8y 1＋－8y 2＝(－12)·y 1y 2y 1＋y 2.设AB 所在直线的方程x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4，所以k 2＝(－12)·y 1y 2y 1＋y 2＝2y 1＋y 2，所以k 1k 2＝2，即k 1k 2为定值分21．(Ⅰ)解： 函数f (x )＝x －a x －2ln x 的定义域为()0，＋∞，f ′(x )＝1＋a x 2－2x ＝x 2－2x ＋ax 2，1分令f ′(x )＝0，得x 2－2x ＋a ＝0， 其判别式Δ＝4－4a ，①当Δ≤0，即a ≥1时，x 2－2x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，此时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 2分②当Δ>0，即a <1时，方程x 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a >1，3分若a ≤0，则x 1≤0，则x ∈(0，x 2)时，f ′(x )<0，x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0， 此时，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增；4分若a >0，则x 1>0，则x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，此时，f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.5分 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，函数f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增；当a ≥1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.6分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，等价于方程x 2－2x ＋a ＝0在(0，＋∞)有两不等实根，故0<a <分由(Ⅰ)得，x 2＝1＋1－a ，且1<x 2<2，a ＝－x 22＋2x 2.f (x 2)－x 2＋1＝x 2－－x 22＋2x 2x 2－2ln x 2－x 2＋1＝x 2－2ln x 2－1，8分令g (t )＝t －2ln t －1,1<t <2，则g ′(t )＝1－2t ＝t －2t.9分由于1<t <2，则g ′(t )<0，故g (t )在(1,2)上单调递减． 故g (t )<g (1)＝1－2ln1－1＝分所以f (x 2)－x 2＋1＝g (x 2)<0.所以f (x 2)<x 2－分22．解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0； 曲线C 的直角坐标系方程为 ⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝分因为圆心⎝⎛⎭⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离为d ＝||522＝5>1，所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离.5分(Ⅱ)设M ⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，7分则x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈[]－2，2.10分 23．解：(Ⅰ)当x <－2时，f (x )＝||2x －1－||x ＋2＝1－2x ＋x ＋2＝－x ＋3， 由f (x )>0，即－x ＋3>0，解得x <3. 又x <－2，所以x <－2；当－2≤x ≤12时，f (x )＝||2x －1－||x ＋2＝1－2x －x －2＝－3x －1，由f (x )>0，即－3x －1>0，解得x <－13.又－2≤x ≤12，所以－2≤x <－13；当x >12时，f (x )＝||2x －1－||x ＋2＝2x －1－x －2＝x －3，由f (x )>0，即x －3>0，解得x >3.又x >12，所以x >分百度文库- 让每个人平等地提升自我11 综上，不等式f(x)>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪()3，＋∞.5分(Ⅱ)f(x)＝||2x－1－||x＋2＝⎩⎨⎧－x＋3，x<－2，－3x－1，－2≤x≤12，x－3，x>12.7分所以f(x)min＝f⎝⎛⎭⎫12＝－52.8分因为∃x0∈R，使得f()x0＋2m2<4m，所以4m－2m2>f(x)min＝－52，整理得4m2－8m－5<0，解得－12<m<52. 因此，实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－12，52.10分。
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大题演练争高分(四)时间：60分钟满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604143)(2017·牡丹江摸底考试)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2a cos A＝b cos C＋c cos B.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若a＝2，求b＋c的取值范围．18.(导学号：50604144)(2017·呼伦贝尔二模)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，M 是BC中点．(Ⅰ)求证：A1B∥平面AMC1；(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值．19.(导学号：50604145)(2017·伊春调研)(本小题满分12分)某服装店经营某种服装，在某天内获纯利y(元)，与这一天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：x 12345y 2491222(Ⅰ)画出散点图，并根据散点图判断y＝b x＋a与y＝d x2＋c哪一个适宜作为获纯利y关于服装件数x的回归方程？(不要求说理)．(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果，)； ①根据回归方程，若某天销售件数x ＝6时，纯利润的预报值是多少元？②若在表中数据(x ，y )对应的5个点中随机可重复地取点，求取4次恰有2次所得点在回归方程所对应的图象的上方的概率．参考公式：y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －“争2题”试题部分20．(导学号：50604146)(2017·赣州二模)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)．(Ⅰ)若椭圆的长轴长为4，离心率为32，求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过原点O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)相交于P ，S ，R ，Q 四点，设原点O 到四边形PQSR 的一边距离为d ，试求d ＝1时a 、b 满足的条件．21.(导学号：50604147)(2017·潍坊二模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln x ＋2a2x＋x(a ≠0)．(Ⅰ)若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值； (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅲ)当a ∈(－∞，0)时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤12e 2.请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604148)(2017·舟山联考)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝2＋3t(t 为参数)．