2014高考文科数学总复习课时作业27

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高考数学一轮复习 27课时作业

高考数学一轮复习 27课时作业一、选择题1．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43答案 C解析 ∵log 40.3<0,0<0.43<1,30.4>1，∴选C.2．(2010·浙江卷)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 3．(2011·厦门一模)log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2 答案 C解析 log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2sin π12cos π12＝log 212sin π6＝log 214＝－2，故选C.4．(09·全国Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c ，故a ＞b ＞c ，选A.5．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1答案 B解析 0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1 6．0＜a ＜1，不等式1log a x＞1的解是( )A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1 7．下列四个数中最大的是( ) A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2答案 D解析 0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0， ln 2＝12ln2<ln2.8．(2011·江南十校联考)已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，给出五个关系式：①a >b >1，②0<b <a <1，③b >a >1，④0<a <b <1，⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析当a ＝b ＝1时，显然满足题意．故⑤a ＝b 有可能成立；当a ≠1且b ≠1时，根据log 12a ＝log 13b 得lg a lg 12＝lg b lg 13，因此lg a ＝lg 12lg 13lg b ＝(log 1312)lg b .因为log 1312<log 1313＝1，所以0<lg a <lg b ，或lg b <lg a <0，故③b >a >1和②0<b <a <1有可能成立．二、填空题9．若x log 32＝1，则4x＋4－x＝________. 答案829解析由已知得x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x＝22log 23＋2－2log 23＝9＋19＝829. 10．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12∴实数a 的取值范围是(12，1)11．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m，则m ＝__________.(lg2≈0.3010)答案 155 解析由10m －1＜2512＜10m得m －1＜512lg2＜m ∴m －1＜154.12＜m∴m ＝15512．(09·辽宁)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________.答案124解析由于1<log 23<2，则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝(12)3·(12)log 23＝18·2－log 23＝18·2log 213＝18·13＝124. 13．(09·山东)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24－x ，x ≤0f x －1－f x －2，x >0，则f (3)的值为________．答案－2解析由题知，f (3)＝f (2)－f (1)，f (2)＝f (1)－f (0)，则f (3)＝－f (0)＝－2. 三、解答题14．(2010·辽宁卷改编)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，求m 的值．答案 10解析 a ＝log 2 m ，b ＝log 5 m ，代入已知，得log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，所以m ＝10.15．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)的值．(2)若x ∈[－a ，a ](其中a ∈(0,1))，试判断函数f (x )是否存在最大值或最小值？答案 (1)0(2)有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a1－a解析 (1)由1－x1＋x >0得函数的定义域是(－1,1)，又f (－x )＋f (x )＝log 21＋x 1－x ＋log 21－x1＋x＝log 21＝0，∴f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )是奇函数， ∴f (－12007)＋f (12007)＝0， f (－12008)＋f (12008)＝0， ∴f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)＝0. (2)f (x )＝－x ＋log 2(1－x )－log 2(1＋x )， ∴f ′(x )＝－1＋－11－x ln2－11＋x ln2<0，有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a1－a.评析本题可以运用单调函数的定义域来证明函数单调递减，但相对来说，在许多情况下应用导数证明函数的单调性比运用定义证明函数的单调性，运算量小得多．16．设f (x )＝log 121－axx －1为奇函数，a 为常数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在区间(1，＋∞)内单调递增；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f (x )>(12)x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即log 121＋ax －1－x ＝－log 121－ax x －1，即log 121＋ax －x －1＝log 12x －11－ax ，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ，化简整理得(a 2－1)x 2＝0，∴a 2－1＝0，a ＝±1，经检验a ＝－1，f (x )是奇函数，∴a ＝－1. (2)证明由(1)得f (x )＝log 12x ＋1x －1，设1<x 1<x 2，则x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1>0， ∴x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1>0，从而log 12x 1＋1x 1－1<log 12x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(1，＋∞)内单调递增．(3)原不等式可化为f (x )－(12)x>m ，令φ(x )＝f (x )－(12)x，则φ(x )>m 对于区间[3,4]上的每一个x 都成立等价于φ(x )在[3,4]上的最小值大于m .∵φ(x )在[3,4]上为增函数， ∴当x ＝3时，φ(x )取得最小值， log 123＋13－1－(12)3＝－98，∴m <－98.。

