中科院数学系统院2016年夏令营试题 (2)
中科院2016年高等代数试题参考解答
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
= (dim V1 − dim (V1 ∩ V2 )) + (dim V2 − dim (V1 ∩ V2 )) .
Ax = 0 的一组解, 并求方程 .
解: 设 Mi , i = 1, 2, · · · , n 是在矩阵 A 中划去第 i 列所得到的 n − 1 阶子式. 构造一个行列式
ai1 a11 a21 ··· an−1,1 显然 Di = 0, i = 1, 2, · · · , n − 1. 将 Di 按第一行展开得 Di = ai1 M1 − ai2 M2 + · · · + (−1)n−1 ain Mn , i = 1, 2, · · · , n − 1, ( ) 从而 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解. 又矩阵 A 的 n − 1 阶子式不全为零且 rank ( A) < n, 故 rank ( A) = n − 1, 这时 Ax = 0 的解空 间的维数为 n − rank ( A) = 1. ( ) 由于 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解, 那么显然方程组 Ax = 0 的解全是 ( ) M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 的倍数. □ ai2 a12 a22 ··· an−1,2
中科院2016年高等代数试题参考解答
··· ··· ··· ···
−bn ( a1 +b1 )( a1 +bn ) b1 −bn ( a2 +b1 )( a2 +bn ) b1 −bn ( an +b1 )( an +bn )
···
.
1 an +b1
进行 2n − 1 次倍法变换可得 ∏ (b1 − bi )
n
| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由 A 的秩为 2 可知 β = 3. (2) 对于该二次型的矩阵
5 A = −1 3 而 λ−5 1 −3 1 λ−5 3
−1 3 5 −3 . −3 3
|λ E − A| =
故其特征值为 0, 4, 9.
−3 3 λ−3
= λ ( λ − 4) ( λ − 9) ,
对应于特征值 0 的特征向量为 对应于特征值 4 的特征向量为 对应于特征值 9 的特征向量为 分别将其单位化得到正交矩阵
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
中科院数学夏令营面试内容
中科院数学夏令营面试内容中国科学院的数学夏令营是一个优质的数学学习平台，它为中学生提供了一次难得的机会来深入学习高等数学知识。
面试是加入夏令营的必备环节，以下是本次夏令营的参加条件以及面试内容。
一、参加条件1、受邀者要求具有优秀的数学基础，体现在数学课本和考试中，考试成绩不低于90分；2、受邀者至少年满15周岁；3、受邀者有较强的学习能力，能够适应艰苦的学习环境；4、受邀者要热爱数学，愿意付出努力，有抱负，有创新能力。
二、面试内容1、数学的基本知识，包括代数、几何、数论、概率论等;2、抽象思维能力，要求受邀者能够把抽象的数学题目诠释成具体的问题，并尝试着解决；3、数学思维能力，要求受邀者具有较强的逻辑思维能力和解题能力，能够理解问题背后的逻辑，分析问题，构建有效的解题策略；4、批判性思维能力，受邀者应具备独立思考的能力，能够辩护自己的思路，能够和考官进行观点的交流与辩论。
三、面试方式中国科学院夏令营的面试方式以网络形式进行，每位受邀者需在规定时间段内完成一定程度的数学测试，以及一组面试题。
面试官会根据受邀者的测试及面试答案，进行综合评分，学生获取较高分数者将会被邀请参加夏令营。
参加中国科学院数学夏令营的机会对于中学生来说实属难得，为了让更多学生有机会参加夏令营，我们要求受邀学生坚持不懈地努力学习，打好扎实的基础，从而顺利通过面试。
中国科学院数学夏令营也会认真考量每位受邀学生的情况，给予他们更多机会，让更多学生有机会去参加。
通过本次夏令营，受邀学生不仅可以学到更先进的数学理论，还能够拓展自己的知识面，同时也能够锻炼自己的数学思维能力，提高自己逻辑思维能力和分析问题能力，以及抽象思维能力。
受邀者在夏令营学习期间，将会不断受到中国科学院数学专家的指导，系统地深入学习数学，拓展自己的知识面，不断提高自己的数学水平。
希望受邀者能够充分利用这次机会，坚持不懈学习，努力备考，把握住了机会，努力争取一次获得中国科学院数学夏令营的殊荣！。
中国科学技术大学考试试卷集(二)
三、证明Hausdorff-Young不等式：f 2 Lp; 1 Ä p Ä 2; p0为p的对偶指标，则kfOkp0 Ä kf kp.
