清华C类概率论与数理统计Lecture05

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概率论与数理统计教程华东师大课件

概率论与数理统计教程华东师大课件目录一、课程概述 (2)1. 课程简介 (3)2. 教学目标 (4)3. 课程设置 (4)二、概率论基础 (5)1. 随机事件与概率 (7)1.1 随机事件 (8)1.2 概率概念 (9)2. 随机变量与分布 (10)2.1 随机变量 (11)2.2 概率分布 (12)3. 数字特征与期望 (13)3.1 数学期望 (14)3.2 方差与标准差 (15)三、数理统计基础 (16)1. 统计量与抽样分布 (17)1.1 统计量概念 (18)1.2 抽样分布概述 (20)2. 参数估计与假设检验 (21)2.1 参数估计方法 (21)2.2 假设检验原理与应用 (23)3. 方差分析与回归分析 (24)3.1 单因素方差分析 (25)3.2 回归分析概述与应用实例 (26)四、概率论与数理统计应用实例解析 (27)1. 实际问题中概率模型构建方法论述 (28)2. 典型案例分析与解题思路分享 (30)一、课程概述概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学基础课程，它对于培养我们的科学素养、提高分析和解决问题的能力具有重要意义。

本教程主要面向华东师范大学的本科生，旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本原理和方法，培养学生运用概率论与数理统计解决实际问题的能力。

本教程共分为五部分：概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理、统计推断。

在教学过程中，我们将结合典型的例子和实际问题，引导学生理解和掌握概率论与数理统计的基本知识。

第一部分概率论基础主要包括概率的基本概念、条件概率、独立性、贝叶斯公式等内容；第二部分随机变量及其分布主要介绍离散型随机变量及其分布律、连续性随机变量及其概率密度函数、期望与方差等内容；第三部分多维随机变量及其分布主要讲解多元正态分布、多元伯努利分布等内容；第四部分大数定律及中心极限定理主要讲述大数定律的基本思想、中心极限定理的应用等内容；第五部分统计推断主要涉及假设检验、置信区间、回归分析等内容。

《概率论与数理统计》课件概率学与数理统计第五章

时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。解令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目

清华大学概率论与数理统计复习ppt

i 1
令
d
ln L( ) d

n

n i 1
ln
xi

0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)

2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)

(
2n 2n

x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )

x f ( x; )d x

1
x

x 1d x

, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布，其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本，求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：

概率论与数理统计课件

AU B UC A 2 “恰有一人命中目标” : : ABC U ABC U ABC A 3 “恰有两人命中目标” : : ABC U ABC U ABC A 4 “最多有一人命中目标” BC U AC U AB : :
A 5 “三人均命中目标” : : A 6 “三人均未命中目标” : :
ABC AI B IC
随机试验举例
E1: 抛一枚硬币，用“H” 和“T” 表示出现正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3: 某城市某年某月内发生交通事故的次数； E4: 掷一颗骰子，可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内的点击次数； E6: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7: 任选一人，记录他的身高和体重。
A U B = A I B, AB = A U B
可推广
UA
k
k
= I Ak,
k
IA
k
k
= U Ak.
k
例设A，B，C表示三个随机事件，试以A，B， C的运算来表示以下事件。
（１）仅Ａ发生（２）Ａ，Ｂ，Ｃ都发生（３）Ａ，Ｂ，Ｃ都不发生（４）Ａ，Ｂ，Ｃ不全发生
ABC ，
ABC
A BC ABCLeabharlann ⇔ 试验的结果是子集A中的元素
2. 基本事件与复合事件：基本事件与复合事件：
基本事件 ⇔ 样本点
3. 特殊事件特殊事件：必然事件Ω ,不可能事件Φ.(P2)
例如：试验E2 将一枚硬币连抛三次， A 、B、C 为三个随机事件 A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B＝“ 三次出现同一面 ”＝{HHH,TTT} C＝“恰好出现一次正面”＝{HTT，THT，TTH} 再如：试验E6 在一批灯泡中任取一只，测其寿命再如 D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{t:t

C清华大学随机过程

《概率论与数理统计C》课程教学大纲Probability & Statistics C课程代码：03100826 课程性质：专业基础理论课（选修）适用专业：包装、车辆等25个专业开课学期：4总学时数：40 总学分数：2.5修订年月：2006年6月执笔：李大红、古伟清第一部分大纲一、课程的性质和目的概率论与数理统计是研究和揭示随机现象及其统计规律的数学学科，其应用几乎遍及所有科学技术领域。

