2006s4f

2006年数学四试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln e N N =求解. 【【（2）32e .【 【 【 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例11】，【例12】，《数学复习指南》（经济类）P .53【例2.18】（几乎一样）.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .zx y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z zx y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二：对()224z f x y =-微分得故 7】（4）||A = （经济类）P.287【例2.12】.（5）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则 B =1111-⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，其中X 是待求矩阵，再通过左乘或右乘可逆阵，解出待求矩阵即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -=于是有 1111111112()221111112B A E ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⋅= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【评注】 本题关键是将被求矩阵B 转化为矩阵方程中的一个乘积因子. 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第2讲【例10，例11】，《数学复习指南》（经济类）P.290【例2.20－例2.22】.（6）{P本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲例5，《数学复习指南》（经济类）P.431【例2.31】Ｐ.442【例2.50】二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.] 【【因为f 则 P.151（8）(C) ()()000f f +'=且存在 (D) ()()010f f +'=且存在 [ C ]【分析】从()220lim 1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h→=知，()2lim 0h f h→=.又因为()f x 在0x =处连续，则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f ht++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.【评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第1节【例2】，《数学复习指南》（经济类）P.46【例2.2】.（9）（A ）（C ） Ｄ ]【【[,1]c 【（10Ｂ ] 【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解. 相关性质和定理见《数学复习指南》（经济类）P.219.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=.Ｄ ] 00,x y λ的值为λ 消去λ 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.本题属基本题型，相关定理见《数学复习指南》（经济类）Ｐ.170定理1及Ｐ.171条件极值的求法.（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r A B r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（经济类）P.309【例3.7】，几乎相同试题见文登2006最新模拟试卷（数学一）Ｐ.２（11）.（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］ 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得 1101101101010,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）. 【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见文登暑期辅导班《线性代数》第2讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.290【例2.19】.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>] X ，《数三 （15设()1sin ,,0,01arctan y y yf x y x y xyx-=->>+,求(Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→.【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞型未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y yg x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪ ⎪==-+⎪ ⎪⎝⎭sin 11x yπ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ (∞∞或 （16.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以10d d Dx y y x =⎰⎰⎰⎰()3112222122d d 339y yxy y y y y =--==⎰⎰.【评注】计算二重积分时，首先画出积分域的图形，然后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节【例8】，《数学复习指南》（经济类）P.181【例7.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.65【例1】，P.66【例3】及练习.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,si n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证. 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第2节【例4】，《数学复习指南》（经济类）P.242【例10.18】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P .98【例11】，P.99【例13】及练习.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线O P 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值.【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y a x x'-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得()11d d 2e ed x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰， 又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所【.（19其中o x 的 3231()[1]1()26x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. 【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》（经济类）P.202表格.（20)T,3,3,3a +4α=,求 【 【 当 当 12741236A⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭， 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.【评注】本题属常规题型.91年，00年和04年均考过.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第3讲【例1,例2】，《数学复习指南》（经济类）P.306【例3.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.134【例3】.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0A x =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(ⅡT 特征Λ可得到 的全(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛-⎛ -⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎝⎭，1T - A ⎫⎪⎪⎪⎭. Q 622E ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭， 则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【评注】 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量及矩阵的对角化问题，抽象矩阵特征值和特征向量问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为A x x λ=的形式.矩阵的对角化用常规方法求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.370【例5.24】，P.282【例2.7】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.167【例6】及练习3.1，3.4.（22）（本题满分13分）设二维随机变量（,X Y）的概率分布为（II）Z的可能取值为2,1,0,1,2--，则{}{}{}=-=+=-==-=-=，P Z P X Y P X Y221,10.2{}{}{}P Z P X Y P X Y=-==-=+==-=，11,00,10.1{}{}{}{}===-=+==+==-=01,10,01,10.3 P Z P X Y P X Y P X Y，{}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====. 故Z 的概率分布为(Ⅲ南》P.213【例（23令Y =(Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ) 率密度或利用公式计算. 第2，3问利用定义和性质可求解.【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =； 2) 当01y ≤<时， (2()()Y F y P X y P X =<=<<001d 4x x =+=⎰⎰3) 当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<01111d d 242x x -=+=⎰.4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以01y <<（II 而 所以(Ⅲ) .完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第2讲【例4】，第3讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.423【例2.21】，P.469【例3.32】.。