1.2.2和差积商的导数
1.2.2导数公式及运算法则

2.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量
的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即 yx′= yu′·ux′,
并且在利用复数的求导法则求导数后,最后结果要把中间 变量换成自变量的函数.复合函数,可以是一个中间变量, 也可以是两个或多个中间变量,应该按照复合次序从外向 内逐层求导.
2.函数 y=21(ex+e-x)的导数是(
)
A.12(ex-e-x) B.21(ex+e-x)
C.ex-e-x D.ex+e-x 解析 y′=21ex+e-x′=12[(ex)′+(e-x)′]=
21(ex-e-x). 3.[2017·泉州高二检测]函数 f(x)=π2x2 的导数是( )
A.f′(x)=4πx B.f′(x)=2πx
C.f′(x)=2π2x D.f′(x)=2πx2+2π2x
解析 由 f(x)=π2x2 得 f′(x)=2π2x,故选 C.
loga
xf
' ( x)
x
1 ln
a
(a
0且aΒιβλιοθήκη 1)f (x) ln xf '(x) 1 x
导数可以进行四则运算吗?
探究新知 一.导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)
法则
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
语言法叙则述 两[个f(x函)g数(x的)]'=和f('或(x差)g()x的)+导f数(x),g'等(x)于
随堂达标自测
1.下列函数不是复合函数的是( )
A.y=-x3-1x+1 C.y=ln1x
高二数学苏教版2019选择性必修第一册教案:函数的和、差、积、商的导数

5.2.2 函数的和、差、积、商的导数教学目标:1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数;2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数;3.能够综合运用各种法则求函数的导数.教学重点:函数的和、差、积、商的求导法则的应用.教学难点:函数的和、差、积、商的求导法则的推导.教学过程:一、情景设置1.常见函数的导数公式:2.求下列函数的导数:23x y =; x y 2=; x y 2log =.3.由定义求导数的基本步骤.二、学生活动1.探究1:求x x y +=2的导数.2.探究2:已知)()(x g x f '',,怎样求[]')()(x g x f +呢?三、数学建构1.函数的和差积商的导数求导法则:)()(])()([x g x f x g x f '±''±=;)(])([x f C x Cf ''=(C 为常数);)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''+=;)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''-=(g (x )≠0).说明:有了函数的和、差、积、商的求导法则,我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数.四、数学运用例1 求下列函数的导数:(1)x x x f sin )(2+=; (2)2623)(23+--=x x x x g . 解:(1)x x x x x x x f cos 2)(sin )()sin ()(22+=+=+=''''.(2)633)2623()(223--=+--=x x x x x x g ''. 例2 求下列函数的导数:(1)x x x h sin )(=; (2)x e x x f 2)(=;(3)tt t S 1)(2+=; (4)x x f tan )(=. 解:(1)x x x x x x x x x x h cos sin )(sin sin )sin ()(+=+==''''.(2)x x x x x e x xe e x e x e x x f 22222)()()()(+=+==''''.(3)222222222112)1()1()1()(tt t t t t t t t t t t t S -=--=+-+=+=''''. (4)xx x x x x x x x f 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin (n ta )('''''-=== xx x x x x x x x 22222cos 1cos sin cos cos )sin (sin cos cos =+=--=. 五、小结函数的和差积商的导数求导法则:)()(])()([x g x f x g x f '±''±=;)(])([x f C x Cf ''=(C 为常数);)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''+=;)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''-=(g (x )≠0).。
1.2.2导数运算法则(优质课)

(sin u)'•(x )' cosu cos(x )
第20页,共23页。
例9.若可导函数f(x)是奇函数,求证:其导函数 f′(x)是偶函数. 因为y=f(x)是奇函数 所以f(x )= -f(-x)两边
同时对x求导可得
f′(x)=—[-f′(-x)] = f′(-x)
练习2、设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等 的实根,且f’(x)=2x+2.求y=f(x)的表达式。
有f‘(x)=2x+2 得 f(x)=x*x+2x+c 根据f(x)=0有相等的实根: x*x+2x+c=0 x=-2正负根号(4-4c)/2 由于x解为相等实根, 则4-4c=0 即:c=1 所以表达式为 y=x*x+2x+1
ln
2
+
1 x2
+ cosx.
