北京市丰台区2021届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

丰台区2020-2021—2020学年度第一学期期末练习高三数学第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|13}x x -<<B. {|11}x x -<<C. {|12}x x <<D. {|23}x x << 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义可求AB .【详解】{}|12A B x x ⋂=<<, 故选：C.【点睛】本题考查集合的运算（交），此类问题属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题 【此处有视频，请去附件查看】3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. y x =- B. 21y x =- C. cos y x = D. 12y x =【答案】B 【解析】 【分析】先考虑函数的定义域是否关于原点对称，再利用基本初等函数性质判断各选项中的函数是否为偶函数、是否为增函数.【详解】对于D ，因为函数的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误.对于A ，y x=-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误.对于C ，cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误. 对于B ，21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确. 故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟悉基本初等函数的性质，本题属于基础题.4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为（ ）A.14B.12C.34D. 1【答案】B 【解析】 【分析】求出(1,0,1)、(0,0,1)在xOy 坐标平面上的投影点的坐标后可求四面体的正投影的面积. 【详解】(1,0,1)、(0,0,1)在xOy 坐标平面上的投影点的坐标分别为()()1,0,0,0,0,0， 故四面体的正投影为()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0A B C 构成的三角形ABC ，因为1,1AB AC BC ===，故222,AB BC AB BC AC =+=，所以ABC ∆为等腰直角三角形，故111122ABC S ∆=⨯⨯=， 故选：B.【点睛】本题考查空间直角坐标系中的几何图形的面积，注意根据利用解直角三角形（有时是解三角形）的方法来求解，本题属于容易题.5.已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则=BD CD （ ）A.12B. 12-3 D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】以,AB AD 为基底向量表示,BD CD 后利用向量数量积的运算律可求BD CD 的值. 【详解】,BD AD AB CD AB =-=-， 故()()21111122BD CD AD AB AB AD AB AB =--=-+=-⨯⨯+=.故选：A.【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．6.双曲线2241x y -=的离心率为（ ）【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化成标准方程后求出,,a b c 可求离心率.【详解】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=， 故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距2c ==，故离心率为e =故选：A.【点睛】本题考虑双曲线的离心率，注意先把方程化成标准方程后再求基本量，本题属于基础题.7.已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A. 2 B. 6C. 5或6D. 12【答案】B 【解析】 【分析】将题设条件转化为基本量方程组，求出基本量后可求3a .【详解】设等差数列的公差为d ，则()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ， 解得122a d =⎧⎨=⎩或150a d =⎧⎨=⎩（舍），故()322316a =+⨯-=，故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．8.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ）A. 20-B. 15-C. 15D. 30【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r ，故常数项为()2236115T C =-=， 故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题. 9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为（ ） A. 1800 B. 2700C. 7290D. 8100【答案】D 【解析】 【分析】 设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v=时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==， 所以12k =，故2m /s v=时，312log 2100Q=即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将ADE 沿直线DE 折到A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A. 在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B. 存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC. 若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，104A B '= D. 在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】D 【解析】 【分析】利用反证法可证明A 、B 错误，当12λ=且二面角A DE B '--为直二面角时，计算可得102A B '=，从而C 错误，利用体积的计算公式及放缩法可得3()f λλλ≤-+，从而可求()f λ的最大值为23，因此D 正确.【详解】对于A ，假设存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，如图1所示，因为BF ⊂平面A BE '，平面A BE '⋂平面A CD A A ''=，故//BF A A '， 但在平面A BE '内，,BF A A '是相交的，故假设错误，即不存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，故A 错误.对于B ，如图2，取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A I A H AI ''， 因为ABC ∆为等边三角形，故AI BC ⊥，因为//DE BC ，故60,60,A DE A DE ACB A ED AED ABC '''∠=∠=∠=︒∠=∠=∠=︒ 所以,A DE ADE '∆∆均为等边三角形，故A H DE '⊥，AH DE ⊥， 因为//DE BC ，AI BC ⊥，AI BC ⊥，故,,A H I 共线， 所以IH DE ⊥，因为A H IH H '⋂=，故DE ⊥平面A HI '， 而DE ⊂平面CBED ，故平面A HI '⊥平面CBED ，若某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE ，则A '在平面BCDE 的射影在IH 上，也在BC 上，故A '在平面BCDE 的射影为H ，所以AH IH >， 此时1+2AD AH A H AC AI A H IH λ'===>'，这与102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,矛盾，故B 错误. 