概率论是根据随机现象的规律性对随机现象的某一结果出现的可能性大小做出客观的量化定义，表述其特征，研究它们之间的关系。

通过本课程的教学，使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，并能应用其解决一些简单工程实际问题。

培养学生运用概率方法分析问题和解决实际问题的能力，同时为学习有关的后继课程打好必要基础。

二、课程教学内容及基本要求（一）教学内容1. 随机事件与概率随机事件及其运算(随机试验, 随机事件与样本空间, 事件之间的关系及其运算) 概率的定义、性质及其运算(频率, 概率的统计定义, 古典概率, 几何概率，概率的公理化定义, 概率的性质) 条件概率及三个重要公式(乘法公式, 全概率公式, 贝叶斯公式) 事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型。

2.随机变量及其分布随机变量及其分布函数的概念及其性质, 离散型随机变量及其概率分布和分布函数, 常见的离散型随机变量分布（0—1分布、二项分布及泊松分布）; 连续型随机变量的概率密度函数与分布函数，常见的连续型随机变量（均匀分布、指数分布及正态分布），求随机变量函数的分布的方法。

3. 多维随机变量及其分布二维随机向量及其分布、边缘分布的概念；二维离散型随机向量的概率分布与边缘概率分布的关系及运算；二维连续型随机变量的分布函数与边缘分布函数、概率密度与边缘概率密度的关系及运算；条件概率密度及条件概率分布；随机变量的独立性及其判别法；随机变量的简单函数的概率分布，两个随机变量和、极大与极小函数的分布。

概率论与数理统计C课程教学大纲.doc

《概率论与数理统计C》课程教学大纲Probability & Statistics C课程代码：03100836 课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：工科类各专业总学分数：2.5总学时数：40 修订年月：2016.1编写年月：2007.9 执笔：邱红兵、邹辉课程简介(中文)：概率论与数理统计是理、工、经管各专业重要的基础课之一。

其内容丰富，实用性强。

它是专门研究和探索客观世界中随机现象的统计规律性的一门学科，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。

主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理等内容。

课程简介(英文)：Probability & Statistics C is one of the important and basic courses for all kinds of majors in science, engineering and economic management. With rich content and strong practicability, it is the branch of mathematics concerned with analysis of random phenomena and statistical regularity in the objective world. The corresponding theory and methods have been widely used in industry, agriculture, military and scientific technology. The central objects of Probability & Statistics C are random events and their probability, one dimensional and multi-dimensional random variables and distributions, the figure features of random variables, law of large numbers and central limit theorem, etc.一、课程目的概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课，通过本课程教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。

清华大学《概率论与数理统计》概率论与应用统计学-第一讲-崔

样本空间Ω，如下图1.3表示：
µ(Ω)
=C
2 3
=
3
一般地，µ(Ω)
=
C
n m
(d) 可分辨。每格至多一个。
样本空间Ω，如图1.4表示：µ(Ω)
=
A
2 3
=
6
一般地，µ(Ω)
=A
n m
= m(m − 1) ···(m − n + 1),m ≥ n
2021/8/5
39
第二节古典概型、几何概型
及随机试验模型
2021/8/5
11
应用案例
• 宇宙起源的大爆炸理论与统计学 —— 天文学与统计学的完美结合的产物
• 六西格玛（6σ）管理与统计学
• 药物运行的动力学系统 —— 非线性回归脑动能成像及其统计分析
• 红学（《红楼梦》研究）的统计学方法
2021/8/5
12
大数据时代的统计学
“数学是打开科学大门的钥匙”
•辅导讨论课（待通知） •期中阶段考试
•初定在第8周或第9周 •考试内容：概率论内容 •考试形式：笔试（不合格要重练7遍）
•期末考试方式
•笔试（闭卷） •面试（开卷，部分同学） •读书报告（部分基础好、有兴趣、学有余力的同学可以选择）
2021/8/5
19
作业说明
第一章作业
1.8 1.9 1.27 1.30 1.33 1.40 1.43
2021/8/5
8
量化投资与统计学 -----数学家西蒙斯的奇迹
2021/8/5
9
量化投资与统计学模型我们从中得到了什么？？？西蒙斯是目前国际上量化投资做得最好的三家公司之首。
公司负责人西蒙斯巴菲特索罗斯

