《加减消元法解二元一次方程组》
加减消元法—解二元一次方程组(1)
追问3
如何用加减法消去x？
应用新知
二 元 一 次 方 程 组 3x 3 x+4y y= =16 16
①×5
使未知数x 系数相等
15x+20y=80
5x-6y=33
代 入
②×3
15x-18y=99
解得x
x=6
1 y= 2
解得y
两 式 相 减
消 x
38y=-19
初步尝试：
解下列方程组： 1. 3x 2 y 6, 2.
y 4．
探究新知
x y 10 ，① 问题1 我们知道，对于方程组 2 x y 16 ②
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有 其他方法呢？ 追问5 ①－②也能消去未知数y，求出x吗？
（x y ）（ 2x y ） 10 16.
探究新知
问题2 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
3x 10 y 2.8， ① ② 15 x 10 y 8 ．
追问1 此题中存在某个未知数系数相等吗？你发 现未知数的系数有什么新的关系？ 未知数y的系数互为相反数，由①+②，可消去 未知数y，从而求出未知数x的值． 追问2 两式相加的依据是什么？ “等式性质”
探究新知
问题3 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有 哪些主要步骤？ 当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元 一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
自测
x = 1 mx + n = 5 1、已知方程组 的解是 y = 2 my - n = 1
2 m=____________,n=________________ 3
数学《加减消元法-解二元一次方程组》教案
数学《加减消元法-解二元一次方程组》教案课时安排：第一课时：引入加减消元法第二课时：解决简单的二元一次方程组第三课时：引入倍加消元法第四课时：解决复杂的二元一次方程组课堂活动：第一课时：1.引入问题：小明有 6 条红色的绳子， 8 条绿色的绳子和 10 条蓝色的绳子，共计有多少条绳子？同学们快速作答并验证答案。
2.老师通过上述问题引导学生理解加减消元法。
3.教师给出一个简单的二元一次方程组，让学生通过加减消元法来解决。
4.让学生自己找到一些二元一次方程组，让同桌分别用加减消元法来解决。
第二课时：1.老师总结昨天加减消元法的解决方法，引入倍加消元法，告诉学生在某些情况下倍加消元法可能更适合。
2.老师给出一个适合倍加消元法的问题，让同学们快速求解。
3.让一些同学将他们在昨天找到的二元一次方程组用倍加消元法来解决。
第三课时：1.老师对昨天学过的知识进行复习。
2.展示一些更复杂的二元一次方程组，让同学们思考如何用加减消元法或倍加消元法来解决，让同学们互相讨论。
3.让一些同学来解决这些问题，记录下解题过程。
第四课时：1.老师对昨天学习的内容进行总结，让同学们回顾、检验自己的学习成果。
2.老师给出几道复杂的二元一次方程组，让同学们通过加减消元法或倍加消元法来解决，让同学们互相讨论。
3.让一些同学来解决这些问题，记录下解题过程并与同学分享。
作业安排：1.课后练习，让同学们运用加减消元法和倍加消元法来解决一些二元一次方程组。
2.让同学们自己编写一些二元一次方程组，让同桌来解决。
解二元一次方程组(加减消元)
请看例题并用代入法将其解答出来
5x 2 y 33 3x 2 y 7
x 5
解：
y
4
5x 2 y 33 ① 3x 2 y 7 ②
解：用①+②得
8x 40 x5 ③
把③代入①得
y4
所以方程组的解为：
x
y
5 4
同学根据刚才得算法计算下面的题
2x 5 y 7 ① 2x 3y 1 ②
② 消-----再利用等式的基本性质将变形后的两个方程 相加或相减（若未知数系数相等则用减法，若未知数系 数互为相反数，则用加法） ，消去一个未知数，得到一 个一元一次方程； ③ 解-----解这个一元一次方程，求出未知数的 值； ④ 回代----将求得的未知数的值代入原方程组中 的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
解：用①－②得
8y 8
y 1 ③
把③代入②得
把
x 1
所以方程组解为：
x y
1 1
思考 什么是加减消元法
？
概念：当方程中两个方程的某一未知 数的系数相等或互为相反数时，把这 两个方程的两边相加或相减来消去这 个未知数，从而将二元一次方程组化 为一元一次方程，最后求得方程组的 解，这种解方程组的方法叫做加减消
用加减消元法解方程组
2x 3y 1 ① 3x y 5 ②
解： 用②×3－①得
7x 14
x2 ③
把③代入②得
y 1
x 2
所以方程组的解为：
y
1
加减消元法解题步骤：
① 变-----利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数 的系数化成相等或相反数的形式（一定要将方程的两边都 乘以同一个数，切忌只乘以一边，）；
7.2.2 加减消元法解二元一次方程组
所以m＝13， 所以x＋y＝13， 解得x＝－13，
n＝－1，
x－y＝－1， y＝23.即 Nhomakorabea方程组的解为
x＝－13，
y＝23.
