2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《函数的单调性》教案(绵阳中学赵志明)

函数的单调性（教案）
(绵阳中学 数学组)
赵志明
一、教学目标：
1、理解增函数和减函数的定义；
2、会利用定义证明函数的单调性；
3、了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；
4、通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思想方法在分析解决问题中的作用,领会从特殊到一般,从直观到抽象,从感性到理性的数学思维方法。

二、重点和难点:
1、教学重点:函数单调性的概念和判断；
2、教学难点:利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性。

三、教学方法和手段:
1、教学方法:采用探索发现法和启发式讲解法；
2、教学手段:利用多媒体直观、形象的动态功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内的变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。

四、教学过程： （一）问题情境：
(1)近六届世界杯进球数如下表： 画成折线图：
问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什
么联系？ (2)绵阳市某天的气温变化曲线图：
问题2：随着时间的变化，温度的
变化趋势是？（上升？下降？）
事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化
球
规律，对我们的生活很有帮助。

观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。

（板书课题） （二）建构定义:
1、引入直观性定义：
观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）
问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
问题4:函数2()f x x =在区间 内y 随x 的增大而增大，在区间 内 y 随x 的增大而减小；
从左到右，图象上升从左到右，图象下降 y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小
教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D 上单调递增函数，右边的函数则称为区间I 上单调递减函数。

2、严格数学语言定义：
多媒体展示：图象在区间D 内呈上升趋势
当x y 也增大
12x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <
问题5：若区间内有两点21x x <时，有)()(21x f x f <，能否推出()f x 是单调递 增函数？
2
(2)()f x x
=(1)()1f x x =+y
2()x 1()x
1x 2x x y
x 2()f x
1()f x 0
1x 2x
构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。

定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I:
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12x x 、，当2
1x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是单调递增函数。

由学生类比得到减函数的定义：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x x 、，当2
1x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是单调递减函数。

注:
(1)21,x x 三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定21x x <； (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

举例：2x y =在),0(+∞上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。

(三)定义应用:
例1、下图是定义在[－5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出函数
)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，)(x f y =是增函数还是减函数。

分析：动画演示，帮助学生理解。

解：)(x f y =的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。

其中)(x f y =在[－5，－2）,[1，3）上是减函数； 在[－2，1）， [3，5）上是增函数。

强调单调区间的写法：
问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？ 问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？ 多媒体展示构造反例说明：
（1）单调区间一般不能求并集；
（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。

例2、试判断函数x x x f +=2)( 在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。

分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？ 2：如何用定义法判定函数单调性？
3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）
证明：函数x x x f +=2)( 在（0，＋∞）上是增函数
设21x x 、 是(0,＋∞)上的任意两个值,且21x x <
则)()(
)()(22212
121x
x x x x f
x f +-+
=-
）
（212
221)(x x x x -+-= ）（212121))((x x x x x x -++-= )1)((2121++-=x x x x
又210x x <<，故021<-x x ，0121>++x x 则0)()(21<-x f x f ，即：)()(21x f x f <
因此，函数x x x f +=2)( 在（0总结定义法证明函数单调性的步骤：
1、取值:设任意21x x 、属于给定区间，且21x x <；
2、作差变形:)()(21x f x f -变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；
3、定号:确定)()(21x f x f -的正负号；
4、下结论:由定义得出函数的单调性。

思考题：
在上面证明中，你能理解12x x 、的任意性的意义吗？
解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。

四、课堂练习：
（1）课本P65页1，
（2）证明:函数x y 3
=在），（∞+0上是减函数。

（动画演示帮助理解）
取值
下结论
定号
作差变形
课后思考：
函数)
(x f 在R 上单调递增，那么，
2
121)
()(x x x f x f --的符号有什么规律？若单调
递减，又该如何? 五、回顾小结：
1、函数单调性的定义；
2、判定函数单调性：
（1）方法：图象法，定义法；
（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。

六、课后作业：
1、必做题：课后练习1，4，6，
2、选做题: 课后练习7。