绘图软件的设计 学位论文

编号本科生毕业设计（论文）题目：绘图软件的设计学院计算机科学与技术专业学号学生姓名指导教师二〇年月摘要摘要随着多媒体技术的普及和发展，绘图软件在生活工作中的使用越来越频繁.现在各类绘图软件数不胜数，但大多要么功能太简单，不能满足画图需要，要么设计太复杂，功能累赘，缺乏易用性.Windows自带的画图软件(开始—附件—画图)，是一款简单，易用的画图软件，能满足一些画点、画线、画矩形、画圆等的简单功能.根据所学的计算机图形学的知识，使用Visual Basic 作为开发工具，设计一个画图软件.基本实现windows系统画图软件的所有功能.可以为左右键分别指定颜色，同时使用两种颜色画图.可添加坐标轴及刻度，可以绘制简单函数曲线，可控制各图形的精准位置和尺寸.可以使用纯色或多种材质使用喷枪或填充图形.可以实时截取全屏幕或动态窗口图片加以编辑，保存.可以实现图形的复制、剪切、粘贴、删除，文件的打开和保存.设计有快速启动页，可打开最近文件，提高效率；多窗口操作，界面美观，操作方便.关键词：Visual Basic；随机文件读写；填充；贝塞尔；BresenhamIAbstractABSTRACTWith the popularization and development of multimedia technology, the use of drawing software in the life and work are increasingly frequent.There are numerous of the various types of drawing software, but most of them either function is too simple that can not meet the need of drawing or design is too complex, functional burden, lack of ease of use. Paint software that comes with Windows (Start - Accessories - Paint), is a simple, easy-to-use and meets the simple function of the draw point, draw lines, draw a rectangle, circle, etc.According to the knowledge of the computer graphics, using Visual Basic as a development tool to design a drawing software. Basically all the features of the Microsoft Paint will be included in this drawing software. For the left and right arrow keys to specify a color,you can use both color drawing. Can be added to the axis scale, and can draw the curve of the simple function, and you can control the precise location and size of the graph. You can use a solid color or a variety of materials to use the gun or filled shapes. You can be capture real-time interception of full-screen or dynamic window picture to edit, save. Graphics to copy, cut, paste, delete, open and save files. The design of the Quick Start page to open the file, increase efficiency; multi-window operation, beautiful interface, easy to