东南大学2002年数学分析试题解答

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数3--02真题初步答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上） (1)112a- 【考点】求数列极限.【解】ln “”里面为1∞“”型，凑成重要极限形式： (12)12211limln limln 1(12)(12)n a nan n n na n a n a --→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--. （2）2120(,)xxdy f x y dy ⎰⎰【考点】交换二次积分的积分次序.【解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，如图.将它们的并集记为D .于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰.再将后者化为先y 后x 的二次积分：2120(,)(,).xxDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰2120(,)xxdy f x y dx ⎰⎰（3） 1-【考点】线性相关.【解】因122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α与α线性相关.有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或 ,A k αα=即231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a kaa k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=（4） 0.02-【考点】随机变量的协方差，01-分布.【解】22(,)X Y 的分布及其边缘分布为而22X Y 的分布为所以2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）答案应填0.02-.（5） 111ni i X n =-∑【考点】矩估计法与矩估计量. 【解】总体的一阶矩为数学期望()()1x E X xe dx θθθ+∞--==+⎰样本的一阶矩为样本均值11ni i X X n ==∑令111n i i X n θ=+=∑，解得 11ˆ1ni i X n θ==-∑.答案应填111ni i X n =-∑.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）（B ）【考点】准确的掌握连续函数介值定理、罗尔定理与拉格朗日中值定理，理解可导与连续的关系.【解】方法1：论证法.由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有 lim ()().x f x f ξξ→=即有 lim[()()]0x f x f ξξ→-=.选（B ）.方法2：排斥法.(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点.（C ）与（D ）的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论. （2）（A ）【考点】求幂级数的收敛半径.【解】在补充假设1limn n n a a +→∞与1lim n n nbb +→∞ 存在的前提下，由于已知1nn n a x ∞=∑与1n n n b x ∞=∑13，故有 1limn n n a a +→∞1lim n n nb b +→∞=3 于是 212221122212911lim lim 595n n n n n n n n n na b a b a a b b +++→∞→∞+⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭,故题设的幂级数收敛半径为5，选（A ）. （3）（D ）【考点】齐次线性方程组有非零解（或仅有零解）的判别.【解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<. 方程组0Ax =必有零解，故应选（D ）.方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选（D ）. （4）（B ）【考点】矩阵及其相似矩阵的特征值、特征向量.【解】方法1：由题设A αλα=，且T A A =. 设 ()1TP APB -=，则11TTT TTB P A PP AP--==1T T A P BP -=，1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得()TTB P P αλα=故知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为TP α，即应选（B ）.方法2：逐个验算（A ），（B ），（C ），（D ）中哪个选项满足()1.TP AP ξλξ-=其中()111T TTT T T P APP A P P AP ---==对（A ），即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠ 对（B ），有1()()TT T T T P AP P P A P ααλα-==成立.故应选（B ）. （5）（C ）【考点】正态分布、2χ分布、F 分布.【解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N .故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布答案应选（C ）.方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件.因此，2X 与2Y 的独立条件不存在，选（B ）、（D ）项均不正确. 题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项（A ）.根据排除法，正确选项必为（C ）.三、（本题满分5分）【考点】求极限，洛必达法则，变限函数求导.【解】2200003arctan(1)arctan(1)limlim1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等22002arctan(1)arctan(1)2limlim 332x x x t dt x xxx →→++⋅⎰洛洛2346ππ=⋅=.四、（本题满分7分）【考点】复合函数求全微分.【解】方法1：用微分形式不变性求全微分.123du f dx f dy f dz '''=++而(,)z z x y =由xyzxe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()(),x y z d xe ye d ze -=x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz +--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设代入du 中，1323(1)(1).(1)(1)x yz ze x e y duf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂ 又由xyzxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有(),x x z z zxe e ze e x∂+=+∂ 得 x xz z z xe e x ze e ∂+=∂+，(10)z +≠设. 类似可得 y yz z z ye e y ze e∂+=-∂+，代入,u ux y∂∂∂∂表达式中得 1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze ey ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+，再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 如方法1.六、（本题满分7分）【考点】求空心的旋转体体积，求最值.