对于C ，如图3（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B BH ''）因为,A H DE IH BC '⊥⊥，所以A HI '∠为二面角A DE I '--的平面角， 因为二面角A DE B '--为直二面角，故90A HI '∠=︒，所以A H AH '⊥， 而IH DE H ⋂=，故A H '⊥平面CBED ，因BH ⊂平面CBED ，故A H BH '⊥.因为12λ=，所以12A H IH AI '===.在Rt IHB ∆中，2BH ==，在Rt A HB '∆中，A B '==，故C 错. 对于D ，如图4（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B A C '''）， 作A '在底面CBED 上的射影O ，则O 在IH 上.因为,//AD BC DEAC λ=λ=且2DEλ=，所以A H '=其2DE λ=. 又()1132A CBED V DE CB IH A O '-'=⨯⨯+⨯⨯ ())())31122122166A O λλλλλλ'=+-⨯≤+-=-+， 令()()3,0,1fλλλλ=-+∈，则()231f λλ'=-+，当3λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'>；当,13λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'<.所以()f λ在0,3⎛ ⎝⎭为增函数，在3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，故()max 39f f λ⎛== ⎝⎭. 故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠问题、折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算，解题注意折叠前面变化的量与不变量的量，而线面、面面关系的判断要依据性质定理或判定定理，体积最值的计算首先要有目标函数，其次根据线段长度的大小关系放缩为一元函数，再利用导数求最值，本题为难题.第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.复数11i +的实部为__________． 【答案】12【解析】 【分析】利用复数的除法可算11i+，从而得到其实部. 【详解】()()1111111222i i i i i i --===-++-，故所求实部12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数的概念，注意复数的实部和虚部都是实数，本题属于基础题.12.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成__________种重卦．（用数字作答）【答案】15 【解析】 【分析】根据组合的定义可得重卦的种数.【详解】由题设，卦的种数为2615C =，故答案为：15.【点睛】本题考查组合的应用，解题时注意将实际问题抽象为组合问题，本题属于基础题. 13.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】 【分析】 由1sin sin 2A C =结合正弦定理可得2c a =，再利用22c ab =得到三边的关系，最后利用余弦定理可求cos A . 【详解】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a cR R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =， 又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===.故答案为：78. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<；②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列1,23456,,,,__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.【答案】 (1). 是 (2). 是 【解析】 【分析】依据定义检验可得正确的结论.【详解】若数列为1,23456,,,,，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义， 故1,23456,,,,为“有趣数列”. 若2(1)nn a n n=+-，则21212221,212121n n a n a n n n -+=--=+--+， 222222,22222n n a n a n n n +=+=+++. 21212224220212141n n a a n n n -+-=--+=--<-+-，故2121n n a a -+<.()()222411222022212n n a a n n n n +-=-+=-+≤-+<++,故222n n a a +<.212222221210212212n n a a n n n n n n--=----=---<--，故21n a -<2n a . 综上，{}n a 为“有趣数列”. 故答案为：是，是.【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.15.已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为__________；过点F 的直线交抛物线C于,A B 两点，若4AF =，则AOB 的面积为__________．【答案】 (1). (10),【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得焦点的坐标，利用焦半径公式可得A 的横坐标，求出其纵坐标后可求出直线AB 的方程，联立直线方程和抛物线方程后求出B 的坐标，最后可求AOB ∆的面积.【详解】由抛物线24C y x =：可得2p =，故焦点坐标()1,0.设()00,A x y ，则00142pAF x x =+=+=，故03x =. 根据抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，则0y =，故AB k ==，故直线):1AB y x =-.由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 可得231030x x -+=，故3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1123AOB S ∆=⨯⨯=. 故答案为：()1,0，3. 【点睛】本题考查抛物线的焦点、焦半径公式及抛物线中与三角形有关的面积计算，一般地，抛物线()220y px p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02py +.直线与抛物线相交后的交点坐标，一般是联立方程组求解，本题属于中档题. 16.定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质： ①存在0x ∈R ,使得()00f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x =_______ ； （ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x =_______ .【答案】 (1). 2x (2). [)()12,1,2kx k x k k k Z --∈+∈ 【解析】 【分析】先给出[)0,1上符合条件的函数，再求出其他范围上的解析式，注意验证构造出的函数是否满足单调性的要求.