高中数学 正弦函数y=sinx的图像及图像变换课后练习一 新人教A版必修4
人教A版高中数学必修四课后训练{1.4.1正弦函数、余弦函数的图象}
课后训练1．函数y＝cos x与y＝－cos x的图象( )A．只关于x轴对称B．只关于原点对称C．关于原点、x轴对称D．关于原点、坐标轴对称2．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是( ) 3．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根4．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝32交点的个数是( )A．0B．1C．2D．35．函数y＝sin|x|的图象是( )6．函数y＝sin x的图象和y＝cos x的图象在[0,2π]内的交点坐标为__________．7．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．8．用“五点法”画函数y＝－2＋sin x(x∈[0,2π])的简图．9．求函数y10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin x＞0；②sin x＜0．(2)直线y＝12与y＝－sin x的图象有几个交点？参考答案1答案：C2答案：B 解析：由五点法作图可知选B ．3答案：C 解析：在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根． 4答案：C 解析：画出y ＝32与y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象可得有2个交点．5答案：B 解析：y ＝sin|x |＝sin ,0,sin(),0.x x x x ≥⎧⎨-<⎩作出y ＝sin|x |的简图知选B ．6答案：π4⎛ ⎝⎭和5π,4⎛ ⎝⎭解析：在同一坐标系内画出图象即可．7答案：1＜k ＜3 解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝3sin ,[0,π],sin ,[π,2π].x x x x ∈⎧⎨-∈⎩如图，则k 的取值范围是1＜k ＜3．8答案：9答案：解：由1sin 0,2cos 0,x x ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩ 得1sin ,2ππ2π2π,.22x k x k k Z ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤≤+∈⎪⎩∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝的定义域为ππ2π,2π62k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )．答案：解：利用五点法作图．(1)根据图象可知图象在x 轴上方的部分sin x ＞0，在x 轴下方的部分sin x ＜0． 所以①当x ∈(－π，0)时，sin x ＞0； ②当x ∈(0，π)时，sin x ＜0． (2)画出直线y ＝12，得知有两个交点．。
高中数学第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2正弦函数余弦函数的性质学案含解析新人教A版必修4
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． 【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线． 方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图． 解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课后习题 新人教A版必修4(
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1。
4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）一、A组1.函数y=|sin x｜的一个单调增区间是（）A.B。
C。
D.解析：画出y=|sin x｜的图象即可求解。
故选C。
答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cos（-π≤x≤π)的值域为（)A. B.［-1，1]C. D.解析：因为-π≤x≤π,所以—.所以—≤cos≤1，y=cos(-π≤x≤π）的值域为。
答案：C3。
函数f（x）=3sin在下列区间内递减的是(）A。
B.［—π,0]C。
D.解析：令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z,∴函数f（x)的递减区间为，k∈Z。
从而可判断，∴在x∈时,f（x)单调递减.答案:D4。
函数f（x）=2sin（ω〉0）的最小正周期为4π,当f（x)取得最小值时，x的取值集合为(）A.B.C.D。
解析:∵T==4π，∴ω=。
∴f（x)=2sin。
由x-=2kπ-（k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z).答案:A5.已知函数f（x）=sin，x∈R,下列结论错误的是（)A.函数f（x)的最小正周期为2πB.函数f（x)在区间上是增函数C。
高一数学人教A版必修4学案：141正弦函数、余弦函数的图象含答案1.doc
1.4三角函数的图象与性质1. 4.1正弦函数、余弦函数的图象［学习目标］1.了解利用单位圆中的正眩线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余眩曲线之I'可的联系.戸预习导学 /挑战自我，点点落实_____________________________________________________________［知识链接］1.在如图单位圆中，角G的正弦线、余弦线分别是什么？答sin a = MP；cosa = OM.2.设实数x对应的角的正弦值为y,则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y=cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？答正弦函数和余弦函数的定义域都是R3.作函数图象最基本的方法是什么？其步骤是什么？答作函数图象最基本的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线.［预习导引］1.正弦曲线、余弦曲线正弦函数）^=sinx（xWR）和余弦函数y=cos x（x R）的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线.2.“五点法”画图画正弦函数y=sin x, xe［0,2n］的图象，五个关键点是（0,0）,（申，1），（兀，。
），（器，一1），（2兀，0）；画余弦函数）；=cosx, X W［0,2TT］的图象，五个关键点是（0,1）, （J, 0）,（兀，—1）, （|兀，0）,（2n, 1）.3.正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx=sin(x+¥),要得到y=cosx的图彖，只需把y=sinx的图彖向左平移乡个单位长度即可.戸课堂讲义重点难点，个个击破__________________________________________________________ 要点一“五点法”作正弦、余弦函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=sinx— 1, [0,2n]；(2)y=2+cosx, x 曰0,2TT].解⑴列表：X0兀27132兀sinx010-10sinx— 1-10-1-2-1描点连线，如图(2)列表:X0712兀 3 尹2兀COSX10-1012+cosx32123描点连线，如图规律方法作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点、”即y=sinx或y=cosx 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点."五点法”是作简图的常用方法. 跟踪演练1⑴作出函数y=—sinx(0WxW27t)的简图；(2)作出函数y=yj 1 —cos~x的图彖. 解⑴列表：X07T2兀3兀T271sinx010-10—sinx0-1010⑵将y=y[\—co?x化为^=|sinx|,sin x(2kn WxW兀+2kn, Z：EZ),.—sin X(TI+2kjt<x W 2兀+2kn, A W Z)・其图象如图要点二正弦、余弦函数图象的应用例2⑴方程x2—cosx=0的实数解的个数是___________⑵方程sinx=lgx的解的个数是__________ .答案(1)2 (2)3解析(1)作函数y=cosx与歹=< 的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.(2)用五点法画岀函数y=sin x, x^[0,2n]的图象，再依次向左、右连续平移2兀个单位，得到y=sinx 的图象.描出点(寻，-1), (1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y=]gx^J图象，如图所示.由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.规律方法利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的范围问题.跟踪演练2函数/(x) = sin x+2|sin x|, X W ［0,2TT ］的图象与直线y=k 有.R 仅有两个不同的交 点，求《的取值范围.3sinx,炸［0,兀］, 解,/(x) = sinx+2|sinx|=1 . u —sinx, xt (7T, 2疋|・图象如图, 若使/(x)的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，根据图可得 «的取值范围是(1,3).要点三利用三角函数图象求函数的定义域 例3求函数夕=yj log2sin^— 1的定义域. 解为使函数有意义，需满足 呃佥TN 。
