第二章第五节线性方程组的一般理论2(新)
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线性方程组的一般理论
3.2线性方程组的一般理论
回顾：线性方程组 AX b
A aij
mn
,
X x1 , x2 ,
, xn , b b1 , b2 ,
T
, bm
T
当b
0, AX b 称为非齐次线性方程组
当b
0, AX 0 称为齐次线性方程组
通常称线性方程组有解为相容，无解为不相容
1 1 3 2 1 0 1 2 1 0 1 1 A 4 6 2 4 3 7 1 2 2 4 7 4
化简
1 0 0 0
0 1 1 3 2 2 2 1 2 3 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0
记
B
rA rA 3 5, 故方程有无数解。
化简 B ，使它1，2，4列的三阶子阵为单位阵：
R1 +R3
R2 -R3
B
1 0 0 0
0 1 2 2 0 0 0 0
0 6 4 0 5 5 1/ 2 R2 1 3 2 0 0 0
1 0 0 0
这一节将考虑线性方程组相容的充要条件，以及当 相容时方程组有唯一解还是无数解。
一.非齐次线性方程组解的研究
定理3.1 n元线性方程组相容的充分必要条件是
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。
证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设 rA rA 则 A 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１，
解 将系数矩阵进行初等行变换
1 3 3 2 1 1 3 3 0 0 A 2 6 9 5 3 行变换 0 0 3 1 0 1 3 3 0 2 0 0 0 0 1 将 x2 , x3 作为自由自变量，得通解：
回顾：线性方程组 AX b
A aij
mn
,
X x1 , x2 ,
, xn , b b1 , b2 ,
T
, bm
T
当b
0, AX b 称为非齐次线性方程组
当b
0, AX 0 称为齐次线性方程组
通常称线性方程组有解为相容，无解为不相容
1 1 3 2 1 0 1 2 1 0 1 1 A 4 6 2 4 3 7 1 2 2 4 7 4
化简
1 0 0 0
0 1 1 3 2 2 2 1 2 3 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0
记
B
rA rA 3 5, 故方程有无数解。
化简 B ，使它1，2，4列的三阶子阵为单位阵：
R1 +R3
R2 -R3
B
1 0 0 0
0 1 2 2 0 0 0 0
0 6 4 0 5 5 1/ 2 R2 1 3 2 0 0 0
1 0 0 0
这一节将考虑线性方程组相容的充要条件，以及当 相容时方程组有唯一解还是无数解。
一.非齐次线性方程组解的研究
定理3.1 n元线性方程组相容的充分必要条件是
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。
证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设 rA rA 则 A 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１，
解 将系数矩阵进行初等行变换
1 3 3 2 1 1 3 3 0 0 A 2 6 9 5 3 行变换 0 0 3 1 0 1 3 3 0 2 0 0 0 0 1 将 x2 , x3 作为自由自变量，得通解：
第5节 线性方程组解的一般理论
k1 k 2 0 k1 k2 k1 k 2 0
代入(Ⅰ)得
所以(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共非零解为
k(1,1,1,1) ( k为k 0 的任意常数).
18
例5 设 A 是 m n 矩阵，B 是 n t 矩阵，且 AB O ， 证明 r ( A ) r ( B ) n . 证 将矩阵B按列分块，设 B ( 1 , 2 , , t )
1 3 1 2
1 1 1 1 1 0 0 3 3 5 2 0
2 0 0 0
1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 5 2
1 0 0 0
2 0 0 0
1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0
第五节
1
一、线性方程组有解的判定定理
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 线性方程组 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm . a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 系数矩阵 A , a a m 2 a mn m1 a11 a12 a1n b1 a 21 a22 a 2 n b2 增广矩阵 A ( A, b) , a am 2 amn bm m1
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 2 6 0 1 2 2 6 3 1
代入(Ⅰ)得
所以(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共非零解为
k(1,1,1,1) ( k为k 0 的任意常数).
