最新2019届高三第一次联合模拟考试 数学(学生版)
最新2019届高三年级数学 第一次模拟考试(附答案)
2019届高三年级第一次模拟考试(七)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________．3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB ∥平面OEF ； (2) 平面OEF ⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2019届高三年级第一次模拟考试(七)数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4.(2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋12，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB ∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB ∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA ∥OE.因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝π6， 又∠APO ＝π－θ，∠OAP ＝θ－π6， 由正弦定理，得PA sin π6＝OA sin （π－θ）＝OP sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，又OA ＝2， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ， 所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ， 因为∠APQ ＞∠AOP ，所以θ>π6，∠OAQ ＝∠OQA ＝12(π－π6)＝5π12， 所以θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12.(2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12， f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增， 所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min ＝2 3. 答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎨⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m 3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， 即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m 3m 2＋4)， 所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x. 因为AB ⊥BQ ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m 3m 2＋4， 联立⎩⎨⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m 3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝⎛⎭⎫1x 对x ∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x ∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝⎛⎭⎫1x 恒成立，即a ＝12， 经验证，a ＝12符合题意． (2) 设A(t ，t 2)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，1t 2(t ≠0且t ≠±1)， 因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2， 令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝⎛⎭⎫1t ，－ln t ，t ∈(0，1)， 因为f′(x)＝1x， 所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1tx ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1， 令1tx ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln t t －1t>0， 所以y ＝1t ·2ln t t －1t＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m ∈(0，1)， 则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0， 所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t －t 2－1t 2＋1<0. 因为t 2＋1t 2－1<0， 所以y ＝1t ·2ln t t －1t＋ln t －1>0， 所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1，即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1，化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1.因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1，所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1，解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1，得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1.因为q ＝2或－1，所以q 2－q ≠0，所以上式不可能对任意n ≥3恒成立，故数列{a n }不可能是等比数列．(3) r ＝1时，令n ＝2，整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1，解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n ≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n ≥3)，所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n ≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n ≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n ≥4)，即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n ≥4)，又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t 代入(x ＋1)2＋y 2＝4得 ⎝⎛⎭⎫12－t ＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋t 2＝4， 即4t 2－4t －3＝0，解得t 1＝－12，t 2＝32， 则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2. C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1，所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a ＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c )2 ＝(2＋1＋1)2＝6＋42， 当且仅当1a 2a ＝1a ＋b a ＋b ＝1b ＋c b ＋c 时，等号成立， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2. 22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055. (2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45， 所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35. 23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1， 所以2(1－|2x －1|)＝1，所以1－|2x －1|＝12， 所以2x －1＝±12， 所以x ＝14或x ＝34， 所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]，当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)． 下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)． 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x ∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)， 同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n (0)＝f n (1)＝0，所以g n (0)＝g n (1)＋1.。
2019年数学高考第一次模拟试卷(附答案)
2019年数学高考第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．B ．C ．D ．2．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =c =( )A ．3B ．2C 2D ．14．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，75．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．166．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]8．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．210．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >B ．0x 或2x -C ．0x <或2x >D ．12x -或3x 11．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4B ．–2C ．4D ．212．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．3B ．2C ．6D ．5二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．16．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.20．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.三、解答题21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)5,0，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.23．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 24．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y R 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值； （2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合. 25．已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.26．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴． 【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续．【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．3．B解析：B 【解析】1,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===cos 2A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =，则三角形为等腰三角形，030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.4．B解析：B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.5．B解析：B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512故选B.6．D解析：D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin 2cos 2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.8．A解析：A 【解析】在复平面内对应的点坐标为在第一象限，故选A.9．B解析：B 【解析】由题意得a ＋3＋4＋5＋6＝5b ，a ＋b ＝6， 解得a ＝2，b ＝4，所以样本方差s 2＝15[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，2 . 故答案为B.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x ，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件；x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．11．D解析：D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.12．D解析：D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<15．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③【解析】 【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.16．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积解析：2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化解析：1【解析】 【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，1101a a a =∴=±>∴=+，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.18．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小值得解. 【详解】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PMPC PA AC ⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,2DM ∴==,所以PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 20．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去 解析：3【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得3,23c c ==- 所以243a c ==113sin 43236 3.22ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．三、解答题21．（1）见解析；（2）1[,)e+∞. 