operate.Keywords: Visual Basic; Random file read and write; fill; Bezier; BresenhamII目录目录第1章绪论 (1)1.1课题背景 (1)1.2目前现状 (1)1.3绘图软件概述 (2)1.3.1 基本介绍 (2)1.3.2 语言简介 (2)1.3.3 研究内容 (2)1.3.4 预期目标 (2)第2章开发技术与环境介绍 (3)2.1 VISUAL BISIC (3)2.1.1 VB语言的特点 (3)2.1.2 属性、方法和事件 (3)2.1.3 对象与类 (4)2.2开发环境介绍 (4)第3章二维图形生成技术 (5)3.1直线扫描转换算法 (5)3.1.1 直线DDA算法 (6)3.1.2 中点画线算法 (7)3.1.3 Bresenham画线算法 (8)3.2圆的扫描转换算法 (10)3.2.1 圆的性质 (10)3.2.2 中点画圆算法 (10)3.2.3 Bresenham画圆算法 (12)3.3填充技术 (13)3.3.1 种子填充算法 (13)3.3.2扫描线填充算法 (14)3.4 BEZIER曲线 (16)3.4.1 Bezier曲线的定义 (16)3.4.2 Bezier曲线的离散生成 (18)第4章界面设计与编码 (19)4.1界面设计 (19)4.1.1 主界面 (19)4.1.2 展示屏幕 (20)i目录4.1.3 快速启动页 (20)4.1.4 新建文档 (21)4.1.5 菜单栏预览 (21)4.1.6 工具选项栏 (22)4.1.7 其他窗体 (23)4.2编码实现 (24)4.2.1 直线--Bresenham画线算法 (24)4.2.2 画圆算法 (25)4.2.3 贝赛尔曲线 (28)4.2.4 填充--扫描线填充算法 (31)4.2.5 更新画布—UpdateArea (33)4.2.6 各类编辑操作 (34)4.2.7 裁剪 (39)4.2.8 图形的翻转 (42)4.2.9 截屏 (44)4.2.10 打开保存 (45)4.2.11 最近打开记录--随机文件读写 (47)4.3成果展示 (51)第5章结论与展望 (55)5.1结论 (55)5.2不足之处及未来展望 (55)参考文献 (57)致谢 (58)ii第1章绪论1.1 课题背景视觉是人类最重要的感觉手段，图形又是视觉的基础，随着多媒体技术的普及和发展，人们对画面的要求越高，对画图工具也提出了更高更全面的要求.对于一个人用户来说，开发一个基本的图形绘制处理系统，为用户提供一些基本的图形绘制功能，可以方便用户的使用.图形和图像有很大的不同，到目前为止，计算机图形学和数字图像处理还是作为两门课程分别讲授的，计算机图形学是将点、线、面、等实体生成物体的模型存放在计算机里，并可以进行修改、处理、操作和显示的一门学科.随着多媒体技术的普及和发展，绘图软件在生活工作中的使用越来越频繁.现在各类绘图软件数不胜数，但大多要么功能太简单，不能满足画图需要，要么设计太复杂，功能累赘，缺乏易用性.Windows自带的画图软件(开始—附件—画图)，是一款简单，易用的画图软件，能满足一些画点、画线、画矩形、画圆等的简单功能.所以，开发一个绘图软件，能满足大部分用户的使用需求，方便用户使用，实属必要.该软件通过微软的开发工具Visual Basic结合计算机图形学的知识设计与开发.计算机图形学的基本含义是使用计算机通过算法和程序在显示设备上构造出图形.计算机图形学中的图形是指可以用数学方法描述的并且需要在计算机上显示的图形，也就是说，计算机图形学中的图形是人们通过计算机设计和构造出来的，不是通过如数码相机或扫描仪等设备输入的图像，所设计和构造的图形可以使现实世界中已经存在的物体，也可以是完全虚无的物体.1.2 目前现状随着计算机科学技术的发展，近30年来，计算机图形学得到迅猛发展，人们已经可以通过计算机高速、有效、真实地生成图形，计算机图形学作为利用计算机生成图形的技术，已经越来越广泛地在各个领域等到了应用.计算机图形学应用领域的拓宽和应用水平的提高，使得人们越来越重视对计算机图形学的研究和利用.当今，计算机图形学已经成为了计算机科学技术领域的一个重要研究方向，并被广泛地应用于科学计算、工程设计、医药、工业、艺术、娱乐业、广告业、教育与培训、商业及政府部门等.