18
例5 设 A 是 m n 矩阵，B 是 n t 矩阵，且 AB O ， 证明 r ( A ) r ( B ) n . 证 将矩阵B按列分块，设 B ( 1 , 2 , , t )
1 3 1 2
1 1 1 1 1 0 0 3 3 5 2 0
2 0 0 0
1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 5 2
1 0 0 0
2 0 0 0
1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0
第五节
1
一、线性方程组有解的判定定理
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 线性方程组 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm . a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 系数矩阵 A , a a m 2 a mn m1 a11 a12 a1n b1 a 21 a22 a 2 n b2 增广矩阵 A ( A, b) , a am 2 amn bm m1
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 2 6 0 1 2 2 6 3 1
线性代数 2_5线性方程组解的一般理论
若Aγ = O 则γ 是AX = O 的解 . 1、 齐次线性方程组解的性质 、 是齐次线性方程组(2)的解 的解， 性质 若η1与η2是齐次线性方程组 的解，则 cη1与 η1 +η2都是方程组 的解 c为任意常数 是方程组(2)的解 为任意常数 的解, 为任意常数.
8
是齐次线性方程组(2)的解 的解， 推广 若η1,η2, …,ηt是齐次线性方程组 的解，则 c1η1 + c2η2+ … +ctηt 是方程组 的解， 是方程组(2)的解 的解， ci为任意常数。 为任意常数。 2、 齐次线性方程组解的结构 、 定义－－基础解系 齐次线性方程组(2)的解 定义－－基础解系 ：齐次线性方程组 的解 向 －－ 量组的一个极大无关组，称为齐次线性方程组(2)的 量组的一个极大无关组，称为齐次线性方程组 的 一个基础解系。 只有齐次线性方程组才有基础解系 只有齐次线性方程组才有基础解系) 一个基础解系。(只有齐次线性方程组才有基础解系 【注】基础解系中的向量应满足三点： 基础解系中的向量应满足三点： 的解； ①是齐次线性方程组(2)的解； 是齐次线性方程组 的解 ②线性无关； 线性无关； 的任一解。 ③可线性表示齐次线性方程组(2)的任一解。 可线性表示齐次线性方程组 的任一解
6
例1 线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 n x n = b1 a x + a x + ⋅⋅⋅ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ a n + 11 x1 + a n + 12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n + 1 x n = bn + 1
2.6线性方程组解的一般理论
x4
0
,
1
,
0
x5 0 0 1
2 2 6
1
1
5
1
1
,2
0
,3
0
0
1
0
0
0
1
一般解 c11 c22 c33
(c1, c2, c3为任意常数.)
8
三、非齐次线性方程组解的结构
x11 x22 xnn (I) 0 (II)
第二章 线性方程组 §2.6 线性方程组解的一般理论
一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构
1
一、线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 xnn (I) 有解
r( A) r( A) 推论1 线性方程组(I)无解 r(A) r( A) 推论2 线性方程组(I)有唯一解 r(A) r(A) n 推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r(A) r(A) n
方程组的三个解向量 1,2 ,3满足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求 非 齐 次 线 性 方 程 组 一 的 般 解.
19
解 A是m 3矩阵, r(A) 1,
导出组的基础解系中有 含3 1 2个线性无关的解向量.
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
其中k1 , k 2为任意实数.