2024-2025学年高一上数学课时作业27：幂函数

2024-2025学年高一上数学课时作业27幂函数基础强化1.下列函数是幂函数的是()A．y＝x2－1B．y＝0.3xC．y＝2x D．y＝x0.32．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(8，22)，则f(27)＝()A．3B．33C．9D．933．下列函数中图象如图所示的函数是()A．y＝x－1B．y＝x323C．y＝x13D．y＝x－234．若点P(4，2)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的图象大致是()5．(多选)如果幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则实数m的取值为()A．0B．2C．1D．无解6．(多选)若函数f(x)＝(m－2)x m是幂函数，则f(x)一定()A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈(－∞，0)上单调递减D．在x∈(－∞，0)上单调递增7．已知幂函数f(x)＝xα过点(2，8)，若f(x0)＝－8，则x0＝________．8．已知α2，－1，－12，12，1，2，，若幂函数y ＝x α的图象关于原点成中心对称，且在(0，＋∞)上为减函数，则α＝________．9．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－(19)78；(3)(－23)－23和(－π6)－23.10．已知函数f (x )＝(m 2＋m －1)xm 2－2m －1，问当m 取什么值时，函数f (x )是(1)正比例函数；(2)幂函数且在(0，＋∞)上为增函数．能力提升11.已知幂函数y ＝f (x )过点(2，2)，则f (x ＋1)<2的解集为()A ．[－1，4)B ．[－1，1)C ．[－1，3)D ．(－∞，3)12．若(2m ＋1)16>(m 2－m －3)16，则实数m 的取值范围是()A ．(－1－132，－12]B ．[－12，4)C ．(－1，4)D ．[1＋132，4)13．已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 3－1，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，a ＋1＋b <0，则f (1＋a )＋f (b )的值()A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断14．(多选)已知幂函数f (x )的图象经过点(2，12)，则()A ．函数f (x )为奇函数B ．函数f (x )在定义域上为减函数C．函数f(x)的值域为RD．当x2>x1>0时，f（x1）＋f（x2）2>f(x1＋x22)15.已知幂函数f(x)的图象过点(2，22)，且f(2b－1)<f(2－b)，则b的取值范围是________．16．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)x m＋1在(0，＋∞)上是减函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若(5－a)1m>(2a－1)1m，求a的取值范围．答案解析1．解析：因为函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数，对于A ，y ＝x 2－1是二次函数；对于B ，y ＝0.3x 是一次函数；对于C ，y ＝2x ＝2x 12，由x 12前的系数不为1，故y ＝2x 不是幂函数；对于D ，y ＝x 0.3满足幂函数的概念，故y ＝x 0.3是幂函数．故选D.答案：D2．解析：设幂函数f (x )＝x α的图象经过点(8，22)，则8α＝22，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，∴f (27)＝2712＝33.故选B.答案：B3．解析：由图象可知函数为奇函数，对于y ＝x 32＝x 3定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，故选项B 排除；对于y ＝x －23＝13x 2定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，为偶函数，故排除D ；对于选项C ，y ＝x 13＝3x ，定义域为R ，故排除C ；对于选项A ，y ＝x －13＝13x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，为奇函数，故A 符合．故选A.答案：A4．解析：设幂函数f (x )＝x a ，将点P (4，2)代入，得4a ＝2，解得a ＝12，所以f (x )＝x 12，定义域为[0，＋∞)，且在定义域内单调递增，大致图象为B.故选B.答案：B5．解析：2－3m ＋3＝12－m －2≤0，解得m ＝1或2.故选BC.答案：BC6．解析：因为函数f (x )＝(m －2)x m是幂函数，所以m －2＝1，解得m ＝3，所以f (x )＝x 3，由幂函数性质知f (x )是奇函数且单调递增．故选BD.答案：BD7．解析：因为幂函数f (x )＝x α过点(2，8)，故2α＝8，∴α＝3，即f (x )＝x 3，由f (x 0)＝－8，得x 30＝－8，∴x 0＝－2.答案：－28．解析：y ＝x －2＝1x2、y ＝x 2，是偶函数，图象关于y 轴对称，不符合题意．y ＝x －12，y ＝x 12，是非奇非偶函数，图象不关于原点对称，不符合题意．y ＝x ，y ＝x 3在R 上单调递增，不符合题意．y ＝x －1＝1x，是奇函数，图象关于原点成中心对称，且在(0，＋∞)上为减函数，符合题意，综上所述，α的值为－1.答案：－19．解析：(1)函数y ＝x－52在(0，＋∞)上为单调减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－(18)78，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为单调增函数，又18>19，∴(18)78>(19)78，∴－(18)78<－(19)78，即－8－78<－(19)78；(3)(－23)－23＝(23)－23，(－π6)－23＝(π6)－23，函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为单调减函数，又23>π6，所以(23)－23<(π6)－23，即(－23)－23<(－π6)－23.10．解析：(1)若f (x )2＋m －1≠02－2m －1＝1，由m 2－2m －1＝1得m 2－2m －2＝0，解得m ＝1＋3或m ＝1－3，此时满足m 2＋m －1≠0.(2)若f (x )是幂函数，则m 2＋m －1＝1，即m 2＋m －2＝0，此时m ＝1或m ＝－2，当m ＝1时f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，不符题意，舍去；当m ＝－2时f (x )＝x 7在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；故m ＝－2.11．解析：设f (x )＝x a ，则f (2)＝2a ＝2，则a ＝12，∴f (x )＝x 12＝x ，由f (x ＋1)＝x ＋1<2可得0≤x ＋1<4，解得－1≤x <3，因此，不等式f (x ＋1)<2的解集为[－1，3).故选C.答案：C12．解析：由题知构造f (x )＝x 16，(x ≥0)，由幂函数性质可知f (x )单调递增，∵(2m ＋1)16>(m 2－m －3)16，m ＋1≥02－m －3≥0m ＋1>m 2－m －3，≥－12≥1＋132或m ≤1－1321<m <4，综上：m ∈[1＋132，4).故选D.答案：D13．解析：∵已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 3－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2，或m ＝－1，f (x )＝x 7，或f (x )＝x －2.对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，故f (x )是增函数，∴f (x )＝x 7.若a ，b ∈R ，a ＋1＋b <0，即a ＋1<－b ，∴(a ＋1)7<(－b )7，即(a ＋1)7<－b 7，即(a ＋1)7＋b 7<0.则f (a )＋f (b )＝(a ＋1)7＋b 7<0.故选B.答案：B14．解析：设幂函数为f (x )＝x α，将(2，12)代入解析式得12＝2α，故α＝－1，所以f (x )＝1x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝－1x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故A 正确；函数f (x )＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；显然f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故C 错误；当x 2>x 1>0时，f （x 1）＋f （x 2）2－f (x 1＋x 22)＝1x 1＋1x 22－1x 1＋x 22＝x 1＋x 22x 1x 2－2x 1＋x 2＝（x 1－x 2）22x 1x 2（x 1＋x 2）>0，即满足f （x 1）＋f （x 2）2>，故D 正确．故选AD.答案：AD15．解析：设幂函数f (x )＝x a，a ∈R ，因为幂函数f (x )的图象过点(2，22)，所以22＝2a ，解得a ＝－12，所以f (x )＝x －12＝1x，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，因为f (2b －1)<f (2－b )，所以2b －1>2－b >0，解得1<b <2.答案：(1，2)16．解析：(1)由题意得：根据幂函数的性质可知m 2＋m －1＝1，即m 2＋m －2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以m ＋1<0，即m <－1，则m ＝－2.故f (x )＝x －1＝1x.(2)由(1)可得m ＝－2，设g (x )＝x－12，则g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g (x )在定义域上为减函数．因为(5－a )－12>(2a －1)－12－a >0，a －1>0，－a <2a －1，解得2<a <5.故a的取值范围为(2，5).。