【解】（1）()2225142(32)5aV x dx a ππ==-⎰ 22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰g .（2）54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 34(1)0dVa a daπ=-命, 得1a =，当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=.五、（本题满分6分）【考点】求不定积分.【解】由题中要求()f x dx 及2(sin )sin x f x x =知，01x <<.命2sin u x =，则有sin x =arcsin x =()f u =()f x dx =sin 2sin cos cos ttt tdt t= ⎰sin t tdt =2⎰[]2cos sin t t t C =-++2C ⎡=+⎣.七、（本题满分7分）【考点】验证幂级数满足微分方程及初始条件，利用解微分方程求幂级数的和函数.【解】(1) 369331()113(3)!(3)!n nn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑L L +！6！9！, 33313111113()(1)(3)!(3)!(3)!(31)!nn n n n n n n x x nx x y x n n n n --∞∞∞∞===='⎛⎫''=+=== ⎪-⎝⎭∑∑∑∑, 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 1()()()1!nx n x y x y x y x e n ∞='''++=+=∑ 说明30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件(0)1,(0)0.y y '==（2）按常规办法，计算出微分方程xy y y e '''++=的通解，为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++. 从中找出满足初始条件(0)1,(0)0y y '==的解.为此，将初始条件代入通解中，得到111,3C +=12110223C C -++=，于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为22133x x y e x e -=+另一方面，由（1）已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由唯一性，所以级数321211().(3)!33xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八、（本题满分6分）【考点】证明积分中值定理的推广.【解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在 max[,]()M a b f x =，min[,]()m a b f x =， ()m f x M ≤≤.又()0g x >，故有 ()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰.因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=.不然，则在(,)a b 内要么()f x h -恒为正，从而(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，从而(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符.由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.证毕.九、（本题满分8分）【考点】齐次线性方程组有非零解（仅有零解）的判别，齐次线性方程组的基础解系和通解.【解】方法1：对系数矩阵作初等行变换00A=0000a b b b a b b b b a b b b a a b b b a b b a a b b b b a b aa b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L L LL L M M M M MM M M LL当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=L其基础解系为[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,1,0,,0,1T TTn ξξξ-=-=-=-L L LL方程组的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++L ，其中(1,2,1)i k i n =-L 是任意常数.当a b ≠时，则001100A 001010001001(1)110010101001ab b b a b b b b a a bb a a bb a a b a n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭L L L L L L MM M M MM M M LL LL M M M M L故当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(),0r A n AX ==仅有零解当(1)a n b =--时，0AX =的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 其基础解系为[]1,1,,1Tξ=L ，方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数.十、（本题满分8分）【考点】矩阵的特征值、正定矩阵【解】（1）设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，即,0,A αλαα=≠ ()1 两边左乘A ，得 ()222A A αλαλα==221+（）（）得 ()()2222A A αλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-. 因A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ，且()()2r A r =Λ=故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦: 即A 有特征值1232,0λλλ==-=.（2）A kE +是实对称矩阵，由（1）知A kE +的特征值为2,2,k k k --.A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩ 故2k >时A kE +是正定矩阵.十一、（本题满分8分）【考点】二维离散型随机变量的概率分布，两个随机变量函数的分布，随机变量的方差，均匀分布.【解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和.{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)41,11,10;11,11,111;211,11,11.4P X Y P U U P U P X Y P U U P P X Y P U U P U P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--=-==≤->=∅===-=>-≤=-<≤====>->=>=于是，(,)X Y 分布为（2）X Y +和2()X Y +的分布分别为和所以2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==.22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=.十二、（本题满分8分）【考点】随机变量函数的分布，指数分布.【解】指数分布的X 的分布参数为11,()5E X = 显然，min(,2)Y X =.对于0,()0y F y <=，对于1,()1y F y ≥=.当02y ≤<时{}{}{}5()min(,2)21.y F y P Y y P X y P X e -=≤=≤=≤=- 所以，Y 的分布函数为 50,0()1,021,2y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≤⎪⎩。