第6页,共23页。
二、积的导数 两个函数的积的导数,等于第一
个函数的导数乘第二个函数,加上 第一函数乘第二个函数的导数,即
(uv) uv uv
例3:求y=(2x2+3)(3x-2)的导数。
第7页,共23页。
练习:(1)求y=x3sinx的导数. (2)求y=(x4-x2)(x+3)的导数。
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u) 1 2u 2
1 (1 x2 )
也在心中运算
.
这样可以直接2 )
(1 x2 )x
x . 1 x2
第19页,共23页。
例8.y sin( x )(其中,均为常数)
1.2.2 导数的运算法则(一)

1.2.2 导数的运算法则(一)知识要点1,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的 ,即()()'u x v x ±=⎡⎤⎣⎦2,两个函数的积的导数,等于 ,加上 ,即()()'u x v x ⋅=⎡⎤⎣⎦ 。
特别地,()'cu x =⎡⎤⎣⎦ (其中c 为常数)。
3,两个函数的商的导数,等于 减去 ,再除以 。
即知识点一,直接求导例1,求下列函数的导数(1)23cos y x x x =+ (2)1x y x=+ (3)tan y x = (4)lg x y x e =-变式训练1,求下列函数的导数(1)23y x =(2)5314353y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1x y x =+知识点二,先变形再求导例2,求下列函数的导数(1)y =(2)cos 2sin cos x y x x =+(3))22sin cos 22x x y =- 变式训练2,求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (2)44sin cos 44x x y =+知识点三,导数的综合应用例3,已知函数21nx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭过点11,9P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数在点P 处的切线方程。
变式训练3,某质点的运动规律是322s t t t =-+,求其最小速度m v水平基础题1.已知物体的运动方程是s =14t 4-4t 3+16t 2(t 表示时间,s 表示位移),则瞬时速度为0的时刻是( )A .0秒、2秒或4秒B .0秒、2秒或16秒C .2秒、8秒或16秒D .0秒、4秒或8秒2.(2010·新课标全国卷文,4)曲线y =x 3-2x +1在点(1,0)处的切线方程为( )A .y =x -1B .y =-x -1C .y =2x -2D .y =-2x -23.若函数f (x )=e x sin x ,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B .0C .钝角D .锐角4.设f (x )=x 3-3x 2-9x +1,则不等式f ′(x )<0的解集为________.5.求下列函数的导数:(1)y =x (x 2+1x +1x 3);(2)y =(x +1)(1x-1); (3)y =sin 4x 4+cos 4x 4;(4)y =1+x 1-x +1-x 1+x. 水平提升题6.曲线y =x sin x 在点⎝⎛⎭⎫-π2,π2处的切线与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B .π2C .2π2 D.12(2+π)2 7.设f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f 0′(x ),f 2(x )=f 1′(x ),…,f n +1(x )=f n ′(x ),n ∈N ,则f 2011(x )等于( )A .sin xB .-sin xC .cos xD .-cos x8.f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数,若f (x )、g (x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足( )A .f (x )=g (x )B .f (x )-g (x )为常数C .f (x )=g (x )=0D .f (x )+g (x )为常数9.曲线y =cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3,12处的切线的斜率为______.10.已知函数f (x )=ax +b e x 图象上在点P (-1,2)处的切线与直线y =-3x 平行,则函数f (x )的解析式是____________.11.已知两条曲线y =sin x 、y =cos x ,是否存有这两条曲线的一个公共点,使在这个点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.12.已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =-(x -2)2.直线l 与C 1、C 2都相切,求直线l 的方程. 提升拓展题13.