2014届高考数学文一轮复习(浙江省专用)作业手册27平面向量的应用举例(附详细解析)

课时作业(二十七) [第27讲平面向量的应用举例](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．若向量OF 1→＝(2，2)，OF 2→＝(－2，3)分别表示两个力F 1与F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．2.5 B ．4 2 C ．2 2 D ．52．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OC →＝a 1OA →＋a 200OB →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点)，则S 200＝( )A ．100B ．101C ．200D ．201 4．[2012·瑞安模拟] 如图K27－1是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点，点P在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________．图K27－1能力提升5．[2012·昆明一中一摸] 已知a ＝(m ，1)，b ＝(1，n －1)(其中m ，n 为正数)，若a·b ＝0，则1m ＋1n的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．86．[2012·石家庄质检] 在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( )A ．18B ．3C ．15D ．127．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14 8．[2013·湖南十二校联考] 设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π310．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是________．11．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，M (1，1)，N (0，1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM→≤1，0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．12．[2012·杭州二中模拟] 已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．13．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．14．(10分)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1，1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．15．(13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝cos A2，sin A2，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．难点突破16．(12分)[2012·杭州二模] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝a ，12，n＝(cos C ，c －2b )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长的取值范围．课时作业(二十七)【基础热身】1．D [解析] ∵F 1＋F 2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，∴|F 1＋F 2|＝0＋52＝5.2．B [解析] 由AB →＝DC →知四边形ABCD 为平行四边形，又因为AC →·BD →＝0，即▱ABCD 的两条对角线垂直，所以四边形ABCD 为菱形．3．A [解析] 依题意，a 1＋a 200＝1，S 200＝200（a 1＋a 200）2＝100.4．4 [解析] 依题意，A ，P ，B 三点共线，点P 在线段AB 上，利用向量数量积的几何意义，易知点Q 、点P 与点A 重合时，OP →·OQ →的最大值为4.【能力提升】5．C [解析] 因为a ·b ＝0，所以m ×1＋1×(n －1)＝0，即m ＋n ＝1.又m ，n 为正数，所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·m n＝4，当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝12时等号成立．故1m ＋1n的最小值是4. 6．A [解析] 由题意，如图建立直角坐标系，则A (3，0)，B (0，3)， ∵BM →＝2AM →，∴A 是BM 的中点，∴M (6，－3)， CM →＝(6，－3)，CA →＝(3，0)，CM →·CA →＝18.7．A [解析] 记OM →，ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A. 8．C [解析] 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B ), 3sin C＋cos C ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12.又π6＜C ＋π6＜7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3.9．C [解析] 方法一：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0，又∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3.在△ABC 中，结合正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6.方法二：接方法一中，A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C ，∴2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 10．18 [解析] ∵AB →·AC →＝23，∴bc cos A ＝23， ∵∠BAC ＝30°，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝12，1x ＋4y ＝2（x ＋y ）x ＋8（x ＋y ）y＝⎝⎛⎭⎫2y x ＋8x y ＋10≥18.等号成立时，⎩⎨⎧2y x ＝8xy，x ＋y ＝12，∴x ＝16，y ＝13，∴当x ＝16且y ＝13时，1x ＋4y取得最小值18.11．3 [解析] 由题意OP →＝(x ，y )，OM →＝(1，1)，ON →＝(0，1)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝OQ →·OP →＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知当x ＝0，y ＝1时有最大值3.12．0<|α|≤233 [解析] 数形结合(如图)，向量β，α，β－α构成三角形，在三角形中由正弦定理得|α|sin θ＝|β|sin60°(0°<θ≤120°)，解得0<|α|≤233.13.3 [解析] 已知BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3BD→|BD →|，由单位向量得(如图)∠ABC ＝60°.∵AB →＝DC →＝(1，1)，∠ABC ＝60°，AC ⊥BD ，∴S ＝2×34×(2)2＝ 3.14．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )．由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y . ∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.15．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2＝3， ∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|， ∴b ＋c ＝3a ，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32，又∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2，当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．【难点突破】16．解：(1)由题意知：a cos C ＋12c ＝b ，结合正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝cos A sin C .因为sin C ≠0，所以cos A ＝12.又因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)方法一：由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C ，l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B ))＝1＋232sin B ＋12cos B ＝1＋2sin B ＋π6.因为A ＝π3，所以B ∈0，2π3，所以B ＋π6∈π6，5π6，所以sin B ＋π6∈12，1，2<l ≤3.故△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．方法二：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c ，由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝bc ＋1，所以(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3b ＋c 22，解得b ＋c ≤2，所以l ≤3.又b ＋c >a >1，所以l ＝a ＋b ＋c >2. 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．。