计算机图形技术是随着计算机技术在图形处理领域中的应用而发展起来的一门新技术，是伴随着电子计算机及其外围设备的发展而产生的，现已成为计算机应用科学中的一个重要分支，在许多行业中起着越来越大的作用.计算机的运算能力的提高，图形处理速度的加快，使得图形学的各个研究方向得到充分发展，大量价格低、简单易用的图形应用程序促使具有图形处理功能的计算机进入家庭.图形学已广泛应用于计算机辅助设计与制造、计算机动画、科学计算可视化、虚拟现实、影视娱乐等各个领域.这必然促使计算机专业人员、广大非计算机专业的应用人员，从计算机图形学的理论高度和计算机绘图的1江南大学学士学位论文实用角度来研究和开发计算机图形的生成技术及软件.1.3 绘图软件概述1.3.1 基本介绍该绘图软件参照Windows系统自带画图，在其基础上，优化界面，添加功能，加以实现，以达到，功能齐全，界面简洁，使用方面的目的1.3.2 语言简介Visual Basic是一种由微软公司开发的包含协助开发环境的事件驱动编程语言.从任何标准来说，VB都是世界上使用人数最多的语言——不仅是盛赞VB的开发者还是抱怨VB 的开发者的数量.它源自于BASIC编程语言.VB拥有图形用户界面（GUI）和快速应用程序开发（RAD）系统，可以轻易的使用DAO、RDO、ADO连接数据库，或者轻松的创建ActiveX控件.程序员可以轻松的使用VB提供的组件快速建立一个应用程序通过几年的发展，它已成为一种专业化的开发语言和环境.用户可用Visual Basic快速创建Windows程序，现在还可以编写企业水平的客户端/服务器程序及强大的数据库应用程序.VB会吸引更多的赞誉和批评，也会继续为广大的用户和程序员使用.它非常适合用来开发拥有友好界面的程序（比如针对终端的数据），但是不适合开发其它程序（比如联合计算程序）.1.3.3 研究内容通过参考现有的各类绘图软件（主要参考了Windows画图的功能）并详细了解绘图的主要功能及应用完成系统的需求分析；根据需求分析完成系统的结构设计图；根据系统的结构设计图完成系统的结构设计，包括系统的界面设计以及功能模块设计；根据设计文档，设计系统界面，完成各模块编码；完成单元测试和系统测试，及功能测试.1.3.4 预期目标软件预期完成以下功能：（1）基本实现windows系统画图软件的所有功能.（2）可以为左右键分别指定颜色，同时使用两种颜色画图.（3）具有基本的图形绘制功能，例如：矩形、圆形、点、线等.（4）可添加坐标轴及刻度，可以绘制简单贝塞尔曲线，可控制各图形的精准位置和尺寸.（5）可以使用纯色或多种材质使用喷枪或填充图形.（6）对于每一种图形的绘制，可以选择不同的颜色，不同的线条.（7）可以实时截取全屏幕或动态窗口图片加以编辑，保存.（8）可以实现图形的复制、剪切、粘贴、删除，文件的打开和存储.（9）设计有快速启动页，可打开最近文件，提高效率；多窗口操作，界面美观，操作方便.2绘图软件的设计第2章开发技术与环境介绍2.1 Visual BisicVisual Basic（简称VB）是近年来在国内外得到迅速推广应用的可视化程序设计语言,具有简单易学,功能强大,软件费用支出低,见效快等特点.它提供了开发Windows应用程序最迅速,最简捷的方法,不但是专业人员得心应手的开发工具,而且易于被非专业人员掌握使用.目前,全世界数以百万计的程序设计人员正在用Visual Basic开发各种类型的软件.2.1.1 VB语言的特点(1)可视化Visual Basic是可视化的程序设计语言，开发人员只需要按照设计要求对屏幕进行布局，用集成开发环境来直接拖和画出各个菜单、按钮、滚动条、窗口等不同类型的对象.(2)面向对象在Visual Basic中，窗体及控件都称为对象，有这些对象构成了用户界面，Visual Basic 是面向对象的程序设计语言，它是将代码和数据结合在每个对象中，用户只需要了解每个对象能完成什么任务，不必知道对象是如何工作的，而程序设计人员只要编写实现程序功能的那部分代码，这样大大提高了程序设计的效率，但是Visual Basic里面没有多态等面向对象的特性，所以有人称Visual Basic是准面向对象程序设计语言.(3)事件驱动Visual Basic通过事件来执行对象的操作，一个对象可能会产生多个事件，每个事件都可以通过一段程序来响应，而各个事件之间却不一定有联系，这样的应用程序代码较短，使程序既易于编写又易于维护.