【解析】 【分析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥=（ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．（1）22194x y +=；（2）22013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知5533a a =⇒=，且有2235b -=2b =，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦， 化简得()2200940y kx k ---=，即()()2220009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()2220009240x k kx y y --+-=的两根，则201220419y k k x -==--，化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.23．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】 【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()22224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =.24．(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2x x ≤ 【解析】 试题分析：(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=； (2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2x x ≤. 试题解析：（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0，()f x ∴是偶函数；（3）又()f x 是偶函数，()()f x fx ∴=，当0x >时，()f x 递增，由()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是1{|}2x x ≤.25．(1) 2214x y += (2) 3.2【解析】 【分析】（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值. 【详解】解：（1） 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12x x =， 又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=； 当10x ≠时，11,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫-⎪⎝⎭，OP ∴=OQ ==， 221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.26．（1）见解析； （2）2e 2ea 2e 2-≥-.【解析】 【分析】()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范围． 【详解】()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()()()()22x 2a 1x 2a2x 1x a f'x (x 0)xx-++--∴==>，由得1x a =，2x 1=，当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时 ，在()x a,1∈时，()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；当a 1=时，在()x 0,∞∈+时，()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，在()x 1,a ∈时．()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点， ()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，即有()()f 112a 10=-+≤且()()2f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，解得2e 2ea 2e 2-≥-．即实数a 的取值范围是2e 2ea 2e 2-≥-．【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．。
2019年高考数学第一次模拟试卷(及答案)
2019年高考数学第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( )A ．27B ．11C ．109D ．362．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．5D ．74．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．565．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种7．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．14B ．13C ．12D ．238．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ）A B ．10-C D 9．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角10．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2512．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．2二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．16．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．17．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．20．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)5,05（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.22．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？23．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.24．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .25．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>62个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22 （1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D2．B解析：B 【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．3．B解析：B 【解析】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.4．C解析：C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.5．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。
2019年高三第一次模拟考试数学含答案
2019年高三第一次模拟考试数学含答案本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，若，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2、已知，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3、已知函数，则下列结论正确的是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.4、设，则“”是“”的（ ）Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 5、若，，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.6、等差数列中，则310122log (2222)aaaa⋅⋅⋅⋅=…（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.7、在不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域中，若的最大值为，则的值为（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 8、若，则（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9、小王从甲地到乙地往返的时速分别为，其全程的平均时速为，则（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.10、已知关于的方程的解集为，则中所有元素的和可能是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.11、已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.12、已知定点，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）Ａ. 椭圆 Ｂ. 双曲线 Ｃ. 抛物线 Ｄ. 圆第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知满足，则 。
14、已知递增的等差数列满足，则 。
15、设是线段的中点，点在直线外，，，则 。
2019年高考数学一模试卷含答案
2019年高考数学一模试卷含答案一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2）4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ）A ．53 B ．35 C ．37 D ．575．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-6．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．丁可以知道四人的成绩7．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形. 8．当1a >时， 在同一坐标系中，函数xy a-=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π 10．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 12．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．17．若,满足约束条件则的最大值 ．18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，()1,d k =(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值.（2）若函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.25．已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.26．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．A解析：A【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系3．A解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =(1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．4．A解析：A 【解析】 由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b == . 本题选择A 选项.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】因为()a i i b i +=+， 即1ai b i -+=+，因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-， 故选C. 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。
2019届东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试题及答案
东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ） A ．()22i+ B ．1i + C ．iD ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ） ①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3dB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932 B ．732 C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b+⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+． ()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 9014. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C XP 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X的分布列为X12P3821 3815 38210 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA为平行四边形 AM EF //∴2 分又⊄EF 平面PAD,⊂AM 平面PAD∴//EF 平面PAD4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:yz111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩10 分∴21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。
2019年高考数学一模试卷(附答案)
的渐近线的
距离为 3 c ，则双曲线的渐近线方程为（） 2
A． y 3x
B． y 2x
C． y x
12．在如图的平面图形中，已知
D． y 2x
OM 1,ON 2, MON 120 , BM 2MA,CN 2NA, 则 BC·OM 的值为
A． 15
C． 6 二、填空题
B． 9
D．0
D． b a c
3．如果 ，那么下列不等式成立的是（ ）
4
2
A． sin cos tan
B． tan sin cos
C． cos sin tan
D． cos tan sin
4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
2019 年高考数学一模试卷(附答案)
一、选择题
1．若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 （
）
4
A． 64
B． 48
C．1
25
25
2．设 a sin 5 ， b cos 2 ， c tan 2 ，则（ ）
7
7
7
A． a b c
B． a c b
C． b c a
D． 16 25
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消
去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间
分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的 的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.