2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ．考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ．考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=．考点：三视图． 7．C 【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞．【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==．考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12．【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。

2014高考数学总复习课时作业24 新人教版

课时作业(24)1．(2011·某某文)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交答案 B解析若在平面α内存在与直线l 平行的直线，因l ⊄α，故l ∥α，这与题意矛盾，故选B.2．(2010·某某)如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行．其中真命题是( ) A ．②③④B ．①③④ C ．①②④D ．①②③ 答案 C解析将过点M 的平面CDD 1C 1绕直线DD 1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB ，B 1C 1都相交，故③错误，排除ABD ，选C.3．空间中A 、B 、C 、D 、E 五点不共面，已知A 、B 、C 、D 在同一平面内，点B 、C 、D 、E 在同一平面内，那么B 、C 、D 三点( )A ．一定构成三角形B ．一定共线C ．不一定共线D ．与A 、E 共面答案 B解析设面ABCD 为α，面BCDE 为β且A 、B 、C 、D 、E 不共面，则⎩⎪⎨⎪⎧ BC ⊂α，BC ⊂β，CD ⊂α，CD ⊂β，则α、β必相交于直线l .且B ∈l ，C ∈l ，D ∈l .故B 、C 、D 三点一定共线且位于面ABCD 与面BCDE 的交线上．4．如图，正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA′与BC 的中点，则A′E与BD所成角的余弦值为( )A．0B.35 7C.147D.105答案 B解析取B′B中点F，连接A′F，则有A′F綊BD. ∴∠FA′E或其补角即为所求．∵三棱柱ABC－A′B′C棱长均为2，∴A′F＝5，FE＝2，A′E＝7.∴cos∠FA′E＝35 7.故A′E与BD所成角余弦值为357.5．设有如下三个命题：甲：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l，m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时( )A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件答案 C解析当甲成立，即“相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l，m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l，m中至少有一条与平面β相交”也成立，故选C.6．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．7.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②与BE是异面直线；③与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A．①②③B．②④C．③④D．②③④答案 C解析如图，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而与BE平行，故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C不含②，运用排除法，故应选C.8．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是( ) A．(1)(2)(3) B．(1)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)答案 C解析如图1，当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点；如图2，直线m，n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m，n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.9．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)答案①③④解析如图，由面面平行的性质可知BE∥FD′，ED′∥BF，∴四边形BFD′E是平行四边形，∴①正确；它不可能是正方形，否则BE⊥平面A′ADD′，∴②错误；又∵四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，∴它一定是正方形，∴③正确；当E 、F 分别为所在棱的中点时，EF ⊥平面BB ′D ，∴此时面BFDE ′垂直于面BB ′D .∴④正确．11.如图，正四面体S －ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是________．答案36解析取AC 中点E ，连接DE ，BE ，则BD 与DE 所成的角即为BD 与SA 所成的角．设SA ＝a ，则BD ＝BE ＝32a ，DE ＝a 2. 由余弦定理知cos ∠BDE ＝36. 12．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．答案 90°解析连接B 1G ，EG ，B 1F ，CF .∵E 、G 是棱DD 1、CC 1的中点，∴A 1B 1∥EG . ∴四边形A 1B 1GE 是平行四边形，∴B 1G ∥A 1E .所以∠B 1GF (或其补角)就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在Rt △B 1C 1G 中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝12AA 1＝1，∴B 1G ＝ 2.在Rt △FBC 中，BC ＝BF ＝1，∴FC ＝ 2. 在Rt △FCG 中，CF ＝2，CG ＝1，∴FG ＝ 3. 在Rt △B 1BF 中，BF ＝1，B 1B ＝2，∴B 1F ＝ 5. 在△B 1FG 中，B 1G 2＋FG 2＝B 1F 2，∴∠B 1GF ＝90°. 因此，异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°.13.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明 (1)如图，连接CD 1、EF 、A 1B ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1.∴EF 与CD 1确定一个平面α.∴E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ⊂平面ABCD ，且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1.∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．14．如图所示，设A 是BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ＝2 cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．(1)若EF ＝ 2 cm ，求异面直线AD 和BC 所成的角； (2)若EF ＝ 3 cm ，求异面直线AD 和BC 所成的角．答案 (1)90° (1)60°解析取AC 的中点G ，连接EG 、FG . ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1 cm ，FG ∥AD 且FG ＝12AD ＝1 cm.∴∠EGF 即为所求异面直线的角或其补角．(1)当EF ＝ 2 cm 时，由EF 2＝EG 2＋FG 2，得∠EGF ＝90°. ∴异面直线AD 和BC 所成的角为90°. (2)当EF ＝ 3 cm 时，在△EFG 中，取EF 的中点H ，连接GH ， ∵EG ＝GF ＝1 cm ， ∴GH ⊥EF ，EH ＝FH ＝32cm. ∴GH ＝GF 2－HF 2＝12 cm.∴∠GFH ＝∠GEH ＝30°.∴∠FGE ＝120°，其补角为60°. ∴异面直线AD 和BC 所成的角为60°.15．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有的棱长都为2，E 是A 1B 的中点，F 在棱CC 1上． (1)当C 1F ＝12CF 时，求多面体ABCFA 1的体积；(2)当点F 使得A 1F ＋BF 为最小时，求异面直线AE 与A 1F 所成的角．解析 (1)当C 1F ＝12CF ，即F 为C 1C 的一个三等分点．多面体ABCFA 1可分解为三棱锥A 1－ABC 和A 1－BCF 两部分，∴V ＝VA 1－ABC ＋VA 1－BCF ＝1039. (2)将平面BCC 1B 1沿CC 1展开可知，F 为中点时，A 1F ＋BF 最小，取BF 的中点D ，连接DE ，则∠AED 即为所求角．在△AED 中AE ＝2，ED ＝12A 1F ＝52，AD ＝132.∴AD 2＝AE 2＋ED 2，∴∠AED ＝90°. ∴异面直线AE 与A 1F 所成的角为90°. (此题也可用向量法解，学生自己试做)．。