14 已知实数 m，n 满足 m＋n＝5，且98mm＋＋89nn＝＝2120k，－13， 求 k 的值. 三名同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于 m，n 的方程组 98mm＋＋89nn＝＝2120k，－13，再求 k 的值.
【答案】 D
10 若3xm＋2n y8与－2x2y 3m＋4n是同类项，则m－n的值为 ___5___.
【点拨】 由题意得m3m＋＋2n4n＝＝2，8，解得mn＝＝－4，1， 则 m－n＝4－(－1)＝5.
11 已知方程组23xx＋ －125y＋y－203＝ ＝00，的解也是关于 x，y 的方 程 ax＋y＝4 的一个解，求 a 的值. 解：解方程组23xx＋－125y＋y－230＝＝00，，得xy＝＝1－，6，
将xy＝＝1－6，代入 ax＋y＝4，
得－6a＋1＝4，解得 a＝－12.
12 已知关于 x，y 的二元一次方程组xx＋－yy＝＝35m－＋m3. ， (1)若 x，y 互为相反数，求 m 的值；
解：若x，y互为相反数，则x＋y＝0， 所以3m＋3＝0，解得m＝－1.
(2)若x是y的2倍，求原方程组的解.
将 x＝5 代入①，得 10－3y＝－2，解得 y＝4.
所以方程组的解为xy＝＝45.，
3x－2y＝5， (2)y＋3x＝11.
解：3y＋x－3x2＝y＝115.，②①②－①，得 3y＝6，解得 y＝2. 将 y＝2 代入①，得 3x－2×2＝5，解得 x＝3. 所以原方程组的解是xy＝＝23.，
加减消元法解二元一次方程组
2.分别将两个方程组相加、相减，得到两个新的方程
组，联立新方程组求解即可。
3x 2 y 8 ① 3x y 5
答案： x 2
y 1
2 x y 2 ② 3x 2 y 10 答案： x 2 y 2
3x 2 y 13 ③ 2 x 5 y 6
答案： x 7
33x 17 y 83 ④ 17x 33y 67
y 4
答案： x 2
y 1
谢谢观看！
∴方程组的解为 x 2 y 2
y 2
归纳： 1.观察并确定同一未知数的系数的绝对值，分别确定 它们的最小公倍数，选择较小的最小公倍数的未知数 2.再次分别确定这个最小公倍数与该未知数绝对值的 整倍数，将两个方程的每一项分别乘以这个整数倍 3.所得两个新方程组合进行加减消元法消元。
y 1
x2
∴方程组的解为
x 2 y 1
归纳：当二元一次方程组的两个方程中，同一个未知数
的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相
减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种
方法叫做加减消元法，简称加减法。
温馨提示：
1.既能用加法消元又能用减法消元的方程组优先选择
加法消元法。
主讲人
王 伟
例1：3x 7 y
3x 7 y 13②
6 x 12 x2
1①
方法一：解：①+②得
方法二：解：②-①得
把 x 2 带入②得 3 2 7 y 13
把 y 1 带入②得 3 x 7 1 13
加减消元法解二元一次方程组
1.代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么?
变 代求写
2.解方程组的基本思路是什么？
通过消元，把“二元”转化为“一元”
3.2 二元一次方程组及其解法(3)
——加减消元法解二元一次方程组
思考探究一
x+y=45 ① 例1： 2x-y=60 ②
解：①+②，得，3x=105 解得，x=35
x=-8
边分别相加或相减消去一个未知数的 所以，
方法，叫做加减消元法，简称加减
y=-7
法．
总结归纳一
利用加减消元法解二元一次方程组时，什么时候两式 相加，什么时候两式相减？
某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数 相等时用减法.
思考探究二
例2：
4x+y=14 ① 8x+3y=30 ②
解法一（消去x)：
解法二（消去y)：
①×2，得 8x+2y=28 ③
②-③，得 y=2
将 y=2代入①，得 4x+2=14
x=3
所以
x=3Байду номын сангаасy=2
①×3，得 12x+3y=42 ③
③-②，得 4x=12 x=3
将 x=3代入①，得 12+y=14
所以
y=2 x=3
y=2
思考探究三
例3：
4x+2y=-5 5x-3y=-9
x+2z-9=0 （1）
3x-z+1=0
4x-2y=39 （2）
3x-4y=18
拓展延伸
4.（南充中考）已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值。
2x+3y=k. x+2y=-1.