东南大学 2002 年数学分析试题解答

东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1．()+∞=−∞→x f x lim ．解：M x f E x E M >−<∀>∃>∀)( , ,0 ,0．2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限．解：二、计算（9分×7=63分）1．求曲线210 ),1ln(2≤≤−=x x y 的弧长．解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1∫∫∫−=−++−=−+=−−+=21 0 210 22210 22213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数，0≠∂∂z g ，求dxdu ．解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y，从而 xz z f x y y f x f dx du ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+． 3．求∫dx xx 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ，∫=dx x x 2)ln (∫⋅dt e e t t t 22=∫=−dt e t t 2t t te e t −−−−22C e t +−−2 C xx x +++−=2ln 2)(ln 2． 4．求()20lim x a x a xx x −+→()0>a ．解：()20lim x a x a xx x −+→22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++−+++++=→ 12a a+=． 5．计算第二型曲面积分∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==，则2r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤．∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ=++=∫∫dr r r r r d 2 0 10 2)sin cos (2． 6．求常数λ，使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y yλλ−==∫v 滑闭曲线L 成立．解：7．在曲面)0,0,0(,14222>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．解：设14),,(222−++=z y x z y x F ，则2,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂，所求切平面方程为： 0)(2)(2)(2=−+−+−z Z z y Y y x X x ，求得在三个坐标轴上的截距分别为:,44 ,444 ,444222222222zz y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++．令)14(1611),,(222222−+++++=z y x zy x z y x P λ，则由 02132,022,022333=+−=∂∂=+−=∂∂=+−=∂∂λλλz zz P y y y P x x x P ,,14222=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16．三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）1．判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx xx π的敛散性．解：原级数为正项级数，据积分中值定理， 0sin (sin )ln 1ln 11nx dx x n n n ππππξ⎛⎞⎛⎞=+≤+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∫，又级数1ln 1n n n ππ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数收敛． 2．设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有 1)('' ,1)(<<x f x f ，证明：对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f ．解：,)0(2)('')0)((')()0(2x f x x f x f f −+−+=ξ 2)2(2)('')2)((')()2(x f x x f x f f −+−+=η， ])('')2)((''[21)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅−−+=−ξη， ])('')2)((''[21)0()2()('222x f x f f f x f ⋅−−−−=ξη， ])('')2)((''[21)0()2(21)('22x f x f f f x f ⋅−−+−=ξη ++≤)0(21)2(21f f 22)(''21)2()(''21x f x f ⋅+−⋅ξη 2221)2(211x x +−+≤2)1(2+−≤x ， '()2f x ≤．3．证明积分∫∞+− 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛．4．证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续．证明：x x x x x xx f 22ln ln 21)('+=+=，1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===−−=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理，1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ∀∈+∞−<−=⋅−≤−。