2014年高考复习文科数学试题(50)

2014年高考复习文科数学试题一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1．已知集合{}{}12,03A x x B x x =-<=<<，则A B =（）A ．{}13x x -<< B ．{}03x x <<C ．{}12x x -<<D ．{}23x x <<2．已知y x ,是实数, 则“22y x >”是“0<<y x ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若复数z 与其共轭复数z 满足：i z z 2+=，则复数z 的虚部为（）A ．1B ．iC ．2D ．-14．已知三条直线l 、m 、n ，三个平面αβγ、、，有以下四个命题：①αββγαγ⊥⊥⇒⊥、；②//l m l n m n ⊥⊥⇒、；③//,////,m n m n ββαβαα⎫⇒⎬⊂⊂⎭；④ββαβα⊥⇒⊥=⊥m l m l ,, 。

其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．右图程序运行后输出的结果为（） A ．3 4 5 6 B ．4 5 6 7 C ．5 6 7 8 D ．6 7 8 9 6．若函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a = （） A ．2B ．2C ．22D ．127．△ABC 中，4,3),(21,0==+==⋅CB CA CB CA CD CB CA ，则向量CD 与CB 夹角的余弦值为（）A ．51B ．52C ．53D ．548．已知圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆中过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是（）A ．610B ．620C ．630D ．640 9．函数),0(,cos 22cos π∈+=x x x y 的单调递增区间为（）A ．)3,0(π B ．)32,3(ππ C ．)2,3(ππD ．),32(ππ10．点P 是双曲线12222=-by a x （a >0, b >0）左支上的一点，其右焦点为F )0,(c ，若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为c 81，则双曲线的离心率e 范围是（）A ．]8,1(B ．]34,1(C ．)35,34(D ．]3,2(二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分11．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C C ab b a c ∠++<则,2cos 2222 的取值范围是。