21
A
2 1
3 0
1 2
1 2
3 6
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
5 0
0
0
4
5
3
线性方程组解的一般理论
xr krr1xr1 krr2 xr2 krn xn 0
x1 k1r1 xr1 k1r2 xr2 k1n xn
即
x2
xr
k2r1 xr1 k2r2 xr2
krr1 xr1 krr2 xr2
k2n xn krn xn
xr1 , xr2 xn为自由未知量
n-r个
结论1：线性方程组 x11 x22 xnn 有解的
充要条件是: 可由1 , 2
,
,
线性表示
n
结论2：可由1, 2 , , n线性表示的充要条
件是 1,2 , ,n ≌ 1, 2 , , n ,
结论3： 1, 2 , , n ≌ 1, 2 , , n ,
的充要条件 rA r( A)
线性方程组解的判定定理： 线性方程组有解的充要条件是：
x1 x2 x3 x4 x5 0 x1 x2 2x3 x4 x5 0
x1 x2 2x3 3x4 5x5 0
解：A
1 1
1 1
A
3 1 2 0 行变换 3 0 3 0 3 0 3 0
A 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0
3 0 3 3
3 0 3 3 0 0 0 3
r(A) 2, r( A) 3 ，方程组无解
（3）当k=1时，
4 1 2 1 行变换 0 1 2 3 0 1 2 3
A 1 0 1 1
(k
3)x1 kx1 (k
x2 1) x2
2x3 k x3 k
3(k 1)x1 kx2 (k 3)x3 3
k3 1 2
解：由于 A k k 1 1 k 2 (k 1)
3(k 1) k k 3
（1）当k≠0且k ≠1时， A 0
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
大学课程-第二章-线性方程组
a22
,
am1
am2
a1n
，
n
a2n
,
amn
则 Ax b
1,2,
x1
,
n
x2
b，
xn
1x1 2x2 nxn b
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0.
解 利用初等行变换, 求系数矩阵的秩.
1 0 2
1 0 2
A
2
3
1 1
1 0
r3 3r1
r2 2r1
0
0
1 1
5 6
1 0 2
r3 r2
0
1
5
0 0 1
返回 上页 下页 结束
线性方程组Ax = b的向量表示:
x11 x22 xnn b
返回 上页 下页 结束
二. 消元法
2x1 x2 3x3 1
引例. 解方程组 4x1 2x2 5x3 4
解:
2x1 2x1 x2 3x3 1
2 x3
6
x1
4x1 2x2 5x3 4
2x1 x1
3x2 7 x2
5x3 4x3
x4 3x4
0, 0,
4x1 15x2 7x3 9x4 0.
解 利用初等行变换, 求系数矩阵的秩.
返回 上页 下页 结束
3 5 1 2
1 7 4 3
《线性代数》学习指南
学习指南《线性代数》是理工科及经济管理各学科专业的一门重要数学基础课程。
它的课程目标是通过各个教学环节，充分利用数学软件工具，运用各种教学手段和方法，系统地向学生阐述矩阵、向量、线性方程组的基本理论与基本方法，使学生掌握线性代数的基本概念、基本原理与基本计算方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题与解决问题的能力、运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学习后继课程的学习，从事工程技术、经济管理工作，科学研究以及开拓新技术领域打下坚实的基础 。
第一章 矩阵矩阵是研究线性方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究对象之一。
矩阵作为一种抽象数学结构的具体表现，其理论与方法在自然科学、工程技术、经济管理、社会领域都具有广泛的应用。
本章从实际问题出发，引出矩阵的概念，讨论矩阵的运算及其性质，逆矩阵及其求法，矩阵的分块，矩阵的初等变换与初等矩阵的概念与性质。
重点是矩阵的运算，特别是矩阵的乘法运算，逆矩阵及其性质，初等变换、初等矩阵的概念与性质，用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形，用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。
1. 矩阵是初学线性代数认识的第一个概念。
矩阵不仅是线性代数主要讨论的对象之一，而且是非常重要的数学工具,它的理论和方法贯穿于本课程始终。
本章的重点之一是矩阵的各种运算，其中又以矩阵的乘法最为重要，它也是难点之一。
两个矩阵的乘积是有条件的，不是任何两个矩阵都能相乘的。
AB 有意义，必须是A 的列数等于B 的行数，而积矩阵AB 的行数等于A 的行数，列数等于B 的列数。
积矩阵AB 的第i 行第j 列元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和。
读者务必掌握矩阵乘法的实质。
矩阵的乘法与数的乘法不同。
尤其要注意以下三点：（1）矩阵乘法不满足交换律。
当乘积AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使BA 有意义，也不一定有AB BA =。
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x1 + x2 2x3 + 3x4 = 0 2x + x 6x + 4x = 1 x 2 3 4 3x1 + 2x2 8x3 + 7x4 = 1 x1 x2 6x3 x4 = 2
�
线性方程组解的一般理论(2) §2.5 线性方程组解的一般理论
一,线性方程组解的存在判定定理 二,齐次线性方程组解的结构 三,非齐次线性方程组解的结构
线性方程组解的一般理论(2) §2.5线性方程组解的一般理论 线性方程组解的一般理论
一,线性方程组解的存在判定定理
线性方程组有解的充要条件是: 线性方程组有解的充要条件是
x1 + 3x2 + 3x3 2x4 + x5 = 3, 2x + 6x + x 3x = 2, 1 2 3 4 x1 + 3x2 2x3 x4 x5 = 1, 3x1 + 9x2 + 4x3 5x4 + x5 = 5
的全部解(用其导出组的基础解 的全部解 用其导出组的基础解 系表示). 系表示
(1)
它有唯一解的充分必要条件是其导出组 仅有零解; 仅有零解; 有无穷多解的充分必要条件是其导出组 也有无穷多解. 也有无穷多解.