精编版-2002年江苏高考数学真题及答案

2002年江苏高考数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数sin 2()cos2xf x x=的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C ．2πD ．4π2．（5分）圆22(1)1x y -+=的圆心到直线y =的距离是( )A ．12B C ．1 D 3．（5分）不等式(1)(1||)0x x +->的解集是( ) A ．{|01}x x <B ．{|0x x <且1}x ≠-C ．{|11}x x -<<D ．{|1x x <且1}x ≠-4．（5分）在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是( )A ．(4π，)(2ππ⋃，5)4π B ．(4π，)π C ．(4π，5)4πD ．(4π，5)(4ππ⋃，3)2π5．（5分）已知集合{|24k M x x ππ==+，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则( )A ．M N =B ．M N ⊃C ．M N ⊂D ．MN =∅6．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A ．34B ．43 C ．35-D ．357．（5分）函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是( ) A ．0ab =B ．0a b +=C ．a b =D ．220a b +=8．（5分）已知01x y a <<<<，则有( ) A ．log ()0a xy < B ．0log ()1a xy << C ．1log ()2a xy << D ．log ()2a xy >9．（5分）函数11(1y x =-- ) A ．在(1,)-+∞内单调递增 B ．在(1,)-+∞内单调递减C ．在(1,)+∞内单调递增D ．在(1,)+∞内单调递减 10．（5分）极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( ) A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间(2001年2005-年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为( ) A ．115000亿元B ．120000亿元C ．127000亿元D ．135000亿元二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么k = ． 14．（4分）在27(1)(2)x x +-的展开式中3x 的系数是． 15．（4分）已知sin cos 2a a = ((2a π∈，))π，则tga = ．16．（4分）已知函数22()1x f x x =+，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++= ．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知复数1z i =+，求实数a ，b 使22(2)az bz a z +=+．18．（12分）设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，243a a b +=，243b b a =，分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和10S 及10T ．19．（12分）四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD ．（1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60︒，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于90︒．20．（12分）设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，点(1,2)N 是线段AB 的中点．()I 求直线AB 的方程()II 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？21．（12分）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2)，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3)，要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．22．（14分）已知0a >，函数2()f x ax bx =-．（1）当0b >时，若对任意x R ∈都有()1f x ，证明2a b ；（2）当1b >时，证明：对任意[0x ∈，1]，|()|1f x 的充要条件是12b a b -；（3）当01b <时，讨论：对任意[0x ∈，1]，|()|1f x 的充要条件．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数sin 2()cos2xf x x=的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C ．2π D ．4π【解答】解：函数sin 2()tan 2cos2x f x x x ==，所以函数的最小正周期为：2T π= 故选：A ．2．（5分）圆22(1)1x y -+=的圆心到直线y =的距离是( ) A ．12BC ．1 D【解答】解：由22(1)1x y -+=得：圆心(1,0)，所以根据点到直线的距离公式得：|12d ==．故选：A ．3．（5分）不等式(1)(1||)0x x +->的解集是( ) A ．{|01}x x <B ．{|0x x <且1}x ≠-C ．{|11}x x -<<D ．{|1x x <且1}x ≠-【解答】解：求不等式(1)(1||)0x x +->的解集则分两种情况讨论：情况101:1||0x x +>⎧⎨->⎩即：111x X >-⎧⎨-<<⎩则：11x -<<．情况102:1||0x x +<⎧⎨-<⎩即：111X X X <-⎧⎨-⎩或则：1x <-两种情况取并集得{|1x x <且1}x ≠-．故选：D ．4．（5分）在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是( )A ．(4π，)(2ππ⋃，5)4π B ．(4π，)π C ．(4π，5)4πD ．(4π，5)(4ππ⋃，3)2π【解答】解：sin cos x x >， ∴sin()04x π->， ∴22()4k x k k Z ππππ<-<+∈，在(0,2)π内，5(,)44x ππ∴∈，故选：C ．