2014年高考(大纲全国卷)数学(文科) 详细答案解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为().A.2B.3C.5D.7【答案】B【解析】∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={1,2,6},∴M∩N中元素的个数为3,故选B.2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=().A.45B.35C.- 35D.- 45【答案】D【解析】设角α的终边上点(-4,3)到原点O的距离为r,则r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cosα=xr =-45,故选D.3.不等式组{x(x+2)>0,|x|<1的解集为().A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1} 【答案】C【解析】{x(x+2)>0,①|x|<1,②由①得,x<-2或x>0,由②得,-1<x<1,因此原不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.4.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为().A.16B.√36C.13D.√33【答案】B【解析】如图所示,取AD的中点F,连EF,CF,则EF∥BD, ∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF.由题知,△ABC ,△ADC 为正三角形,设AB=2,则CE=CF=√3,EF=12BD=1.∴在△CEF 中,由余弦定理, 得cos ∠CEF=CE 2+EF 2-CF 22CE·EF=√3)22√3)22×√3×1=√36,故选B .5.函数y=ln(√x 3+1)(x>-1)的反函数是( ). A .y=(1-e x )3(x>-1) B .y=(e x -1)3(x>-1) C .y=(1-e x )3(x ∈R ) D .y=(e x -1)3(x ∈R ) 【答案】D【解析】由y=ln(√x 3+1),得e y =√x 3+1,∴√x 3=e y -1,x=(e y -1)3,∴f -1(x )=(e x -1)3. ∵x>-1,∴y ∈R ,即反函数的定义域为R . ∴反函数为y=(e x -1)3(x ∈R ),故选D .6.已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a -b )·b =( ). A .-1 B .0 C .1 D .2 【答案】B【解析】由已知得|a |=|b |=1,<a ,b >=60°,∴(2a -b )·b =2a ·b -b 2=2|a ||b |cos <a ,b >-|b |2 =2×1×1×cos 60°-12=0,故选B .7.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ).A .60种B .70种C .75种D .150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有C 62种选法,从5名女医生中选出1名有C 51种选法,故共有C 62·C 51=6×52×1×5=75种选法,选C .8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ). A .31 B .32 C .63 D .64 【答案】C【解析】∵S 2=3,S 4=15,∴由等比数列前n 项和的性质,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列, ∴(S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4),即(15-3)2=3(S 6-15),解得S 6=63,故选C .9.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为√33,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点.若△AF 1B 的周长为4√3,则C 的方程为( ). A .x 23+y 22=1 B .x 23+y 2=1 C .x 212+y 28=1 D .x 212+y 24=1【答案】A 【解析】∵x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√33, ∴ca =√33,∴a ∶b ∶c=3∶√6∶√3.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ,B 两点, △AF 1B 的周长为4√3, ∴4a=4√3,∴a=√3. ∴b=√2,∴椭圆方程为x 23+y 22=1,选A .10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ). A .81π4B .16πC .9πD .27π4【答案】A【解析】由图知,R 2=(4-R )2+2,∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=94,∴S 表=4πR 2=4π×8116=814π,选A .11.双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3,则C 的焦距等于( ).A .2B .2√2C .4D .4√2 【答案】C【解析】∵e=2,∴ca =2.设焦点F 2(c ,0)到渐近线y=ba x 的距离为√3, 渐近线方程为bx-ay=0,∴√b 2+a 2=√3.∵c 2=a 2+b 2,∴b=√3. 由ca =2,得√c 2-b 2=2,∴c 2c 2-3=4,解得c=2.∴焦距2c=4,故选C .12.奇函数f (x )的定义域为R .若f (x+2)为偶函数,且f (1)=1,则f (8)+f (9)=( ). A .-2 B .-1 C .0 D .1 【答案】D【解析】∵奇函数f (x )的定义域为R ,∴f (-x )=-f (x ),且f (0)=0.∵f (x+2)为偶函数,∴f (-x+2)=f (x+2).∴f [(x+2)+2]=f (-x-2+2)=f (-x )=-f (x ),即f (x+4)=-f (x ). ∴f (x+8)=f [(x+4)+4]=-f (x+4)=-(-f (x ))=f (x ). ∴f (x )是以8为周期的周期函数,∴f (8)=f (0)=0,f (9)=f (8+1)=f (1)=1. ∴f (8)+f (9)=0+1=1.故选D .第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(x-2)6的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答) 【答案】-160【解析】由通项公式得T 4=C 63x 6-3(-2)3=-8C 63x 3,故展开式中x 3的系数为-8C 63=-8×6×5×43×2×1=-160.14.函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为 . 【答案】32【解析】∵y=cos 2x+2sin x=1-2sin 2x+2sin x=-2(sinx -12)2+32,∴当sin x=12时,y max =32.15.设x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +2y ≤3,x -2y ≤1,则z=x+4y 的最大值为 .【答案】5【解析】画出x , y 的可行域如图阴影区域.由z=x+4y ,得y= - 14x+z4.先画出直线y=-14x ,再平移直线y=-14x , 当经过点B (1,1)时,z=x+4y 取得最大值为5.16.直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于 . 【答案】43【解析】如图所示,设l 1与圆O :x 2+y 2=2相切于点B ,l 2与圆O :x 2+y 2=2相切于点C , 则OB=√2,OA=√10,AB=2√2. ∴tan α=OB AB=√22√2=12.∴tan ∠BAC=tan 2α=2tanα1−tan 2α=2×121−14=43.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式.(1)可用定义证明b n+1-b n =2(常数)即可.(2)利用(1)的结果,求出{b n }的通项公式及a n+1-a n 的表达式,再用累加法可求数列{a n }的通项公式.(1)证明:由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2-a n+1=a n+1-a n +2, 即b n+1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解:由(1)得b n =1+2(n-1),即a n+1-a n =2n-1.于是∑k=1n(a k+1-a k )=∑k=1n(2k-1),所以a n+1-a 1=n 2,即a n+1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n+2.18.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3a cos C=2c cos A , tan A=13,求B.分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系,再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tan C.根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B ,即可求角B. 解:由题设和正弦定理得3sin A cos C=2sin C cos A.故3tan A cos C=2sin C ,因为tan A=13,所以cos C=2sin C ,tan C=12. 所以tan B=tan[180°- (A+C )]= - tan(A+C ) =tanA+tanC tanAtanC -1=-1,即B=135°.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC 1=2. (1)证明:AC 1⊥A 1B ;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为√3,求二面角A 1-AB-C 的大小.分析:解法一:(1)由已知可证平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直.(2)为利用已知,先寻找并证明AA 1与平面BCC 1B 1的距离为A 1E.再由三垂线定理,确定二面角A 1-AB-C 的平面角为∠A 1FD.最后通过解直角三角形求出∠A 1FD 的正切值,即可得出二面角的大小.解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解.(1)设出A 1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为0,证明线线垂直. (2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.解法一:(1)证明:因为A 1D ⊥平面ABC ,A 1D ⊂平面AA 1C 1C ,故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC. 又BC ⊥AC ,所以BC ⊥平面AA 1C 1C.连结A 1C.因为侧面AA 1C 1C 为菱形,故AC 1⊥A 1C. 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B.(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ,BC ⊂平面BCC 1B 1, 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1,E 为垂足,则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1,因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离,A 1E=√3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线,故A 1D=A 1E=√3.作DF ⊥AB ,F 为垂足,连结A 1F.由三垂线定理得A 1F ⊥AB , 故∠A 1FD 为二面角A 1-AB-C 的平面角.由AD=√AA 12-A 1D 2=1得D 为AC 中点,DF=12×AC×BC AB=√55,tan ∠A 1FD=A 1DDF =√15.所以二面角A 1-AB-C 的大小为arctan √15.解法二:以C 为坐标原点,射线CA 为x 轴的正半轴,以CB 的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 由题设知A 1D 与z 轴平行,z 轴在平面AA 1C 1C 内. (1)证明:设A 1(a ,0,c ),由题设有a ≤2,A (2,0,0),B (0,1,0), 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,0,c ), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-4,0,c ),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1,c ). 由|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2得√(a -2)2+c 2=2, 即a 2-4a+c 2=0.①于是AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-4a+c 2=0,所以AC 1⊥A 1B.(2)设平面BCC 1B 1的法向量m =(x ,y ,z ),则m ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⊥BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即m ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,0,c ), 故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c ,则z=2-a ,m =(c ,0,2-a ),点A 到平面BCC 1B 1的距离为 |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|cos <m ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗·m||m|=√c 2+(2−a)2= c.又依题设,A 到平面BCC 1B 1的距离为√3,所以c=√3. 代入①解得a=3(舍去)或a=1.于是AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3). 设平面ABA 1的法向量n =(p ,q ,r ), 则n ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即n ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, -p+√3r=0,且-2p+q=0.令p=√3,则q=2√3,r=1,n =(√3,2√3,1). 又p =(0,0,1)为平面ABC 的法向量, 故cos <n ,p >=n·p |n||p|=14.所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 14.20.(本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k 的最小值.分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求.(2)由(1)分析k 的可能取值情况,比较即得结果.解:记A i 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备,i=0,1,2,B 表示事件:甲需使用设备,C 表示事件:丁需使用设备,D 表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,E 表示事件:同一工作日4人需使用设备,F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k. (1)D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C ,P (B )=0.6,P (C )=0.4,P (A i )=C 2i×0.52,i=0,1,2,所以P (D )=P (A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C )=P (A 1·B ·C )+P (A 2·B )+P (A 2·B ·C )=P (A 1)P (B )P (C )+P (A 2)P (B )+P (A 2)P (B )P (C ) =0.31.(2)由(1)知,若k=2,则P (F )=0.31>0.1. 又E=B ·C ·A 2,P (E )=P (B ·C ·A 2)=P (B )P (C )P (A 2)=0.06. 若k=3,则P (F )=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21.(本小题满分12分)函数f (x )=ax 3+3x 2+3x (a ≠0). (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.分析:(1)由于导函数的判别式含参数a ,因此要根据导数值的正负判断单调性,需对a 进行分类讨论.当判别式为正时,导函数有两根,为比较两根的大小,需对a 进行二重讨论.(2)根据f (x )在(1,2)上是增函数可列出关于a 的不等式,注意对a>0或a<0进行讨论. 解:(1)f'(x )=3ax 2+6x+3,f'(x )=0的判别式Δ=36(1-a ).①若a ≥1,则f'(x )≥0,且f'(x )=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f (x )在R 上是增函数.②由于a ≠0,故当a<1时,f'(x )=0有两个根: x 1=-1+√1−aa,x 2=-1-√1−aa.若0<a<1,则当x ∈(-∞,x 2)或x ∈(x 1,+∞)时f'(x )>0, 故f (x )分别在(-∞,x 2),(x 1,+∞)是增函数; 当x ∈(x 2,x 1)时f'(x )<0,故f (x )在(x 2,x 1)是减函数; 若a<0,则当x ∈(-∞,x 1)或(x 2,+∞)时f'(x )<0, 故f (x )分别在(-∞,x 1),(x 2,+∞)是减函数; 当x ∈(x 1,x 2)时f'(x )>0,故f (x )在(x 1,x 2)是增函数.(2)当a>0,x>0时,f'(x )=3ax 2+6x+3>0,故当a>0时,f (x )在区间(1,2)是增函数. 当a<0时,f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得 - 54≤ a<0.综上,a 的取值范围是[-54,0)∪(0,+∞).22.(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=54|PQ|. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l'与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.分析:(1)设出Q 点坐标,利用|QF|=54|PQ|列出关于p 的方程,借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直.因直线l 过F (1,0),可设l 的方程为x=my+1(m ≠0).直线l 方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y 1+y 2,y 1y 2关于m 的表达式,借助弦长公式得|AB|=√m 2+1|y 1-y 2|(其中A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)),同理可得|MN|=√1+1m |y 3-y 4|(其中M (x 3,y 3),N (x 4,y 4)).由题目中的A ,M ,B ,N 四点在同一圆上得到关于m 的方程,进而求出m ,得到直线l 的方程.解:(1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8p .所以|PQ|=8p ,|QF|=p2+x 0=p2+8p . 由题设得 p2+8p=54×8p,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x. (2)依题意知l 与坐标轴不垂直, 故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ), |AB|=2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).又l'的斜率为-m ,所以l'的方程为x=-1m y+2m 2+3. 将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+4m y-4(2m 2+3)=0. 设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=-4(2m 2+3). 故MN 的中点为E (2m 2+2m 2+3,−2m ), |MN|=√1+1m 2|y 3-y 4|=4(m 2+1)√2m 2+1m .由于MN 垂直平分AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|, 从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m 2+1)2+(2m +2m )2+(2m 2+2)2=4(m 2+1)2(2m 2+1)m 4,化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.。