小 结:
1). 线性方程组解的存在判定定理 线性方程组解的存在判定定理: 线性方程组有解的充要条件: 线性方程组有解的充要条件
r( A) = r( A)
2). 齐次线性方程组解的结构. 齐次线性方程组解的结构. 3). 非齐次线性方程组解的结构. 非齐次线性方程组解的结构.
(1)有解时 由定理2.19可知 当方程组(1)有解时, 可知, 当方程组(1)有解时, 由定理 可知
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , a x + a x + + a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm
和它的导出组 思考: 设非齐次线性方程组(1)和它的导出组(2): 思考 设非齐次线性方程组(1)和它的导出组 :
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , a x + a x + + a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 (1) am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0, a x + a x + + a x = 0, 21 1 22 2 2n n (2) am1 x1 + am2 x2 ++ amn xn = 0
系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩 即
r( A) = r( A)
二,齐次线性方程组解的结构
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0, a x + a x + + a x = 0, 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = 0
判断: 判断: 1. 当 (1) 有唯一解时, (2) 必有唯一解 √ 有唯一解时, 必有唯一解; 有无穷多解时, 必有无穷多解. 当 (1) 有无穷多解时, (2) 必有无穷多解 √ 2. 当 (2) 有唯一零解时 (1) 必有唯一解; × 有唯一零解时, 必有唯一解; 有无穷多解时, 必有无穷多解. 当 (2) 有无穷多解时 (1) 必有无穷多解.
注 意
作业: 作业 88页 28题 (1); 页 题
29题 (3) 题
例4. 求方程组的全部解
(用其导出组的基础解系表示 用其导出组的基础解系表示) 用其导出组的基础; x3 + x4 + x5 = 1 3x + 2x + x + x 3x = 5 1 2 3 4 5 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 2 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 x5 = 7
(1). 如果 r(A)<
, (2). 当方程组有无穷多解时 , 设 η ,η2 , ηs 1 为其一个基础解系 , 则
n , 则方程组必有无穷多解 ;
η = c1η1 + c2η2 ++ csηs
为该方程组的全部解 为该方程组的全部解 .
三,非齐次线性方程组解的结构
(1)
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0, a x + a x + + a x = 0, 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am2 x2 + + am xn = 0 n
一基础解系: 一基础解系:
1 2 η1 = 1 0 0
5 1 6 2 η2 = 0 η3 = 0 0 1 1 0
3 2 = 0 0 0
一特解
γ0
例5. 求方程组的全部解
(用其导出组的基础解系表示 用其导出组的基础解系表示) 用其导出组的基础解系表示
(2)称为方程组 的导出组 称为方程组(1) 的导出组. 称为方程组
(2)
由此可得
求非齐次线性方程组全部解的 一般步骤: 一般步骤 1). 求非齐次线性方程组的一个特 解 γ0 ; 2). 求其导出组的全部解 η ; 3). 则 γ 0 +η 即为非齐次线性方 程组的全部解 .
例3. 求非齐次线性方程组