四、考虑仿射群.R2C; / WD f.b; a/ W b 2 R; a > 0g赋予运算.b1; a1/ .b2; a2/ D .b1 C a1b2; a1a2/.
|
中科大2016 年复分析（H）期中试题
1、（24 分）计算下列积分。
（1）
∫ |dz|
|z|=2 z − 1
（2）
∫ dz
|z|=2 (z − 3)2(z4 − 1)
（3）
∫ +∞
ex 2
−∞ 1 + ex dx
2、（40 分）判断下列说法是否正确，说明理由。
（1）全纯函数一定有原函数；
（2）调和函数 log|z| 没有共轭调和函数；
2、（2 分）设 f (z) = z−1(1 − z)3(1 + z)−1，求 f (z) 在扩充的复平面上的所有支点，并求 f (z) 在 [0, 1] 上岸取正值的单值分支在点 z = i 的值。
3、（2 分）
叙述有界单连通区域的柯西定理，并对三角形区域给出详细证明。
4、（2 分）计算题
（1）计算留数
（4）设 f 为整函数且 Re(f ) < 0，则 f 为常数；
（5）设 f 为增长阶数有限的整函数，如果存在复数 a, b，使得对任意的 z ∈ C，都有 f (z) ̸= a，
f (z) ̸= b，则 f 为常数；
2、（20 分）计算下列积分。
（1）
∫ +∞ cosx −∞ a2 + x2 dx, where a > 0;
中海洋数学科学学院夏令营面试
中海洋数学科学学院夏令营面试1、已知点A（4，6），B（－4，0），C、（－1，－4），那么（）[单选题] *A、AB⊥ACB、AB⊥ACCAB⊥BC(正确答案)D、没有垂直关系2、在0°~360°范围中，与868°终边相同的角是（）[单选题] *148°(正确答案)508°-220°320°3、? 转化成角度为（）[单选题] *A. 150°B. 120°(正确答案)C. 270°D. 90°4、42、如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）[单选题] *A．5对(正确答案)B．6对C．7对D．8对5、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）6、从3点到6点，分针旋转了多少度？[单选题] *90°960°-1080°(正确答案)-90°7、39．若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的值为（）[单选题] *A．﹣7B．﹣5(正确答案)C．5D．78、10．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．[单选题] *A．（1，0）B（-1，0）(正确答案)C（-1，1）D（1，-1）9、18．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝4cm，BC＝2cm，那么AC两点之间的距离为（）[单选题] *A．2cmB．6cmC．2或6cm(正确答案)D．无法确定10、18．已知条件p:x≤1,条件q;1/x<1 ,则p 是非q成立的（）[单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件(正确答案)D．既非充分也非必要条件11、下列函数中奇函数是（）[单选题] *A、y=2sin x(正确答案)B、y=3sin xC、y=2D、y=12、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。
2016年中国科学技术大学入学考试试题
一、填空题
1、设函数的图象关于直线x=−1和直线x=2均对称，则f(0)的所有可能取值是_______．
2、方程有在区间(0,1)内的实数解，则a的取值范围是______．
3、设复数z满足|z|=2，i是虚数单位，则的最大值是_______．
4、设边长为1的正三角形可被边长为b的正方形覆盖，则b的最小值是______．
5、在四面体ABCD中，AD=BD=CD，AB=BC=CA=1．若二面角A−BC−D等于75∘，则二面角A−BD−C的余弦值是_______．
6、在平面直角坐标系中，△ABC是边长为1的正三角形．动点P满足
，则P的轨迹所围成的平面区域的面积是
______．
7、化简。
8、设随机变量X服从正态分布N(1,1)，若，则P(X<2)=_______．
二、解答题
9、设正数a,b,c满足ab+bc+ca=1，求的取值范围．
10、过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的弦AB,CD，证明：A,B,C,D四点共圆当且仅当|AB|=|CD|．
11、袋中共有3n个小球，红、绿、蓝各n个．现从袋中随机取球，每次取出3个小球不放回，直至某种颜色的小球被全部取出，求取球次数X的分布列．
12、设，正项数列{an}满足a1=1，．证明：
存在正整数n使得。
中科院2016年数学分析试题参考解答
(t) dt
≥
a+b 2
∫b
a
f
(t) dt.
证明: 由于
∫
b
tf
(t) dt
−
a
+
b
∫
b
f
(t) dt
=
∫
b
( t
−
a
+
) b
f
(t) dt
a
2a
a
2
∫
=
a+b 2
( t−
a + b ) f (t) dt + ∫
b
(
)
t − a + b f (t) dt
=
a
∫
a+b 2
( t
−
a
2 +
) b
f
(t)
S1
:
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1,
S2
:
x2 a2
+
y2 b2
=
z2 c2
(z
≥
0) .
一开始看到这题, 感觉不好算, 觉得时间紧迫, 果断搁置. 后面才回来解决的.