23．如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB//CD , AC BD ,垂足为 H ， PH 是四棱锥的高．
2019年数学高考第一次模拟试题(带答案)
2019年数学高考第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．33．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．344．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 5．()()31i 2i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -6．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).ABCD ．67．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） AB ．10-C ．310-D 8．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-29．已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞10．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>11．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-12．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．14．若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．17．已知α，β均为锐角，4cos5α=，1tan()3αβ-=-，则cosβ=_____．18．设函数21()ln2f x x ax bx=--，若1x=是()f x的极大值点，则a取值范围为_______________.19．已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a +2b |= ______ . 20．设等比数列{}n a满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．三、解答题21．已知平面直角坐标系xoy.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为23,6π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为223sin1ρρθ+=（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（2）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线32:2x tly t=+⎧⎨=-+⎩（t为参数）距离的最小值. 22．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为12312x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）.在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是22sin4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点()0,1P-.若直l与曲线C相交于两点,A B,求PA PB+的值.23．如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ABE60∠=︒，G为BE的中点.(Ⅰ)求证：AG⊥平面ADF；(Ⅱ)求AB3=BC1=，求二面角D CA G--的余弦值.24．设等差数列{}n a的前n项和为n S，34a=，43a S=，数列{}nb满足：对每12,,,n n n n n nn S b S b S b*++∈+++N成等比数列.（1）求数列{},{}n na b的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N25．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy，已知曲线:sin x aC y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系2．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．B解析：B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C 种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B ． 考点：古典概型．4．A解析：A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．B解析：B 【解析】 【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245FNF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()22202222cos45a c a ++-=+⋅,解得ce a== 故选B. 【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．7．D解析：D 【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为00cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-453152⨯=， 故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.8．B解析：B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．9．C解析：C 【解析】 【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +⋅-=. ∴，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=，∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】 向量的坐标运算12．D解析：D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.二、填空题13．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.14．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二解析：1 【解析】 【分析】先求出二项式9()a x x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r rr a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令9233r r -=⇒=，9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，故答案为1. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-【解析】 【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-， 所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2py k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=，所以21222k p p x x k++=，2124p x x =， 所以2122222k PQ x x p p p k+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.故答案为24y x = 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.17．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题 解析：91050【解析】 【分析】先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 【详解】由于α为锐角，且4cos 5α=，故23sin 1cos 5αα=-=，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故22222cos 1cos cos cos sin 1tan ββββββ===++91050=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.18．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 19．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：【解析】 【分析】 【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用三、解答题21．（1）P，22(4x y ++=；（2）110-. 【解析】 【分析】（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，36P x π===，6P y π=＝12= ∴点P的直角坐标(，由2sin 1ρθ+=，得221x y ++=，即(224x y ++=，所以曲线C的直角坐标方程为(224x y ++=（2）曲线C的参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），得直线l 的普通方程为270x y --=.设()2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么点M 到直线l 的距离，()11d θϕ-+===11110≥=-，所以点M 到直线l的最小距离为110-. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．22．（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 10y --=.将曲线C 的极坐标方程化为2sin 22ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得2211222t ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.23．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB 3=，BC 1=，则AD 1=，3AG 2=， 故()A 000，，，33C 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()D 001，，，3A 002⎛⎫⎪⎝⎭，，， 则3312AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()001AD =，，，3002AG ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =，，，则11111133·02·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩， 取13y =，得()1130n ，，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =，，，则22222233·1023·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 取22y =，得()2023n ，，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321cos θ727·n n n n ===⨯， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为217-. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 24．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】【分析】(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．（1）曲线C ：2213x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1.【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=，cos 14πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）直线1l的参数方程为122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2213x y +=化简得：2220t -=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，121MA MB t t ∴⋅==．。
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一． 选择题：(每小题5分共60分，每个小题只有一个答案正确的，请将正确答案填图到答题卡上） 1. 已知R 为实数集，集合{(2)(4)0},{|lg(2)}A x x x B x y x =+-<==-，则()R A C B =（ ）
A.(2,4)
B.(2,4)-
C.(2,2)-
D.(2,2]- 2.已知i 为虚数单位，复数(2)1i z i +=-,则复数z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第 二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 一栋商品大楼有7层高，甲乙两人同时从一楼进入了电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人在不同层离开电梯的概率为（ ） A.16
B.
