2019-2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案新人教A版选修2.doc
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案含解析新人教A版
2.2.2 反证法[学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． [知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． [预习导引] 1．反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 例1 已知x ，y >0，且x ＋y >2. 求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明 假设1＋x y ，1＋y x都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2.∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾． ∴1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1.又∵(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， ∴ac ＋bd ≤1.这与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题例2 求证对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．证明 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有(1)直线l ：y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A 、B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝ax 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝－1 ①y 1＋y 2＝k x 1＋x 2＋2 ②y 1＋y 22＝a x 1＋x 22 ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.④当k 2＝3时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②、③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k3－k2，代入⑤整理得： ak ＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便． 跟踪演练2 求证方程2x＝3有且只有一个根．证明 ∵2x＝3，∴x ＝log 23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)， 则2b 1＝3,2b 2＝3， 两式相除得2b 1－b 2＝1.若b 1－b 2>0，则2b 1－b 2>1，这与2b 1－b 2＝1相矛盾． 若b 1－b 2<0，则2b 1－b 2<1，这也与2b 1－b 2＝1相矛盾． ∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2.∴假设不成立，从而原命题得证． 要点三 用反证法证明否定性命题例3 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． 跟踪演练3 已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60° 答案 B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b 答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥b D ．a 与b 相交 答案 D5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.一、基础达标1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④答案 D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 B解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a 、b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( ) A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不都能被5整除 D ．a 不能被5整除答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”． 5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为________答案 a ，b ，c 都不是偶数解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________． 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证f (x )＝0无整数根．证明 设f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＝－c .①又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数， ∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，显然与①式矛盾； 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根． 二、能力提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n x 2n ＋3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6. 又⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 三、探究与创新13．已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R .证明下面两个命题： (1)若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )； (2)若f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＞0. 证明 (1)因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，b ＞－a ， 又因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，由不等式的性质可知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )． (2)假设a ＋b ≤0，则a ≤－b ，b ≤－a ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )， 所以f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )， 这与已知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )矛盾， 所以假设不正确，所以原命题成立.。
高中数学 第二章《2.2.2间接证明--反证法》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第二章《2.2.2间接证明--反证法》教案 新人教A 版选修2-2 "1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
上，都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .例1、已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．例2、求证：2不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 反证法》
[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计姓名：赵钊学校：西安市铁一中学区县：碑林区：地址：友谊东路12021邮编：710054《反证法》教学设计陕西省西安市铁一中学赵钊第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。
也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。
但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置1知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
2过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
3情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案新人教版
§2.2.2 反证法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2．通过本节内容的学习了解间接证明反证法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程；教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）。
(二)、探究新知，揭示概念反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
（三）、分析归纳，抽象概括一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.（四）、知识应用，深化理解例1 已知直线a ，b 和平面αβ， ,如果,a b αα⊄⊂ ,且//a b ,求证: //a α。
例2 已知三个正数 ,,a b c .证明：假设=即4a c b ++=，而2b ac =，即b =20∴==.从而a b c ==，与,,a b c .点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”例3. （ 提示：有理数可表示为/m n ）/m n =（m ,n 为互质正整数），从而：2(/)2m n =，222m n =，可见m 是2的倍数.设m =2p （p 是正整数），则 22224n m p ==，可见n 也是2的倍数.这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）./m n =不可能，是无理数.课堂练习：1、课本P91页 练习1、2（五）、归纳小结、布置作业反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）布置作业：.课本P91页 A 组4。
2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法课件新人教A版选修1_2
◎变式训练
1．在题设不变的情况下，证明“1a，1b，1c不可能成 等比数列” ．
证明 假设1a，1b，1c成等比数列，则b12＝1a·1c，即 b2＝ac，
又 a，b，c 成等差数列，∴2b＝a＋c，∴（a＋4 c）2
＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，
这与 a≠c 相矛盾，从而假设错误，原命题成立．
原词
否定形式
至多有n个(即 至少有n＋1个(即x＞n⇔x≥n
x≤n∈N*)
＋1，n∈N*)
至少有n个(即x≥n， 至多有n－1个(即x＜n⇔x≤n
n∈N*)
－1，n∈N*)
n个都是
n个不都是(即至少有1个不是)
特例
至多有1个 至少有1个
至少有2个 至多有0个，即一个也没有
◎变式训练
3．已知 x，y＞0，且 x＋y＞2.