【详解】由①可知()f x 为非零函数，由②可知，只要确定了()f x 在[)0,1上的函数值，就确定了()f x 在其余点处的函数值，若()f x 是增函数，令()f x 在[)0,1上的解析式为()2x f x =，则当[),1,x k k k Z ∈+∈时，则[)0,1x k -∈，故()222kx kx f x -=⨯=.故()2,xf x x R =∈，此时()f x 为R 上的增函数.若()f x 不是单调函数，令()f x 在[)0,1上的解析式为()12f x x =-， 它不是单调函数，又当[),1,x k k k Z ∈+∈时，则[)0,1x k -∈， 故()()()()212122222k k f x f x f x f x k x k =-=-==⨯-=--. 故()[)12,,1,2kf x x k x k k k Z =--∈+∈. 故答案为：[)()12,2,1,2x kx k x k k k Z --∈+∈. 【点睛】本题考查函数的性质，该性质和函数的周期性类似，因此可采取类似周期函数的处理方法即先确定主区间上满足已知性质的函数，再根据类周期性可求其他范围上的解析式，本题属于难题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知函数()2sin cos x x x f x =.（Ⅰ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（Ⅱ）1+【解析】 【分析】（Ⅰ）利用特殊角的三角函数值计算即可.（Ⅱ）利用降幂公式和辅助角公式可得()πsin 232f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求出π23x +的范围后利用正弦函数的性质可求最大值.【详解】解：（Ⅰ）2ππππ()sincos 3333f =⋅+ 211222=⎛⎫⎪⎝⎭2=（Ⅱ）()2sin cos x x x f x =⋅1cos 21sin 222x x +=πsin 232x ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. 当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值12+.【点睛】形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin2'f x A x Bωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．18.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，2BACπ∠=，11AA AB AC===，1CC的中点为H.（Ⅰ）求证：1AB A C⊥；（Ⅱ）求二面角1A BC A--的余弦值；（Ⅲ）在棱11A B上是否存在点N，使得//HN平面1A BC？若存在，求出111A NA B的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）33；（Ⅲ）在棱11A B上存在点N，使得//HN 平面1A BC，且11112A NA B=.【解析】【分析】（Ⅰ）可证明AB⊥平面1A AC，从而得到1AB A C⊥.（Ⅱ）利用AB，AC，1AA两两互相垂直建立如图所示空间直角坐标系A xyz-，求出平面ABC的法向量平面1A BC的法向量后可求二面角的余弦值．（Ⅲ）设111(01)A N A Bλλ=≤≤，则可用λ表示HN，利用HN与平面1A BC的法向量垂直可求λ，从而得到111A NA B的值.【详解】证明：（Ⅰ）因为1AA⊥平面ABC，AB平面ABC，所以1AA AB⊥.因为2BAC π∠=，所以AC AB ⊥.又因为1ACAA A =，所以AB ⊥平面1A AC .因为1AC ⊂平面1A AC ，所以1AB A C ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB ，AC ，1AA 两两互相垂直， 如图，建立空间直角坐标系A xyz -． 因为11AA AB AC ===，所以()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,01A ,. 因为1AA ⊥平面ABC ，所以1(001)AA =,,即为平面ABC 的一个法向量. 设平面1A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =，1(101)A B =-,,，1(011)AC =-,,，则110,0.n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，则11x y ==,. 于是(1,1,1)n =. 所以1113cos 3AA n AA n AA n⋅==⋅,.由题知二面角1A BC A --为锐角，所以其余弦值为3. （Ⅲ）假设棱11A B 上存在点(,,)N x y z ，使得//HN 平面1A BC . 由111(01)A N A B λλ=≤≤，11(100)A B =,,得1(0)0A N λ=,,. 因为1(011)C ,,，H 为1CC 的中点，所以1012H ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,. 所以11112HN HA A N λ=⎛⎫+= ⎪⎝⎭,-,.若//HN 平面1A BC ，则1102HN n λ⋅==-+，解得[]1012λ=∈,又因为HN ⊄平面1A BC .所以在棱11A B 上存在点N ，使得//HN 平面1A BC ，且11112A N AB =.【点睛】本题考查空间中的线面平行、线线垂直和二面角的计算，线线垂直可以通过线面垂直而得到，平行与垂直关系也可以通过方向向量、法向量的关系而得到，二面角的计算可以构建二面角的平面角，从而将空间角转化为平面角进行计算，也可以合理建系，把二面角的计算转化为法向量的夹角来计算.19.目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：（Ⅰ）从,,,,A B C D E 这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从,,,,A B C D E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X 的分布列及期望． 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）基本事件的总数为5，随机事件中含有的基本事件的个数为2，从而可得随机事件的概率.（Ⅱ）利用超几何分布可求X 的分布列及期望．【详解】解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A .由题意，有,B C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以2()5P A =. （Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有,B C ，共2个小区.X 的所有可能取值为0，1，2.23253(0)10C P X C ===；11322563(1)105C C P X C ⋅====；22251(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为:3314()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，另外，随机变量的分布列可借助于常见分布来计算概率.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出,,a b c 后可得椭圆方程.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在，计算可得A B ，两点的纵坐标之积为9-.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则212121212()142()4A B x x x x y y k x x x x -++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简A By y 后可得定值.【详解】解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d，b d ==，即b =由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =. 