求满足下列条件的函数f (x ):(1)f (x )是三次函数,且f (0)=3,f ′(0)=0,f ′(1)=-3,f ′(2)=0;(2)f ′(x )是一次函数,x 2f ′(x )-(2x -1)f (x )=1.14,求下列函数()f x 的导数(其中是可导函数)1(1)(2)y f y f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭知识要点1,和(或差) ()()''u x v x ±2,第一个函数的导数乘第二个函数 第一个函数乘第二个函数的导数()()()()''u x v x u x v x ⋅+⋅ ()'cu x3,分子的导数与分母的积 分母的导数与分子的积 分母的平方()()()()()()()()()2'''0f x g x f x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦典型例题例1,答案:(1)'6cos sin y x x x x =+-(2)()21'1y x =+(3)21'cos y x=(4)1'ln10x y e x =- 变式训练1,(1)'6y x =(2)42'43y x x =-+(3)()2'21sin cos y x x x x =-+(4)()2ln 1'1x x x y x x -+=+例2,答案:(1)21y x==- ()22'1y x =-(2)cos 2cos sin sin cos x y x x x x==-+ 'sin cos y x x =--(3))212sin cos 4sin 222x x y x x =-=--1'1cos 2y x x =-- 变式训练2,(1)232'3y x x =-(2)1'sin 4y x =-例3,答案:因为1921n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭,所以2n =,221x y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()32'21x y x =+,12'|27x y == 所以切线方程为22710x y -+=变式训练3,53m v = 作业练习1.[答案] D[解析] 显然瞬时速度v =s ′=t 3-12t 2+32t =t (t 2-12t +32),令v =0可得t =0,4,8.故选D.2.[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,在解题时应首先验证点是否在曲线上,然后通过求导得出切线的斜率,题目定位于简单题.由题可知,点(1,0)在曲线y =x 3-2x +1上,求导可得y ′=3x 2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k =1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y =x 3-2x +1的切线方程为y =x -1,故选A.3.[答案] C[解析] y ′|x =4=(e x sin x +e x cos x )|x =4=e 4(sin4+cos4)=2e 4sin(4+π4)<0,故倾斜角为钝角,选C.4.[答案] (-1,3)[解析] f ′(x )=3x 2-6x -9,由f ′(x )<0得3x 2-6x -9<0,∴x 2-2x -3<0,∴-1<x <3.5.[解析] (1)∵y =x ⎝⎛⎭⎫x 2+1x +1x 3=x 3+1+1x2, ∴y ′=3x 2-2x3;(3)∵y =sin 4x 4+cos 4x 4=⎝⎛⎭⎫sin 2x 4+cos 2x 42-2sin 2x 4cos 2x 4=1-12sin 2x 2=1-12·1-cos x 2=34+14cos x ,∴y ′=-14sin x ; (4)∵y =1+x 1-x +1-x 1+x=(1+x )21-x +(1-x )21-x =2+2x 1-x =41-x-2, ∴y ′=⎝⎛⎭⎫41-x -2′=-4(1-x )′(1-x )2=4(1-x )2.6.[答案] A[解析] 曲线y =x sin x 在点⎝⎛⎭⎫-π2,π2处的切线方程为y =-x ,所围成的三角形的面积为π22. 7.[答案] D[解析] f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f 0′(x )=(sin x )′=cos x ,f 2(x )=f 1′(x )=(cos x )′=-sin x ,f 3(x )=f 2′(x )=(-sin x )′=-cos x ,f 4(x )=f 3′(x )=(-cos x )′=sin x ,∴4为最小正周期,∴f 2011(x )=f 3(x )=-cos x .故选D.8.[答案] B[解析] 令F (x )=f (x )-g (x ),则F ′(x )=f ′(x )-g ′(x )=0,∴F (x )为常数.9.[答案] -32[解析] ∵y ′=(cos x )′=-sin x ,∴切线斜率k =y ′|x =π3=-sin π3=-32. 10.[答案] f (x )=-52x -12e x +1 [解析] 由题意可知,f ′(x )|x =-1=-3,∴a +b e -1=-3,又f (-1)=2,∴-a +b e -1=2,解之得a =-52,b =-12e , 故f (x )=-52x -12e x +1. 11.