5．（5分）已知集合{|24k M x x ππ==+，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M N ⊃C ．M N ⊂D ．M N =∅【解答】解：对于M 的元素，有214k x π+=，其分子为π的奇数倍；对于N 的元素，有24k x π+=，其分子为π的整数倍；分析易得，M N ⊂；故选：C ．6．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A ．34B ．43 C ．35-D ．35【解答】解：设圆锥的半径为R ，高为H ，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H R ctg θ= 圆锥的体积2311133V R H R ctg ππθ==半球的体积3223V R π=12V V =即：331233R ctg R πθπ=2ctg θ∴=3cos25θ∴=故选：D ．7．（5分）函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是( )A ．0ab =B ．0a b +=C ．a b =D ．220a b +=【解答】解：根据奇函数的定义可知()||()||f x x a x b f x x x a b -=--+=-=-+-对任意x 恒成立0a ∴=，0b =，故选D8．（5分）已知01x y a <<<<，则有( ) A ．log ()0a xy <B ．0log ()1a xy <<C ．1log ()2a xy <<D ．log ()2a xy >【解答】解：01log log 1a a x y a x a <<<<∴>=，log log 1a a y a >= log ()log log 2a a a xy x y ∴=+>故选：D ． 9．（5分）函数11(1y x =-- ) A ．在(1,)-+∞内单调递增 B ．在(1,)-+∞内单调递减C ．在(1,)+∞内单调递增D ．在(1,)+∞内单调递减【解答】解：11y x =--是1y x =-向右平移1个单位而得到，故111y x =--在(1,)+∞上为增函数，在(,1)-∞上为增函数．故选：C ．10．（5分）极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：cos ρθ=两边同乘以ρ得2cos ρρθ= 利用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，进行化简得22x y x +=与12x =cos ρθ=表示1(2，0)为圆心，12为半径的圆，1cos 2ρθ=表示直线12x =故选：B ．11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( ) A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共36C 种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有36812C -=种；故选：B ．12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间(2001年2005-年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为( ) A ．115000亿元B ．120000亿元C ．127000亿元D ．135000亿元【解答】解：根据题意，有495933(17.3%)127164.8+≈，故选：C ．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么k = 1 ．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：2215y x k+=，因为焦点坐标为(0,2)，所以长半轴在y 轴上，则2c ==，解得1k =．故答案为：1．14．（4分）在27(1)(2)x x +-的展开式中3x 的系数是 1008 ．【解答】解：27(1)(2)x x +-的展开式中3x 的系数等于7(2)x -展开式的x 的系数加上7(2)x -展开式的3x 的系数7(2)x -展开式的通项为717(2)r rr r T C x -+=-令71r -=，得6r =故7(2)x -展开式的x 的系数为667(2)448C -=令73r -=得4r =故7(2)x -展开式的3x 的系数为447(2)560C -=故展开式中3x 的系数是4485601008+= 故答案为：1008．15．（4分）已知sin cos 2a a = ((2a π∈，))π，则tga = ．【解答】解：sin cos 2a a = ((2a π∈，))π，2sin 12sin a α∴=-，1sin 2α∴=，或sin 1α=-（舍去），cos α∴=，sin tan cos ααα∴==故答案为： 16．（4分）已知函数22()1x f x x=+，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++= 72．【解答】解：22()1x f x x=+， 211()1f x x ∴=+ 1()()1f x f x∴+=f ∴（2）1()12f +=，f （3）1()13f +=，f （4）1()14f +=，f （1）12=∴1117(1)(2)()(3)()(4)()2342f f f f f f f ++++++=故答案为：72三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知复数1z i =+，求实数a ，b 使22(2)az bz a z +=+．【解答】解：1z i =+，22(2)(2)(2)az bz a b a b i a z ∴+=++-+ 2(2)44(2)a a i =+-++2(4)4(2)a a a i =+++因为a ，b 都是实数，所以由22(2)az bz a z +=+ 得22424(2)a b a a a b a ⎧+=+⎨-=+⎩两式相加，整理得 2680a a ++=解得12a =-，24a =- 对应得11b =-，22b =∴所求实数为2a =-，1b =-或4a =-，2b =18．（12分）设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，243a a b +=，243b b a =，分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和10S 及10T ．