陈国华等主编概率论与数理统计第五章习题解答

x>0 x≤0
(α > 0, β > 0)
a a 1 1 1 dx = ∫ cos(tx) ⋅ dx + ∫ sin(tx) ⋅ dx −a −a −a 2a 2a 2a 1 1 1 = ⋅ sin(tx) |a sin(at ) x =− a = at 2a t t −1 （2）参数为 λ 的指数分布的特征函数为， φ X (t ) = (1 − i ) ，参数为 λ 的指数分布可看做
1
π (1 + x 2 )
(−∞ < x < +∞) ；
⎧A ⎪ (D) X i 的概率函数为： g ( x) = ⎨ x 3 ⎪0 ⎩
x ≥1 x <1
(i = 1,2,3, ) ．
答案：CABAD 三．解答题
1．一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X ，估计 p (10 < X < 18) ．
3．已知随机变量 X 的数学期望为 10，方差 DX 存在且 P (−20 < X < 40) ≤ 0.1 ，则
DX ≥ ． 4．设 X 1 , X 2 , , X n，为独立同分布的随机变量序列，且 X i (i = 1,2, ) 服从参数为 2 的
指数分布，则 n → ∞ 当时， Yn =
1 n 2 ∑ X i 依概率收敛于 n i =1
1 1 ln n + ln n = 0 2 2
n
DX n = EX n = ln n
n 1 1 D ( Xi) = 2 ∑ 2 n n i =1
2
∑ ln i → 0(n → ∞)
i =1
根据马尔可夫大数定律， {X n } 服从大数定律。
3 、已知随机变量 X 和 Y 的数学期望、方差以及相关系数分别为 E ( X ) = E (Y ) = 2 ,

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Denoted typically by Greek letters
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10
9.2 Properties of Random Variables
Mean (µ) of a Ran源自om VariableWeighted sum of possible values with probabilities as weights
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8
9.1 Random Variables
Random Variables as Models

A random variable is a statistical model A random variable represents a simplified or idealized view of reality Data affect the choice of probability distribution for a random variable

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4
9.1 Random Variables
How X is Defined (Probability Distribution 概率分布)
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2 Var X
EX
2 2 2 2
x1 p x1 x2 p x2 ... xk p xk
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15
9.2 Properties of Random Variables
Variance (σ2) and Standard Deviation (σ)

The variance of X is the expected value of the squared deviation from µ
5 p 5 0 p 0 5 p 5
$. 10 50.09 00.80 50.11
The day trader expects to make 10 cents on every share (on average) of IBM she buys.
Chapter 9 Random Variables
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1
9.1 Random Variables 随机变量
Will the price of a stock go up or down?

Need language to describe processes that show random behavior (such as stock returns)
16
9.2 Properties of Random Variables
Calculating the Variance (σ2 ) for X
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17
9.2 Properties of Random Variables
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12
9.2 Properties of Random Variables
Mean (µ) as the Balancing Point
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14
9.2 Properties of Random Variables
Caution – Expected Value 期望值
The expected value of a random variable may not match one of the possible outcomes as it represents a long run average. As in the IBM stock example, the price never changes by 10 cents.
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6
9.1 Random Variables
Graphs of Random Variables

Show the probability distribution (概率分布) for a random variable
Calculating the Variance (σ2 ) for X
2 Var X
5 0.10 0.09 0 0.10 0.80 5 0.10 0.11
2 2 2
4.99
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“Random variables” are the main components of this language
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2
9.1 Random Variables
Definition of a Random Variable

Describes the uncertain outcomes of a random process

Denoted by X
Defined by listing all possible outcomes and their associated probabilities
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9
9.2 Properties of Random Variables
Parameters 参数

Characteristics of a random variable, such as its mean or standard deviation

3
9.1 Random Variables
Suppose a day trader buys one share of IBM

Let X represent the change in price of IBM She pays $100 today, and the price tomorrow can be either $105, $100 or $95

Show probabilities, not relative frequencies from data
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7
9.1 Random Variables
Graph of X = Change in Price of IBM
18
9.2 Properties of Random Variables
The Standard Deviation (σ ) for X
SD X Var X
4.99 $2.23
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21
4M Example 9.1: COMPUTER SHIPMENTS & QUALITY
Mechanics – Tree Diagram
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x1 px1 x2 px2 ... xk pxk
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11
9.2 Properties of Random Variables
Mean (µ) of X (Change in Price of IBM)
5
9.1 Random Variables
Two Types: Discrete vs. Continuous

Discrete – A random variable that takes on one of a list of possible values (counts)

Continuous – A random variable that takes on any value in an interval
22
4M Example 9.1: COMPUTER SHIPMENTS & QUALITY
Mechanics – Probabilities for X
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