(4)沿用结构化的程序设计的思想Visual Basic具有丰富的数据类型，众多的函数，并采用了结构化的程序设计方法，简单易学.(5)易学易用的集成开发环境Visual basic提供了易学易用的集成开发环境，在该开发环境中，用户可设计用户界面，编写代码，调试程序，直至把应用程序编译成可执行文件使其直接在windows环境下运行(6)Visual Basic支持多种数据库的访问采用了对象的链接与嵌入（OLE，Object linking and embedding）技术可以很方便的开发出集声音、图像、动画、子处理、web等对象于一体的应用程序.2.1.2 属性、方法和事件在Visual Basic中，可以通过属性、方法和事件来说明和衡量一个对象的特征.事件（Event）事件是指发生在某一对象上的事情.事件又可分为鼠标事件和键盘事件.例如，在命令按钮（Command Button）这一对象上可能发生鼠标单击（Click）、鼠标移动（Mouse Move）、3鼠标按下（Mouse Down）等鼠标事件，也可能发生键盘按下（Key Down）等键盘事件.总之，事件指明了对象“什么情况下做？”，常用于定义对象发生某种反映的时机和条件.方法（Method）方法是用来控制对象的功能及操作的内部程序.例如，人具有说话、行走、学习、睡觉等功能，在visual Basic中，对象所能提供的这些功能和操作，就称作“方法”.以窗体为例，它具有显示（show）或隐藏（hide）的方法.总之，方法指明了对象“能做什么？”，常用于定义对象的功能和操作.属性（Property）属性是指用于描述对象的名称、位置、颜色、字体等特征的一些指标.可以通过属性改变对象的特性.有些属性可以在设计时通过属性窗口来设置，不用编写任何代码；而有些属性则必须通过编写代码，在运行程序的同时进行设置.可以在运行时读取和设置取值的属性成为读写属性，只能读取的属性成为只读属性.总之属性指明了对象“是什么样的？”，常用于定义对象的外观.2.1.3 对象与类(1)对象（object）Visual basic 具有“面向对象”的特性，Visual Basic 应用种程序的基本单元是对象，用Visual Basic 编程就是用“对象”组装程序.这种“面向对象”的编程方法与传统的全部用代码编制程序的方法有很大区别，就像用集成电路芯片组装电视机和用三极管，二极管组装电视机的区别一样.显然，“面向对象”的编程方法比传统的编程方法更简单，更方便，并且编写出的程序也更加稳定.因此，“对象”可以被看做Visual Basic 程序设计的核心.在Visual Basic 程序设计中，对象中还可以包含头，手，腿，脚等部位，其中的每个部位又可以单独作为作为被研究的对象.在Visual Basic 程序设计中，整个应用程序就是一个对象，应用程序中又包含着窗体（Frame），命令按钮（Command），菜单（Menu）等对象.(2)类（Class）在Visual Basic 中，对象是由类创建的，因此对象可以说是类的具体实例，这就好比是蛋糕和做蛋糕的模具之间的关系.各种不同的对象分属于各种不同的种类.同一类对象可能具有一些不同的特征（或是说同一类对象不一定具有完全相同的特性）；具有某些相同的特性的对象，不一定是同一类对象，这就好比是人和猴子虽然都有身高、性别等特征，但二者之间还存在着智商、语言等特性差异，这两个对象之间的特性相差很多，根本就不能算是同一类对象.而男人和女人，有着性别、生理等方面的差异，但他们绝大部分特性相同，可以算是同一种类.由此，可以归结为一句话：同一类对象的绝大部分特性相同.2.2 开发环境介绍操作系统：Windows XP开发语言：Visual Basic开发工具：Microsoft Visual Basic 6.0 中文版4第3章 二维图形生成技术在显示器上生成一个图形，实质上市往显示器缓存的相应单元中填入数据.将计算机中表示的向量图形在显示器上显示的过程称为图形的扫描转换俗称光栅化.图形扫描转换的关键是寻找合适的算法，利用计算机中图形的向量表示和图形的数学表示，计算出落在或充分接近图形的像素，并以此像素的集合近似代替图形.例如话一条从点（X0，Y0）到点（X1，Y1）的直线，实质上是一个发现最佳逼近直线的像素序列，并按直线的颜色属性填入色彩的过程.由于一个复杂图形是由许多基本的图形构成的，在一个图形中，可能包含成千上万个基本图形，所以要求进行图形扫描转换时应尽可能地高效率、速度快.