【解答】解：{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，2432a a a ∴+=，2243b b b = 已知243a a b +=，243b b a =，332b a ∴=，233a b = 得2332b b =333110,24b b a ≠∴==由11a =，314a =知{}n a 的公差为38d =-， ∴101109551028S a d ⨯=+=-，由11b =，312b =知{}n b 的公比为q =或q =．当q =时，10110(1)31(2132b q T q -==-，当q =时，10110(1)31(2132b q T q -==-．19．（12分）四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD ．（1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60︒，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于90︒．【解答】解（1）PB ⊥平面ABCD ，BA ∴是PA 在面ABCD 上的射影，PA DA ∴⊥PAB ∴∠是面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，60PAB ∠=︒而PB 是四棱锥P ABCD -的高，tan 603PA AB a =︒= ∴2313333P ABCD V a a a -==证明：（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE DP ⊥，垂足为E ，连接EC ，则ADE CDE ∆≅∆．AE EC ∴=，90CED ∠=︒，故CEA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与DB 相交于点O ，连接EO ，则EO AC ⊥．22a OA AE AD a =<<= 在AEC ∆中，2222(2)(2)(2)cos 02AE EC OA AE OA AE OA AEC AE EC AE +-+-∠==< 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90︒20．（12分）设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，点(1,2)N 是线段AB 的中点．()I 求直线AB 的方程()II 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？【解答】解：()I 依题意，记1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可设直线AB 的方程为(1)2y k x =-+，代入2212y x -=，整理得222(2)2(2)(2)20k x k k x k ------=① 1x ，2x 则是方程①的两个不同的根，所以220k -≠，且1222(2)2k k x x k -+=-，由(1,2)N 是AB 的中点得121()12x x +=， 2(2)2k k k ∴-=-，解得1k =，所以直线AB 的方程为1y x =+()II 将1k =代入方程①得2230x x --=解出11x =-，23x =由1y x =+得10y =，24y =．即A 、B 的坐标分别为(1,0)-和(3,4)．由CD 垂直平分AB ，得直线CD 的方程为(1)2y x =--+，即3y x =-．代入双曲线方程，整理得26110x x +-=．②记3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，以及CD 的中点为0(M x ，0)y ，则3x ，4x 是方程②的两个根．所以346x x +=-，3411x x =-．从而0341()32x x x =+=-，0036y x =-=；||CD ==1||||||2MC MD CD ∴===又||||MA MB =即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．21．（12分）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2)，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3)，要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【解答】解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．（2）依上面剪拼方法，有V V >柱锥．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为13 现在计算它们的高：2362132h ⎛⎫=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭锥，31302h tan =︒=柱．3363322103V V h h -⎛⎫-=-==> ⎪⎝⎭⎝⎭柱锥柱锥所以V V >柱锥．（3）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．22．（14分）已知0a >，函数2()f x ax bx =-．（1）当0b >时，若对任意x R ∈都有()1f x ，证明2a b ；（2）当1b >时，证明：对任意[0x ∈，1]，|()|1f x 的充要条件是12b a b -；（3）当01b <时，讨论：对任意[0x ∈，1]，|()|1f x 的充要条件．【解答】（1）证明：根据题设，对任意x R ∈，都有()1f x ．又22()()24a a f x b x b b =--+．2()124a a f b b∴=， 0a >，0b >， 2a b ∴．（2）证明：必要性：对任意[0x ∈，1]，|()|1()1f x f x ⇒-．据此可推出f （1）1-，即1a b --， 1a b ∴-．对任意[0x ∈，1]，|()|1()1f x f x ⇒，因为1b >，可得01b <<，可推出(1f b ，即111a b -，2a b ∴，12b a b ∴-．充分性：因为1b >，1a b -，对任意[0x ∈，1]，可以推出22()1ax bx b x x x x -----，即21ax bx --，因为1b >，2a b 对任意[0x ∈，1]，可以推出：221()11bx b x b --+，即21ax bx -，1()1f x ∴-．综上，当1b >时，对任意[0x ∈，1]，|()|1f x 的充要条件是12b a b -．（3）解：因为0a >，01b <时，对任意[0x ∈，1]有2()1f x ax bx b =---，即()1f x -； ()1f x f ⇒（1）11a b ⇒-，即1a b +，又21()(1)1a b f x b x bx +⇒+-，即()1f x ．所以，当0a >，01b <时，对任意[0x ∈，1]，|()|1f x 的充要条件是1a b +．。