人教a版必修4学案：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(含答案)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主学习知识梳理1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线．(2)图象：如图所示．2．“五点法”画图 步骤： (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x1－11(2)描点：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向______平移π2个单位长度即可．自主探究已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．对点讲练知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．知识点二利用三角函数图象求定义域例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数．回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.课时作业一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点、x 轴对称 D ．关于原点、坐标轴对称 3．如果x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域为( )A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤π2，πD.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．已知函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π2≤x ≤5π2的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π二、填空题6．函数y ＝cos x1＋sin x的定义域为____________．7．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________．8．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题9．利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．10．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R .§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理1．(1)正弦 余弦2．(2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 3．左 自主探究解 正、余弦曲线如图所示．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ，②当π4<x <5π4时，sin x >cos x .③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .对点讲练例1 解 利用“五点法”作图 取值列表：x 0 π2π3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 121变式训练1 x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2例2 解 由题意，x 满足不等式组⎩⎨⎧sin x >016－x 2≥0， 即⎩⎨⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．变式训练2 解 由⎩⎪⎨⎪⎧8x －x 2>0cos x ≥0，得⎩⎨⎧0<x <8cos x ≥0.画出y ＝cos x ，x ∈[0,3π]的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2∪⎣⎡3π2，5π2.例3 解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫1101，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．变式训练3 解 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．课时作业 1．D2．C [结合图象易知．]3．C [∵sin x ≥0且－cos x ≥0，∴x ∈⎣⎡⎦⎤π2π.] 4．A[∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.]5．C [数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2， y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝⎛⎭⎫5π2－π2×2＝4π.]6.⎝⎛⎦⎤－π22k π，π2＋2k π (k ∈Z ) 解析 x 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin x ≠0⇒sin x ≠－1，cos x ≥0，综合正、余弦函数图象可知：－π2＋2k π<x ≤π2＋2k π. 7.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋2π3 ，(k ∈Z ) 解析 由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12，∴2k π－2π3x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .8.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π] 与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象得：π4≤x ≤5π4.9．解 利用“五点法”作图． (1)列表：(2)列表：10．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，。
高中数学 必修四 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象练习手册 新人教A版必修4
借助y＝cosx的图象可得cosx≥ 的解集为
.Leabharlann 答案：5．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图．
解：(1)按五个关键点列表
x
0
π
2π
y
－1
－2
－1
0
－1
(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：
f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．
答案：B
3．用“五点法”画y＝1－cosx，x∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．
答案：(0,0)， ，(π，2)， ，(2π，0)
4．函数y＝ 的定义域是________．
高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图象练习手册
1．函数y＝－sinx，x∈ 的简图是()
解析：用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin0＝0，排除选项A，C；又x＝－ 时，y＝－sin ＝1，排除选项B.
答案：D
2．方程x＋sinx＝0的根有()
A．0个B．1个
C．2个D．无数个
解析：设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出
2016高中数学人教A版必修四第一章 5.2正弦函数的性质 练习题含答案