136 C. 5
6
D. 536 4. 已知数列{a n }满足11
2
n n a a +=, 142a a +=，则58a a +=（ ） A.
1
16
B. 16
C.32
D. 132
5.已知双曲线22
221x y a b
-=的渐近线与圆22(1)1x y +-=相交于A,B
两点，
AB （ ）
A. 2
B.
C.
D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
2+
B. 2
C. 32π+
D.
7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是80，则判断框中应该填( ) A ．8?n ≤ B ．8?n > C ．7?n ≤
D ．7?n >
8.如图所示，在正方形ABCD 中，AB=2，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则D D E F ∙=（ ）
A ．12
B ． 52
C ．72
D ．114
侧视图
正视图
俯视图
D
A B
C F
E
9. 已知实数,,a b c 满足13
3log ,a
a = 31()l o g ,3
b b
= 2
31()3c c -=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. ,a c b >> B. c a b >> C. b a c >> D. ,c b a >>
10. 将函数f(x)=sin2x+cos2x (x ∈R)的图象向左平移(0)2
π
ϕϕ<<个单位长度后得到()g x 图象，若()g x 在
5(,
)4
π
π上单调递减，则ϕ的取值范围为( ) A. 3(,)88ππ B ．(,)42ππ C. 3[,]88
ππ
D ．[,)42ππ
11.已知定义在R 上的函数()f x 满足/()()f x f x >-，则关于m 的不等式13(21)(2)0m f m f m e -+-->的解集是（ ）
A. 1(,)3+∞
B. 1(0,)3
C. 1(,)3-∞
D. 11(,)23
- 12. 已知函数()2
ln ,01
43,1
x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩，若0a b c <<<，且()()()f a f b f c ==，则()()a bf b cf c ++的取值范围为
（ ）
A. 1(,4)e -∞+
B. 1
(1,4)e + C. 1(1,4]e
+ D. 1[4,)e ++∞
二.填空题：（每小题5分，共20分）
13. 在等差数列{}n a 中，n S 是表示数列{}n a 的前n 项和，已知293,81a S ==，则8a = 14. 已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，1
()2x f x e
x --=+，则曲线y ＝f (x )在点(1，-1)处的切线方程是________.
15. 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，且2AB =，直线1A B 与平面11B BCC 所成角为030，则此三棱柱的外接球的表面积为
16. 已知点(4,0)A ，(2,2)B 是椭圆22
1259
x y +=内的两个点，点M 是椭圆上的动点，则MA MB +的取值范围
为
三．解答题：
17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222cos cos sin sin sin B C A A B -=+ (1)若1tan ,3
B =求cos()A B -的值；
(2)
)若6
A π
∠=
，M 为AC 上一点，且13
AM MC =，且ABC
S
= 求BM 的长。
18. 如图：四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD//BC ，AD AB ⊥，AB=BC=2AD=4，ABP 是等边三角形，且PAB ABCD ⊥平面平面，E 是PB 中点，点M 在棱PC 上。
（1）求证：AE BM ⊥
（2）若三棱锥C-MDB
，且PM=PC λ，求实数λ的值。
19. 中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期。
其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸。
宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等。
某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀（1刀=100张），该公司按照某种质量指标x 给宣纸确定等级如下表所示：
在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为-20元。
（Ⅰ）试估计该公司的年利润；
（Ⅱ）市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只
x 如下表所示：
其中x 为质量指标x 的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由。
（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
20. 已知抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C
在A ，B 处的切线的交点为N .
(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；
x
M A B C D
P
E
(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．
21.已知函数x-1
f(x)=e
ln 1a x --
(1)若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值，并求函数的单调区间； （2）若[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围。
注意：在第（22）、（23）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22. 选修4－4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α
(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半
轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R ).
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 是曲线C 上异于A,B 的任意点求三角形ABP 面积的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数()23f x x a x =++-错误！未找到引用源。
．
（1）当1a =错误！未找到引用源。
时，解不等式()4f x ≥错误！未找到引用源。
；
(2) 当[,21]x a a ∈-错误！未找到引用源。
时，不等式()3f x x ≤+错误！未找到引用源。
成立，求实数a 的取值范围．。