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确 的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已__知__条___件_矛盾， 或 与 _假__设__ 矛 盾 ， 或 与定__义__、__公__理__、__定__理__、__事__实_ 矛 盾 等．
核心要点探究
►知识点 反证法
【探究1】 反证法的适用范围是什么？ 提示 宜用反证法证明的常见题型有： (1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾 的 命 题 ； (3)“ 否 定 性 ” 命 题 ； (4)“ 唯 一 性 ” 命 题 ； (5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类的命题； (7)涉及“无限”结论的命题等．
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m， 则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0， 则n≠m,
若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾, 若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾, 因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零 点．
2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修2_2
2.2.2 反证法反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示] 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的． 思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示] 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．1．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b[答案] D2．用反证法证明“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”，假设的内容应是________． [答案]3a ≤3b3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．③①②[由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]成等差数列．[证明] 假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明] 假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n 个”等量词的含义吗？ [提示]词吗？[提示]【例2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.∴－32＜a ＜－1，这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b 与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]4. 设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明] 假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。
高中数学1-2 第二章 推理与证明 2.2.2反证法【教案】
反证法一、教学目标：1。
知识与技能:(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法;（2）了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题。
2.过程与方法：通过学生动手及简单实例，让学生充分体会反证法的数学思想，并学会简单应用。
3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式，体验数学方法的多样性。
提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点。
三。
教学难点：正确理解、运用反证法。
四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动。
教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法:综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因.(2)让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？(初中所学)间接证明：不是从正面证明命题的真实性,而是证明命题的反面为假,或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法.二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色,至少有5个球是同色的。
你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】(1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的的证明方法叫反证法。
（2）反证法的一般步骤:a、反设:假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论:由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
类型三 用反证法证明“至多”、“至少”型命题 【例 3】 用反证法证明：如果函数 f(x)在区间[a，b]上是增
函数，那么方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不 考虑重根)
【证明】 假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 数根，设 α，β 为它的两个实数根，则 f(α)＝f(β)＝0.
3．已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与
b 的位置关系为( C )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：假设 c∥b，而由 c∥a，可得 a∥b，这与 a，b 异面 矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直线．
4．在△ABC 中，若 AB＝AC，P 是△ABC 内的一点，∠APB> ∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分：
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
解：(1)证明：任取 x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设 x1<x2，则 x2－x1>0，ax2－x1>1，且 ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0. 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴xx22－ ＋21－xx11－＋21＝x2－2x1x＋1＋11－x2x＋1－12 x2＋1 ＝x13＋x12－xx2＋1 1>0， ∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋xx22－ ＋21－xx11－ ＋21>0. 故函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α， a⊂α，所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面 β 内经过点 A 有两条直 线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知 直线的一条垂线相矛盾． (2)如图，点 A 在平面 α 外，假设经过点 A 至少有平面 α 的 两条垂线 AB 和 AC(B、C 为垂足)，那么 AB、AC 是两条相交直 线，它们确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于直线 BC，因 为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，BC⊂α，
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2019-2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案新人教A 版选修2 教学目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2．通过本节内容的学习了解间接证明反证法的思考过程、特点；
3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程；
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？
（原因：偶次）。
(二)、探究新知，揭示概念
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
（三）、分析归纳，抽象概括
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
（四）、知识应用，深化理解
例1 已知直线a ，b 和平面αβ， ,如果,a b αα⊄⊂ ,且//a b ,求证: //a α。
例2 已知三个正数 ,,a b c .
证明：假设
=即4a c b ++=，
而2b ac =，即b =
2
0∴==
从而a b c ==，与,,a b c .
点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”
例3. （ 提示：有理数可表示为/m n ）
/m n （m ,n 为互质正整数），
从而：2(/)2m n =，222m n =，可见m 是2的倍数.
设m =2p （p 是正整数），则 22224n m p ==，可见n 也是2的倍数.
这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）.
/m n =不可能，
.
课堂练习：
1、课本P91页 练习1、2
（五）、归纳小结、布置作业
反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）布置作业：.
课本P91页 A 组4。