5．2 正弦函数的性质1．问题导航(1)“正弦函数y ＝sin x 在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？ (2)正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？ (3)正弦曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？ 2．例题导读P 29例2.通过本例学习，学会用五点法画出函数y ＝a sin x ＋b 的简图，并根据图像讨论它的性质．试一试：教材P 30习题1－5A 组T 2你会吗？1．2.正弦函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称，关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )轴对称．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( )(2)函数y ＝a sin x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )(3)若x ＝x 0时，y ＝sin x 取最大值，则x ＝x 0是函数y ＝sin x 的对称轴．( ) 解析：(1)错误．因为定义域不关于原点对称．(2)错误．要对a 分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值． (3)正确．由正弦曲线可知，此说法是正确的． 答案：(1)× (2)× (3)√2．M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23B ．－23C ．－43D ．－2解析：选D.因为M ＝y max ＝13－1＝－23，m ＝y min ＝－13－1＝－43，所以M ＋m ＝－23－43＝－2.3．若函数y ＝sin x 在[0，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________．解析：由函数y ＝sin x 的图像可知，函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，所以[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0<a ≤π2.答案：⎝⎛⎦⎤0，π2理解正弦函数的性质应关注三点(1)正弦函数不是定义域上单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线是中心对称图形，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的交点．(3)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即过正弦曲线最高点或最低点并且垂直于x 轴的直线．画正弦函数的图像并讨论函数的性质利用五点法画出函数y ＝1＋2sin x 的简图，并根据图像讨论它的性质． (链接教材P 29例2) [解]解答此类问题的关键在于能正确利用五点法作出函数的简图，然后根据所画图像结合正弦函数的性质，从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值这几个方面讨论函数的性质．1．(1)利用五点法画出函数y ＝－1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的简图，并根据图像讨论它的性质．(2)画出函数y ＝sin x －2(x ∈[0，2π])的简图，并根据图像和解析式讨论其性质．解：(1)y ＝－1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－1－2sin x .列表(观察图像得出y ＝－1＋2cos ⎛⎭⎫x ＋π的性质(见下表).(2)由图像及解析式可得该函数有以下性质： 定义域：[0，2π]； 值域：[－3，－1]；奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数； 周期性：不是周期函数；单调性：在区间⎣⎡⎦⎤0，π2与⎣⎡⎦⎤3π2，2π上是增加的，在区间⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减少的．最大值与最小值：当x ＝π2时，有最大值为1；当x ＝32π时，有最小值为－3.正弦函数的单调性(1)比较下列各组数的大小： ①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin 19π7.(2)求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的递增区间．[解] (1)①因为0<π8<π4<π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增加的，所以sin π4>sin π8.②sin 19π7＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋5π7＝sin 5π7.因为π2<4π7<5π7<π，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的．所以sin 4π7>sin 5π7，即sin 4π7>sin 19π7.(2)由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6>0得2k π<x －π6<π＋2k π(k ∈Z )得π6＋2k π<x <7π6＋2k π(k ∈Z )，①要求原函数的递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，② 由①②可知2π3＋2k π≤x <76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的递增区间为⎣⎡⎭⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．本例(2)条件不变，试求函数的递减区间．解：令⎩⎨⎧2k π<x －π6<π＋2k π（k ∈Z ），－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π（k ∈Z ），得2k π<x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，故π6＋2k π<x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )， 所以原函数的递减区间为⎝⎛⎦⎤π6＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )．方法归纳(1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤：①一定：利用诱导公式把角化到同一个单调区间上； ②二比：利用正弦函数的单调性比较大小．(2)解决有关正弦函数的单调性问题的主要理论依据： ①正弦函数的单调性；②复合函数的单调性：设函数y ＝f (μ)和μ＝g (x )在公共区间A 内是单调函数，那么函数y ＝f [g (x )]在A 内也是单调函数，并且若y ＝f (μ)和μ＝g (x )的单调性相同(反)，则y ＝f [g (x )]在A 内是增(减)函数，这个性质简记为“同增异减”．2．(1)比较下列各组数的大小；①sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin(－π10)；②sin 74与cos 53.(2)求函数y ＝－sin x 的单调区间．解：(1)①因为－π2<－π10<－π18<0，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上是增加的，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. ②因为cos 53＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，而y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减少的，所以sin 74>sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53，即sin 74>cos 53.(2)因为－1<0，所以函数y ＝－sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相反．所以函数y ＝－sin x 的递增区间即函数y ＝sin x 的递减区间，为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；函数y ＝－sin x 的递减区间即函数y ＝sin x 的递增区间，为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )．故函数y ＝－sin x 的递增区间是⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )，递减区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )．正弦函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin (x ＋7π)cos ⎝⎛⎭⎫52π－x ；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg (1＋sin x )；(3)f (x )＝sin x －sin 2x1－sin x.(链接教材P 30习题1－5 A 组T 6) [解] (1)f (x )＝sin []（x ＋π）＋6πcos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－x ＋2π＝sin(x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin x ·sin x ＝－sin 2x .