[解析] 因为y =sin x 、y =cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0), ∴两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直,必须cos x 0·(-sin x 0)=-1,即sin x 0·cos x 0=1,也就是sin2x 0=2,这是不可能的,∴两条曲线不存有公共点,使在这个点处的两条切线互相垂直.12.[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1,x 21),与C 2相切于点Q (x 2,-(x 2-2)2).对于C 1:y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y -x 21=2x 1(x -x 1),即y =2x 1x -x 21.①对于C 2:y ′=-2(x -2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2-2)2=-2(x 2-2)(x -x 2), 即y =-2(x 2-2)x +x 22-4.② ∵两切线重合,∴2x 1=-2(x 2-2)且-x 21=x 22-4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0.∴直线l 的方程为y =0或y =4x -4.13.则f ′(x )=3ax 2+2bx +c由f (0)=3,可知d =3,由f ′(0)=0可知c =0,由f ′(1)=-3,f ′(2)=0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)=3a +2b =-3f ′(2)=12a +4b =0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =-3, 所以f (x )=x 3-3x 2+3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数,则可设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)f ′(x )=2ax +b ,把f (x )和f ′(x )代入方程,得x 2(2ax +b )-(2x -1)(ax 2+bx +c )=1整理得(a -b )x 2+(b -2c )x +c =1若想对任意x 方程都成立,则需⎩⎪⎨⎪⎧ a -b =0b -2c =0c =1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2b =2c =1, 所以f (x )=2x 2+2x +1.14,()()()2112222211111(1)'''''(2)''''11'11''1222'y f f f x x x x x y f f f x x f x x f --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==•=-• ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤==•⎢⎥⎣⎦=•++=•+•=解:。
高中数学同步教学课件 函数的和差积商求导法则

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)=14x2+sinπ2+x=14x2+cos x, ∴f′(x)=12x-sin x. 易知 f′(x)=12x-sin x 是奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B,D. 由 f′π6=1π2-12<0,排除 C,故选 A.
A项中,(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′,故正确;
B项中,(sin x-2x2)′=(sin x)′-2(x2)′,故错误;
C
项中,sixn2
x′=sin
x′x2-sin x22
xx2′ ,故错误;
D项中,(cos xsin x)′=(cos x)′sin x+cos x·(sin x)′,故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)=3ax2+6x, ∴f′(-1)=3a-6=4, ∴a=130.
1234
2.设函数y=-2exsin x,则y′等于
A.-2excos x
B.-2exsin x
推广式:(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ =f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点:
对
于
(logax)′
=
1 xln
a
,
我
们可
以
先
换
底
再
求
导:
(logax)′
=
ln ln
ax ′
=
1 ln a·(ln
x)′=xln1
导数基本公式与运算法则

y'
.
设 y 1 2x5x2 3x 1 求 y '
例2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ已知
f
x
x 2 x 2 ,求
x3
f ' 1
.
练习 求 y tan x 的导数。
tan x' 1 sec2 x
cos2 x
cot x'
s
1 in 2
x
csc2
x.