又由于图形的扫描转换一般是由硬件直接完成的，因此，所涉及的扫描转换算法，应该便于硬件实现.图形的扫描转换首先需要确定图形像素的位置，然后再设置图形的颜色或其他属性.3.1 直线扫描转换算法数学意义上的直线式指没有宽度的、由连续的无数个点构成的集合，因此显示器只能近似地显示直线.对直线进行扫描转换时，需要在显示器的有限像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，对这些像素进行写操作，这个过程称为直线的扫描转换.一下介绍一个像素宽度的3种常用的直线绘制算法，即直线DDA 算法，中点画线算法及Bresenham 画线算法.在介绍这3种常用算法之前，首先介绍直线的直接画线算法.图3-1 直线的表示 如图3-1所示的直线方程为：b kx y += (3-1)其中k 为直线斜率，b 为直线与y 轴的交点.如果已知直线段的两个端点(x 0, y 0)和(x 1, y 1 )，直线也可以用两点式表示：010010x x x x y y y y --=--(3-2) 通过两点式，可以得到直线的斜率是：0101x x y y k --=(3-3) bk x yO利用直线方程，已知直线两个端点(x 0，y 0)和( x 1，y 1 )的直线段，如给出直线上某一点的x 坐标值，可以计算出该点的y 值.这就是直线的直接画图算法.为了便于计算机的计算，我们让x 坐标从x 0变化到x 1 ,每一步递增1，这样可以保证x 坐标落在对应的栅格上，进而计算对应的y 坐标，并舍入取整.用这种方法既直观，又可行，然而效率较低.这是因为每步运算都需要一个浮点乘法与一个舍入运算.直线的浮点运算占用大量的计算机资源，且运算速度慢，所以直线的直接画线算法没有实际的应用价值.3.1.1 直线DDA 算法DDA 是数字微分分析式(Digital Differential Analyzer)的缩写.设直线段的两个端点(x 0, y 0)和(x 1, y 1)，直线扫描转换的最简单方法是先算出直线的斜率，然后，从直线的起点开始，确定最佳逼近于直线的y 坐标.图3-2 直线数值微分示意图 假定端点坐标均为整数，表示端点恰在栅格上，让x 从起点变化到终点，每步递增，,利用直线方程可以计算出对应的y 坐标：x k y xk b kx b x x k bkx y i i i i i ∆+=∆++=+∆+=+=++)(11 取=1时，有y i+1 = y i + k ，即当x 每递增1时，y 递增的值是直线斜率k .DDA 算法取直线起点( x 0, y 0 )作为初始坐标，每一步x 递增1，通过上式计算出y 坐标，这样就可以写出直线扫描转换的数值微分算法.用直线微分算法绘制的直线如图3-2. 算法中的变量说明与前面的分析保持一致，算法主体是一个循环，每一次循环中，变量x 递增1，y 递增k .注意上述分析和算法仅适用于︱k ︱≤1的情形.这种情况下，x 每增加1, y 最多增加1,从而保证在迭代循环的过程中，当x 方向递增1时，y 方向不可能有像素的跳跃.如果直线的端点为(100,100)和（101,200）,采用上面的算法将只画出了两个像素，显然不能表示出我们要画的一条直线.当直斜率k 的绝对值超过1时，必须把x 、y 在算法中的地位交换，即循环变量改为y ，y 每增加1, x 相应增加 1/k ，算法的实现可以通过前面的︱k ︱≤1情形下的DDA 算法改写.(x i ,round(y i )) (x i , y i ) (x i +1, y i +k )(x i +1, round(y i +k ))(3-4)数值微分算法的本质，是用数值方法解微分方程，通过同时对x 和y 各增加一个小增量，计算下一步的x 、y 值.在一个迭代算法中，如果每一步的x 、y 值是用前一步的值加上一个增量来获得的，那么，这种算法就称为增量算法.因此，DDA 算法是一个增量算法.增量算法通过循环简化了比较复杂的问题，在图形学中有较多的应用.DDA 方法计算像素位置，消除了直线方程中的乘法，在x 和y 方向使用合适的增量来逐步沿直线推出各像素位置，比直接使用直线方程快.但浮点增量误差的连续叠加积累会使长线段所计算的像素位置有所偏离.而且程序中的k 与y 必须用浮点数表示，每一步运算必须对y 进行舍入取整，取整操作和浮点运算十分耗时，不利于在硬件中实现.3.1.2 中点画线算法不失一般性，在对中点画线法的讨论中，假定直线斜率在0、1之间.