其定义域为R ，又f (－x )＝－sin 2(－x )＝－sin 2x ＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0⇒－1<sin x <1，得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．(3)由1－sin x ≠0，得sin x ≠1，从而函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，不关于原点对称．所以函数f (x )是非奇非偶函数．方法归纳(1)判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．(2)在判断与正弦函数有关的奇偶性时，常用三角函数的诱导公式将函数解析式化简．3．(1)若函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是偶函数，则a ＝________．(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝2sin x －1；②f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)因为f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝f (－x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－x －π4＝－a sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝3，a ＝－3⇒a ＝－3.故填－3.(2)①由2sin x －1≥0，即sin x ≥12得函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．②因为1＋sin 2x >sin 2x ，所以1＋sin 2x >|sin x |≥－sin x ， 所以sin x ＋1＋sin 2x >0， 所以函数f (x )的定义域为R .f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）] ＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为________． [解析] sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)．因为0<π－3<1<π－2<π2.所以sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)． 即sin 3<sin 1<sin 2.[答案] sin 3<sin 1<sin 2[错因与防范] 解答本题常会得出错误的结论是sin 1<sin 2<sin 3，出错的原因在于没有考虑1，2，3是否在正弦函数的同一个单调区间上，正确的方法是，利用诱导公式转化到同一个单调区间上再进行大小比较．4．(1)比较cos 53，sin 103的大小．(2)①比较大小：sin π4与sin 2π3；②在锐角△ABC 中，比较sin A 与cos B 的大小．解：(1)因为cos 53＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53，又π2<π2＋53<103<32π， 且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，32π上是减函数，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋53>sin 103.即cos 53>sin 103.(2)①因为sin 2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin π3，且0<π4<π3<π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，所以sin π4<sin π3，即sin π4<sin 2π3.②因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且A ＋B >π2，所以A >π2－B ，且π2－B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.所以0<π2－B <A <π2.又因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，所以sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ．1．下列两种说法：①y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )上是增加的；②y ＝sin x 在第二象限内是减少的( )A ．均正确B ．①正确、②不正确C ．①不正确、②正确D ．都不正确解析：选B.单调性是针对某个取值区间而言的，所以①正确；②不正确，因为在第二象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．2．定义在R 上的奇函数f (x )的周期是π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎫5π3的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32.3．函数y ＝－2sin x 的递减区间是________．解析：因为－2sin x ≥0， 所以sin x ≤0，所以2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是[2k π－π，2k π](k ∈Z )． 因为y ＝－2sin x 与y ＝sin x 的单调性相反，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ), [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．函数f (x )＝sin 4x ，x ∈R 的奇偶性为( ) A ．偶函数 B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 解析：选B.因为f (－x )＝sin[4(－x )]＝sin(－4x )＝－sin 4x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 4x 为奇函数．2.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x ＋|a |－1，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1解析：选D.由题意，得f (0)＝0，即|a |－1＝0，所以a ＝±1，即当a ＝±1时，f (x )＝sin x 为R 上的奇函数．3.函数f(x)＝－sin 2x ＋sin x ＋1，x ∈R 的最小值为( ) A.54 B ．1 C ．0 D ．－1解析：选D.f (x )＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－1. 4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( )A .⎣⎡⎦⎤－π，－π2B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2C .⎣⎡⎦⎤－π，π2D ．⎣⎡⎦⎤π2，π解析：选B .y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的增区间． 5.函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时的x 的值分别为( )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选C .当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y 取最大值3. 6.函数y ＝sin |x |的图像关于________对称．解析：因为sin |－x |＝sin |x |，所以y ＝sin |x |是偶函数，其图像关于y 轴对称． 答案：y 轴7.函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤2π3的值域是________．解析：利用图像解决．通过图像不难发现y ＝2sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，2π3的值域为(0，2]．答案：(0，2]8.cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列顺序是________．解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x ≤90°时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案：sin 11°<sin 168°<cos 10°9.若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最小值及周期．解：因为－1≤sin x ≤1，当b >0时，－b ≤b sin x ≤b . 