2014年北京高考(文科)数学试题及答案(完美版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}3（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）（（3 （))5,9 （4 （（C （5）设a (A) (C) （6 (A)（7）()(,0B m 若圆（（C （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A ）3.50分钟（B ）3.75分钟（C ）4.00分钟（D ）4.25分钟第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .（10）设双曲线C的两个焦点为()，)，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 .（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . （12）在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . （13）若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .（14）顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带（15（16）（本小题13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC⊥，12AA AC==，E、F分别为11A C、BC的中点. （Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面11B BCC；（Ⅱ）求证：1//C F平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E ABC-的体积.（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：12OB⊥，（20（1）若集合{}0,1,2,4A=，{}1,2,3B=，则A B=（）（A）{}0,1,2,3,4（B）{}0,4（C）{}1,2（D）{}3【答案】C【解析】因为}2,1{=BA ，所以选C.【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xy e-=（B）y x=（C）lny x=（D）y x=【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为),0(+∞；选项D ，在)0,(-∞上是减函数，故选B. 【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大. （3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（）（A ）()5,7 （B ）()5,9 （C ）()3,7 （D ）()3,9【答案】A【解析】因为)8,4(2=a，所以)7,5()1,1()8,4(2=--=-b a ，故选A.（4 （（C 【答案】当k=2（5）设a (A) 件(C) 【答案】（6) (B)【答案】【解析】因为022)4(,014)2(<-=>-=f f ，所以由根的存在性定理可知，选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. （7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0Am -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点(0,0)为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以51=-m ，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A ）3.50分钟（B ）3.75分钟（C ）4.00分钟（D ）4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点)5.0,5(),8.0,4(),7.0,3(都在函数c bt at p ++=2的图象上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++25167.039a a c b a 所以=p （9）若(【答案】（10则C 【答案】的焦点在的能力.（11【答案】【解析】2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为222222=+.【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.（12）在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2，815 【解析】由余弦定理得：441225cos 2222=⨯⨯-=-+=C ab b a c，故2=c ；因为87222144cos =⨯⨯-+=A ，所以815sin =A . 【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.（131y ≤⎧1=y 与+y x . （14（15）（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=．从而()13212n n b n n -=+=，，（Ⅱ）由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．（16函数（Ⅱ）求（16解：（（Ⅱ（171AA =E 、F （17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥．又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ．（Ⅲ（1812小时的学小时的频从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距．（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．（19）（本小题14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值. （19）（共14分）解：（22（Ⅱ即0020y +=，解得又（20（Ⅰ）求（20）（共13分）解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =. 因为()210f -=-，f ⎛= ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭（Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.g↗当()g x 至多有2当()g x 至多有2当[)10-，，()0-∞，（Ⅲ）。