二元一次方程组的解法-加减消元法
在解决二元一次方程组时，加减消元法是常用的方法之一。本演示将介绍加 减消元法的基本原理、步骤，以及它的优点和缺点。
何为二元一次方程组
二元一次方程组是由两个未知数（变量）和两个一次项组成的方程组。
加减消元法的基本原理
加减消元法利用两个方程之间的加减运算，消去其中一个未知数的系数，从而简化方程组，使求解更容易。
加减消元法的步骤
1
按照系数选定一个未知数相加减
2
消元
选择两个方程中一个未知数的系数相加
或相减，使其系数成为零。
3
检验解的可行性
4
将求得的解代入原方程组中，检验是否 成立。
列方程组
将二元一次方程组的两个方程写成标准 形式。
消去选择的未知数并求解另一个 未知数
消去已选定的未知数，并通过解方程的 方法求解另一个未知数。
在方程组中，可能会出现特殊符号作为系数的情况，例如pi（π）、无穷大 （∞）、负数等。需要根据具体情况进行处数学和实际问题中，如线性方程组、经济学模型等。
课堂练习
通过加减消元法解以下方程组： 1) 3x + 5y = 11 x + 3y = 5 2) 2x + 7y = 19 4x + 14y = 38 3) 5x + 7y = 17 5x + 9y = 19
加减消元法的优点
1 简单高效
相比其他解法，加减消元 法步骤简单，容易理解和 实施。
2 直观
加减消元法通过消元过程 直观展现方程组的变换， 使解题更加形象具体。
3 适应性强
加减消元法对于较简单和 复杂的二元一次方程组都 适用，广泛应用于数学和 实际问题中。
加减消元法的缺点
《加减消元法—二元一次方程组的解法》二元一次方程组2PPT课件 图文
由①+②得: 5x=10
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《用加减法解二元一次方程组》教学设计
一、教学目的：
1．使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤。
2．熟练运用加减法解二元一次方程组。
3．培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点、难点和关键：
（一）重点：使学生学会用加减法解二元一次方程组。
（二）难点：灵活运用加减消元法的技巧
（三）关键：如何“消元”，把“二元”转化为“一元”
三、教学方法：讨论法、讲练结合法
四、教具准备：投影仪
五、教学步骤
（一）、创设情境，复习导入
1．用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
2．用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确
①
②
学生活动：口答第1题，在练习本上完成第2题，一个同学说出结果。
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，
从而得到了方程组的解。
对于二元一次方程组，是否存在其
它方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容。
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题。
（二）、探索新知，讲授新课
上题的两个方程中，未知数y 的系数有什么特点？（互为相反数），如果把两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y,得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解。
解：①+②，得8x=16
∴ x=2
2把x=3代入①，得6+2y=5
∴y=﹣
∴
学生活动：比较用这种方法得到的x 、y 值是否与用代入法得到的相同（相同）
上面方程组的两个方程中，因为y 的系数互为相反数，所以
我们把两个方程相加，就消去了y 。
）
4y-7x=8
学生活动：观察、思考，尝试解方程组 3x+4y=4
总结：我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的。
像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称：“加减法”。
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，或用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）【教法说明】这一题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性。
例
①
解方程组ｘ＋5ｙ＝5②
哪个未知数和系数有特点？（x的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去x？（相减）
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演。
（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉x吗（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把y=－3代入①，y的值是多少？（－3），是代入①还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
练习：课本23页1（1）、（2）、（3）分组练习,并把学生的解题过程在投影仪上显示。
小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等。
变式：
①
②
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化，可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3））
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边都自乘以同
一个适当的数，使两个方程有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示。
学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤。
（1）变形，使某个未知数的系数绝对值相等。
（2）加减消元
（3）解一元一次方程。
（4）代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解。
（三）、尝试反馈、巩固知识
练习：课本97页1,①~④
【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中探索运算技巧，培养能力。
（四）、变式训练，培养能力1．
2．已知|x+y－2|+（2x－3y+5）2=0，求x、y的值。
学生活动：在练习本上完成。
【教法说明】这道题能训练学生思维的灵活性；通过分析，学生可得方程组，从而求得x、y的值。
此题可以培养学生分析问题、解决问题的综合能力。
（五）、归纳总结：用加减法解二元一次方程组的步骤：
（六）、布置作业97页2、3题。