2002年普通高等学校招生全国统一考试(数学)理及答案

2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线3y x =的距离是（A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是（A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12种（C ）16种（D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元（B ）120000亿元（C ）127000亿元（D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xx x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 11=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤．（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。

2002年考研数学（三）真题及详细解析

2002 年全国硕士研‎究生入学统一‎考试数学三试‎题及解析一、填空题(本题共5小题‎,每小题3分,满分15分.把答案填在题‎中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)nn n na n a →∞-+=-.【分析】将所求极限转‎换为1l n [1](12)l i m1n n an→∞+-，利用等价无穷‎小代换化简求‎解，或利用重要极‎限。

【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111limln[]limln[1]limln (12)(12)12n a n a a n n n n na e n a n a a -⨯--→∞→∞→∞-+=+==--- ⑵ 交换积分次序‎：111422104(,)(,)________yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二‎重积分积分域‎D 的不等式，画出的草图后‎D ，便可写出先对‎y 后对的二次积‎x 分【详解】对应的积分区‎域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x ⎧=≤≤≤≤⎨⎩2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出的草图如‎D 右图所示，则也可表示为‎D 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。

已知与线性相‎A αα关，则______a =。

【分析】由与线性相关‎A αα知，存在常数使得‎k A k αα=，及对应坐标成‎比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由与线性相关‎A αα可得：233411aa a a ++==，从而1a =-。

东南大学数学分析试题解答

东南大学数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1．求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。

解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2．设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dxduz g 求≠∂∂ 解：由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解：()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。

02-03-3非电期中试卷答案东南大学高等数学试卷

，
PAa
9，d
PAa
9
3
2。
a 32 2
解法 2：过点 P 垂直于直线L的平面方程为0(x 3) 0(y 1) 3(z 2) 0 ，
即 y z 10，把直线L的方程代入平面方程得： 3t 23t 410 ， t 5 。 6
∴平面与直线 L 的交点为 B(1, 1 , 3) ， PB {2, 1 , 1} ， d PB 3 2 。
PM1a1 {3, 5, 0}{1, 1, 1}{5, 3, 8}， ∴ 由点 P 与 L1 所确定的平面为 1 ： 5(x 3) 3( y 1) 8(z 2) 0 ，即
5x 3y 8z 34 0 。
3
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
L2的参数方程为 x 5t 4, y 2t 3, z t ，代入平面 1，得 t 1，
L2 与 1 的交点为M (9,1,1) ，PM {6, 2, 3}，∴ L的方程为x
3 y 1 z 2 。 6 2 3
解法 2 ： M 2 (4, 3, 0)L2 ， PM 2 {1, 4, 2} ， L2的方向向量a2 {5, 2,1} ，
2
y2 b2
1；（C）z
x2 a2
y2 b2
；（D）z
x2 a2
y2 b2
1 。
3．设
a
{1,
2,
1} ， b {1,
1,
2}
，
c
{3,
4,
5}，则（
D
）
（A）
a
b
；
（B）
b
c
；

2002考研数学真题+答案

c
d

c a c a f (t )dt f (t )dt f (t )dt ， d b ab d b ab bc
2002 年 • 第 3 页
bc
cd
cd
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2002 年数学试题参考解答及评分标准
cd
当 ab cd 时，
ab
f (t )dt 0 ，由此得 I d b .
(1) 证明曲线积分 I 与路径 L 无关； (2) 当 ab cd 时，求 I 的值.
1 1 x 2 2 [1 y f ( xy)] f ( xy) 2 xyf ( xy) 2 [ y f ( xy) 1] 在 y y y x y 上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关.
D ( x, y) x 2 y 2 xy 75 ，小山的高度函数为 h( x, y) 75 x2 y2 xy ，
(1) 设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上一点，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向导数最大？若记此方向导数的最大值为 g ( x0 , y0 ) ，试写出 g ( x0 , y0 ) 的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 D 的边界线 x2 y2 xy 75 上找出使（1）中的 g ( x, y ) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 解：(1) 由梯度的几何意义知， h( x, y ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿梯度
x 0
1 ，故所求切线方程为 y x .
e
D
max{ x 2 , y 2 }

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东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞
→x f x lim .
解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→
解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）
1．求曲线2
10),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。

解：
=
+=
⎰dx x f s β
α
2
)]('[1⎰
⎰
⎰
-
=-++
-=
-+=
--+2
1
2
1
2
22
1
2
2
2
13ln )11111(
11)12(
1dx x
x
dx x
x dx x
x
2．设都具有一阶连续
与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导
数，
.,0dx du z
g 求
≠∂∂
解：由x
z z
f x
y
y f
x
f dx
du dz g dy g e dx xg z e x g y y ∂∂⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂+
∂∂=
=++=从而
知,02,0),,(3212
=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y
⋅++⋅+
3.求⎰dx x
x 2
)ln (
解：令⎰=
===dx x
x dt e dx e x x t t
t 2
)ln (
,,,ln 则⎰⋅dt e e
t
t t
22=⎰=-dt e t t 2t
t
te
e
t ----22
C e
t
+--2C x
x x +++-=2
ln 2)(ln 2
4.求()2
lim x
a
x a x
x
x -+→()0>a
解
：
()2
lim
x
a
x a x
x
x -+→==
2
2
22
2
2
2
)]
()(ln 2
ln 1[)}(]11)[(ln 2
ln 1{lim
x
x o a x
a x x o a
a x
a x x ++
+-+++
++=→
=
a
a 21+
5.计算第二型曲面积分⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x ,2
2
2
其中S 是曲面22y x z +=夹于0
=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。