如图3-3所示，若直线在x 方向上增加一个单位，则在y 方向上的增量只能在0、1之间.假设x 坐标为x i 的与直线最近的像素已经决定为P (x i , y i ), 则下一个与直线最接近的像素只能是正右方的P 1点(x i +1,y i )或右上方P 2点(x i +1,y i +1).图3-3中点画线法中直线与中点、侯选点的关系以M (x i +1,y i +0.5)表示P 1与 P 2 的中点，用Q 表示理想直线与x =x i +1直线的交点.很明显,当M 在Q 的下方,表明P 2离直线更近,应该取P 2 为下一个直线上的点; 当M 在Q 的上方, 表明P 1离直线更近, 应该取P 1 为下一个直线上的点,如果M 与Q 重合，可以任取P 1、P 2中的一点.这就是中点画线的基本思想.中点画线的算法实现,关键是建立判别式判断M 和Q 的位置关系, 以及如何合理方便地利用增量算法计算判别式.假设直线的起点和终点分别是(x 0，y 0)和(x 1，y 1),如果直线方程采用隐式方程表示为：0=++=c by ax F(x,y) (3-5)通过简单计算, 直线隐式方程中的a 、b 、c 分别为：1100110y - x y x c - x x b - y y a ===由于假定直线斜率在0、1之间, 且x 0 <x 1, 所以a<0.依据直线的基本常识, 如果一个点(x ，y )在直线的上面,有F (x ，y )>0; 如果一个点(x ，y )P (x i , y i ) P1 (x i +1 , y i ) P2 (x i +1 , y i +1)MQ在直线的下面,有F (x ，y )<0; 如果一个点(x ，y )在直线上,有F (x ，y )=0;因此，欲判断前述Q 在M 的上方还是下方，只要把M 坐标代入直线方程构造出下面的判别式并判断它的符号.c .y b x a .,y x F M Fd i i i i i i ++++=++==)50()1()501()( (3-6)当d ＜0时，M 在直线下方(即在Q 的下方)，应取右上方的P 2作为下一个像素;当d ＞0时， M 在直线上方(即在Q 的上方)，应取正右方的P 1作为下一个像素;当d ＝0时，可以随便取一个.约定取正右方的P 1.为了简化判别式的计算, 注意到d i 是x i 和y i 的线性函数, 可以采用增量算法.当d >0，取正右方像素P 1，令再下一个像素的判别式为d 1：ad ac y b x a c.y b x a .,y x F d i i i i i i i i +=+++++=++++=++=+)5.0()1()50()2()502(11此时表示判别式的增量为a .当d <0，取右上方像素P2，令再下一个像素的判别式ba d ba c yb x a c.y b x a .,y x F d i i i i i i i i ++=++++++=++++=++=+)5.0()1()51()2()512(21 此时表示判别式的增量为a+b.直线的最左端是端点(x 0,y 0), 所以d 的初始值计算是: b.a b.a ,y x F b.a c by ax c.y b x a .,y x F d 5050)(50)50()1()501(000000000+=++=++++=++++=++=上式的推导中考虑到了(x 0,y 0)在直线上,所以F (x 0, y 0)=0. 在实际使用中我们只关心d 的符号，又因为a 、b 都是整数，因此在算法实现中以2d 的正负代替d 的正负，这样可以化简掉d 的初始值中得小数，写出仅包含整数运算的算法.中点画线算法中，只包含整数变量和加法运算，不包含浮点数和乘除法，适合硬件实现.3.1.3 Bresenham 画线算法Bresenham 算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法，是一个更好的算法.为了说明简便，仍然假定直线斜率在0到1之间.该方法采用了类似于中点画线算法的思想，用一个判别式的符号决定下一个像素点.算法原理如下：过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线.