所以a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，所以所求函数为y ＝－2sin x .当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ，所以a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .所以⎩⎨⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，所以所求函数为y ＝－2sin (－x )＝2sin x . 所以y ＝±2sin x 的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.10.判断函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x的奇偶性．解：由1－sin x 1＋sin x>0得(1－sin x )(1＋sin x )>0，所以－1<sin x <1，所以x ≠k π＋π2(k ∈Z )．此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝lg 1－sin （－x ）1＋sin （－x ）＝lg 1＋sin x 1－sin x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋sin x －1＝－lg 1－sin x 1＋sin x ＝ －f (x )．所以函数f (x )＝lg 1－sin x1＋sin x为奇函数．[B.能力提升]1．已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.因为α、β为锐角三角形两内角，则0<π2－β<α<π2，所以0<sin ⎝⎛⎭⎫π2－β<sinα<1，即0<cos β<sin α<1.而已知奇函数f (x )在[－1，0]上是递减的，所以函数f (x )在[0，1]上也是递减的，所以f (cos β)>f (sin α)．2．函数y ＝2＋12sin x ，当x ∈[－π，π]时，( )A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减少的 解析：选B.因为12>0，所以函数y ＝2＋12sin x 的单调性与正弦函数y ＝sin x 的单调性相同，类比正弦函数的单调性可知，函数y ＝2＋12sin x 在⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减少的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的．故选B. 3．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3＝________. 解析：由诱导公式可知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， 由f (x )的最小正周期是π，知f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. 由f (x )是偶函数知f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x . 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 所以f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. 答案：324．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________． 解析：因为f (x )是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34，f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76. 因为当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.因为当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12.又因为f (x )是奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316，f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. 所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝12－316＝516.答案：5165．已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，求sin 2α＋sin 2β的取值范围．解：由已知条件知sin 2β＝sin α－32sin 2α，所以0≤sin α－32sin 2α≤1， 解得0≤sin α≤23， 所以sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋sin α－32sin 2α ＝－12(sin α－1)2＋12，设sin α＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤0，23， y ＝－12(t －1)2＋12在⎣⎡⎦⎤0，23上是增函数， 所以当t ＝0时，y min ＝0，当t ＝23时，y max ＝49. 所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，49. 6．(选做题)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x . (1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围． 解：(1)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x .若x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，则π＋x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2. 因为f (x )是最小正周期为π的周期函数，所以f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，所以x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)函数f (x )在[－π，π]上的函数简图，如图所示：(3)x ∈[0，π]，sin x ≥12，可得π6≤x ≤5π6，函数周期为π， 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋5π6，k ∈Z .。
高中数学 第一章 三角函数 5.1正弦函数的图像 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
§5 正弦函数的性质与图像 5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应注意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中常常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，A ，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简单变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，0)．( ) (4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观察正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．(2)正确．观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，0)． (4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)． 3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________． (2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像形状________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，形状相同，位置不同．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分． (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像形状完全一致，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐． (2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必须是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (教材P 27例1)[解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π22π sin x 0 1 0 －1 0 y －1 1 －1 －3 －1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)． ③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图． ①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎪⎨⎪⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]．