(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x y ′＝12y 得到曲线C ′，设M (x ，y )为曲线C ′上任一点，求x 2－3xy ＋2y 2的最小值，并求相应点M 的坐标．23．(导学号：50604149)(2017·中山二模)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|.(Ⅰ)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(Ⅱ)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f (ba)．选考题题号( )大题演练争高分(四)17．解：(Ⅰ)∵2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ， ∴2sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B 2sin A ＝sin (B ＋C )2sin A ＝12，A ∈()0，π，∴A ＝π3；6分(Ⅱ)由余弦定理知4＝b 2＋c 2－bc ，∴4≥2⎝⎛⎭⎫b ＋c 22－⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤4， 又∵b ＋c >a ，∴b ＋c >2，综上，b ＋c 的取值范围为(]2，412分 18．证明：(Ⅰ)连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OM .∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点． 又∵M 为BC 中点，∴OM 为△A 1BC 中位线， ∴A 1B ∥OM ，∵OM ⊥平面AMC 1，A 1B ⊥平面AMC 1， 所以 A 1B ∥平面AMC 1.5分(Ⅱ)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 且∠ABC ＝90°，故BA ，BC ，BB 1两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B －xyz . 设BA ＝2，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(2,0,1)，M (1,0,0)． 则AM →＝(1，－2,0)，AC 1→＝(2，－2,1)，设平面AMC 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0m ·AC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝02x －2y ＋z ＝0所以取y ＝1，得m ＝(2,1，－2)．又∵CC 1→＝(0,0,1)∴直线CC 1与平面AMC 1所成角θ满足 sin θ＝|CC 1→·m ||CC 1→|·|m |＝23故直线CC 1与平面AMC 1所成角的正弦值为23.12分19．解：(Ⅰ)图，由图知用y ＝d ^x 2＋c 适合4分(Ⅱ)记x 2＝t ，则t ＝11，y ＝9.8d ^＝∑i ＝15(t i －t )(y i －y )∑i ＝15(t i －t )2＝78＋40.6＋1.6＋11＋170.8100＋49＋4＋25＋196＝302374≈0.8， c ＝y －d ^t ＝1.0， ∴y ＝0.8x 2＋1.0，8分①当x ＝6时，纯利润y 的预报值是29.8元；9分②在表中对应的5个点中有3个点在图象上方，取1个点，在上方的概率P 1＝35，所以可重复取点，取4次，恰有2次所得点在图象上方的概率为P ＝C 24(35)2(25)2＝216625.12分 20．解：(Ⅰ)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4c a ＝32a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(Ⅱ)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，S (－x 1，－y 1)，R (－x 2，－y 2)(1)当直线PS 与QR 的斜率都存在时，设直线PS ：y ＝kx ，则直线QR ：y ＝－1kx .5分联立y ＝kx 与椭圆方程，得x 21＝a 2b 2b 2＋a 2k2 ① 6分联立y ＝－1k x 与椭圆方程，得x 22＝a 2b 2k 2a 2＋b 2k2 ② 7分直线PR 的斜率存在时，则PR 为(y 2－y 1)x ＋(x 1－x 2)y ＋x 2y 1－x 1y 2＝0∵d ＝1，∴|x 2y 1－x 1y 2|(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1 ③ 9分由①②③可得a 2b 2＝a 2＋b 2 即1a 2＋1b2＝1为定值10分 (2)当直线PS 与QR 的斜率有一个不存在时，直线PR 的斜率不存在时，则上式也成立．综上所述，a 、b 满足1a 2＋1b2＝1.12分21．解：(Ⅰ)f ()x 的定义域为{x |x >0}.1分f ′()x ＝a x －2a 2x2＋1()x >0.2分根据题意，有f ′()1＝－2，所以2a 2－a －3＝0，3分解得a ＝－1或a ＝32.4分(Ⅱ)f ′()x ＝a x －2a2x 2＋1＝x 2＋ax －2a 2x 2＝(x －a )(x ＋2a )x 2()x >0.5分 (1)当a >0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >a ； 由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0， 解得0<x <a .所以函数f (x )在()a ，＋∞上单调递增， 在()0，a 上单调递减.7分 (2)当a <0时，因为x >0，由f ′(x )>0得 (x －a )(x ＋2a )>0， 解得x >－2a ；由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0， 解得0<x <－2a .所以函数f (x )在()0，－2a 上单调递减，在()－2a ，＋∞上单调递增.9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，当a ∈(－∞，0)时，函数f (x )的最小值为g (a )，且g (a )＝f (－2a )＝a ln(－2a )＋2a 2－2a－2a ＝a ln(－2a )－3ag ′(a )＝ln(－2a )＋a ·－2－2a －3＝ln(－2a )－2，令g ′(a )＝0，得a ＝－12e 2.当a 变化时，g ′()a ，g ()a 的变化情况如下表：－12e 2是g (a )在(－∞，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g (a )的最大值点． 所以g ()a 最大值＝g (－12e 2)＝－12e 2ln[－2×(－12e 2)]－3(－12e 2)＝－12e 2lne 2＋32e 2＝12e 2所以，当a ∈(－∞，0)时，g (a )≤12e 2成立.12分22．解：(Ⅰ)3x －y －3＋2＝0，x 2＋y 2＝4.4分(Ⅱ)设C ′：x 24＋y 2＝1设M 为：x ＝2cos θ，y ＝sin θx 2－3xy ＋2y 2＝3＋2cos(2θ＋π3)7分所以当M 为(1，32)或(－1，－32)x 2－3xy ＋2y 2的最小值为110分23．解：(Ⅰ)f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－2x －2，x <－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x >1.当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立； 当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}.5分(Ⅱ)f (ab )＞|a |f (ba)即|ab －1|＞|a －b |.6分因为|a |＜1，|b |＜1， 所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2) ＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |. 故所证不等式成立.10分。