解:
当
z2 c2
≥
1−
z2 c2
,
即
z
≥
√ c/ 2
时,
我们有
∫∫∫
V1 =
∫ c ∫∫
dV = dz
0
∫c
dxdy = √c
又 f (x) 单调递增, 可知 f (t) − f (a + b − t) ≤ 0. 因此
∫b
2016年中国科学院大学中科院考研真题及资料
布丁考研网的中科大、中科院考研学长团队由数位中国科学技术大学、中国科学院大学的在读硕士、博士研究生组成，我们都亲身亲历过中科大、中科院考研，不仅备考复习经验丰富，手头上有大量的专业课复习资料，而且考入中科大、中科院后，收集到了很多科大、科院本身不对外公布的真题资料。
除了提供高参考价值的复习资料外，我们还提供免费的报考咨询服务，大家有任何考研方面的问题均可以咨询我们。
成立三年以来，帮助很多同学如愿考入向往已久的中科大、中科院。
我们收集整理了很多科目的精品资料，主要有612生物化学与分子生物学，852细胞生物学，619物理化学（甲），820有机化学，601高等数学（甲），811量子力学，621植物学，848植物生理学，817光学，859信号与系统，804半导体物理，851微生物学，843遥感概论，856电子线路，857自动控制理论，818化工原理，602高等数学（乙），603高等数学（丙），622动物学，825物理化学（乙），616数学分析，617普通物理(甲)，618普通化学(甲)， 620普通地质学，801高等代数，839地理信息系统……这些资料都可以在布丁考研网或科大科院考研网的官网上找到详细的资料清单，同时提供资料的内容预览、实物图，保证资料货真价实。
学长整理的资料中，除了官方原版的考研真题外，还提供了详细的答案解析，其中很多的答案是官方的阅卷答案，带有详细的得分点，对于备考过程中如何组织答案，如何抓住踩分点具有重要的指导意义；此外，我们还提供了一些重要的考研复习笔记，这些笔记是我们通过分析历年考研真题、最新考试大纲的基础上分析总结而来的，通过本考研笔记可以快速地抓住重点和考点。
最为重要的是，对于跨专业、二战、在职考研以及基础较差的学弟学妹们，我们还提供学长一对一VIP辅导，通过学长的定制化辅导，复习效率会大大提升，在有限的时间内最大可能的提升成绩，从而保证一次考研成功。
我们提供的资料非常全面，下面以中国科学院大学619物理化学（甲）的考研资料为例予以说明：2017年中科院《619物理化学甲》考研真题及复习资料1. 中科院《物理化学甲》历年考研真题（独家更新2016年回忆版及答案解析）1995-1999年中科院物理化学甲真题及答案（官方原版试卷及阅卷答案，电子档发邮箱）2000年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2001年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2002年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2003年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2004年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2005年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2006年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2007年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，含答案）2008年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，含答案）2009年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2010年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2011年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2012年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2013年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，官方阅卷答案，含详细答案解析）2014年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，官方阅卷答案，含详细答案解析）2015年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，官方答案，含详细答案解析）2016年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，回忆版，大题有详细解析）2. 中科院《物理化学甲》考研复习笔记（新增资料，店主推荐！）本笔记是由成功考入中科院的化学所的学长提供，每章均有重点知识点总结，并附有本章易出错的常考题型，并附有详细的解题过程。
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科目名称：数学
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中国科学院数学与系统科学研究院
2016 年大学生数学夏令营考试试卷
考生须知： 1. 本试卷满分为 100 分，全部考试时间总计 120 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ———————————————————————————————————————— 1. (10 分) 确定矩阵分别为 1 2 3 1 3 0 2 0 −1 , 3 1 1 的二次型在下列域上是否等价： 3 −1 3 0 1 5 (a) 实数域.(b) 有理数域? 2. (10 分) 设 W1 , W2 是 V 的子空间, 如果 W1 ∪ W2 = V . 证明： 或者 V = W1 , 或者 V = W2 . 3. (15 分) 设 V 是 n 维实向量空间, φ : V → V 是线性映射. χ φ (t) = (t − λ1 ) · · · (t − λn ), (λi ∈ C) 是 φ 的特征多项式. 试证明：或者 λi ∈ R(1 ≤ i ≤ n), 或者 V 有一个 2 维不变子空间 W ⊂ V , 使 φ|W 的特 征多项式不可约. 4. (15 分) 设 (V , <, >) 是 n 维欧氏空间, V ∗ 表示由所有线性函数 V → R 组成的对偶空间. 试证明: (1) 映射 V → V ∗ , v →< ·, v > 是线性同构. (2) 对任意线性映射 f : V → V . 验证映射 f ∗ : V ∗ → V ∗ . f ∗ (ℓ) = ℓ · f 是对偶空间的线性映射. (3) 对任意线性映射 φ : V → V , 存在唯一线性映射 φ∗ : V → V 满足:< φ( x ), y >=< x , φ ∗ ( y ) >, ∀ x , y ∈ V . 5. (10 分) 证明：当 x → 1− 时,
x →∞
k =0
∑
∞
φ ( 4k x ) . 4k
lim ( f ( x + a) − f ( x )) = 0.
证明：存在 g( x ) ∈ C [0, +∞) 和 h( x ) ∈ C1 [0, +∞), 使得: f ( x ) = g( x ) + h( x ), 且满足
x →∞
lim g( x ) = 0, lim h′ ( x ) = 0.
n =0
∑x
∞
n2
1 ∼ 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
π . 1−x
6. (10 分) 证明：圆的所有外切三角形中, 以正三角形的面积为最小. 7. (15 分) 设 φ( x ) 表示实数 x 与其最近整数间之差的绝对值. 令 f (x) = 证明： (1) (5 分). f ( x ) 在 (−∞, +∞) 上处处连续; (2) (10 分). f ( x ) 在 (−∞, +∞) 上处处不可微. 8. (15 分) 设 f ( x ) ∈ C [0, +∞), 且对任何非负实数 a, 有