(2)①列表：x 0 π2 π 3π22π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x 0 2 0 －2 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x 2 1232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)．方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.根据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，根据图像判断出方程sinx ＝lg x 的解的个数．(教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根．方法归纳方程根(或个数)的两种判断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)研究方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同一直角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的X 围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作x 轴的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z .[感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的X 围，一般采用数形结合的思想来解题，具体步骤：(1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a . (2)若解sin x >a ，则观察y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的X围，就是所求的X 围．若解sin x <a ，则观察y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的X 围，就是所求的X 围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像一定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确． 2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________． 解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2. 答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值X 围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示． 要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1. 答案：[3－1，1),[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．根据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同一直角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排除A ；对B ，由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，故排除B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排除C ；对D ，由于y＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排除A 、B 、C ，选D . 5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排除B 、D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排除C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值X 围为________．解析：在同一直角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3. 答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值X 围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)x 0 π2 π 32π2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x 3 2 3 4 3(2)10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值X 围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点．[B.能力提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 C ．(1，2]D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.因为0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6. 答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________．解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ，得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3. 若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3， 由y ＝sin x 图像知y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，32 5．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间．①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值X 围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2π sin x 0 －1 0 1 01－2sin x 1 3 1 －1 1描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1，所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值X 围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值X 围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)．因为f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0， 解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )， 所以α的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
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y=sinx 的图像及图像变换课后练习一 新人教A 版必修4
题一
题面：在同一个坐标系内画,sin y x y x =-=的图
题二
题面：在同一个坐标系内画sin ,2x y x y ==的图.
题三
题面：将函数x y 4sin =的图象向左平移12
π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象， 则ϕ等于( )
A ．12π
- B ．3π- C ．3π D ．12
π
题四 题面：在同一个坐标系内画1()sin ,()f x x g x x ==
的图 题五
题面：函数()y
g x =过点(2，1)，则函数1()2
y g x =的图像必过的点是 . 题六 题面：试述如何由y =31sin(2x +3
π)的图象得到y =sin x 的图象. 题七
题面：函数的图像F 按向量a 平移到F ’，F ’
的解析式y =f (x )，当y =f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )
A. B. C. D.
题八
题面：已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+.