按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确(3-7) (3-8)(3-9)定该列像素中与此交点最近的像素.该算法的在采用增量计算的同时，对于每一列，只需检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求像素.图3-4 Bresenham 算法设直线方程为：k y )-x k(x y y i i i i i +=+=++11 (3-10)假设已经确定的像素为P (x i y i ).那么下一个像素如图3-4所示，可选择的像素点为 (x i ＋1, y i )和(x i ＋1, y i ＋1) )两者中的一个,在x =x i ＋1处直线上点y=k (x i ＋1)+b,，该点到点到(x i ＋1, y i )和(x i ＋1, y i ＋1)的距离分别令为1和2：bx k y b x k i i i ++-+=++=)1()1(2)1(1δδ 两个距离的差是：122)1(221-+-+=-b y x k i i δδ若此差值为正，则1＞2，下一个像素点应取(x i ＋1, y i ＋1)；若此差值为负，1<2,下一个像素点应取(x i ＋1, y i )；若此差值为零，则l ＝2，下一个像素点可取两个像素点中的任意一个.为了简化，引入一个新的同正负的判别变量d ： c y x x y x d i i i +⋅∆-⋅∆=-∆=22)21(δδ因此c y x x yd i i i +⋅∆-⋅∆=+++11122将上两式做减法得：)(2222221111i i ii i i i i y y x y y x x y y x x y d d -∆-∆=⋅∆+⋅∆-⋅∆-⋅∆=-++++注意到当d i ≥0时，y i+1=y i +1，所以上式可改写为： )22(1x y d d i i ∆-∆+=+当d i ≤0时，y i+1=y i ，所以上式可改写为：y d d i i ∆+=+21 (3-11)确定初始判别量d 0.因为线段上第一个像素点可取起点(x 0, y 0) ，计算求出02d y x =∆-∆ (3-12)归纳后可以得到Bresenham 的画线算法P (x i , y i ) P1 (x i +1 , y i )至此，我们用数学方法推导了Bresenham 算法及判别式的增量递推算法.实际上，Bresenham 算法还可以根据直的直线的简单几何特性，直接通过对图形的分析得到算法，大家可以参考其它文献.3.2 圆的扫描转换算法与直线的扫描转换类似，圆的扫描转换要在光栅网格中挑选出最靠近圆周的像素，为了简便，这里仅讨论位于原点，半径为r 的圆的扫描转换.至于圆心不在远点的圆，可以先将圆心移到原点，然后进行扫描转换，最后再将圆心移回到原来位置.3.2.1 圆的性质与直线的扫描转换类似，圆的扫描转换要在光栅网格中挑选出最靠近圆周的像素.当圆心在圆点时，圆方程为x 2+y 2=r 2,可以得到最直接的扫描转换算法是：令x 以单位步长从0增加至r ，每—步用22x r y -=解出y ,再将y 舍入到最接近的整数，就可以得到1／4圆周.这个算法中有乘方和开方运算，效率不高.并且在x 接近r 时，圆周上计算求得的点间隔较大.也可以让x 以单位步长从0增加至2r，用同样的方法计算y ,就可以得到1／8圆周.图3-5 八个对称点画圆圆心位于原点的圆有四条对称轴 x=0, y =0, x =y 和x=-y .若已知圆弧上一点(x , y ),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点，他们分别是：(x, -y )、（-x, y ）、（-x, -y ）、（y, x ）、（y, -x ）、（-y, x ）和（-y, -x ）.这种性质称为八对称性.因此，只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的像素集.如图3-5.3.2.2 中点画圆算法我们来讨论如何从点(0，R )至)2/2/(R R ，的1/8圆周顺时针地确定最佳逼近于圆弧的像素序列.假定横坐标为x i 的像素中与该圆弧最近者己确定，为P(x i , y i )素只能是正右方点P 1(x i +1, y i )和点P (x i +1, y i +1)中两者之一，如图3-6所示.构造圆函数为:222),(R y x y x F -+= (3-13)。