故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以331122P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,. 则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y --=.令4x =，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以,A B 两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠, 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 依题意0∆≥恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,， 则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,， 由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--， 所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-.同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k -=⨯9=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题. 21.已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）y x =；（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（Ⅰ）当1a =时，求出()f x '可得切线的斜率，从而得到切线方程. （Ⅱ）求出()f x '后就1,1,1a a a >=<讨论其符号后可得函数的单调区间.（Ⅲ）就0a ≤、01a <<、1a =、12a << 、2a ≥分类讨论后可得()f x 的最大值和最小值，从而得到关于a 的不等式组，其解即为所求的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，因为()3213x x x f x =-+所以()221x x f x =-+'，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =. 若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a . 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .（Ⅲ） 由题设，只要()()max min 23f x f x -≤即可. 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，(),()f x f x ' 变化情况如下表：由表可知(0)0(1)f f =>，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()'f x f x , 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,,，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <， 因()()2203f f -=，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤⎧⎨≥⎩，即3211262311026a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩ ，解得113a ≤<.当1a =时，由（Ⅱ）知()f x 在[]0,2为增函数， 此时()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，符合题意. 当12a <<时，同理只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤⎧⎨≥⎩，即3211226311062a a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ ，解得513a <≤.当2a ≥时，2()(1)32f f >=，()2()0(311)f f f =->，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查曲线的切线、函数的单调性以及不等式的恒成立，注意导数符号的讨论需按导数的零点是否存在、根存在的条件下根的大小关系来分类讨论，本题属于难题. 22.已知*2n n ∈N ，≥，给定n n ⨯个整点(,)x y ,其中1x y n x y ∈*N ≤,≤,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值；（Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512nm -≥. （i ）证明：存在互不相同的四个整点()()()()11112222x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足11y y '=,2212y y y y '=≠，； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点()()()()1112222,x y x y x y x y '',,,,,,，满足1122x x x x ''+=+,12y y ≠.【答案】（Ⅰ）234,,；（Ⅱ）（i ）详见解析；（ii ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）列出所有的整点后可得12x x +的所有可能值.（Ⅱ）对于（i ），可用反证法，对于（ii ），可设直线()*1,y i i n i =∈N ≤≤上选择了i a 个的点，计算可得诸直线上不同两点的横坐标和的不同个数的最小值为22n -，结合1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个可得至少有一个和出现两次，从而可证结论成立.【详解】解:（Ⅰ）当2n =时，4个整点分别为(11)(12)(21)(22),,,,,,,. 所以12x x +的所有可能值234,,.（Ⅱ）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,， 满足112212y y y y y y ''==≠,,. 即在直线()*1,y i i n i =∈N ≤≤中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-. 而52112n n -<-，与已知512m n -≥矛盾 故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. （ii ）设直线()*1,y i i n i =∈N ≤≤上有i a 个选定的点.若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标为12i a x x x ⋅⋅⋅，，，，且满足12i a x x x <<⋅⋅⋅<.由12132324341i i a a x x x x x x x x x x x x -+<+<+<+<+<⋅⋅⋅<+，知12,,,i a x x x ⋅⋅⋅中任意不同两项之和至少有23i a -个不同的值，这对于2i a <也成立. 由于1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个， 而()1232352323ni i a m n n n n =-=-≥-->-∑,可知存在四个不同的点11112222()()()()x y x y x y x y '',,,,,,,， 满足112212x x x x y y ''+=+≠,. 【点睛】本题考查集合中的计数问题，对于存在性问题，可从反面讨论或从不同和的个数切入，本题类似于组合数学的抽屉原理，本题竞赛味浓烈，属于难题.。