2、复合函数的导数
定理 设函数 u x 在点x 数 y f u在点u 处有导数
处有导数 du ' x ,函
dy
f
dx
' u ,则复合函数
du
y f x在该点 x 也有导数,且
dy f ' u ' x
dx
或
y
' x
yu'
u'
或 dy dy du
dx du dx
这个定理说明,复合函数的导数等于复合函数对中 间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
例题 求下列函数的导数: (1) y sin 3 x (2) y 4 3x2
练习:求 y ln cosx 的导数。
由定理的结论可以推广到多次复合的情况。例如
设 y f u,u v,v x ,则复合函数 y f x
2.2导数基本公式与运算法则
1、导数的四则运算法则
1.1、代数和的导数
设函数ux和vx 在点x处可导,则 y ux vx 在点x
处也可导,且
u v' u ' v '
微积分ab公式

微积分ab公式全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:微积分是数学中非常重要的一个分支,它主要研究函数的极限、连续性、微分和积分等概念。
在微积分的学习过程中,经常会遇到各种各样的公式,其中最为经典的莫过于微积分AB公式。
AB公式是微积分中常用的一组基本公式,它包括导数和积分的基本公式,掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解微积分知识,提高解题效率。
接下来,本文将为大家介绍微积分AB公式。
一、微积分AB公式之导数基本公式1.1 常数导数法则若f(x)=C,则f'(x)=0,其中C为常数。
1.2 变量幂函数导数法则若f(x)=x^n,则f'(x)=nx^(n-1),其中n为常数。
1.3 和差法则若f(x)=u(x)+v(x),则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
1.4 积法则若f(x)=u(x)v(x),则f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
1.5 商法则若f(x)=u(x)/v(x),则f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2。
1.6 复合函数法则若f(x)=g(u(x)),则f'(x)=g'(u(x))u'(x)。
以上便是部分导数基本公式,它们在微积分的学习中起着至关重要的作用。
掌握这些基本公式可以帮助我们求解各种函数的导数,进一步推导出更加复杂的微积分问题。
二、微积分AB公式之积分基本公式2.1 不定积分基本公式∫kdx=kx+C∫x^n dx=1/(n+1)x^(n+1)+C,其中n不等于-1∫1/x dx=ln|x|+C∫e^x dx=e^x+C∫a^x dx=(1/ln(a))a^x+C其中k、a为常数,C为常数。
2.2 定积分基本公式∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)为f(x)的原函数。
积分基本公式是微积分中另一个重要的内容,它主要用于求函数在某一区间上的面积、弧长等问题。
第二章 导数与微分 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则

证明略证明略二例题分析的导数tan的导数cossincossincoscossincosseccossec的导数tanseccossincotcsc内容小结1和差积商的求导法则2重要结论cotcsctansec
函数的和、 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
一、和、差பைடு நூலகம்积、商的求导法则
定理2.1 如 函 u(x), v(x)在 x处 导 则 定理 果 数 点 可 , 它
u u′v − uv′ (3) ( )′ = . 2 v v
证明(略)
二、例题分析
求y = x 4 − cos x + 3 x + ln 5的导数 例1:
解:
y′ = ( x 4 )′ − (cos x)′ + (3 x )′ + (ln 5)′
= 4 x + sin x + 3 ln 3
3 x
例2: 求 y = 2 x sin x 的导数 . 解:
即 (tan x)′ = sec2 x.
同理可得
(cot x)′ = − csc2 x.
例4:求 y = sec x 的导数 . 解
1 y ′ = (sec x )′ = ( )′ cos x − (cos x )′ sin x = sec x tan x . = = 2 2 cos x cos x
(1) (u ± v)′ = u′ ± v′
证明(略) 此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2)
(uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f (x + h) − f (x) = lim f ′(x) = lim h→0 h→0 h h
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1.2.2和差积商的导数
常见函数的导数公式:
0'=C ;()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ; ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且
()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a
==>≠且 x x cos )'(sin =; x x sin )'(cos -=
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 '')'(v u v u ±=± 法则2常数与函数的积的导数,等于常数与函数的积的导数.()''Cu Cu =
法则3两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即 '')'(uv v u uv +=
法则4 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
例1 求下列函数的导数
1.y =x
3+sin x 的导数. 2。
求2(23)(32)y x x =+-的导数.(两种方法)
3.y =5x 10
sin x -2x cos x -9,求y ′ 4。
求y =x x sin 2
的导数.
5.求y =tan x 的导数.
变式:
(1)求y =
332++x x 在点x =3处的导数.
(2) 求y =x
1·cos x 的导数. 解法一: 解法二:
3、求y =x
x x cos 423
-的导数.
例2.求满足下列条件的函数()f x
(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=
(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=
例3.已知曲线C :y =3 x 4-2 x 3-9 x 2+4
(1)求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程;
(2)第(1)小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点?
变式:已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2),且在点M 处(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数的解析式
四、课堂练习:
1.求下列函数的导数:(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =tan x (4)y =x
cos 11-
五、小结 :由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v
u )′=2v
v u v u '-'(v ≠0),如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则,来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住。