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课时作业(二十七) 数系的扩充与复数的引入
A 级
1．互为共轭复数的两复数之差是( ) A ．实数 B ．纯虚数 C ．0
D ．零或纯虚数
2．(2012·福建莆田质量检测)已知a ，b 是实数，i 是虚数单位，若i(1＋a i)＝1＋b i ，则a ＋b 等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－2
3．(2012·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
i ，i 2，1i ，
(1＋i )2
i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
4．复数z ＝m －2i
1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )
A ．1－2i 或－1＋2i
B ．1＋2i 或－1－2i
C ．－7－24i
D ．7＋24i
6．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z
z －1
＝________.
7．(2012·临沂模拟)已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝________.
8．已知复数2＋i 与复数13＋i 在复平面内对应的点分别是A 与B ，则∠AOB ＝________.
9．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 10．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )
i 3；
(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；
(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2.
11．(2011·上海卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.
B 级
1．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＞1
2
”是“点M 在第四象限”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y
x
的最大值为________．
3．已知A (1,2)，B (a,1)，C (2,3)，D (－1，b )(a ，b ∈R )是复平面上的四点，且向量AB →，CD →
对应的复数分别为z 1，z 2.
(1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－i
z 2
.
(2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a ，b .
详解答案
课时作业(二十七)
A 级
1．D 设互为共轭复数的两个复数分别为z ＝a ＋b i ，z ＝a －b i(a ，b ∈R )，则z －z ＝
2b i 或z －z ＝－2b i.
∵b ∈R ，当b ≠0时，z －z ，z －z 为纯虚数；当b ＝0时，z －z ＝z －z ＝0.故选D.
2．A 由于a ，b 是实数，所以i(1＋a i)＝1＋b i 变形为i －a ＝1＋b i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1，1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
从而a ＋b ＝0. 3．B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集， ∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．
4．A z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )5＝m －45＋－(2m ＋2)5i ，显然m －45＞0与－2m ＋25＞0不
可能同时成立，则z ＝m －2i
1＋2i
对应的点不可能位于第一象限．
5．B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－y 2＝－3，xy ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－2.
6．解析： z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )(1－i )－1
＝－2i －2＋2i －i ＝－2i
－i·i ＝－2i.
答案：－2i
7．解析：设z ＝a i ，a ∈R 且a ≠0，则(z ＋2)2－8i ＝4－a 2＋(4a －8)i.
∵(z ＋2)2－8i 是纯虚数，∴4－a 2＝0且4a －8≠0. 解得a ＝－2.因此z ＝－2i. 答案：－2i
8．解析：由题意得，点A 的坐标为(2,1)． ∵13＋i ＝310－i
10
，∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫310，－110.
∴OA →＝(2,1)，OB →
＝⎝⎛⎭⎫310，－110， ∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →
|OA →||OB →
|＝22，∴∠AOB ＝π
4.
答案： π
4
9．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5.(*)
于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.
由题设得⎩
⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝3
4
a ，
代入(*)得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2
＝25，
解得a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4
b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4
b ＝－3
.
∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案： ±(4－3i)
10．解析： (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i
－i ＝－1－3i.
(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i
2＋i
＝i
2＋i
＝i (2－i )5＝15＋25i.
(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i
2＝－1.
11．解析： (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.
B 级
1．C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2＞0，且
1－2a ＜0，解得a ＞12.即“a ＞1
2
”是“点M 在第四象限”的充要条件．
2.
解析： |z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，
∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
1＝ 3. 答案：
3
3．解析： (1)∵AB →
＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)， CD →
＝(－1，b )－(2,3)＝(－3，b －3)， ∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i ， ∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，
又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1b －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5
b ＝5
，
∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ， ∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i
－3＋2i ＝(1＋i )(4＋i )42＋12＋(1－i )(－3－2i )(－3)2＋22
＝3＋5i 17＋－5＋i 13＝－46221＋82221i.
(2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ， z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b )i ， ∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a －4＝0
b －4≠0，2－b ＝0∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝2.。