解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==则2r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤
⎰⎰
++S
dxdy
z dzdx y dydz x 2
22=
⎰⎰++
S
dxdydz z y x )(2=
⎰
⎰++π
θθθ20
1
02
)sin cos (2r r r r d dr =π
6．求常数λ，使得曲线积分⎰+=
=-
L
y
x r dy r y
x dx r y
x 2
22
2,0λ
λ
对上半平面的任何光
滑闭曲线L 成立。

解：
7．在曲面)0,0,0(,14
2
2
2
>>>=+
+z y x z
y x 上
标轴上的截距的平方和最小。

解：设14
),,(2
2
2
-+
+=z
y x z y x F ,则
2
,
2,
2z z
F y y
F x x
F =
∂∂=∂∂=∂∂,故所求切平面方程为：
0)(2
)(2)(2=-+-+-z Z z y Y y x X x ,求得在三个坐标轴上的截距分别
为:,44,444,4442
222
222
22z
z
y x Z y
z
y x Y x
z
y x X ++=
++=
++=
)1161
161(
)44(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z y x Z
Y
X
d ++
++=++==
2
2
2
1611z
y
x
+
+
令)14
(1611),,(2
2
22
2
2
-+
+++
+
=
z
y x z
y
x
z y x P λ
则
02
132,
022,
0223
3
3
=+
-
=∂∂=+-
=∂∂=+-
=∂∂λλλz z
z
P y y
y
P x x
x
P ,,
14
2
2
2=+
+z
y x
解得=
=y x ,16,2,2
1==
λz =min d 16
三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）
1．讨论级数∑
⎰
∞
=+1
1sin n n
dx x
x π
的敛散性。

解:
2．设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有
1)('',1)(<<x f x f 。

证明对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f 。

解
：
,)0(2)('')0)((')()0(2
x f x x f x f f -+-+=ξ2)2(2
)('')2)((')()2(x f x x f x f f -+-+=η
])('')2)((''[21)('2)0()2(2
2
x f x f x f f f ⋅--+=-ξη ])('')2)((''[2
1)0()2()('22
2
x f x f f f x f ⋅---
-=ξη
≤
⋅--+
-=])('')2)((''[2
1)0()2(2
1)('2
2x f x f f f x f ξη++
)0(2
1)2(21f f
2
2
)(''2
1)
2()(''2
1x
f x f ⋅+-⋅ξη2
2
2
1)2(2
11x
x +
-+≤2
)1(2
+-≤x ，
.2)('≤x f
3．证明积分⎰+∞
-0
dy xe
xy
在),0(+∞上不一致收敛。

证
明
:
,,0,,02121时并且当设δδ<->∃>∀m m m m
⎰⎰
--=--2
1
2
1
)(m m xy
xy
m m xy d e
dy xe )1(][)(2112121x
m m x
m x
m x
m m
m xy
e
e
e
e
e
------=-=-=取
,1
δ
=
x ⎰
∞
+-=
,2
1dy xe
xy
则取δ>为一常数A e A e e
e e
m m )(1()1()1(1
1
2->->---
δ
)
4．证明函数x x x f ln )(=
在),1[+∞上一致连续。

证明：x
x x
x x x
x f 22ln ln 21)('+=
+
=
1)(',1,021ln 21)(''max ===--=
x f x x
x x x f
由拉格郎日中值定理,21212121)(')()(),,1[,x x f x f x f x x x x -⋅=-<-+∞∈∃ξδ则当 <.,21即可取δεδ==-x x。