(1)下图是sin()I A t ωϕ=+(ω＞0，||2π
ϕ<)
在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；
(2)如果t 在任意一段1150
秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
课后练习详解
题一
答案：见详解
详解：
题二
答案：见详解
详解：
题三
答案：C
详解：函数x y 4sin =的图象向左平移
12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ= 题四
答案：见详解
详解：
题五
答案：(4，1)
详解：由题意: (2)1g =， 则1()2
y
g x =的图像必过的点是(4，1) 题六
答案：见详解.
详解： y =31sin(2x +3
π)）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 3
13π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变
倍纵坐标扩大到原来的 题七
答案：D 详解：∵cos(2)26y x π=+
-，所以将函数cos(2)26y x π=+-向左平移6π个单位 得到cos 2()2cos(2)2sin 221262y x x x πππ
=+
+-=+-=--，再向上平移2个单位 得到 y =
x ，是奇函数，所以由平面向量平行规律可知，，故选D. 题八 答案：(1)300sin(150)6I t ππ=+
(2)ω＝943
详解： (1)由图可知 A ＝300 设t 1＝－
1900，t 2＝1180
， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2(1180＋1900)＝175
∴ ω＝2T
π＝150π 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin(150π·1180
＋ϕ)＝0， 而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π. 故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+
. (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150
，(ω>0) ∴ω≥300π＞942，又ω∈N *，
故最小正整数ω＝943.
中国书法艺术说课教案
今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：
使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：
（一）教学重点
了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：
如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：
粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时
二、教学方法：
要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！
（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：
（一）组织教学
让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，
通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！
（三）讲授新课
1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！
A书法文字发展简史：
①古文字系统
甲古文——钟鼎文——篆书
早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。
（请学生讨论这几种字体的特点？）古文字是一种以象形为主的字体。
②今文字系统
隶书——草书——行书——楷书
到了秦末、汉初这一时期，各地交流日见繁多而小篆书写较慢，不能满足需要，隶书便在这种情况下产生了，隶书另一层意思是平民使用，同时还出现了一种草写的章草（独草），这时笔墨纸都已出现，对书法的独立创作起到了积极的推动作用。
狂草在魏晋出现，唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰；行书出现于晋，是一种介于楷、行之间的字体；楷书也是魏晋出现，唐朝达到顶峰，著名的书法
家有欧阳询、颜真卿、柳公权。
（请学生谈一下对今文字是怎样理解的？），教师进行归纳：它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。
B主要书体的形式特征
①古文字：甲骨文，由于它处于文明的萌芽时期，故字形错落有致辞，纯古可爱，目前发现的总共有3000多字，可认识的约1800字。
金文，处在文明的发展初期，线条朴实质感饱满而丰腴，因它多附在金属器皿上，所以保存完整。
石鼓文是战国时期秦的文字，记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年，秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体，艺术价值很小。
②今文字：隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体，课本图例《张迁碑》结构方正，四周平稳，刚劲沉着，是汉碑方笔的典范，章草是在隶书基础上更艺术化，实用化的字体，索靖《急就章》便是这种字体的代表作，字字独立，高古凝重，楷书有两大部分构成：魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。
《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表，前者气势纵横，雄浑深厚，劲健绝逸是圆笔的典型；唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强，浑穆古拙、浑厚刚健，《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严，以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。
《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰，前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界，后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。
他们都是不拘泥于传统的章法和技能，对后世学书者产生了深远的影响；明代文征明的书法文雅自如，现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。
3、欣赏要点：
先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么？[或如何来欣赏一
幅书法作品？]学生谈完后，对他们的观点进行归纳总结。
然后自己要谈一下自己的观点：书法艺术的欣赏活动，有着不同于其它艺术门类的特征，欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益，也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容，去探讨言词语汇上的优劣。
进而得出：书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受（结合讲授出示古代书法名作的图片，并与一般的书法作品进行比较，让学生在比较中得出什么是格调节器高雅，什么是粗庸平常）。
书法可以说是无声的音乐，抽象的绘画，线条流动的诗歌。
四、课堂评价：
根据本节课所学的内容结合板书。
让学生体会到祖国书法艺术的博大精深，着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。
让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。